Voir la source de Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 1
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Fonctions hyperboliques réciproques/]]
  | niveau    = 14
  | page_liée=Exercices/Exercices
}}

== Définitions ==
=== Cosinus hyperbolique ===
{{Définition
  | contenu ={{Wikipédia|Cosinus hyperbolique}}
[[Fichier:Cosh.svg|center|thumb|upright=2]]
On définit la fonction '''cosinus hyperbolique''', notée '''cosh''', par
:<math>
\begin{array}{ccccc}
\cosh&:&\R&\rightarrow&\R\\
~&~&x&\mapsto&\displaystyle{\frac{\operatorname e^x+\operatorname e^{-x}}2}.
\end{array}
</math>
}}

{{Remarque
  | contenu =
L'axe des ordonnées (ou droite d'équation x = 0) est axe de symétrie de la fonction ou y(x) = y(-x) : la fonction cosinus hyperbolique est '''paire'''.
}}

=== Sinus hyperbolique  ===
{{Définition
  | contenu ={{Wikipédia|Sinus hyperbolique}}
[[Fichier:Sinh.png|center|thumb|upright=2]]
On définit la fonction '''sinus hyperbolique''', notée '''sinh''', par
:<math>
\begin{array}{ccccc}
\sinh&:&\R&\rightarrow&\R\\
~&~&x&\mapsto&\displaystyle{\frac{\operatorname e^x-\operatorname e^{-x}}2}.
\end{array}
</math>
}}


{{Remarque
  | contenu =
La courbe contient une symétrie centrale avec le point de coordonnées (0,0) ou y(-x) = -y(x) : la fonction sinus hyperbolique est '''impaire'''.
}}

=== Tangente hyperbolique  ===
{{Définition
  | contenu ={{Wikipédia|Tangente hyperbolique}}
[[Fichier:Tanh.png|center|thumb|upright=2]]
On définit la fonction '''tangente hyperbolique''', notée '''tanh''', par
:<math>
\begin{array}{ccccc}
\tanh&:&\R&\to&\R\\
~&~&x&\mapsto&\displaystyle{\frac{\sinh x}{\cosh x}}.
\end{array}
</math>}}


{{Remarque
  | contenu =
La fonction tangente hyperbolique est '''impaire'''.}}

== Propriétés ==
=== Somme et exponentielle ===
{{Propriété|titre=Somme et différence du cosinus hyperbolique et du sinus hyperbolique|contenu=
:<math>\forall x\in\R\quad\cosh x+\sinh x=\operatorname e^x\text{ et }\cosh x-\sinh x=\operatorname e^{-x}</math>.
}}

{{Démonstration déroulante|contenu=
Vérifions la première identité (le calcul pour la seconde est analogue).
:<math>\cosh x+\sinh x=\frac{\operatorname e^x+\operatorname e^{-x}}2+\frac{\operatorname e^x-\operatorname e^{-x}}2=\frac{\operatorname e^x+\operatorname e^{-x}+\operatorname e^x-\operatorname e^{-x}}2=\frac{2\operatorname e^x}2=\operatorname e^x</math>.
}}

=== Relation fondamentale  ===
{{Théorème|contenu=
:<math>\cosh^2-\sinh^2=1</math>.
}}

{{Démonstration déroulante|contenu=
:<math>\cosh^2x-\sinh^2x=(\cosh x+\sinh x)(\cosh x-\sinh x)=\operatorname e^x\operatorname e^{-x}=1</math>.
}}

Cette relation possède une [[Trigonométrie hyperbolique/Compléments géométriques|interprétation géométrique]].

=== Dérivabilité ===
{{Propriété|contenu=
Les fonctions <math>\cosh</math>, <math>\sinh</math> et <math>\tanh</math> sont dérivables sur <math>\R</math> et :
* <math>\cosh'=\sinh</math> ;
* <math>\sinh'=\cosh</math> ;
* <math>\tanh'=\frac1{\cosh^2}=1-\tanh^2</math>.
}}

=== Variations ===
{{Propriété|contenu=
*<math>\sinh</math> est strictement croissante (sur <math>\R</math>).
*<math>\cosh</math> est strictement décroissante sur <math>\R^-</math> et strictement croissante sur <math>\R^+</math>.
*<math>\tanh</math> est strictement croissante (sur <math>\R</math>).
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soit <math>x\in\R</math>
* Variations de <math>\sinh</math> :
** <math>\sinh'x=\frac{\operatorname e^x+\operatorname e^{-x}}2>0</math> donc <math>\sinh</math> est strictement croissante.
**De plus, <math>\sinh0=0</math> donc <math>\sinh x</math> est du signe de <math>x</math> (au sens strict).
* Variations de <math>\cosh</math> :
** <math>\cosh'x=\sinh x</math> est du signe de <math>x</math> au sens strict.
** Donc <math>\cosh</math> est strictement décroissante sur <math>\R^-</math> et strictement croissante sur <math>\R^+</math>.
* Variations de <math>\tanh</math> :
**<math>\tanh'x=\frac1{\cosh^2x}>0</math> donc <math>\tanh</math> est strictement croissante.
}}
<br />
{{Propriété|contenu=
<math>\cosh</math> est [[Étude et tracé d'une fonction/Domaine de définition, limites et asymptotes#Fonction paire|paire]] ;
<math>\sinh</math> et
<math>\tanh</math> sont [[Étude et tracé d'une fonction/Domaine de définition, limites et asymptotes#Fonction impaire|impaires]].
}}
(Démonstration immédiate.)

=== Limites ===
{| class="wikitable"
! Limite en <math>-\infty</math> !! Limite en <math>+\infty</math>
|-
|<math>\lim_{-\infty}\cosh=+\infty</math>
|<math>\lim_{+\infty}\cosh=+\infty</math>
|-
|<math>\lim_{-\infty}\sinh=-\infty</math>
|<math>\lim_{+\infty}\sinh=+\infty</math>
|-
|<math>\lim_{-\infty}\tanh=-1</math>
|<math>\lim_{+\infty}\tanh=1</math>
|}

{{Démonstration déroulante|contenu=
En <math>+\infty</math>, <math>x\mapsto\operatorname e^{-x}</math> est [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison|dominée]] par <math>x\mapsto\operatorname e^x</math> donc <math>\sinh</math> et <math>\cosh</math> sont [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison|équivalentes]] à <math>x\mapsto\frac{\operatorname e^x}2</math>. Donc elles tendent vers <math>+\infty</math> et leur quotient, <math>\tanh</math>, tend vers <math>1</math>.

Les limites en <math>-\infty</math> s'en déduisent, par parité de <math>\cosh</math> et imparité de <math>\sinh</math> et <math>\tanh</math>.
}}

== Comparaison avec la trigonométrie circulaire  ==
On remarque une grande symétrie des définitions entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :

{| class="wikitable"
! Trigonométrie circulaire !! Trigonométrie hyperbolique
|-
|<math>\cos x=\frac{\operatorname e^{\mathrm ix}+\operatorname e^{-\mathrm ix}}2</math>
|<math>\cosh x=\frac{\operatorname e^x+\operatorname e^{-x}}2</math>
|-
|<math>\sin x=\frac{\operatorname e^{\mathrm ix}-\operatorname e^{-\mathrm ix}}{2\mathrm i}</math>
|<math>\sinh x=\frac{\operatorname e^x-\operatorname e^{-x}}2</math>
|-
|<math>\tan=\frac{\sin}{\cos}</math>
|<math>\tanh=\frac{\sinh}{\cosh}</math>
|-
|<math>\cos^2+\sin^2=1</math>
|<math>\cosh^2-\sinh^2=1</math>
|-
|<math>\cos'=-\sin</math>
|<math>\cosh'=\sinh</math>
|-
|<math>\sin'=\cos</math>
|<math>\sinh'=\cosh</math>
|-
|<math>\tan'=\frac1{\cos^2}=1+\tan^2</math>
|<math>\tanh'=\frac1{\cosh^2}=1-\tanh^2</math>
|}

On se demande alors s'il n'y aurait pas un moyen pratique facile de passer d'une trigonométrie à l'autre.

{{principe|titre=« Recette de cuisine »
  | contenu =
On connaît une formule de trigonométrie circulaire et on aimerait trouver un équivalent en trigonométrie hyperbolique.
#On écrit la formule en trigonométrie circulaire.
#On remplace :
#* '''sin''' par '''i sinh''', où '''i'''{{exp|2}} = –1
#* '''cos''' par '''cosh'''
#* '''tan''' par '''i tanh'''
#:Les '''i doivent se simplifier''' et l'on obtient la formule en trigonométrie hyperbolique.
#On '''fait la preuve''' de la formule en utilisant les exponentielles, maintenant qu'on sait dans quelle direction faire le calcul.
}}

{{Exemple
  | contenu =
Soit <math>x\in\R</math>. On voudrait exprimer <math>\sinh(2x)</math> en fonction de <math>\sinh x</math> et <math>\cosh x</math> :
#<math>\sin(2x)= 2\sin x\cos x</math>
#On effectue les remplacements : '''i sinh'''(2''x'') = 2'''i sinh'''''x'' '''cosh'''''x'' donc '''sinh'''(2''x'') = 2 '''sinh'''''x'' '''cosh'''''x''
#On fait la preuve :
#:<math>\begin{align}
2\sinh x\cosh x&=2\frac{(\operatorname e^x-\operatorname e^{-x})}2\frac{(\operatorname e^x+\operatorname e^{-x})}2\\
&=\frac12(\operatorname e^{2x}-\operatorname e^{-2x})\\
&=\sinh(2x).
\end{align}</math>
}}

== Lien avec la trigonométrie complexe  ==
Les fonctions <math>\cos</math>, <math>\sin</math>, <math>\cosh</math> et <math>\sinh</math> sont définies {{supra|Comparaison avec la trigonométrie circulaire}} à partir de la fonction exponentielle donc sont en fait, comme elle, définies non seulement sur <math>\R</math> mais sur <math>\Complex</math>, et sont alors (par définition même) reliées par les formules suivantes :
{{Propriété|titre=Relations entre fonctions circulaires et fonctions hyperboliques|contenu=
Pour tout nombre complexe <math>z</math>,
: <math>\cos z=\cosh(\mathrm iz)\quad\text{et}\quad\mathrm i\sin z=\sinh(\mathrm iz)</math>
ou encore :
: <math>\cosh z=\cos(\mathrm iz)\quad\text{et}\quad\sinh z=-\mathrm i\sin(\mathrm iz).</math>
}}

{{Démonstration déroulante|contenu=
Les deux premières identités résultent directement des expressions de <math>\cos</math>, <math>\sin</math>, <math>\cosh</math> et <math>\sinh</math> en termes d'exponentielles. Les deux autres s'en déduisent par changement de variable : si <math>Z=\mathrm iz</math> alors <math>z=\frac1{\mathrm i}Z=-\mathrm iZ</math> et les deux premières formules deviennent :
:<math>\cosh Z=\cos(-\mathrm iZ)</math> et <math>\sinh Z=\mathrm i\sin(-\mathrm iZ)</math>
donc par parité de <math>\cos</math> et imparité de <math>\sin</math> (sur <math>\Complex</math> comme sur <math>\R</math>)
:<math>\cosh Z=\cos(\mathrm iZ)</math> et <math>\sinh Z=-\mathrm i\sin(\mathrm iZ)</math>.
}}

Ces relations expliquent et justifient la « recette de cuisine » de la section précédente et dispensent de sa troisième étape (« on fait la preuve »).

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Fonctions hyperboliques réciproques/]]
}}