Voir la source de Trigonométrie/Sinus dans un triangle rectangle

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 4
  | précédent = [[../Cosinus dans un triangle rectangle/]]
  | suivant   = [[../Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique/]]
  | niveau    = 12
}}


== ''Sinus'' et calculatrice ==

=== Calcul d’un sinus à l'aide d'une calculatrice ===

Connaissant un angle, on peut calculer son sinus avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, pour calculer '''<math>\sin{45^\circ}</math>''', on tape la séquence de touches suivante:

{| class="wikitable"
! Touche 1
! Touche 2
! Touche 3
!Touche 4
|-----
| sin
| 4
| 5
|EXE
|}


Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches suivante :

{| class="wikitable"
! Touche 1
! Touche 2
! Touche 3
|-----
| 4
| 5
| sin
|}

Il est important que votre calculatrice soit en mode « degrés », ce qui est signalé sur l'écran par un « D » ou « Deg ». Dans ce cas, le résultat du calcul est : '''<math>\sin{45}\approx 0{,}707</math>'''. 

Si vous obtenez 0,850 ou 0,649, votre calculatrice n’est pas en mode « degrés » et il faut donc l'activer.

=== Calcul d’un angle à partir de son ''sinus'' ===

Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, pour calculer '''<math>\sin{(?)}= 0{,}5</math>''', on tape la séquence de touches suivante :

{| class="wikitable"
!Touche 1
! Touche 2
! Touche 3
! Touche 4
!Touche 5
|-----
| ''2nd'' ou ''shift''
|sin
| 0
| <math>\cdot</math>
|5
|EXE
|}

Sur une calculatrice à calcul immédiat, pour calculer '''<math>\sin{(?)}= 0{,}5</math>''', on tape la séquence de touches suivante :

{| class="wikitable"
! Touche 1
! Touche 2
! Touche 3
! Touche 4
! Touche 5
|-----
| 0
| <math>\cdot</math>
| 5
|''2nd'' ou ''shift''
|sin
|}

Il est important que votre calculatrice soit en mode « degrés », ce qui est signalé sur l'écran par un « D » ou « Deg ». Dans ce cas, le résultat du calcul est : '''<math>\sin^{-1}(0{,}5)=30^\circ </math>'''. 

== Formule du sinus ==

Dans un triangle ABC rectangle en B, le sinus de l'angle <math>\hat A</math>
vaut :
<div style="text-align: center;">'''<math>\sin({\hat A})=\frac{BC}{AC}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}</math>'''.</div>

[[Fichier:Sinus de A.svg|thumb|center]]

=== Exemple 1 : Calcul d’un angle à partir du côté opposé et de l'hypoténuse ===

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = {{Unité|4|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} et AC = {{Unité|7|{{Abréviation|cm|centimètre}}}},
calculer <math>\hat A</math>.

{{Solution
  | contenu =
On a la formule :
:<math>\sin({\hat A})=\frac{BC}{AC}=\frac47\approx0{,}571</math>
et :
:<math>\hat A=\sin^{-1}(0{,}571)\approx35^\circ</math>.
}}

'''Remarques''' :

# Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le sinus.
# La notation '''<math>\sin^{-1}</math>''' est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrices du collège. Elle prête à confusion avec l''''inverse''' de la fonction sinus : '''<math>\frac1\sin</math>'''. Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation '''<math>\arcsin</math>''' ('''fonction réciproque''' de la fonction sinus).

=== Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et de l'hypoténuse ===

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : Â = 40° et AC = {{unité|7|cm}},
calculer <math>BC</math>.

{{Solution
  | contenu =
On a la formule : 
:<math>\sin({40})=\sin({\hat A})=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}7</math>
donc : 
:<math>BC = 7\times \sin({40}) \approx4{,}5 \ \mathrm{cm} </math>.
}}

=== Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté opposé ===

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : Â = 40° et BC = {{unité|4|cm}},
calculer <math>AC</math>.

{{Solution
  | contenu =
On a la formule : 
:<math>\sin({40})=\sin({\hat A})=\frac{BC}{AC}=\frac4{AC}</math>
donc : 
:<math>AC\times\sin({40})=4\ \mathrm{cm}</math>
donc : 
:<math>AC =\frac4{\sin({40})} \approx6{,}2 \ \mathrm{cm} </math>.
}}

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