Voir la source de Translation et homothétie/Exercices/Constructions

{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 5
  | précédent = [[../Lieux géométriques/]]
  | suivant   = [[../Expressions analytiques/]]
  | niveau    = 13
}}
__TOC__
{{Clr}}
== Exercice 5-1 ==
Soit <math>\mathcal D</math> et <math>\mathcal D'</math> deux droites sécantes.

Soit <math>I</math> un point extérieur à <math>\mathcal D</math> et <math>\mathcal D'</math>.

Déterminer un point <math>A</math> sur <math>\mathcal D</math> et un point <math>B</math> sur <math>\mathcal D'</math> tel que <math>I</math> soit le milieu de <math>[AB]</math>.
{{Solution|contenu=
<math>B</math> est à l'intersection de <math>\mathcal D'</math> et de la droite symétrique de <math>\mathcal D</math> par rapport à <math>I</math>, puis <math>A</math> est le symétrique de <math>B</math> par rapport à <math>I</math>.
}}

== Exercice 5-2 ==
Soient :
*<math>\mathcal C</math> un cercle, de centre <math>O</math> ;
*<math>A</math> un point de <math>\mathcal C</math> ;
*<math>B</math> le point défini par <math>\vec{OB}=\frac32\vec{OA}</math> ;
*<math>\mathcal D</math> la perpendiculaire à <math>(OB)</math> passant par <math>B</math> ;
Trouver un point <math>M</math> de <math>\mathcal D</math> et un point <math>N</math> de <math>\mathcal C</math> tels que <math>OAMN</math> soit un parallélogramme.

{{Boîte déroulante
  | titre = Aide
  | contenu =
On pourra commencer par montrer que le point <math>N</math> est l'intersection de deux lignes fixes.
}}

{{Solution|contenu=
Quand <math>M</math> décrit <math>\mathcal D</math>, le milieu <math>I</math> de <math>[OM]</math> décrit la parallèle <math>\mathcal D'</math> à <math>\mathcal D</math> passant par le point <math>H</math> défini par <math>\vec{OH}=\frac12\vec{OB}</math>, et le symétrique de <math>A</math> par rapport à <math>I</math> décrit la parallèle <math>\mathcal D''</math> à <math>\mathcal D'</math> (donc à <math>\mathcal D</math>) passant par le point <math>K</math> défini par <math>\vec{AK}=2\vec{AH}</math>, c'est-à-dire <math>\vec{OK}=\frac12\vec{OA}</math>. Les deux solutions <math>OAMN</math> s'obtiennent en plaçant <math>N</math> à l'intersection de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D''</math> (puis <math>M</math> de telle façon que <math>OAMN</math> soit un parallélogramme). Ce sont deux losanges, symétriques par rapport à <math>(OA)</math>.
}}

== Exercice 5-3 ==
On considère trois droites <math>\Delta_A</math>, <math>\Delta_B</math> et <math>\Delta_C</math>, concourantes en un point <math>G</math>.

On se propose de construire trois points <math>A\in\Delta_A</math>, <math>B\in\Delta_B</math> et <math>C\in\Delta_C</math> tels que le triangle <math>ABC</math> ait pour médianes <math>\Delta_A</math>, <math>\Delta_B</math> et <math>\Delta_C</math>. Pour cela, on procédera [[w:Raisonnement par analyse-synthèse|par analyse et synthèse]].

'''1°''' &nbsp;On suppose le problème résolu et la figure construite (on fera une figure approximative au brouillon). On note <math>A'</math> le milieu de <math>[BC]</math>. Quel est le rapport de :
:'''a)''' &nbsp;l'homothétie de centre <math>A</math> qui transforme <math>G</math> en <math>A'</math> ?
:'''b)''' &nbsp;l'homothétie de centre <math>A'</math> qui transforme <math>B</math> en <math>C</math> ?

'''2°''' &nbsp;Démontrez que tout point <math>A</math> de <math>\Delta_A</math>, autre que <math>G</math>, est le sommet d'un unique triangle répondant à la question. Expliquez et justifiez la construction du triangle <math>ABC</math>.
{{Solution|contenu=
'''1° &nbsp;a)''' &nbsp;<math>\frac32</math>.
:'''b)''' &nbsp;<math>-1</math>.
'''2°''' &nbsp;La seule possibilité est que <math>A'</math> soit obtenu par la première homothétie, puis que <math>B</math> soit à l'intersection de <math>\Delta_B</math> et de la symétrique de <math>\Delta_C</math> par rapport à <math>A'</math> (et que <math>C</math> soit le symétrique de <math>B</math> par rapport à <math>A'</math>). Le triangle <math>ABC</math> obtenu répond bien au problème car par construction, <math>\Delta_A=(GA)</math> est une médiane et <math>G</math> est le centre de gravité de <math>ABC</math> donc les deux autres médianes sont <math>(GB)=\Delta_B</math> et <math>(GC)=\Delta_C</math>.
}}

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