Voir la source de Topologie générale/Continuité et homéomorphismes

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 7
  | précédent = [[../Dénombrabilité/]]
  | suivant   = [[../Suites/]]  
  | niveau    = 16
}}
{{Wikipédia|Continuité (mathématiques)|Continuité}}
{{clr}}
Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon !
La notion de continuité s'est clarifiée au {{s|19}}, grâce notamment aux travaux de [[w:Augustin Louis Cauchy|Cauchy]].

== Limite ==
{{Définition|contenu=
{{Wikipédia|Limite (mathématiques)|Limite}}
Soient <math>X</math> et <math>Y</math> deux espaces topologiques, <math>A</math> une partie de <math>X</math>, <math>f:A\to Y</math> une application, <math>a</math> un point adhérent à <math>A</math> et <math>\ell</math> un point de <math>Y</math>.

On dit que <math>f</math> a pour limite <math>\ell</math> au point <math>a</math> si, pour tout voisinage <math>V</math> de <math>\ell</math>, il existe un voisinage <math>W</math> de <math>a</math> tel que <math>f(W\cap A)\subset V</math>.
}}

{{Proposition|contenu=
Sous les hypothèses de la définition :
*<math>\ell</math> est nécessairement adhérent à <math>f(A)</math> ;
*si <math>Y</math> est séparé et si une telle limite existe alors elle est unique, ce qui légitime dans ce cas la notation <math>\lim_af=\ell</math>.
}}

{{Démonstration déroulante|contenu=
Pour tout voisinage <math>W</math> de <math>a</math>, <math>f(W\cap A)</math> est inclus dans <math>f(A)</math> et (puisque <math>a\in\overline A</math>) non vide, donc :
*pour tout voisinage <math>V</math> de <math>\ell</math>, <math>V\cap f(A)</math> est non vide ;
*pour tous voisinages respectifs <math>V_1</math> et <math>V_2</math> de deux limites <math>\ell_1</math> et <math>\ell_2</math>, <math>V_1\cap V_2</math> est non vide (ce qui, si l'espace est séparé, prouve que <math>\ell_1=\ell_2</math>). En effet, il existe deux voisinages <math>W_1</math> et <math>W_2</math> de <math>a</math> tels que <math>f(W_i\cap A)\subset V_i</math> ; leur intersection <math>W</math> est alors un voisinage de <math>a</math> (donc <math>f(W\cap A)\ne\varnothing</math>) et <math>f(W\cap A)\subset{V_1\cap V_2}</math>.
}}

== Continuité en un point ==
{{Définition|contenu=
Soient <math>X</math> et <math>Y</math> deux espaces topologiques, <math>f:X\to Y</math> une application et <math>a</math> un point de <math>X</math>. On dit que <math>f</math> est continue au point <math>a</math> si <math>f</math> a pour limite <math>f(a)</math> au point <math>a</math>.
}}

{{Proposition|contenu=
<math>f</math> est continue au point <math>a</math> si et seulement si l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Image directe, image réciproque d’une partie par une application|image réciproque]] par <math>f</math> de tout voisinage de <math>f(a)</math> est un voisinage de <math>a</math> :
:<math>\forall V\in\mathcal V(f(a))\quad f^{-1}(V)\in\mathcal V(a)</math>.
}}

{{Corollaire|contenu=
Si <math>f</math> est continue au point <math>a</math> et <math>g</math> est continue au point <math>f(a)</math>, alors <math>g\circ f</math> est continue au point <math>a</math>.}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Soit <math>b=f(a)</math>. Pour tout <math>W\in\mathcal V((g\circ f)(a))=\mathcal V(g(b))</math>, on a <math>V:=g^{-1}(W)\in\mathcal V(b)=\mathcal V(f(a))</math> donc <math>(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(V)\in\mathcal V(a)</math>.
}}

{{Exemple|contenu=
L'application <math>\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto\begin{cases}\frac{\sin\left(x^2+y^2\right)}{x^2+y^2}&\text{si }(x,y)\ne(0,0)\\1&\text{si }(x,y)=(0,0)\end{cases}</math> est continue au point <math>(0,0)</math> car égale à <math>g\circ f</math>, avec <math>f:\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto x^2+y^2</math> continue au point <math>(0,0)</math> et <math>g:\R\to\R,\;t\mapsto\begin{cases}\frac{\sin t}t&\text{si }t\ne0\\1&\text{si }t=0\end{cases}</math> continue au point <math>f(0,0)=0</math>.
}}

== Continuité globale ==
Soient <math>X</math> et <math>Y</math> deux espaces topologiques et <math>f:X\to Y</math> une application. 
{{Définition|contenu=
On dit que <math>f</math> est
*continue (sur <math>X</math>) si elle est continue en tout point de <math>X</math> ;
*un homéomorphisme lorsqu'elle est bijective et que <math>f</math> et <math>f^{-1}</math> sont continues.
}}

{{Proposition|contenu=
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
#l'application <math>f</math> est continue ;
#l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Image directe, image réciproque d’une partie par une application|image réciproque]] par <math>f</math> de tout ouvert de <math>Y</math> est un ouvert de <math>X</math> ;
#l'image réciproque par <math>f</math> de tout fermé de <math>Y</math> est un fermé de <math>X</math> ;
#pour toute partie <math>A</math> de <math>X</math>, <math>f(\overline A)\subset\overline{f(A)}</math> ;
#pour toute partie <math>B</math> de <math>Y</math>, <math>\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\overline B)</math> ;
#pour toute partie <math>C</math> de <math>Y</math>, <math>\operatorname{Fr}\left(f^{-1}(C)\right)\subset f^{-1}\left(\operatorname{Fr}(C)\right)</math>.
}}

{{Démonstration déroulante|contenu=
*1 ⇔ 2 : d'après la définition locale, ''f'' est continue en ''a'' si et seulement si, pour tout ouvert ''O'' de ''Y'' tel que ''a'' appartienne à ''f''<sup>–1</sup>(''O''), ''f''<sup>–1</sup>(''O'') est voisinage de ''a''. Donc ''f'' est continue en tout point si et seulement si, pour tout ouvert ''O'' de ''Y'', ''f''<sup>–1</sup>(''O'') est voisinage de chacun de ses points, c'est-à-dire est ouvert.
*2 ⇔ 3 : par passage aux complémentaires.
*3 ⇒ 5 : en posant ''G = {{surligner|B}}''.
*5 ⇒ 4 : en posant ''B = f''(''A'') et en utilisant le fait que ''A'' est inclus dans ''f ''<sup>–1</sup>(''f''(''A'')).
*4 ⇒ 3 : en posant ''A = f ''<sup>–1</sup>(''G'') et en utilisant le fait que ''f''(''f ''<sup>–1</sup>(''G'')) est inclus dans ''G''.
Les propriétés 1 à 5 sont donc équivalentes. Enfin :
*5 ⇒ 6 : en appliquant 5 à ''B = C'' et à ''B = Y''\''C'' et en prenant l'intersection membre à membre de part et d'autre des deux inclusions obtenues ;
*6 ⇒ 3 : en utilisant qu'une partie est fermée si et seulement si elle contient sa frontière.
}}


{{Exemple|contenu=1 ⇒ 2 (resp. 1 ⇒ 3) est souvent utile pour démontrer :
*qu'une partie est ouverte (resp. fermée). Par exemple, tout [[w:Hyperplan#Hyperplans affines|hyperplan affine]] de <math>\R^n</math> est de la forme <math>H=\{x\in\R^n\mid f(x)=c\}</math> avec <math>c\in\R</math> et <math>f\ne0</math> [[Application linéaire/Définitions#Applications linéaires particulières|forme linéaire]] sur <math>\R^n</math> ([[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Espaces vectoriels normés de dimension finie|nécessairement continue]]), donc <math>H</math> est un fermé de <math>\R^n</math> ;
*qu'elle ne l'est pas. Par exemple dans <math>\R^2</math>, <math>A:=\{(x,y)\in\R^2\mid|x|=1,|y|\ne1\}</math> et <math>B:=\{(x,y)\in\R^2\mid|x|<1,|xy|=1\}</math> ne sont ni ouverts, ni fermés car dans <math>\R</math>, <math>[x\mapsto(x,0)]^{-1}(A)=\{-1,1\}</math> et <math>[x\mapsto(x,2)]^{-1}(B)=\{-1/2,1/2\}</math> ne sont pas ouverts et <math>[y\mapsto(1,y)]^{-1}(A)=\R\setminus\{-1,1\}</math> et <math>[t\mapsto(\mathrm e^t,\mathrm e^{-t})]^{-1}(B)=\left]-\infty,0\right[</math> ne sont pas fermés.
}}

== Continuité et espaces produits ==
{{Propriété|contenu=
Soient <math>(X_i,\mathcal T_i)_{i\in I}</math> une famille d'espaces topologiques, <math>(X,\mathcal T)</math> l'[[../Espace produit|espace produit]] et <math>Y</math> un espace topologique.
*Les projections canoniques <math>p_i:X\to X_i\quad (i\in I)</math> sont à la fois :
**continues (l'image réciproque d'un ouvert de <math>X_i</math> est un ouvert de <math>X</math>) ;
**[[w:Applications ouvertes et fermées|ouvertes]] (l'image directe d'un ouvert de <math>X</math> est un ouvert de <math>X_i</math>).
*Une application <math>f:Y\to X</math> est continue si et seulement si ses composantes <math>p_i\circ f:Y\to X_i</math> le sont.
*Si une application <math>g:X\to Y</math> est continue alors ses applications partielles le sont (l'application partielle associée à un point <math>a\in X</math> et à indice <math>i</math> étant : <math>X_i\to Y,\ t\mapsto g(x)</math> où <math>x_i=t</math> et <math>\forall j\ne i\quad x_j=a_j</math>).
}}
{{Exemple|contenu=
L'application <math>\mathrm M_n(\R)\to\mathrm M_n(\R),\;A\mapsto A^2</math> est continue car ses <math>n^2</math> composantes <math>\mathrm M_n(\R)\to\R</math> le sont, en tant que fonctions polynomiales (homogènes de degré 2) en les éléments de la matrice.
}}

== Caractérisation séquentielle  ==
{{Wikipédia|Espace à bases dénombrables de voisinages}}
Si tout point de <math>X</math> admet une [[../Bases#Base de voisinages|base de voisinages]] (finie ou) dénombrable — ''en particulier si <math>X</math> est un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]]'' — on dispose de caractérisations plus intuitives de l'adhérence et de la continuité :

{{Proposition|contenu=
Si tout point de <math>X</math> admet une base dénombrable de voisinages, alors, pour tout point <math>a</math> et toute partie <math>A</math> de <math>X</math> :
#<math>a</math> est adhérent à <math>A</math> (si et) seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de <math>A</math> ;
#si <math>a</math> est adhérent à <math>A</math>, une application <math>f:A\to Y</math> a pour limite <math>\ell</math> au point <math>a</math> si (et seulement si) pour toute suite <math>(a_n)</math> dans <math>A</math> de limite <math>a</math>, la suite <math>(f(a_n))</math> a pour limite <math>\ell</math>.
#par conséquent, une application <math>f:X\to Y</math> est continue au point <math>a</math> si (et seulement si) pour toute suite <math>(a_n)</math> de limite <math>a</math>, la suite <math>(f(a_n))</math> a pour limite <math>f(a)</math>.
}}

{{Démonstration déroulante|contenu=
Soit <math>(V_n)_{n\in\N}</math> une base de voisinages de <math>a</math>, que l'on peut supposer décroissante (quitte à remplacer chaque <math>V_n</math> par son intersection avec les <math>V_m</math> précédents). Le principe est que toute suite <math>(a_n)</math> telle que <math>\forall n\in\N\quad a_n\in V_n</math> converge alors vers <math>a</math>.
#Si <math>a</math> est adhérent à <math>A</math>, comme chaque <math>V_n</math> rencontre <math>A</math>, on peut choisir a<math>_n\in V_n\cap A</math>.
#Raisonnons par contraposition. Si <math>\ell</math> n'est pas limite de <math>f</math> en <math>a</math>, il existe un voisinage <math>V</math> de <math>\ell</math> dont l'image réciproque ne contient aucun <math>V_n\cap A</math>. En choisissant dans chaque <math>V_n\cap A</math> un <math>a_n</math> tel que <math>f(a_n)\notin V</math>, on construit une suite de limite <math>a</math> dont l'image n'admet pas <math>\ell</math> pour limite.
}}

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