Voir la source de Théorie élémentaire des corps

{{Leçon du jour
  | idfaculté = mathématiques
  | département=Algèbre
  | niveau    = 16
}}
La théorie des corps est à la base de toute l'algèbre et donne lieu à l'importante {{w|théorie de Galois}}, qui s'avère être à la base de techniques fondamentales dans tous les domaines des mathématiques. 
Rappelons tout d’abord la définition d'un corps et donnons les premières propriétés immédiates de ces objets.
{{Clr}}

{{Définition
  | contenu =
On appelle [[Corps commutatif|corps]] un [[Anneau (mathématiques)|anneau '''commutatif''']] <math>k</math> tel que le [[monoïde]] multiplicatif des éléments non nuls de <math>k</math> soit un [[Théorie des groupes|groupe]].
}}
Notons que nous avions pris la convention qu'un corps est toujours commutatif, on préfèrera le terme de [[w:Corps gauche|corps gauche]] pour parler d'un corps non commutatif. De plus on suppose toujours que <math>1\neq 0</math> c'est-à-dire que le corps n’est pas réduit à l'unique élément <math>0</math>. Un morphisme de corps sera un morphisme d'anneau entre corps.
{{Propriété
  | contenu =
Soit <math>k</math> un corps et <math>A \neq \{0\}</math> un anneau, un [[Anneau (mathématiques)/Morphismes d'anneaux|morphisme d'anneaux]] de <math>k </math> dans <math>A</math> est toujours injectif.
}}

{{Démonstration déroulante
  | contenu =
Si <math>\phi(x)=0</math> avec <math>x \neq 0</math> on aurait <math>1=\phi(1)=\phi(xx^{-1})=0</math> et <math>A </math> serait nul, ce qui est exclu.}}

== Extension de corps ==
{{Définition|contenu ={{Wikipédia|Extension de corps}} Soit <math>k</math> un corps. On appelle '''extension de <math>k</math>''' tout corps <math>K</math> tel qu’il existe un morphisme de corps de <math>k</math> dans <math>K</math>. On notera alors <math>K/k</math>.
}}

{{Remarque|contenu = Si <math>k</math> est un sous-corps de <math>K</math>, alors <math>K</math> est une extension de <math>k</math>. (Il suffit de considérer l'injection canonique de <math>k</math> dans <math>K</math>.)
}}

Réciproquement :

{{Lemme|contenu = Si <math>K</math> est une extension de <math>k</math>, alors <math>k</math> est isomorphe à un sous-corps de <math>K</math>.}}

{{Démonstration déroulante|contenu = Soit <math>K</math> une extension de <math>k</math>, alors il existe un homomorphisme de corps <math>\phi</math> de <math>k</math> dans <math>K</math>. <math>\phi</math> est un homomorphisme de corps donc il est injectif. De plus, <math>\phi</math> est surjectif sur <math>k'=\phi(k)</math> qui est un sous-corps de <math>K</math> donc <math>\phi</math> est une bijection de <math>k</math> sur <math>k'</math>.
}}

On fait le choix d’identifier <math>k</math> et le sous-corps de <math>K</math> isomorphe, si bien que par abus de langage on dira que <math>k</math> est un sous-corps de <math>K</math>.

{{Exemple|contenu = <math>\Complex</math> est une extension de <math>\R</math> qui est elle-même une extension de <math>\Q</math>.}}

== Degré d'une extension ==
{{Lemme|contenu = Soit <math>K/k</math> une extension. Alors, <math>K</math> est une [[Algèbre sur un corps|<math>k</math>-algèbre]].}}

{{Définition|contenu = On appelle '''degré de l'extension <math>K</math> de <math>k</math>''' noté <math>[K:k]</math>, la dimension de <math>K</math> comme <math>k</math>-[[espace vectoriel]].}}

{{Propriété|titre=Formule de la base télescopique
 | contenu =
Soit <math>L/K</math>, et <math>K/k</math> deux extensions de corps, alors 
:<math>[L:k]=[L:K][K:k]</math>.
}}

{{Démonstration déroulante
  | contenu =
Si (''x{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} est une ''K''-base de ''L'' et (''y{{ind|j}}''){{ind|''j''∈''J''}}  une ''k''-base de ''K'', alors la famille des produits ''x{{ind|i}} y{{ind|j}}'', indexée par ''I × J'', est une ''k''-base de ''L''.
}}{{Cours/Référents}}