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{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | niveau    = 12
  | numéro    = 5
  | précédent = [[../Moyennes de deux séries/]]
}}

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Au début de l'année 2010, elle prélève un échantillon dans sa production afin d'en vérifier la masse, en grammes :

{| class="wikitable"
! Masse (g)
| 96
| 97
| 98
| 99
| 100
| 101
| 102
| 103
|-
! Effectif
| 5
| 6
| 9
| 13
| 32
| 16
| 5
| 4
|}

<ol>
<li>
<ol>
<li>
Déterminer la médiane et l'intervalle interquartile. Calculer l'écart interquartile.
</li>
<li>
Dessiner sur le même schéma que ci-dessous le diagramme en boite de cette série.
</li>
</ol>
</li>
Un échantillon représentatif de même taille a été prélevé fin 2009. Son diagramme en boite se trouve ci-dessous :

<p>[[File:Box plot - fr.jpg|400px]]</p>

Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes, en justifiant votre réponse.
<ol>
<li>
En fin 2009, environ trois quart des tablettes de chocolat avaient une masse supérieure à 101,5 g.
</li>
<li>
L'écart interquartile a été réduit de moitié entre fin 2009 et début 2010.
</li>
<li>
La moitié des tablettes vendues en 2009 ont une masse inférieure à celle de plus de trois quart de celles vendues en 2010.
</li>
</ol>
<li>
Calculer la masse moyenne {{surligner|''x''}}, ainsi que l'écart type ''&sigma;'' des tablettes de cet échantillon et arrondir au dixième.
</li>
</ol>

{{Solution|contenu=
<ol>
<li>
<ol>
<li>
{{Entête tableau charte}}
{{!}} Masse (g)
{{!}} Effectifs
{{!}} Effectifs cumulés croissants
{{!}}-
{{!}} 96
{{!}} 5
{{!}} 5
{{!}}-
{{!}} 97
{{!}} 6
{{!}} 11
{{!}}-
{{!}} 98
{{!}} 9
{{!}} 20
{{!}}-
{{!}} 99
{{!}} 13
{{!}} 33
{{!}}-
{{!}} 100
{{!}} 32
{{!}} 65
{{!}}-
{{!}} 101
{{!}} 16
{{!}} 81
{{!}}-
{{!}} 102
{{!}} 5
{{!}} 86
{{!}}-
{{!}} 103
{{!}} 4
{{!}} 90
{{Bas de page tableau charte}}

Pour calculer la médiane, on a :

:<math>\frac{90}{2}=45</math>

La médiane est la moyenne de la 45<sup>e</sup> et de la 46<sup>e</sup> valeur.

:<math>Me = \frac{100+ 100}{2}=100</math>

La médiane est donc 100 g.

Pour calculer l'écart interquartile, il faut le {{1er}} et le 3<sup>e</sup> quartile :

:<math>Q_1 = \frac{90}{4}=22,5</math>

Le {{1er}} quartile est la 23<sup>e</sup> valeur donc ''Q''<sub>1</sub> = 99 g.

:<math>Q_3 = \frac{3}{4} \times 90 = 67,5</math>

Le 3<sup>e</sup> quartile est la 68<sup>e</sup> valeur donc ''Q''<sub>3</sub> = 101 g.

On a donc :

:<math>\begin{align}
\text{ecart interquartile} &= Q_3 - Q_1 \\
&= 101 - 99 \\
&= 2 \ \text{g}
\end{align}</math>
</li>
<li>
On a le diagramme en boîte suivant :

<p>[[File:2 box plots - fr.jpg|400px]]</p>
</li>
</ol>
</li>
<ol>
<li>
Faux.

''Q''<sub>3</sub> = 101,5 g. donc trois quarts des tablettes ont une masse inférieure ou égale à 101,5 g.
</li>
<li>
En 2010, l’écart interquartile vaut 2. En 2009, ''Q''<sub>1</sub> = 97 g et ''Q''<sub>3</sub> = 101,5 g donc l'écart interquartile est 101,5 &minus 97 = 4,5.

L'écart interquartile en 2010 vaut {{sfrac|4,5|2}} = 2,25.

Donc l’écart interquartile a été réduit de moitié entre la fin de 2009 et le début de 2010.
</li>
<li>
En 2009, 50 % des tablettes ont une masse inférieure ou égale à 98 g. (''Me'' = 98 g.)
En 2010, 75 % des tablettes ont une masse supérieure ou égale à 99 g. (''Q''<sub>1</sub> = 99 g.)

C'est donc une affirmation vraie.
</li>
</ol>
<li>
On a calculé la moyenne avec :

:<math>\begin{align}
\bar{x} &= \frac{96 \times 5 + 97 \times 6 + \ldots + 103 \times 4}{90} \\
&\approx 99,7 \ \text{g}
\end{align}</math>

La moyenne est environ 99,7 g.

On a calculé l'écart type avec :

:<math>\begin{align}
\sigma &= \sqrt{\frac{5 \times (96 - 99,7)^2 + 6 \times (97 - 99,7)^2 + \ldots + 4 \times (103 - 99,7)^2}{90}} \\
&\approx 1,6
\end{align}</math>

L'écart type est environ 1,6.
</li>
</ol>
}}