Voir la source de Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Battements

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 6
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence/]]
  | suivant   = [[../Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques/]]
}}

== Addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements ==

{{Al|5}}On considère deux ondes électriques de grandeur vibrante « la tension aux bornes de deux G.B.F.<ref name="G.B.F."> Générateur Basse Fréquence.</ref> différents » de fréquences très voisines, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère deux ondes électriques }}l'une de fréquence «<math>\;f_1 = 1,00\, kHz\;</math>» et d'amplitude «<math>\;U_{m,\, 1} = 1,0\, V\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère deux ondes électriques }}l'autre de fréquence «<math>\;f_2 = 1,05\, kHz\;</math>» et d'amplitude «<math>\;U_{m,\, 2} = 1,0\, V\;</math>» ; <br>{{Al|5}}on observe chaque tension sur une voie différente de l'oscilloscope numérique et on visualise la somme de ces deux tensions grâce à l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur mathématique]] « addition » disponible sur l'oscilloscope ; <br>{{Al|5}}on observe le 1<sup>er</sup> oscillogramme ci-dessous dans lequel «<math>\;u_1(t)\;</math> est en rouge », «<math>\;u_2(t)\;</math> en bleu clair » et «<math>\;u_1(t) + u_2(t)\;</math> en noir » à la suite duquel est représenté <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe }}un 2<sup>ème</sup> oscillogramme dans lequel n'est laissé, pour une meilleur lisibilité de l'écran, que le signal résultant <math>\;\big\{</math>dans ce dernier oscillogramme a été ajoutée, en rouge, l'« [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure » du signal résultant <math>\;\big(</math>c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier<math>\big)</math>, l'« [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] inférieure » du signal résultant {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} la courbe reliant les minima du signal résultant<math>\big)</math>, n'étant pas représentée<ref> Dans le cas présent l'« [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] inférieure » du signal résultant est, en 1<sup>ère</sup> approximation, la symétrique, par rapport à l'axe des temps, de l'« [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure » de ce dernier.</ref><math>\big\}</math>.
[[File:Addition de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude.jpg|thumb|center|800px|<center>Observation de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude simultanément à leur somme</center>]]
[[File:Battement entre deux tensions sinusoïdales de même amplitude.jpg|thumb|center|800px|<center>Observation de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et de même amplitude, <br>[[w:Modulation_d'amplitude#Définition|modulation d'amplitude]] entre <math>\;0\;</math> et <math>\;2\;</math> fois l'amplitude</center>]]

{{Al|5}}On constate que, pour certains intervalles de temps <math>\;\big[</math>au voisinage de <math>\;t = 0\;</math> et de <math>\;t = 20\; ms\big]</math>, les tensions de fréquences très voisines étant quasiment en phase, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On constate que, pour certains intervalles de temps <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>au voisinage de <math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math> et de <math>\;\color{transparent}{t = 20\; ms\big]}</math>, }}l'« amplitude » de l'onde résultante est maximale égale à «<math>\;U_{m,\, 1} + U_{m,\, 2} = 2,0\, V\;</math>» alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|On constate que, }}pour certains autres intervalles de temps <math>\;\big[</math>au voisinage de <math>\;t = 10\; ms\big]</math>, elles sont quasiment en opposition de phase et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|On constate que, pour certains autres intervalles de temps <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>au voisinage de <math>\;\color{transparent}{t = 10\; ms\big]}</math>, }}l'« amplitude » de l'onde résultante est minimale égale à «<math>\;U_{m,\, 1} - U_{m,\, 2} = 0\, V\;</math>» ; <br>{{Al|5}}l'onde résultante est « pseudo-sinusoïdale » de fréquence <math>\;\simeq 1,0\, kHz\;</math> <ref> C.-à-d. la fréquence « quasi commune » de <math>\;u_1(t)\;</math> et <math>\;u_2(t)\;</math> mais on peut dire aussi que c'est la fréquence moyenne <math>\;\dfrac{f_1 + f_2}{2}</math>.</ref> avec une [[w:Modulation_d'amplitude#Définition|modulation d'« amplitude »]] à la fréquence <math>\;\simeq 50\, Hz\;</math> <ref> C.-à-d. la différence des fréquences de <math>\;u_1(t)\;</math> et <math>\;u_2(t)\;</math> soit <math>\;f_2 - f_1</math>, en effet la période observée de [[w:Modulation_d'amplitude#Définition|modulation d'amplitude]] est <math>\;20\, ms</math>.</ref>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|l'onde résultante est « pseudo-sinusoïdale » de fréquence <math>\;\color{transparent}{\simeq 1,0\, kHz}\;</math> avec une modulation }}l'« amplitude » variant entre «<math>\;U_{m,\, 1} - U_{m,\, 2} = 0\, V\;</math>» et «<math>\;U_{m,\, 1} + U_{m,\, 2} = 2,0\, V\;</math>» <ref> L'« [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure » <math>\;\big(</math>courbe passant par les maxima du signal résultant en lui étant tangent<math>\big)\;</math> est un « signal sinusoïdal [[w:Redresseur#Redressement_double_alternance|redressé double alternance]] » de fréquence <math>\;\simeq 50\, Hz\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. un signal égal à la valeur absolue d'un signal sinusoïdal de fréquence <math>\;\simeq 50\, Hz\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_gabarit_d'un_filtre,_2ème_partie#Définition_d'un_redresseur_double_alternance|définition d'un redresseur double alternance]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, elle aurait pu être déterminée physiquement mais elle a simplement été ajoutée au signal résultant obtenu sur oscilloscope.</ref>.

{{Définition|contenu={{Al|5}}Lorsque l'on forme l'<u>addition de deux signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines</u> on dit que l'on réalise <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lorsque l'on forme }}des « ''[[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre ces deux signaux'' », ceci veut dire que le signal résultant est « <u>pseudo-sinusoïdal</u> » 
* de fréquence égale à la fréquence quasi-commune et
* de « pseudo-amplitude » variant à la ''fréquence de [[w:Battement_(acoustique)|battements]]'' égale à la « <u>différence des fréquences</u> » <ref> Bien entendu la plus grande moins la plus petite.</ref>.}}
{{Al|5}}Il n'est pas nécessaire que les deux signaux soient de même amplitude pour réaliser des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre eux, il suffit qu'ils soient de fréquences très voisines ; <br>{{Al|5}}ci-dessous un 1<sup>er</sup> oscillogramme présentant des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre des signaux sinusoïdaux <math>\;u_1(t)\;</math> de fréquence <math>\;1,00\, kHz\;</math> et d'amplitude <math>\;2,0\, V\;</math> <math>\big(</math>en rouge sur l'oscillogramme<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessous un 1<sup>er</sup> oscillogramme présentant des battements entre des signaux sinusoïdaux }}<math>\;u_2(t)\;</math> de fréquence <math>\;1,05\, kHz\;</math> et d'amplitude <math>\;1,0\, V</math> <math>\;\big(</math>en bleu sur l'oscillogramme<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessous un 1<sup>er</sup> oscillogramme }}la fréquence des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] <math>\;\big(</math>en noir sur l'oscillogramme<math>\big)\;</math> est toujours la différence des fréquences mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessous un 1<sup>er</sup> oscillogramme }}la « pseudo-amplitude » varie maintenant entre <math>\;U_{m,\, 1} - U_{m,\, 2} = 1,0\, V\;</math> et <math>\;U_{m,\, 1} + U_{m,\, 2} = 3,0\, V\;</math> à la suite duquel est représenté <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessous }}un 2<sup>ème</sup> oscillogramme dans lequel n'est laissé, pour une meilleur lisibilité de l'écran, que le signal résultant <math>\;\big\{</math>avec l'ajout, en rouge, d'une approximation de l'« [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure » du signal résultant <math>\;\big(</math>c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier<math>\big)\;</math><ref> L'« [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure » n'a pas été déterminée physiquement mais approchée en l'assimilant à la somme d'une composante permanente de valeur <math>\;1,0\, V\;</math> et d'un « signal sinusoïdal » de fréquence <math>\;50\, Hz\;</math> et d'amplitude <math>\;1,0\, V</math> ; <br>{{Al|3}}la courbe obtenue n'étant pas parfaitement tangente au signal résultant, elle ne constitue donc qu'une approximation de l'« [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure », la variation de la pseudo-amplitude étant en fait périodique mais non sinusoïdale.</ref>, l'« [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] inférieure » du signal résultant <math>\;\big(</math>c.-à-d. la courbe reliant les minima du signal résultant<math>\big)</math>, n'étant pas représentée<math>\big\}</math>.

[[File:Addition de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes.jpg|thumb|center|800px|<center>Observation de deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes simultanément à leur somme</center>]]
[[File:Battement entre deux tensions sinusoïdales d'amplitudes différentes.jpg|thumb|center|800px|<center>Observation de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre deux tensions sinusoïdales de fréquences voisines et d'amplitudes différentes, <br>[[w:Modulation_d'amplitude#Définition|modulation d'amplitude]] entre la valeur absolue de la différence des amplitudes et la somme des amplitudes</center>]]

== Interprétation de l'onde résultante comme une onde pseudo-sinusoïdale de pseudo-amplitude à variation lente et périodique, fréquence de battements ==

=== Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude ===

{{Al|5}}On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude «<math>\;\left[ \begin{array}{c}s_1(t) = S_m\, \cos(2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1)\\s_2(t) = S_m\, \cos(2\, \pi\, f_2\, t + \varphi_2)\end{array} \right]\;</math>» avec «<math>\;f_2 > f_1\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le signal résultant «<math>\;s_{\text{tot}}(t) = s_1(t) + s_2(t) = S_m \left[ \cos(2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1) + \cos(2\, \pi\, f_2\, t + \varphi_2) \right]\;</math>» se réécrit, à l'aide de la formule de trigonométrie transformant une somme de cosinus en un produit de cosinus «<math>\;\cos(p) + \cos(q) = 2\, \cos\! \left( \dfrac{p + q}{2} \right)\, \cos\! \left( \dfrac{p - q}{2} \right)\;</math>» <ref> Se retrouve à partir des formules d'addition élémentaires «<math>\;\cos(a \mp b) = \cos(a)\, \cos(b) \pm \sin(a)\, \sin(b)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos(a + b) + \cos(a - b) =</math> <math>2\, \cos(a)\, \cos(b)\;</math>» soit encore, en posant <math>\;p = a + b\;</math> et <math>\;q = a - b\;</math> dont on tire <math>\;a = \dfrac{p + q}{2}\;</math> et <math>\;b = \dfrac{p - q}{2}</math>, la relation rappelée.</ref>, utilisée dans le but de faire apparaître un produit de fonctions du temps dont l'une varierait nettement plus lentement que l'autre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal résultant }}«<math>\;s_{\text{tot}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 + f_2}{2}\, t + \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right)\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 - f_2}{2}\, t + \dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \right)\;</math>» ; 

{{Al|5}}le 1<sup>er</sup> facteur en cosinus «<math>\;\cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 + f_2}{2}\, t + \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right)\;</math>» variant plus rapidement que le 2<sup>nd</sup> «<math>\;\cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 - f_2}{2}\, t + \dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \right)\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>«<math>\;\dfrac{f_1 + f_2}{2}\;</math> très grande par rapport à <math>\;\bigg\vert \dfrac{f_1 - f_2}{2} \bigg\vert\;</math>»<ref> La raison étant que les fréquences <math>\;f_1\;</math> et <math>\;f_2\;</math> sont voisines, ce qui peut s'écrire «<math>\;f_2 = f_1 \left( 1 + \varepsilon \right)\;</math> avec <math>\;\vert \varepsilon \vert \ll 1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \dfrac{f_1 + f_2}{2} \!\!&=&\!\! f_1 \left( 1 + \dfrac{\varepsilon}{2} \right)\\ \dfrac{f_1 - f_2}{2} \!\!&=&\!\! -f_1\; \dfrac{\varepsilon}{2} \end{array} \right\rbrace\;</math>» d'où «<math>\;\bigg\vert \dfrac{f_1 - f_2}{2} \bigg\vert \ll \dfrac{f_1 + f_2}{2}\;</math>».</ref><math>\bigg\}</math>, le 2<sup>nd</sup> facteur «<math>\;\cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 - f_2}{2}\, t + \dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \right)\;</math>» peut être considéré comme « quasi constant » pendant une période de variation du 1<sup>er</sup> «<math>\;\cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 + f_2}{2}\, t + \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right)\;</math>», d'où la réécriture du signal résultant en introduisant la « grandeur <math>\;S_{m,\, \text{tot}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 - f_2}{2}\, t + \dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \right)\;</math> quasi constante sur la période <math>\;T_{\text{résult}} = \dfrac{1}{f_{\text{moy}}}\;</math> avec <math>\;f_{\text{moy}} = \dfrac{f_1 + f_2}{2}\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal résultant }}«<math>\;s_{\text{tot}}(t) = S_{m,\, \text{tot}}(t)\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 + f_2}{2}\, t + \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right)\;</math>» avec «<math>\;S_{m,\, \text{tot}}(t)\;</math> qui se réécrit <math>\;S_{m,\, \text{tot}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right)\;</math>» <ref> On a utilisé la parité du cosinus pour faire apparaître <math>\;\dfrac{f_2 - f_1}{2} > 0\;</math> interprétable en fréquence.</ref> ; <br>{{Al|5}}le ''signal résultant'' est donc « <u>pseudo-sinusoïdal</u> » de «<math>\;\big(</math><u>pseudo-</u><math>\big)</math><u>fréquence</u> <math>\;f_{\text{résult}} = \dfrac{f_1 + f_2}{2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le ''signal résultant'' est donc « pseudo-sinusoïdal » }}de « <u>pseudo-amplitude</u> <math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}}(t) \vert = 2\, S_m\, \left\vert \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right) \right\vert\;</math>» <ref> On rappelle qu'une amplitude est nécessairement positive d'où la nécessité de prendre la valeur absolue de <math>\;S_{m,\, \text{tot}}(t)\;</math> ; <br>{{Al|3}}on vérifie qu'il s'agit bien d'un signal sinusoïdal redressé double alternance <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_gabarit_d'un_filtre,_2ème_partie#Définition_d'un_redresseur_double_alternance|définition d'un redresseur double alternance]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> de fréquence <math>\;2\, \dfrac{f_2 - f_1}{2} = f_2 - f_1\;</math> <math>\big(</math>le facteur <math>\;2\;</math> étant la conséquence du fait que le signal sinusoïdal redressé double alternance a une période moitié de celle du signal sinusoïdal<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le ''signal résultant'' est donc « pseudo-sinusoïdal » de « pseudo-amplitude }}<u>variant à la fréquence</u> dite <u>des [[w:Battement_(acoustique)|battements]]</u> «<math>\;f_{\text{battements}} = f_2 - f_1\;</math>»<ref> C.-à-d. la fréquence de la pseudo-amplitude <math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}}(t) \vert</math>.</ref>.

{{Al|5}}<u>Remarque</u> <math>\rightsquigarrow</math> <u>Contacts de l'[[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure avec le signal résultant</u> : reprenant les signaux de même amplitude du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#Addition_de_deux_ondes_électriques_de_fréquences_très_voisines,_notion_de_battements|addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements]] » plus haut dans ce chapitre «<math>\;s_1(t)\;</math> et <math>\;s_2(t)\;</math>»<ref> Lesquels étaient notés «<math>\;u_1(t)\;</math> et <math>\;u_2(t)\;</math>» dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#Addition_de_deux_ondes_électriques_de_fréquences_très_voisines,_notion_de_battements|addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, de « fréquences <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}f_1 = 1,00\, kHz \\ f_2 = 1,05\, kHz\end{array}\right\rbrace\;</math>», d'« amplitude commune <math>\;S_m = 1,0\, V\;</math>» et « en phase <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varphi_1 = 0\\ \varphi_2 = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>», on constate :

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : }}<math>\succ\;</math>pour «<math>\;t \in \left[ 0\, \text{;}\, 10\, ms \right]\;</math>», «<math>\;S_{m,\, \text{tot}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t \right) > 0\;</math> représente la pseudo-amplitude », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{t \in \left[ 0\, \text{;}\, 10\, ms \right]}\;</math>», }}le contact du signal résultant avec l'[[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure se fait aux instants «<math>\;t_p\;</math> vérifiant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{t \in \left[ 0\, \text{;}\, 10\, ms \right]}\;</math>», le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure }}<math>\;\cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 + f_2}{2}\, t_p \right) = 1\;</math>»<ref> On observe, sur le 2sup>ème</sup> oscillogramme des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre deux signaux de même amplitude du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#Addition_de_deux_ondes_électriques_de_fréquences_très_voisines,_notion_de_battements|addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements]] » plus haut dans ce chapitre, <math>\;11\;</math> contacts du signal résultant avec l'[[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure pour l'intervalle <math>\;\left[ 0\, \text{;}\, 10\, ms \right]</math>.</ref>,

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : }}<math>\succ\;</math>pour «<math>\;t \in \left[ 10\, ms\, \text{;}\, 30\, ms \right]\;</math>», «<math>\;S_{m,\, \text{tot}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t \right) < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> la pseudo-amplitude <math>\;-S_{m,\, \text{tot}}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{t \in \left[ 10\,ms \text{;}\, 30\, ms \right]}\;</math>», }}le contact du signal résultant avec l'[[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure se fait aux instants «<math>\;{t'}_{\!q}\;</math> vérifiant <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{t \in \left[ 10\, ms\, \text{;}\, 30\, ms \right]}\;</math>», le contact du signal résultant avec l'enveloppe sup }}<math>\;\cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 + f_2}{2}\, {t'}_{\!q} \right) = -1\;</math>»<ref> On observe, sur le 2sup>ème</sup> oscillogramme des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre deux signaux de même amplitude du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#Addition_de_deux_ondes_électriques_de_fréquences_très_voisines,_notion_de_battements|addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements]] » plus haut dans ce chapitre, <math>\;21\;</math> contacts du signal résultant avec l'[[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure pour l'intervalle <math>\;\left[ 10\, ms\, \text{;}\, 30\, ms \right]</math>.</ref>,

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : }}<math>\succ\;</math>pour «<math>\;t \in \left[ 30\, ms\, \text{;}\, 40\, ms \right]\;</math>», «<math>\;S_{m,\, \text{tot}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t \right) > 0\;</math> est de nouveau la pseudo-amplitude », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{t \in \left[ 30\,ms \text{;}\, 40\, ms \right]}\;</math>», }}le contact du signal résultant avec l'[[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure se fait aux instants «<math>\;t_p\;</math> vérifiant <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour «<math>\;\color{transparent}{t \in \left[ 30\, ms\, \text{;}\, 40\, ms \right]}\;</math>», le contact du signal résultant avec l'enveloppe sup }}<math>\;\cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 + f_2}{2}\, t_p \right) = 1\;</math>»<ref> On observe, sur le 2sup>ème</sup> oscillogramme des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre deux signaux de même amplitude du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#Addition_de_deux_ondes_électriques_de_fréquences_très_voisines,_notion_de_battements|addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements]] » plus haut dans ce chapitre, <math>\;11\;</math> contacts du signal résultant avec l'[[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure pour l'intervalle <math>\;\left[ 30\, ms\, \text{;}\, 40\, ms \right]</math>.</ref> ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : }}<math>\succ\;</math>pour «<math>\;t > 40\,ms\;</math>» les contacts du signal résultant avec l'[[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure se déterminent comme précédemment, le phénomène étant périodique de période <math>\;40\, ms\;</math> <math>\bigg\{</math>en effet la fréquence de <math>\;S_{m,\, \text{tot}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t \right)\;</math> étant <math>\;\dfrac{f_2 - f_1}{2} = 25\, Hz\;</math> est de période <math>\;40\, ms\;</math> <math>\Rightarrow</math> la pseudo-amplitude <math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}}(t) \vert</math> <math>= 2\, S_m\, \left\vert \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t \right) \right\vert\;</math> est de période <math>\;20\, ms\;</math> <math>\big(</math>correspondant aux deux phases successives étudiées ci-dessus<math>\big)</math>, son inverse définissant la fréquence des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] <math>\;f_2 - f_1 = 50\, Hz\bigg\}</math>.

=== Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentes ===

{{Al|5}}On considère maintenant deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes «<math>\;\left[ \begin{array}{c}s_1(t) = S_{m,\, 1}\, \cos(2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1)\\s_2(t) = S_{m,\, 2}\, \cos(2\, \pi\, f_2\, t + \varphi_2)\end{array} \right]\;</math>» avec «<math>\;f_2 > f_1\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le signal résultant «<math>\;s_{\text{tot}}(t) = s_1(t) + s_2(t) = S_{m,\, 1}\, \cos(2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1) + S_{m,\, 2}\, \cos(2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1)\;</math>» ne s'acquière plus par « utilisation de la trigonométrie » <ref> En effet nous n'avons plus de somme de cosinus.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal résultant }}peut s'obtenir par « diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel"> '''[[w:Augustin_Fresnel|Augustin Jean Fresnel]] (1788 - 1827)''' physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref name="diagramme de Fresnel à l'instant t"> En effet, lors de l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, le diagramme de Fresnel à l'instant <math>\;t\;</math> <math>\big\{</math>utilisant des vecteurs de Fresnel tournants <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Vecteur_de_Fresnel_tournant|vecteur de Fresnel tournant]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;</math> se déduit de celui à l'instant <math>\;0\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Amplitude_et_phase_initiale_résultantes_en_terme_de_vecteur_de_Fresnel|amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> par rotation d'angle <math>\;\omega\, t\;</math> <math>\big(</math>raison pour laquelle le diagramme de Fresnel à l'instant <math>\;t\;</math> est usuellement non utilisé au profit de celui à l'instant <math>\;0\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si les signaux sont de fréquences différentes mais très voisines, le vecteur de Fresnel tournant associé au signal de plus grande fréquence tourne légèrement plus rapidement que celui associé au signal de plus faible fréquence et par suite le diagramme de Fresnel à l'instant <math>\;t\;</math> se déforme lentement avec le temps, sa déformation lente pouvant être interprétée en termes de signal résultant « pseudo-sinusoïdal » dont la « pseudo-amplitude » peut alors être calculée.</ref> bien que cette méthode soit, a priori, réservée à l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal résultant peut s'obtenir }}par « grandeurs instantanées complexes » <ref name="lien entre grandeurs instantanées complexes et vecteurs de Fresnel tournants"> Une grandeur instantanée complexe n'étant rien d'autre que l'affixe d'un vecteur de Fresnel tournant dans le plan complexe <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'une grandeur instantanée complexe a pour image, dans le plan complexe, un vecteur de Fresnel tournant<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Lien_entre_grandeur_instantanée_complexe_et_vecteur_de_Fresnel_tournant|lien entre grandeur instantanée complexe et vecteur de Fresnel tournant]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}si on peut utiliser l'une des méthodes on peut se servir de l'autre <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Amplitude_et_phase_initiale_résultantes_en_terme_d'amplitude_complexe|amplitude et phase initiale en termes d'amplitude complexe]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » à adapter en termes de grandeurs instantanées complexes<math>\big\}</math>.</ref> ;

[[File:Diagramme de Fresnel pour battements entre signaux d'amplitudes différentes.jpg|thumb|400px|Détermination de la pseudo-amplitude du signal résultant de deux signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines et d'amplitudes différentes par tracé du diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire du plus lent]]
{{Al|5}}nous allons représenter le diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> « relativement à un axe <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> tournant à la même vitesse angulaire que le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> <math>\;\vec{S_1}(t)\;</math> <ref> Le vecteur de Fresnel <math>\;\vec{S_1}(t)\;</math> faisant l'angle <math>\;2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1\;</math> relativement à l'axe usuel <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>, nous choisissons un axe <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> tournant à la même vitesse angulaire que <math>\;\vec{S_1}(t)\;</math> et se confondant avec <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> à l'instant <math>\;0\;</math> c.-à-d. faisant, à l'instant <math>\;t</math>, l'angle <math>\;2\, \pi\, f_1\, t\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>, ce qui implique la fixité de <math>\;\vec{S_1}(t)\;</math> par rapport à <math>\;\overrightarrow{Ox'}</math>, l'angle que fait <math>\;\vec{S_1}(t)\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> étant alors <math>\;\varphi_1</math>.</ref> associé au signal <math>\;s_1(t) = S_{m,\, 1}\, \cos(2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{S_1}(t)\;</math><u>fixe par rapport à</u><math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math>» avec l'« angle orienté <math>\;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{Ox'}\,,\, \vec{S_1}(t) \right\rbrace} = \varphi_1\;</math>» ; <br>{{Al|5}}relativement à cet axe <math>\;\overrightarrow{Ox'}</math>, le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> <math>\;\vec{S_2}(t)\;</math> associé à l'autre signal <math>\;s_2(t) = S_{m,\, 2}\, \cos(2\, \pi\, f_2\, t + \varphi_2)\;</math> lequel peut être réécrit selon <math>\;s_2(t) = S_{m,\, 2}\, \cos\! \left\lbrace 2\, \pi\, f_1\, t + \left[ 2\, \pi \left( f_2 - f_1 \right) t + \varphi_2 \right] \right\rbrace\;</math> <u>tourne lentement à la vitesse angulaire</u><math>\;2\, \pi\, (f_2 - f_1)\;</math> <math>\big\{</math>en effet «<math>\;2\, \pi\, (f_2 - f_1) \ll 2\, \pi\, f_1\;</math>»<math>\big\}\;</math> avec l'« angle orienté <math>\;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{Ox'}\,,\, \vec{S_2}(t) \right\rbrace} = 2\, \pi \left( f_2 - f_1 \right) t + \varphi_2\;</math>» :

{{Al|5}}nous en déduisons l'angle que fait <math>\;\vec{S_2}(t)\;</math> avec <math>\;\vec{S_1}(t)\;</math> à la date <math>\;t\;</math> «<math>\;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{S_1}(t)\, \text{;}\, \overrightarrow{S_2}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{Ox'}\,,\, \vec{S_2}(t) \right\rbrace} - \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{Ox'}\,,\, \vec{S_1}(t) \right\rbrace}\;</math>» noté <math>\;\alpha(t)\;</math> sur le diagramme ci-contre «<math>\;\alpha(t) = \left[ 2\, \pi\, \left( f_2 - f_1 \right)\, t + \varphi_2 \right] - \varphi_1\;</math>» ou «<math>\;\alpha(t) = 2\, \pi\, (f_2 - f_1)\, t + (\varphi_2 - \varphi_1)\;</math>»<ref> Montrant, de nouveau, que <math>\;\vec{S_2}(t)\;</math> tourne lentement relativement à <math>\;\vec{S_1}(t)\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;2\, \pi\, (f_2 - f_1) \ll 2\, \pi\, f_1</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons }}et la norme du vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> <math>\;\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t) = \vec{S_1}(t) + \vec{S_2}(t)\;</math> en formant <math>\;\left[ \overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t) \right]^2 = \left[ \vec{S_1}(t) + \vec{S_2}(t) \right]^2 =</math> <math>\vec{S_1}^2 + \vec{S_2}^2 + 2\,  \vec{S_1}(t)\! \cdot\! \vec{S_2}(t)\;</math> ou <math>\;\left[ \overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t) \right]^2 = S_{m,\, 1}^2 + S_{m,\, 2}^2 + 2\, S_{m,\, 1}\, S_{m,\, 2}\, \cos\! \left[ \alpha(t) \right]\;</math> soit finalement <center>«<math>\;\left\Vert \overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t) \right\Vert = \sqrt{S_{m,\, 1}^2 + S_{m,\, 2}^2 + 2\, S_{m,\, 1}\, S_{m,\, 2}\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, (f_2 - f_1)\, t + (\varphi_2 - \varphi_1) \right]}\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}nous interprétons le diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> relativement à l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> tournant à la vitesse angulaire <math>\;2\, \pi\, f_1\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> de référence en observant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous interprétons }}le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence <math>\;f_1\;</math> et de « pseudo-amplitude » «<math>\;\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}(t) = \left\Vert \overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t) \right\Vert\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence <math>\;\color{transparent}{f_1}\;</math> et de « pseudo-amplitude » }}«<math>\;\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}(t) = \sqrt{S_{m,\, 1}^2 + S_{m,\, 2}^2 + 2\, S_{m,\, 1}\, S_{m,\, 2}\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, (f_2 - f_1)\, t + (\varphi_2 - \varphi_1) \right]}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence <math>\;\color{transparent}{f_1}\;</math> et de « pseudo-amplitude » }}variant « périodiquement » <ref> Mais non sinusoïdalement.</ref> à la fréquence «<math>\;f_{\text{battements}} = f_2 - f_1\;</math>» des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence <math>\;\color{transparent}{f_1}\;</math> et de « pseudo-amplitude » }}entre les valeurs minimale <math>\;\vert S_{m,\, 1} - S_{m,\, 2} \vert\;</math> correspondant aux instants <math>\;t_{\text{min},\, n}\;</math><ref> Définis par «<math>\;\alpha(t_{\text{min},\, n}) = 2\, \pi\, (f_2 - f_1)\, t_{\text{min},\, n} + (\varphi_2 - \varphi_1) \equiv \pi \!\!\pmod{2\, \pi}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous interprétons le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence <math>\;\color{transparent}{f_1}\;</math> et de « pseudo-amplitude » entre les valeurs }}maximale <math>\;S_{m,\, 1} + S_{m,\, 2}\;</math> correspondant aux instants <math>\;t_{\text{max},\, n}\;</math><ref> Définis par «<math>\;\alpha(t_{\text{max},\, n}) = 2\, \pi\, (f_2 - f_1)\, t_{\text{max},\, n} + (\varphi_2 - \varphi_1) \equiv 0 \!\!\pmod{2\, \pi}\;</math>».</ref> ;

{{Al|5}}nous pouvons également déterminer l'angle <math>\;\beta(t)\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. «<math>\;\beta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{Ox'}\,,\, \overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t) \right\rbrace}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons également déterminer l'angle <math>\;\color{transparent}{\beta(t)}\;</math> }}par projection de <math>\;\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t) = \vec{S_1}(t) + \vec{S_2}(t)\;</math> sur <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> et sur <math>\;\overrightarrow{Oy'}\;</math> directement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> <math>\big(</math>non représenté sur le diagramme ci-dessus<math>\big)\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons également déterminer l'angle <math>\;\color{transparent}{\beta(t)}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}(t)\, \cos\! \left[ \beta(t) \right] = S_{m,\, 1}\, \cos(\varphi_1) + S_{m,\, 2}\, \cos\! \left[ \alpha(t) + \varphi_1 \right]\\\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}(t)\, \sin\! \left[ \beta(t) \right] = S_{m,\, 1}\, \sin(\varphi_1) + S_{m,\, 2}\, \sin\! \left[ \alpha(t) + \varphi_1 \right]  \end{array} \right\rbrace\;</math>» ou, en explicitant <math>\;\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}(t)\;</math> et <math>\;\alpha(t) + \varphi_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons également déterminer l'angle <math>\;\color{transparent}{\beta(t)}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\cos\! \left[ \beta(t) \right] = \dfrac{S_{m,\, 1}\, \cos(\varphi_1) + S_{m,\, 2}\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, (f_2 - f_1)\, t + \varphi_2 \right]}{\sqrt{S_{m,\, 1}^2 + S_{m,\, 2}^2 + 2\, S_{m,\, 1}\, S_{m,\, 2}\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, (f_2 - f_1)\, t + (\varphi_2 - \varphi_1) \right]}}\\ \sin\! \left[ \beta(t) \right] = \dfrac{S_{m,\, 1}\, \sin(\varphi_1) + S_{m,\, 2}\, \sin\! \left[ 2\, \pi\, (f_2 - f_1)\, t + \varphi_2 \right]}{\sqrt{S_{m,\, 1}^2 + S_{m,\, 2}^2 + 2\, S_{m,\, 1}\, S_{m,\, 2}\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, (f_2 - f_1)\, t + (\varphi_2 - \varphi_1) \right]}}  \end{array} \right\rbrace\;</math>» d'où une valeur de <math>\;\beta(t)\;</math> à <math>\;2\, \pi</math> près et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons également déterminer }}l'expression du signal résultant selon «<math>\;s_{\text{tot}}(t) = \mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}(t)\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f_1\, t + \beta(t) \right]\;</math>».

{{Al|5}}<u>Remarque</u> : De façon à ne pas particulariser le signal <math>\;(1)\;</math> relativement au signal <math>\;(2)</math>, nous transformons l'argument du cosinus de l'expression de <math>\;s_{\text{tot}}(t) = \mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}(t)\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f_1\, t + \beta(t) \right]\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;2\, \pi\, f_1\, t + \beta(t) = 2\, \pi\, \dfrac{f_1 + f_2}{2}\, t - 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t + \beta(t)\;</math>» ou, en définissant la « fréquence moyenne <math>\;f_{\text{moy}} = \dfrac{f_1 + f_2}{2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;2\, \pi\, f_1\, t + \beta(t) = 2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t + \varphi_{\text{tot}}(t)\;</math>» où «<math>\;\varphi_{\text{tot}}(t) = \beta(t) - 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t\;</math> représente la pseudo-phase initiale résultante » et finalement le signal résultant se réécrit <center>«<math>\;s_{\text{tot}}(t) = \mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}(t)\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t + \varphi_{\text{tot}}(t) \right]\;</math>»<ref> Pour rappel, seule la pseudo-amplitude est importante, c'est elle qui permet de justifier la fréquence des [[w:Battement_(acoustique)|battements]], la pseudo-phase initiale résultante n'étant établie qu'à titre documentaire.</ref>.</center>
== Détermination de la différence relative de fréquences à partir d'un enregistrement de battements ==

{{Al|5}}Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on trace l'[[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure <math>\;\big(</math>ou l'[[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] inférieure<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, }}on détermine la période de cette dernière <math>\;\big(</math>ou la pseudo-période dans le cas où l'amortissement n'est pas négligeable<math>\big)\;</math><ref> Comme nous le voyons sur l'exemple de ce paragraphe où l'amortissement n'est pas négligeable, le tracé effectif d'une [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] n'est pas indispensable pour déterminer sa période <math>\;\big(</math>plus exactement sa pseudo-période<math>\big)\;</math> car bien souvent les pseudo-oscillations soulignent suffisamment les courbes les enveloppant.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine }}la période des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] <math>\;\big(</math>ou pseudo-période des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] en cas de présence d'amortissement<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on détermine }}son inverse, la « fréquence des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] <math>\;f_{\text{battements}} = \vert f_2 - f_1 \vert\;</math>» <math>\big(</math>ou pseudo-fréquence si présence d'amortissement<math>\big)\;</math><ref> Sa connaissance nous donne donc une information sur la valeur absolue de la différence des fréquences des signaux en [[w:Battement_(acoustique)|battements]] mais pas sur le signe de la différence.</ref> ;

{{Al|5}}{{Transparent|Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, }}on peut aussi déterminer la pseudo-période du signal résultant ainsi que son inverse la « pseudo-fréquence <math>\;f_{\text{résult}} = \dfrac{f_1 + f_2}{2}\;</math>»<ref> Dans la pratique l'enregistrement nécessite un effet de loupe <math>\;\big(</math>c.-à-d. une modification de l'échelle des temps de l'oscilloscope<math>\big)\;</math> car, sur une période de [[w:Battement_(acoustique)|battements]], il y a en général beaucoup trop de pseudo-oscillations pour que celles-ci soient discernables comme on peut le constater sur l'exemple de ce paragraphe.</ref> ;

{{Al|5}}{{Transparent|Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, }}on en déduit le rapport «<math>\;\dfrac{f_{\text{battements}}}{f_{\text{résult}}} = \dfrac{\vert f_2 - f_1 \vert}{\dfrac{f_1 + f_2}{2}}\;</math>» lequel se réécrit, en notant «<math>\;\Delta f = f_2 - f_1\;</math>», «<math>\;\dfrac{f_{\text{battements}}}{f_{\text{résult}}} \simeq \dfrac{\vert \Delta f \vert}{f_1} \simeq \dfrac{\vert \Delta f \vert}{f_2}\;</math>»<ref> En effet les fréquences des signaux étant très voisines l'une de l'autre <math>\;f_2 \simeq f_1\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{f_1 + f_2}{2} \simeq f_1 \simeq f_2\;</math>».</ref>.

[[File:Battements entre diapasons.jpg|thumb|600px|Observation de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre signaux émis par deux diapasons frappés simultanément, les signaux étant captés par un microphone positionné à égale distance des deux diapasons]]

{{Al|5}}<u>Expérience</u> : On enregistre, sur un oscilloscope numérique, le signal reçu par un microphone situé à égale distance de deux diapasons vibrant a priori à la même fréquence <math>\;f_0 = 264\, Hz\;</math> <ref> Il s'agit du « do<sup>3</sup> » <math>\;\big\{</math>voir les paragraphes « [[w:Octave_(musique)#Physique|physique]] (octave) » et « [[w:Octave_(musique)#Solfège|solfège]] » de l'article « [[w:Octave_(musique)|Octave (musique)]] » de wikipedia pour plus d'informations<math>\big\}</math>.</ref> et qui ont été frappés simultanément ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expérience : }}si les diapasons vibrent exactement à la même fréquence on n'observera pas de [[w:Battement_(acoustique)|battements]], l'observation de ces derniers prouvant un décalage en fréquences des diapasons ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Expérience : }}déterminant, sur l'enregistrement, les instants pour lesquels l'amplitude des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] est minimale, on en déduit la période puis la fréquence des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] : 

{{Al|5}}{{Transparent|Expérience : }}ci-contre les instants d'amplitude minimale sont : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expérience : ci-contre }}«<math>\;t_1 = 0,78\, s\;</math>», «<math>\;t_2 = 4,23\, s\;</math>» et «<math>\;t_3 = 7,72\, s\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expérience : ci-contre }}donnant une période de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] «<math>\;T_{\text{battements}} \simeq 3,47\, s\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expérience : ci-contre donnant }}une fréquence de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] «<math>\;f_{\text{battements}} \simeq 0,29\, Hz\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expérience : ci-contre donnant }}un écart relatif de fréquences des diapasons de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expérience : ci-contre donnant }}«<math>\;\dfrac{\vert \Delta f \vert}{f_0} \simeq \dfrac{f_{\text{battements}}}{f_{\text{résult}}} \simeq \dfrac{0,29}{264}\;</math>» <ref> Comme la fréquence commune des diapasons était connue, on n'a pas eu à la déterminer par pseudo-période du signal résultant comme indiqué dans le préambule ; compte-tenu du grand nombre de pseudo-périodes <math>\;T_0\;</math> contenues dans une période de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] <math>\;\dfrac{T_{\text{battements}}}{T_0} = T_{\text{battements}}\, f_0</math> <math>\simeq 3,47 \times 264 \simeq 1000\;</math> il aurait été nécessaire de changer la sensibilité de la base de temps d'au moins un facteur <math>\;10</math>.</ref> soit «<math>\;\dfrac{\vert \Delta f \vert}{f_0} \simeq 0,1\, \%\;</math>».

== Détermination qualitative de la différence relative de fréquences à partir d'une observation sensorielle directe ==

{{Al|5}}Dans le cas d'ondes sonores ce phénomène est <u>directement perceptible</u>, car <u>l'intensité acoustique</u> <math>\;I\;</math> <ref name="intensité acoustique, niveau acoustique"> L'intensité acoustique est la <u>puissance transportée par l'onde sonore par unité d'aire de section droite</u> <math>\;\big(</math>plus précisément par <math>\;m^2\;</math> de section droite<math>\big)</math>, l'intensité acoustique s'exprime donc en <math>\;W\! \cdot\! m^{-2}</math> ; <br>{{Al|3}}le seuil d'audibilité dans l'air par une oreille humaine pour un son sinusoïdal de <math>\;1\, kHz\;</math> étant <math>\;I_0 = 10^{-12}\, W\! \cdot\! m^{-2}\;</math> <math>\big(</math>ce qui est très faible<math>\big)</math>, on introduit une échelle logarithmique <math>\;\big(</math>à base d'un logarithme décimal<math>\big)\;</math> pour repérer l'intensité acoustique, ce qui définit le <u>niveau d'intensité acoustique</u> selon «<math>\;L_{dB} = 10\, \log\! \left( \dfrac{I}{I_0} \right)\;</math>», <br>{{Al|3}}les niveaux acoustiques étant respectivement pour :
* un « bruissement de feuilles <math>\;+20\,dB\;</math>», 
* une « conversation vive <math>\;+60\,dB\;</math>» ou 
* une « atteinte du seuil de la douleur <math>\;+120\, dB\;</math>» <math>\;\Big(</math>correspondant à une puissance acoustique de <math>\;1\, W\! \cdot\! m^{-2}</math>, celle de la conversation vive étant <math>\;10^6\;</math> fois plus faible soit <math>\;1\, \mu W\! \cdot\! m^{-2}\;</math> et <br>{{Transparent|une « atteinte du seuil de la douleur <math>\;\color{transparent}{+120\, dB}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\Big(}</math>correspondant à une puissance acoustique de <math>\;\color{transparent}{1\, W\! \cdot\! m^{-2}}</math>, }}celle d'un bruissement de feuilles <math>\;10^{10}\;</math> fois plus faible soit <math>\;0,1\, nW\! \cdot\! m^{-2}\Big)</math>.</ref> <u>perçue par une oreille humaine est</u><math>\;\propto\;</math><u>au carré de l'amplitude</u> ; ainsi lorsqu'on superpose deux sons de fréquences <math>\;f_1 = 440\, Hz\;</math> et <math>\;f_2 = 441\, Hz</math>, on entend très distinctement la « modulation du niveau acoustique<ref name="intensité acoustique, niveau acoustique" /> à la fréquence de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] <math>\;f_{\text{battements}} = 1\, Hz\;</math>» <math>\;\big\{</math>en effet, si les deux sons ont la même intensité acoustique<ref name="intensité acoustique, niveau acoustique" />, les [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre les deux sons se matérialisent par une modulation de niveau acoustique<ref name="intensité acoustique, niveau acoustique" /> de période <math>\;1,0\, s\;</math> allant d'une intensité acoustique<ref name="intensité acoustique, niveau acoustique" /> nulle à une intensité acoustique<ref name="intensité acoustique, niveau acoustique" /> quatre fois plus intense que celle des sons originaux <math>\;\big(</math>l'amplitude résultante maximale étant deux fois l'amplitude de chaque son mais l'intensité acoustique<ref name="intensité acoustique, niveau acoustique" /> étant le carré de l'amplitude<math>\big)\big\}</math> ;

{{Al|5}}le phénomène de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] est utilisé pour accorder certains instruments de musique, par exemple un piano : certaines notes sont produites par deux ou trois cordes qui doivent vibrer exactement à la même fréquence <math>\;\big(</math>et de façon sinusoïdale<math>\big)</math>, quand on les fait vibrer simultanément on réalise des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] si elles ne vibrent pas à la même fréquence, on doit alors modifier la tension de l'une des cordes pour diminuer la fréquence des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] jusqu'à ce que cette dernière devienne nulle, assurant alors que les deux cordes vibrent effectivement à la même fréquence.

== Complément : détermination de la pseudo-amplitude de l'onde résultante instantanée en fonction du déphasage (lentement variable) par pseudo-amplitude complexe == 

{{Al|5}}Nous avons précédemment distingué, dans la résolution, le cas de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre signaux sinusoïdaux de même amplitude et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons précédemment distingué, dans la résolution, le cas de battements }}entre signaux d'amplitudes différentes, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons précédemment distingué, }}le 1<sup>er</sup> ayant été résolu par utilisation des formules de trigonométrie transformant une somme de fonctions sinusoïdales en un produit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons précédemment distingué, }}le 2<sup>nd</sup>, ne permettant pas l'utilisation de ces formules de trigonométrie, ayant fait appel à la notion étendue de vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel" /> tournants, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons précédemment distingué, le 2<sup>nd</sup>, }}méthode conduisant à la construction d'un diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> relativement à un axe <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> tournant à la vitesse angulaire la plus faible, mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons précédemment distingué, }}il aurait été aussi possible de construire un diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> de ce type dans le cas de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre signaux sinusoïdaux de même amplitude<ref> Si cela n'a pas été fait, c'est que la méthode directe est indéniablement plus rapide.</ref> ; 

{{Al|5}}la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="diagramme de Fresnel à l'instant t" /> et celle d'utilisation des grandeurs instantanées complexes étant deux facettes d'une même méthode<ref name="lien entre grandeurs instantanées complexes et vecteurs de Fresnel tournants" />, il est possible d'adapter, dans le cas de [[w:Battement_(acoustique)|battements]] entre signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines, la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> relativement à un axe <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> tournant à la vitesse angulaire la plus faible, de façon à travailler directement sur les affixes des vecteurs de Fresnel <ref name="Fresnel" />, c'est le « but des sous paragraphes suivants »<ref> ''À considérer comme complément'', la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel relativement à un axe <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> tournant à la vitesse angulaire la plus faible <math>-</math> plus concrète <math>-</math> suffisant largement.</ref>. 
 
=== Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude ===

{{Al|5}}On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude «<math>\;\left[ \begin{array}{c}s_1(t) = S_m\, \cos(2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1)\\s_2(t) = S_m\, \cos(2\, \pi\, f_2\, t + \varphi_2)\end{array} \right]\;</math>» avec «<math>\;f_2 > f_1\;</math>» ; <br>{{Al|5}}aux « signaux sinusoïdaux <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} s_1(t) \\ s_2(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>» on fait correspondre les « grandeurs instantanées complexes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{s_1}(t) = S_m\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1) \right] \\ \underline{s_2}(t) = S_m\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_2\, t + \varphi_2) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="lien entre signal sinusoïdal et grandeur instantanée complexe"> On rappelle que <math>\;s_1(t)\;</math> et <math>\;s_2(t)\;</math> sont les parties réelles de <math>\;\underline{s_1}(t)\;</math> et <math>\;\underline{s_2}(t)</math>, les parties imaginaires de ces dernières n'ayant, pour le problème étudié, aucune signification <math>\;\big(</math>mais en acquerraient une si les signaux sinusoïdaux étaient en « sinus »<math>\big)</math>.</ref> d'où <br>{{Al|5}}le signal résultant «<math>\;s_{\text{tot}}(t) = s_1(t) + s_2(t)\;</math>» étant défini comme «<math>\;\Re\! \left[\underline{s_1}(t) + \underline{s_2}(t) \right]\;</math>», on est amené à « évaluer la somme des grandeurs instantanées complexes <math>\;\underline{s_1}(t) + \underline{s_2}(t)\;</math>» mais <math>\;\ldots</math>

{{Al|5}}avant de faire cela, utilisons le fait que les « fréquences <math>\;f_1\;</math> et <math>\;f_2\;</math> sont très voisines, proches de leur moyenne <math>\;f_{\text{moy}} = \dfrac{f_1 + f_2}{2}\;</math>», en écrivant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_1 = \dfrac{f_1 + f_2}{2} - \dfrac{f_2 - f_1}{2}\\ f_2 = \dfrac{f_1 + f_2}{2} + \dfrac{f_2 - f_1}{2} \end{array}\right\rbrace\;</math>» ou, <br>{{Al|14}}{{Transparent|avant de faire cela, utilisons le fait que les « fréquences <math>\;\color{transparent}{f_1}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{f_2}\;</math> sont très voisines, proches de leur moyenne » }}avec «<math>\;\Delta f = f_2 - f_1\;</math>», «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_1 = f_{\text{moy}} - \dfrac{\Delta f}{2}\\ f_2 = f_{\text{moy}} + \dfrac{\Delta f}{2} \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="comparaison différence de fréquence, fréquence moyenne"> La différence de fréquence <math>\;\Delta f = f_2 - f_1\;</math> étant très petite relativement à la fréquence moyenne <math>\;f_{\text{moy}} = \dfrac{f_1 + f_2}{2}</math>.</ref> puis

{{Al|5}}{{Transparent|avant de faire cela, }}réécrivons chaque grandeur instantanée complexe sous la forme d'un produit d'une grandeur exponentielle complexe de grande fréquence <math>\;\big(</math>égale à la fréquence moyenne<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe sous la forme d'un produit }}d'un facteur complexe variant lentement avec le temps <math>\;\big(</math>appelé « pseudo-amplitude complexe »<math>\big)\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée complexe }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\underline{s_1}(t) = S_m\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right]\, \exp\! \left[ i \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_1 \right) \right]\\\underline{s_2}(t) = S_m\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right]\, \exp\! \left[ i \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\underline{s_1}(t) \!\!&=&\!\! \underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t)\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right]\\\underline{s_2}(t) \!\!&=&\!\! \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t)\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Transparent|avant de faire cela, réécrivons chaque grandeur instantanée comple }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t) \!\!&=&\!\! S_m\, \exp\! \left[ i\, \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_1 \right) \right]\\\underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t) \!\!&=&\!\! S_m\, \exp\! \left[ i\, \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» les « <u>pseudo-amplitudes complexes</u> » associées ;

{{Al|5}}puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes «<math>\;\underline{s_1}(t) + \underline{s_2}(t) = \underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t)\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right] + \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t)\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right] = \left[ \underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t) + \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t) \right] \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right]\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes }}égale à une grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne <math>\;f_{\text{moy}}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puis, formons la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe }}de « ''pseudo-amplitude complexe'' » «<math>\;\underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t) + \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t)\;</math>» c.-à-d. la somme des « pseudo-amplitudes complexes » «<math>\;S_m\, \exp\! \left[ i\, \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_1 \right) \right] + S_m\, \exp\! \left[ i\, \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right] = S_m \left\lbrace \exp\! \left[ i\, \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_1 \right) \right] + \exp\! \left[ i\, \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right] \right\rbrace\;</math>» ;

{{Al|5}}{{Transparent|puis, }}transformons la « ''pseudo-amplitude complexe résultante'' » en décomposant les phases initiales comme fait pour les fréquences<ref> La démarche est la même mais la raison ne l'est pas, en particulier les phases initiales ne sont pas a priori voisines l'une de l'autre.</ref> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \varphi_1 = \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} - \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} = \varphi_{\text{moy}} - \dfrac{\Delta \varphi}{2}\\ \varphi_2 = \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} = \varphi_{\text{moy}} + \dfrac{\Delta \varphi}{2} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|puis, transformons la « ''pseudo-amplitude complexe résultante'' » en décomposant les phases initiales comme fait pour les fréquences }}avec «<math>\;\varphi_{\text{moy}} = \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2}\;</math>» et «<math>\;\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puis, }}la réécriture de la « ''pseudo-amplitude complexe résultante'' » «<math>\;\underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t) + \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t) = S_m \left\lbrace \exp\! \left[ i\, \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_{\text{moy}} - \dfrac{\Delta \varphi}{2} \right) \right] + \exp\! \left[ i\, \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_{\text{moy}} + \dfrac{\Delta \varphi}{2} \right) \right] \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|puis, la réécriture de la « ''pseudo-amplitude complexe résultante'' » «<math>\;\color{transparent}{\underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t) + \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t)}</math> }}<math>= S_m\,\exp\! \left[ i\,\varphi_{\text{moy}} \right] \left\lbrace \exp\! \left[ -i\, \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\Delta \varphi}{2} \right) \right] + \exp\! \left[ i\, \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\Delta \varphi}{2} \right) \right] \right\rbrace\;</math> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|puis, la réécriture de la « ''pseudo-amplitude complexe résultante'' » «<math>\;\color{transparent}{\underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t) + \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t)}</math> }}<math>= S_m\,\exp\! \left[ i\,\varphi_{\text{moy}} \right] \left\lbrace 2\;\cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\Delta \varphi}{2} \right) \right\rbrace\;</math>» avec la « formule d'Euler<ref name="Euler"> '''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne, surtout connu pour ses travaux en [[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]] ainsi qu'en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps ; <br>{{Al|3}}en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], en optique et en astronomie.</ref> du cosinus » <ref name="formules d'Euler"> La [[w:Formule_d'Euler|formule d'Euler]] d'origine est <math>\;\exp(i\, x) = \cos(x) + i\, \sin(x)\;</math> mais les deux formules qui en découlent définissant le cosinus «<math>\;\cos(x) =</math> <math>\dfrac{\exp(i\, x) + \exp(-i\, x)}{2}\;</math>» et le sinus {{Nobr|«<math>\;\sin(x)</math>}} <math>= \dfrac{\exp(i\, x) - \exp(-i\, x)}{2\, i}\;</math>» sont encore appelées « [[w:Formule_d'Euler#Description|formules d'Euler]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puis, la réécriture de la « ''pseudo-amplitude complexe résultante'' » }}«<math>\;\underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t) + \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right]\, \exp\! \left[ i \left( \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right) \right]\;</math> notée <math>\;\underline{\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}}(t)\;</math>»<ref> On constate que la « pseudo-amplitude complexe résultante » se réécrit comme le produit d'une « grandeur réelle <math>\;2\, S_m\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right]\;</math> variant lentement avec le temps » et <br>{{Al|3}}{{Transparent|On constate que la « pseudo-amplitude complexe résultante » se réécrit comme le produit }}d'une « exponentielle imaginaire <math>\;\exp\! \left[ i \left( \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right) \right]\;</math> de valeur constante ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|puis, la réécriture de la « ''pseudo-amplitude complexe résultante'' » }}<u>dont le module définit la « pseudo-amplitude résultante</u><math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}}(t) \vert = 2\, S_m\, \left\vert \cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right] \right\vert\;</math>»<ref> Laquelle « varie lentement à la fréquence <math>\;\Delta f = f_2 - f_1\;</math>» correspondant donc à la « fréquence des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] ».</ref>{{,}}<ref name="module et argument du produit d'un réel et d'une exponentielle imaginaire"> Le module du produit d'un réel et d'une exponentielle imaginaire <math>\;\big(</math>laquelle est de module unité<math>\big)\;</math> est la valeur absolue du réel c.-à-d. 
* le réel si ce dernier est positif, l'argument du produit étant alors l'argument de l'exponentielle imaginaire ou
* l'opposé du réel si de dernier est négatif, l'argument du produit étant alors l'argument de l'exponentielle imaginaire auquel s'ajoute <math>\;\pm \pi\;</math> au choix.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puis, la réécriture de la « ''pseudo-amplitude complexe résultante'' » }}''dont l'argument définit la « pseudo-phase initiale'' <math>\;\varphi_{\text{tot}}(t) = \left\lbrace \begin{array}{l c} \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} &\text{pour }\cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right] > 0\\\ \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \pm \pi &\text{pour }\cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right] < 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="module et argument du produit d'un réel et d'une exponentielle imaginaire" /> ;

{{Al|5}}finalement le signal résultant s'écrivant «<math>\;s_{\text{tot}}(t) = s_1(t) + s_2(t) = \vert S_{m,\, \text{tot}}(t) \vert\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t + \varphi_{\text{tot}}(t) \right]\;</math>» est identique au résultat trouvé par utilisation directe des formules trigonométriques <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement le signal résultant s'écrivant }}«<math>\;s_{\text{tot}}(t) = s_1(t) + s_2(t) = S_{m,\, \text{tot}}(t)\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 + f_2}{2}\, t + \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right)\;</math>» avec «<math>\;S_{m,\, \text{tot}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#Battements_entre_deux_signaux_sinusoïdaux_de_même_amplitude|battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement le signal résultant s'écrivant }}la forme sous laquelle est obtenu le résultat par pseudo-amplitudes complexes nécessitant une discussion<ref> Liée au caractère « positif ou négatif de <math>\;\cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right) = \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right)\;</math>».</ref> est moins intéressante et il aurait été préférable, pour obtenir le signal résultant, d'expliciter la grandeur instantanée complexe résultante puis d'en prendre la partie réelle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}la grandeur instantanée complexe résultante s'écrivant «<math>\;\underline{s_{\text{tot}}}(t) = \underline{\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}}(t)\,  \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right] = \left\lbrace 2\, S_m\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right]\, \exp\! \left[ i \left( \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right) \right] \right\rbrace\,\exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right]\;</math>» en y reportant l'expression de la pseudo-amplitude complexe résultante trouvée précédemment avant discussion <math>\;\underline{\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right] \exp\! \left[ i \left( \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right) \right]\;</math> d'où l'expression de la grandeur instantanée complexe résultante «<math>\;\underline{s_{\text{tot}}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right]\, \exp\! \left[ i\, \left( 2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t + \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right) \right]\;</math>» dont on tire, en en prenant la partie réelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|finalement }}le signal résultant sous la forme «<math>\;s_{\text{tot}}(t)</math> <math>= \Re\! \left[ \underline{s_{\text{tot}}}(t) \right] = 2\, S_m\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right]\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t + \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right]\;</math>»<ref> Effectivement identique à «<math>\;s_{\text{tot}}(t) = s_1(t) + s_2(t) = S_{m,\, \text{tot}}(t)\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_1 + f_2}{2}\, t + \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right)\;</math>» avec «<math>\;S_{m,\, \text{tot}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{f_2 - f_1}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right)\;</math>» établie précédemment dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#Battements_entre_deux_signaux_sinusoïdaux_de_même_amplitude|battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>.

{{Al|5}}<u>Conclusion</u> : on trouve effectivement un signal « pseudo-sinusoïdal » de fréquence égale à la « fréquence moyenne <math>\;f_{\text{moy}} = \dfrac{f_1 + f_2}{2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : on trouve effectivement un signal « pseudo-sinusoïdal » }}de pseudo-amplitude <math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}} \vert = 2\, S_m \left\vert \cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right] \right\vert\;</math> c.-à-d. une fonction redressée double alternance<ref> Plus précisément fonction redressée double alternance « d'une fonction sinusoïdale » car à toute fonction périodique alternative non sinusoïdale on peut définir une redressée double alternance {{Nobr|<math>\;\big\{</math>voir}} le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_gabarit_d'un_filtre,_2ème_partie#Définition_d'un_redresseur_double_alternance|définition d'un redresseur double alternance]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> se réécrivant selon «<math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}} \vert = 2\, S_m \left\vert \cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{|f_2 - f_1|}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right] \right\vert\;</math>» et définissant l'« [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] supérieure du signal résultant », « [[w:Enveloppe_convexe|enveloppe]] variant à la fréquence des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] <math>\;f_{\text{battements}} =</math> <math>\vert f_2 - f_1 \vert\;</math> entre sa valeur minimale <math>\;0\;</math> et sa valeur maximale <math>\;2\, S_m\;</math>».

{{Al|5}}<u>Remarque</u> : bien que la « grandeur instantanée complexe résultante <math>\;\underline{s_{\text{tot}}}(t) = 2\, S_m\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right]\, \exp\! \left[ i\, \left( 2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t + \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right) \right]\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : bien que }}l'« affixe d'un vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> tournant <math>\;\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)\;</math> dans le diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : bien que l'« affixe d'un vecteur de Fresnel tournant }}<math>\;\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)\;</math> étant de direction fixe relativement à l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> tournant à la vitesse angulaire <math>\;2\,\pi\,f_{\text{moy}}\;</math>» alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#Battements_entre_deux_signaux_sinusoïdaux_d'amplitudes_différentes|battements entre deux signaux d'amplitudes différentes]] » plus haut dans ce chapitre<ref> Méthode que l'on peut appliquer sans souci <math>\;\big(</math>même si cela n'a pas d'intérêt<math>\big)\;</math> au cas de deux signaux de même amplitude.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : le diagramme de Fresnel à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}utilise des « vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel" /> tournants repérés par rapport à un axe <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> en rotation à la vitesse angulaire <math>\;2\,\pi\,f_1\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : le diagramme de Fresnel à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}de façon à ce que le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> <math>\;\overrightarrow{S_1}(t)\;</math> <math>\big\{</math>et non <math>\;\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(t)\big\}\;</math> soit de direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous obtenons la même expression de signal résultant <math>\;\ldots</math>

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour qu'il y ait une correspondance exacte entre la méthode des grandeurs instantanées complexes et celle du diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> à l'instant <math>\;t</math>, il aurait fallu choisir l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> tournant à la vitesse angulaire moyenne <math>\;2\, \pi\, f_{\text{moy}}\;</math> mais la conséquence aurait été qu'aucun des deux vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel" /> tournants <math>\;\overrightarrow{S_1}(t)\;</math> et <math>\;\overrightarrow{S_2}(t)\;</math> n'aurait été de direction fixe relativement à <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> <math>\bigg\{\overrightarrow{S_2}(t)\;</math> tournant dans le sens <math>\;+\;</math> par rapport à <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> à la vitesse angulaire <math>\;2\,\pi\,\dfrac{\Delta f}{2} = 2\,\pi\,\dfrac{f_2 - f_1}{2}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{S_1}(t)\;</math> tournant dans le sens <math>\;-\;</math> par rapport à <math>\;\overrightarrow{Ox'}\;</math> à la vitesse angulaire opposée <math>\;-2\,\pi\,\dfrac{\Delta f}{2} =</math> <math>-2\,\pi\,\dfrac{f_2 - f_1}{2}\;</math><ref> En effet <math>\;f_1 = \dfrac{f_1 + f_2}{2} - \dfrac{f_2 - f_1}{2} = f_{\text{moy}} - \dfrac{\Delta f}{2}\;</math> et <math>\;f_2 = \dfrac{f_1 + f_2}{2} + \dfrac{f_2 - f_1}{2} = f_{\text{moy}} + \dfrac{\Delta f}{2}</math>.</ref><math>\bigg\}\;</math> et l'avantage de conserver une symétrie entre les deux signaux n'aurait pas compensé le désavantage de n'avoir plus aucun vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> fixe <math>\ldots</math>

=== Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentes ===

{{Al|5}}On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes «<math>\;\left[ \begin{array}{c}s_1(t) = S_{m,\, 1}\, \cos(2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1)\\s_2(t) = S_{m,\, 2}\, \cos(2\, \pi\, f_2\, t + \varphi_2)\end{array} \right]\;</math>» avec «<math>\;f_2 > f_1\;</math>» pour lesquels <br>{{Al|5}}on peut réitérer la méthode exposée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#Battements_entre_deux_signaux_sinusoïdaux_de_même_amplitude_2|battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude]] » plus haut dans ce chapitre en l'adaptant si besoin est ; 

{{Al|5}}aux « signaux sinusoïdaux <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}s_1(t)\\s_2(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>» on fait correspondre les « grandeurs instantanées complexes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\underline{s_1}(t) = S_{m,\, 1}\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_1\, t + \varphi_1) \right]\\\underline{s_2}(t) = S_{m,\, 2}\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_2\, t + \varphi_2) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="lien entre signal sinusoïdal et grandeur instantanée complexe" /> d'où <br>{{Al|5}}le signal résultant «<math>\;s_{\text{tot}}(t) = s_1(t) + s_2(t)\;</math>» étant défini comme «<math>\;\Re\! \left[\underline{s_1}(t) + \underline{s_2}(t) \right]\;</math>», on est donc amené à « évaluer la somme des grandeurs instantanées complexes <math>\;\underline{s_1}(t) + \underline{s_2}(t)\;</math>» ;

{{Al|5}}comme précédemment on transforme les fréquences selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array} {c} f_1 = \dfrac{f_1 + f_2}{2} - \dfrac{f_2 - f_1}{2} \\ f_2 = \dfrac{f_1 + f_2}{2} + \dfrac{f_2 - f_1}{2} \end{array} \right\rbrace\;</math>», les « fréquences <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \end{array}\right\rbrace\;</math> étant très voisines, proches de leur moyenne <math>\;f_{\text{moy}} = \dfrac{f_1 + f_2}{2}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|comme précédemment on transforme les fréquences selon  }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array} {c} f_1 = f_{\text{moy}} - \dfrac{\Delta f}{2} \\ f_2 = f_{\text{moy}} + \dfrac{\Delta f}{2} \end{array} \right\rbrace\;</math>» en introduisant la différence de fréquence <math>\;\Delta f = f_2 - f_1\;</math><ref name="comparaison différence de fréquence, fréquence moyenne" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|comme précédemment }}on peut alors réécrire les grandeurs instantanées complexes de façon plus symétrique selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\underline{s_1}(t) = S_{m,\, 1}\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right]\, \exp\! \left[ i \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_1 \right) \right]\\\underline{s_2}(t) = S_{m,\, 2}\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right]\, \exp\! \left[ i \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|comme précédemment on peut alors réécrire }}en introduisant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t) \!\!&=&\!\! S_{m,\,1}\, \exp\! \left[ i\, \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_1 \right) \right]\\\underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t) \!\!&=&\!\! S_{m,\,2}\, \exp\! \left[ i\, \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» les « <u>pseudo-amplitudes complexes</u> » associées, <br>{{Al|5}}{{Transparent|comme précédemment on peut alors réécrire les grandeurs instantanées complexes de façon plus symétrique selon }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\underline{s_1}(t) \!\!&=&\!\! \underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t)\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right]\\\underline{s_2}(t) \!\!&=&\!\! \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t)\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» ;

{{Al|5}}ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes «<math>\;\underline{s_1}(t) + \underline{s_2}(t) = \underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t)\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right] + \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t)\, \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right] = \left[ \underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t) + \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t) \right] \exp\! \left[ i\, (2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t) \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes }}égale à une grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne <math>\;f_{\text{moy}}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe }}de « ''pseudo-amplitude complexe'' » «<math>\;\underline{\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}}(t) = \underline{\mathcal{S}_{m,\, 1}}(t) + \underline{\mathcal{S}_{m,\, 2}}(t)\;</math>» c.-à-d. la somme des « pseudo-amplitudes complexes associées à chaque grandeur instantanée complexe » «<math>\;\underline{\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}}(t) = S_{m,\,1}\, \exp\! \left[ i\, \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_1 \right) \right] + S_{m,\,2}\, \exp\! \left[ i\, \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right]\;</math>»<ref> Les décompositions des phases initiales effectuées dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#Battements_entre_deux_signaux_sinusoïdaux_de_même_amplitude_2|battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude]] » plus haut dans ce chapitre ne sont pas utiles ici <math>-</math> en effet elles ont été faites pour utiliser la formule d'Euler relative au cosinus <math>-</math> mais ici les amplitudes <math>\;S_{m,\, 1} \neq S_{m,\, 2}\;</math> empêchant toute utilisation de formule d'Euler, il est inutile de procéder à cette décomposition <math>-</math> même si cela reste néanmoins possible.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe }}<u>dont le module définit la « pseudo-amplitude résultante »</u> <math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}}(t) \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ensuite, on forme la somme des grandeurs instantanées complexes égale à une grandeur instantanée complexe }}''dont l'argument définit la « pseudo-phase initiale résultante'' » <math>\;\varphi_{\text{tot}}(t)\,</math> <ref>Lesquelles varient lentement à la fréquence <math>\;\Delta f</math>, cette dernière correspondant donc à la fréquence des [[w:Battement_(acoustique)|battements]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ensuite, on forme }}le signal résultant pouvant alors être réécrit selon «<math>\;s_{\text{tot}}(t) = s_1(t) + s_2(t) = \vert S_{m,\, \text{tot}}(t) \vert\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f_{\text{moy}}\, t + \varphi_{\text{tot}}(t) \right]\;</math>» ;

{{Al|5}}finalement les «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} \text{pseudo-amplitude résultante}\\ \text{pseudo-phase initiale résultante} \end{array}\right\rbrace\;</math>» déterminées par <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} \text{module}\\ \text{argument}\end{array}\right\rbrace\;</math> de «<math>\;\underline{\mathcal{S}_{m,\, \text{tot}}}(t) = S_{m,\,1}\, \exp\! \left[ i\, \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_1 \right) \right] + S_{m,\,2}\, \exp\! \left[ i\, \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right]\;</math>» valent :
* «<math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}} \vert = \left\vert \underline{S_{m,\, \text{tot}}}(t) \right\vert = \sqrt{\left\vert \underline{S_{m,\, \text{tot}}}(t) \right\vert^2} = \sqrt{\underline{S_{m,\, \text{tot}}}(t) \left[ \underline{S_{m,\, \text{tot}}}(t) \right]^{*}}\;</math>»<ref> On rappelle que <math>\;\underline{z}^{*}\;</math> est le conjugué de <math>\;\underline{z}</math>.</ref> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\underline{S_{m,\, \text{tot}}}(t) = S_{m,\, 1}\, \exp\! \left[ i \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_1 \right) \right] + S_{m,\, 2}\, \exp\! \left[ i \left(2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right]\\ \left[ \underline{S_{m,\, \text{tot}}}(t) \right]^{*} = S_{m,\, 1}\, \exp\! \left[ i \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t - \varphi_1 \right) \right] + S_{m,\, 2}\, \exp\! \left[ i \left(-2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t - \varphi_2 \right) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math> et en développant «<math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}}(t) \vert = \sqrt{S_{m,\, 1}^2 + S_{m,\, 2}^2 + S_{m,\, 1}\, S_{m,\, 2} \left\lbrace \exp\! \left[ i \left( -2\, \pi\, \Delta\! f\; t + \varphi_1 - \varphi_2 \right) \right] + \exp\! \left[ i \left( 2\, \pi\, \Delta\! f\; t - \varphi_1 + \varphi_2 \right) \right] \right\rbrace}\;</math>» soit encore, avec la formule d'Euler<ref name="Euler" /> définissant le cosinus<ref name="formules d'Euler" />, {{Nobr|«<math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}}(t) \vert</math>}} <math>= \sqrt{S_{m,\, 1}^2 + S_{m,\, 2}^2 + 2\, S_{m,\, 1}\, S_{m,\, 2}\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, (\Delta f)\, t - \varphi_1 + \varphi_2 \right]}\;</math>» établissant que la « pseudo-amplitude » <math>\;\vert S_{m,\, \text{tot}}(t) \vert\;</math> de l'onde résultante « varie à la fréquence dite des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] égale à <math>\;f_{\text{battements}} =</math> <math>\Delta f = f_2 - f_1\;</math> de sa valeur minimale <math>\;\vert S_{m,\, 1} - S_{m,\, 2} \vert\;</math> à sa valeur maximale <math>\;S_{m,\, 1} + S_{m,\, 2}\;</math>» ;
* «<math>\;\varphi_{\text{tot}}(t)\;</math>» nécessite l'écriture de la « pseudo-amplitude complexe résultante » sous sa forme algébrique<ref> Pour cela on prend la forme algébrique des deux termes de la somme et on regroupe les termes réels et les termes imaginaires.</ref>, ceci donnant, après des transformations élémentaires<ref> De l'expression de la pseudo-amplitude complexe résultante «<math>\;\underline{S_{m,\, \text{tot}}}(t) = S_{m,\, 1}\, \exp\! \left[ i \left( -2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_1 \right) \right] + S_{m,\, 2}\, \exp\! \left[ i \left(2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right]\;</math>» on tire, en appliquant la formule d'Euler {{Nobr|<math>\;\big\{</math>voir}} la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Battements#cite_note-formules_d'Euler-40|<sup>40</sup>]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> «<math>\;\underline{S_{m,\, \text{tot}}}(t) = S_{m,\, 1}\, \left[ \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t - \varphi_1 \right) - i\, \sin\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t - \varphi_1 \right) \right] + S_{m,\, 2}\, \left[ \cos\! \left(2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) + i\, \sin\! \left(2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right]\;</math>».</ref>, la forme algébrique de la « pseudo-amplitude complexe résultante » <math>\;\underline{S_{m,\, \text{tot}}}(t) =</math> <math>\left[ S_{m,\, 1}\, \cos\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t - \varphi_1 \right) + S_{m,\, 2}\, \cos\! \left(2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right] + i \left[ -S_{m,\, 1}\, \sin\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t - \varphi_1 \right) + S_{m,\, 2}\, \sin\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{\Delta f}{2}\, t + \varphi_2 \right) \right]\;</math> dont on tire <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\cos\! \left[ \varphi_{\text{tot}}(t) \right] = \dfrac{S_{m,\, 1}\, \cos\! \left[ \pi\,(\Delta f)\, t - \varphi_1 \right] + S_{m,\, 2}\, \cos\! \left[ \pi\, (\Delta f)\, t + \varphi_2 \right]}{|S_{m,\, \text{tot}}(t)|}\\ \sin\! \left[ \varphi_{\text{tot}}(t) \right] = \dfrac{-S_{m,\, 1}\, \sin\! \left[ \pi\, (\Delta f)\, t - \varphi_1 \right] + S_{m,\, 2}\, \cos\! \left[ \pi\, (\Delta f)\, t + \varphi_2 \right]}{|S_{m,\, \text{tot}}(t)|} \end{array} \right.</math>, ces deux expressions permettant de déterminer la « pseudo-phase initiale résultante » et de constater que celle-ci est également périodique de fréquence égale à celle des [[w:Battement_(acoustique)|battements]] <math>\ldots</math>

== Notes et références ==

<references/>

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence/|Propag. d'un signal : Interfér. entre 2 ondes acoust. ou mécan. synch.]]
  | suivant   = [[../Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques/]]
}}