Voir la source de Résultant/Définition et premières propriétés

{{Chapitre
  | numéro     = 1
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 16
  | précédent  = [[../|Sommaire]]
  | suivant    = [[../Discriminant d'un polynôme/]]
  | page_liée  = Exercices/Résultant
}}
Dans toute cette leçon, <math>K</math> est un [[Corps (mathématiques)|corps commutatif]].

==Résultant de deux polynômes==
{{Définition|contenu=
*Le résultant <math>\operatorname{Res}(P,Q)</math> de deux polynômes non nuls ''[[Polynôme/Racines d’un polynôme|scindés]]'' sur <math>K</math>,
*::<math>P=a\prod_{i=1}^n(X-x_i),\; Q=b\prod_{j=1}^m(X-y_j)</math>
*:(avec <math>x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m\in K</math> et <math>a,b\in K^*</math>)
*:est défini par :
*::<math>\operatorname{Res}(P,Q)=a^mb^n\prod_{i,j}(x_i-y_j)</math>.
*Le résultant de deux polynômes non nuls ''quelconques'' à coefficients dans <math>K</math> est, par définition,
*:leur résultant en tant que polynômes à coefficients dans une [[w:Extension de corps|extension]] <math>L</math> de <math>K</math> sur laquelle ces deux polynômes sont scindés
*:(par exemple <math>L=</math> la [[w:Clôture algébrique|clôture algébrique]] de <math>K</math>, qui pour <math>K=\R</math> est égale à <math>\Complex</math>).
}}
Les notations de cette définition sont reprises dans la suite de ce chapitre.
==Conséquences immédiates==
{{Propriété|titre=Propriété 1|contenu=
<math>\operatorname{Res}(Q,P)=(-1)^{mn}\operatorname{Res}(P,Q)</math>.
}}
{{Propriété|titre=Propriété 2|contenu=
<math>\operatorname{Res}(P,Q)=a^m\prod_{i=1}^nQ(x_i)</math>.
}}
{{Exemple|titre=Exemple : ''n'' ≤ 1|contenu=
Si <math>Q(X)=b_mX^m+b_{m-1}X^{m-1}+\dots+b_1X+b_0</math> avec <math>b_m\ne0</math>, alors
*<math>\operatorname{Res}(a,Q)=a^m</math> ;
*<math>\operatorname{Res}(\alpha X+\beta,Q)=b_0\alpha^m-b_1\alpha^{m-1}\beta+b_2\alpha^{m-2}\beta^2-\dots+(-1)^mb_m\beta^m</math> si <math>\alpha\ne0</math>,
**en particulier, <math>\operatorname{Res}(\alpha X+\beta,\gamma X+\delta)=\alpha\delta-\beta\gamma</math> si <math>\alpha,\gamma\ne0</math>
{{Démonstration déroulante|contenu=
D'après la propriété 2 :
#si <math>P(X)=a</math> (polynôme constant non nul donc sans racine), alors
#:<math>\operatorname{Res}(P,Q)=a^m</math> car par définition, le [[w:Produit vide|produit vide]] est égal à <math>1</math> ;
#si <math>P(X)=\alpha X+\beta</math> avec <math>\alpha\ne0</math> alors
#:<math>\operatorname{Res}(P,Q)=\alpha^mQ\left(-\frac\beta\alpha\right)=\alpha^m\left(b_m\left(-\frac\beta\alpha\right)^m+b_{m-1}\left(-\frac\beta\alpha\right)^{m-1}+\dots+b_1\left(-\frac\beta\alpha\right)+b_0\right)</math>.
}}
}}

{{Exemple|titre=Exemple : ''n'' = 2 et ''m'' ≤ 3|contenu={{CfExo|idfaculté=mathématiques|exercice=[[Équation du troisième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines#Exercice 2-2|Exercice 2-2 de la leçon sur les équations de degré 3]]}}
Si <math>P=pX^2+qX+r\text{ avec  }p\ne0</math> et <math>Q=b_3X^3+b_2X^2+b_1X+b_0</math> alors, en posant <math>m=\deg Q</math> :
:<math>\begin{align}\operatorname{Res}(P,Q)&=&b_3p^{m-3}\left[b_3r^3-b_2r^2q+b_1(rq^2-2r^2p)+b_0(3rqp-q^3)\right]\\
&&+b_2p^{m-2}\left[b_2r^2-b_1rq+b_0(q^2-2rp)\right]\\
&&+b_1p^{m-1}\left[b_1r-b_0q\right]\\
&&+p^mb_0^2.\end{align}</math>
Remarque : pour <math>Q=\alpha X+\beta</math>, on retrouve (avec des notations différentes) un cas particulier de l'exemple précédent :
:<math>\begin{align}\operatorname{Res}(\alpha X+\beta,pX^2+qX+r)&=(-1)^{2m}\operatorname{Res}(pX^2+qX+r,\alpha X+\beta)\\
&=\alpha p^{m-1}\left[\alpha r-\beta q\right]+p^m\beta^2\\
&=\begin{cases}\text{si }\alpha=0\text{ et }\beta\ne0&:&\beta^2\\
\text{si }\alpha\ne0&:&r\alpha^2-q\alpha\beta+p\beta^2.\end{cases}\end{align}</math>
}}

{{Remarque|titre=Remarques|contenu=
#D'après les propriétés 1 et 2, <math>\operatorname{Res}(P,Q)=(-1)^{mn}b^n\prod_{j=1}^mP(y_j)</math>.
#D'après la propriété 2, <math>\operatorname{Res}(P,Q_1Q_2)=\operatorname{Res}(P,Q_1)\operatorname{Res}(P,Q_2)</math>.
#<math>\operatorname{Res}(P(X+\lambda),Q(X+\lambda))=\operatorname{Res}(P(X),Q(X))</math>, pour tout <math>\lambda\in K</math>.
#<math>\operatorname{Res}(P,Q)=0</math> si et seulement si <math>P</math> et <math>Q</math> ont une racine commune (dans <math>L</math>), c'est-à-dire s'ils ne sont pas [[Polynôme/Arithmétique des polynômes|premiers entre eux]].{{Attention|La remarque 4 est la raison d'être de la notion de résultant.}}
}}

==Propriétés supplémentaires==
{{Corollaire|titre=Corollaire 1|contenu=
Le résultant de deux polynômes non nuls à coefficients dans <math>K</math> appartient à <math>K</math>. Plus précisément :
:<math>\operatorname{Res}\left(\sum_{i=0}^na_iX_i,\sum_{j=0}^mb_jX_j\right)\in\Z[a_0,\dots,a_n,b_0,\dots,b_m]</math>.
{{Démonstration déroulante|contenu=
D'après la propriété 2, <math>\operatorname{Res}(P,Q)=a^mT(\sigma_1,\dots,\sigma_n)</math>, où les <math>\sigma_i</math> sont les [[w:Polynôme symétrique|polynômes symétriques]] élémentaires en les racines de <math>P</math> et où <math>T</math> est un [[w:Polynôme en plusieurs indéterminées|polynôme en ''n'' indéterminées]] à coefficients dans l'anneau <math>\Z[b_0,\dots,b_{m-1},b_m]</math>. De plus, par construction, <math>T</math> est ''de degré total inférieur ou égal à m'' donc le facteur <math>a^m</math> vient compenser les puissances de <math>a</math> qui apparaissent au dénominateur dans <math>T(\sigma_1,\dots,\sigma_n)=T\left(-\frac{a_{n-1}}a,\frac{-a_{n-2}}a,\dots,\frac{(-1)^na_0}a\right)</math>.
}}
}}
Nous redémontrerons ce corollaire 1 plus explicitement au chapitre 3.

Le corollaire suivant, joint à la propriété 1, est très utile pour calculer un résultant par un algorithme analogue à [[Polynôme/Arithmétique des polynômes|celui d'Euclide]].
{{Corollaire|titre=Corollaire 2|contenu=
Si <math>Q=AP+B</math> et <math>\deg B=k\in\N</math> alors <math>\operatorname{Res}(P,Q)=a^{m-k}\operatorname{Res}(P,B)</math>.
{{Démonstration déroulante|contenu=
D'après la propriété 2, <math>\operatorname{Res}(P,Q)=a^m\prod_{i=1}^n(AP+B)(x_i)=a^{m-k}a^k\prod_{i=1}^nB(x_i)=a^{m-k}\operatorname{Res}(P,B)</math>.
}}
}}

{{Exemple|titre=Exemple : nouveau calcul du cas ''n'' = 2 et ''m'' ≤ 3|contenu=
Le corollaire 2 permet, si ''n'' = 2 et ''m'' ≤ 3, de retrouver la formule de l'exemple précédent
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soient :
*<math>P=pX^2+qX+r\text{ avec  }p\ne0</math> ;
*<math>Q=b_3X^3+b_2X^2+b_1X+b_0</math> ;
*<math>m=\deg Q</math>.
La division euclidienne de <math>Q</math> par <math>P</math> s'écrit <math>Q=AP+\alpha X+\beta</math> avec
:<math>\alpha=\frac{b_3(q^2-rp)-b_2pq+b_1p^2}{p^2}\quad\text{et}\quad\beta=\frac{b_3qr-b_2pr-b_0p^2}{p^2}</math>.
On déduit alors du corollaire 2, de la propriété 1, et du premier exemple ci-dessus (cas ''n'' ≤ 1) :
*si <math>\alpha\ne0</math>, 
*:<math>\begin{align}\operatorname{Res}(P,Q)&=p^{m-1}\operatorname{Res}(P,\alpha X+\beta)\\
&=p^{m-1}(-1)^{2\times1}\operatorname{Res}(\alpha X+\beta,P)\\
&=p^{m-1}\left(r\alpha^2-q\alpha\beta+p\beta^2\right)\\
&=p^{m-1}\alpha(r\alpha-q\beta)+p^m\beta^2\\
&=p^{m-4}\left([b_3(q^2-rp)-b_2pq+b_1p^2][-b_3r^2+b_1pr-b_0pq]+[b_3qr-b_2pr-b_0p^2]^2\right)\\
\end{align}</math>
*:et l'on trouve bien, en développant, l'expression calculée dans l'exemple précédent ;
*si <math>\alpha=0</math> et <math>\beta\ne0</math>,
*:<math>\begin{align}\operatorname{Res}(P,Q)&=p^{m-0}\operatorname{Res}(P,\beta)\\
&=p^m(-1)^{2\times0}\operatorname{Res}(\beta,P)\\
&=p^m\beta^2
\end{align}</math>
*:or l'expression calculée dans l'exemple précédent est, on l'a vu, égale à <math>p^{m-1}\left(r\alpha^2-q\alpha\beta+p\beta^2\right)</math>, donc ici à <math>p^m\beta^2</math> ;
*si <math>\alpha=\beta=0</math>, <math>P\mid Q</math> donc <math>\operatorname{Res}(P,Q)=0</math>, or l'expression calculée dans l'exemple précédent est égale à <math>p^{m-1}\left(r\alpha^2-q\alpha\beta+p\beta^2\right)</math>, donc ici à <math>0</math>.
}}
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