Voir la source de Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques  
  | numéro    = 2  
  | précédent = [[../Sous-espaces stables/]]
  | suivant   = [[../Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique/]]
  | niveau    = 15
}}
__TOC__
<math>K</math> est un corps commutatif et <math>E</math> est un <math>K</math>-espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie). Toutes les notions développées ici peuvent être particularisées aux matrices.

== Définition et premières propriétés  ==

{{Définition|contenu = Soient <math>P = \sum_{k=0}^n a_k X^k\in K[X]</math> et <math>\varphi\in\operatorname L(E)</math>.

* On définit <math>\varphi^n = \underbrace{\varphi \circ \varphi \circ \ldots \circ \varphi}_{n \mathrm{fois}}\ \forall n\in \N^*</math> et <math>\varphi^0 = \mathrm{Id}_E</math> .
* L''''évaluation de <math>P</math> en <math>\varphi</math>''' est l'endomorphisme <math>P(\varphi) = \sum _{k=0}^n a_k \varphi^k</math> de <math>E</math>, soit : <math>P(\varphi) :E\to E,\quad x\mapsto P(\varphi)(x) = \sum_{k=0}^n a_k \varphi^k(x)</math>.
* On a ainsi un '''morphisme d'évaluation en <math>\varphi</math>''', qui est un morphisme de [[Algèbre sur un corps|<math>K</math>-algèbres]], à savoir :
*:<math>f_\varphi:K[X]\to\operatorname L(E),\quad P\mapsto P(\varphi)</math>.}}

La propriété de morphisme d'algèbres signifie que :
{{Propriété
  | contenu =
Soient <math>P,Q\in K[X]</math>, <math>\varphi\in\operatorname L(E)</math> et <math>\lambda\in K</math>. Alors on a :
<div style="text-align: center;"><math>(\lambda P+Q)(\varphi) = \lambda P(\varphi) + Q(\varphi)</math></div>
<div style="text-align: center;"><math>(PQ)(\varphi) = P(\varphi) \circ Q(\varphi)</math>.</div>
}}

{{Exemple|contenu=
Si <math>P(X) = X^2 -X+3</math>, alors <math>\forall x\in E\quad P(\varphi)(x) = (\varphi^2)(x) - \varphi(x) + 3x = \varphi(\varphi(x)) - \varphi(x) + 3x</math>.
}}

== Idéal annulateur  ==
{{Définition
  | titre   = Définition : Idéal annulateur d'un endomorphisme
  | contenu =
On appelle '''idéal annulateur <math>\mathcal I</math> d'un endomorphisme <math>\varphi</math>''' l’ensemble des polynômes qui annulent <math>\varphi</math>, c'est-à-dire :
<div style="text-align: center;"><math>\mathcal I = \{ P\in K[X]\mid P(\varphi) = 0\}</math>.</div>
}}
C'est bien un [[Anneau (mathématiques)/Définitions|idéal]], puisque c'est le noyau de <math>f_{\varphi}</math>.

On montre dans [[Polynôme/Arithmétique des polynômes|le cours sur les polynômes]] que <math>K[X]</math> est un anneau principal, ce qui permet de dire que :
{{Théorème
  | titre = Théorème et définition : Polynôme minimal d'un endomorphisme|contenu={{Wikipédia|Polynôme minimal d'un endomorphisme}}
Si l'idéal <math>\mathcal I</math> n'est pas nul, son unique générateur unitaire est appelé le '''polynôme minimal <math>\mu_\varphi</math> de <math>\varphi</math>'''.
Cela signifie que :
<div style="text-align: center;"><math>\forall P\in K[X]\quad P(\varphi) = 0 \iff \mu_\varphi\mid P</math>.</div>}}

(La barre verticale signifie « divise ».) Nous verrons au chapitre suivant que si <math>E</math> est de dimension finie alors <math>\mathcal I</math> n'est pas nul, ainsi qu'un contre-exemple en dimension infinie.

== Lemme des noyaux  ==

{{Théorème
  | contenu=Soient <math>\varphi\in\operatorname L(E)</math> et <math>P,Q\in K[X]</math> tels que <math> \text{pgcd}(P,Q)=1</math>.

Alors <math>\ker[(P Q)(\varphi)] =\ker(P(\varphi)) \oplus\ker(Q(\varphi))</math>.}}

{{Démonstration déroulante
  |contenu = On va montrer d’une part l'égalité (par double inclusion) et d’autre part le fait que les noyaux de <math>P(\varphi)</math> et <math>Q(\varphi)</math> sont en somme directe.

Le point-clé de la démonstration est le [[Polynôme/Arithmétique des polynômes#Théorèmes d'Arithmétique|théorème de Bézout]] : comme <math>P</math> et <math>Q</math> sont premiers entre eux, il existe deux polynômes <math>A</math> et <math>B</math> tels que <math>AP+BQ = 1</math> et donc :

<div style="text-align: center;"><math>(AP)(\varphi)+(BQ)(\varphi)=\mathrm{Id}_E</math>.</div>

* '''Montrons que <math>\ker[(PQ)(\varphi)] \subset\ker[P(\varphi)]+\ker[Q(\varphi)].</math>'''
*:Tout vecteur <math>x\in E</math> s'écrit <math>x=y+z</math> avec <math>y=(AP)(\varphi)(x)</math> et <math>z=(BQ)(\varphi)(x)</math>.
*:Or <math>Q(\varphi)\circ(AP)(\varphi)=A(\varphi)\circ(PQ)(\varphi)</math> donc si <math>(PQ)(\varphi)(x)=0</math> alors <math>Q(\varphi)(y)=0</math>.
*:De même, si <math>(PQ)(\varphi)(x)=0</math>  alors <math>P(\varphi)(z)=0</math>.
*:Par conséquent, si <math>x\in\ker(PQ)(\varphi)</math> alors <math>x</math> est la somme d'un vecteur <math>z\in\ker(P(\varphi))</math> et d'un vecteur <math>y\in\ker(Q(\varphi))</math>.
* '''Montrons que <math>\ker[P(\varphi)]+\ker[Q(\varphi)]\subset\ker[(PQ)(\varphi)].</math>'''
*:<math>(PQ)(\varphi)=Q(\varphi)\circ P(\varphi)</math> donc <math>\ker[P(\varphi)]\subset\ker[(PQ)(\varphi)]</math>. De même, <math>\ker[Q(\varphi)]\subset\ker[(PQ)(\varphi)]</math>. Puisque <math>\ker[P(\varphi)]</math> et <math>\ker[Q(\varphi)]</math> sont inclus dans le sous-espace vectoriel <math>\ker[(PQ)(\varphi)]</math>, leur somme l'est aussi.
* '''Montrons que les sous-espaces <math>\ker[P(\varphi)]</math> et <math>\ker[Q(\varphi)]</math> sont en somme directe.''' 
*:<math>(AP)(\varphi)=A(\varphi)\circ P(\varphi)</math> donc <math>\ker[P(\varphi)]\subset\ker[(AP)(\varphi)]</math>. De même, <math>\ker[Q(\varphi)]\subset\ker[(BQ)(\varphi)]</math>. Par conséquent,
*:<math>\ker[P(\varphi)]\cap\ker[Q(\varphi)]\subset\ker[(AP)(\varphi)]\cap\ker[(BQ)(\varphi)]\subset\ker[(AP)(\varphi)+(BQ)(\varphi)]=\ker[\operatorname{Id}_E]=\{0\}.</math>
}}

On en déduit par récurrence le :

{{Lemme
  | titre = Lemme des noyaux
  |contenu =
Soient <math>P_0,\ldots,P_m\in K[X]</math> '''deux à deux premiers entre eux'''. Alors :
<div style="text-align: center;"><math>\ker\left(\prod_{i=0}^m P_i(\varphi)\right) = \bigoplus_{i=0}^m \ker\;P_i(\varphi)</math>.</div>}}

== Stabilité ==
{{Propriété
  |contenu =
Si <math>P,Q\in K[X]</math> et <math>\varphi\in\operatorname L(E)</math>, alors <math>\mathrm{Ker}(P(\varphi))</math> et <math>\mathrm{Im}(P(\varphi))</math> sont stables par <math>Q(\varphi)</math>.}}

[[../Sous-espaces stables#Lien avec la commutativité|Cela est dû au fait]] que <math>P(\varphi)</math> et <math>Q(\varphi)</math> commutent.

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  | suivant   = [[../Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique/]]
}}