Voir la source de Propositions et opération élémentaire/Conjonctions et disjonctions

{{Chapitre
  | niveau    = 11
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 4
  | précédent = [[../Négations/]]
  | suivant = [[../|Sommaire]]
}}

Soient '''<math>p</math>''' et '''<math>q</math>''' deux propositions.





== Conjonction ==

=== Conjonction de deux propositions ===
<u>Définition</u> :{{Définition
  | titre   = Conjonction
  | contenu =
La '''conjonction des propositions p et q''' est la proposition notée '''« p et q »''' (ou '''<math>p \land q</math>'''), qui est vraie si et seulement si '''p''' et '''q''' sont simultanément vraies. Tous les autres résultats sont faux.}}


La table de vérité de la proposition '''<math>p \land q</math>''' est la suivante :
{| class="wikitable"
|+
!Valeur de vérité de la proposition <math>p</math>
!Valeur de vérité de la proposition <math>q</math>
!Valeur de vérité de la proposition <math>p \land q</math>
|-
|VRAIE
|VRAIE
|VRAIE
|-
|VRAIE
|FAUSSE
|FAUSSE
|-
|FAUSSE
|VRAIE
|FAUSSE
|-
|FAUSSE
|FAUSSE
|FAUSSE
|}

== Disjonction ==

=== Disjonction de deux propositions ===
<u>Définition</u> :{{Définition
  | titre   = Disjonction
  | contenu =
La '''disjonction des propositions p et q''' est la proposition notée '''« p ou q »''' (ou '''<math> p \lor q</math>'''), qui est vraie si et seulement si '''p''' et '''q''' sont simultanément vraies, et fausse si et seulement si '''p''' et '''q''' sont simultanément fausses. Tous les autres résultats sont vrais.}}


La table de vérité de la proposition '''<math>p \lor q</math>''' est la suivante :
{| class="wikitable"
|+
!Valeur de vérité de la proposition <math>p</math>
!Valeur de vérité de la proposition <math>q</math>
!Valeur de vérité de la proposition '''<math>p \lor q</math>'''
|-
|VRAIE
|VRAIE
|VRAIE
|-
|VRAIE
|FAUSSE
|VRAIE
|-
|FAUSSE
|VRAIE
|VRAIE
|-
|FAUSSE
|FAUSSE
|FAUSSE
|}



L'opérateur « '''ou''' » est '''inclusif''', c'est-à-dire : '''si <math>p \land q</math> est vraie, alors <math>p \lor q</math> est vraie'''.

On peut résumer tout cela dans la table de vérité suivante :

{| class="wikitable" 
! Valeur de vérité de la proposition <math>p</math>
! Valeur de vérité de la proposition  <math>q</math>
! Valeur de vérité de la proposition <math>p \lor q</math>
! Valeur de vérité de la proposition <math>p \land q</math>
|-

| VRAIE
| VRAIE
| VRAIE
| VRAIE
|-

| VRAIE
| FAUSSE
| VRAIE
| FAUSSE
|-

| FAUSSE
| VRAIE
| VRAIE
| FAUSSE
|-

| FAUSSE
| FAUSSE
| FAUSSE
| FAUSSE
|}

Maintenant étudions cette table de vérité :

{|class="wikitable" 
! Valeur de la proposition  <math>p</math>
! Valeur de la proposition <math>q</math>
! Valeur de la proposition <math>p \land q</math>
! Valeur de la proposition <math>\bar p \lor \bar q</math>
|-

| VRAIE
| VRAIE
| VRAIE
| FAUSSE
|-

| VRAIE
| FAUSSE
| FAUSSE
| VRAIE
|-

| FAUSSE
| VRAIE
| FAUSSE
| VRAIE
|-

| FAUSSE
| FAUSSE
| FAUSSE
| VRAIE
|}

On remarque que '''<math>\overline {p \land q}</math>''' est équivalente à '''<math>\bar p \lor \bar q</math>'''.
De même, on obtiendrait <math>\overline {p \lor q}</math> est équivalente à <math>\bar p \land \bar q</math>. <br />
On peut résumer ces propriétés en disant que la '''négation d'un « ou » est un « et »''' et la '''négation d'un « et » est un « ou »'''.

Dans des exemples :

{| class="wikitable" 
| (<math>2 > 10</math>) ou (<math>x^2=4</math> a au moins une solution.)
| Vraie
|-

| (4 est pair) et (Les mammouths ont disparu)
| Vraie
|-

| (<math>x+1=x+2-1</math>) et (<math>\frac{16}{4}=3</math>)
| Faux
|-

| <math>\scriptstyle{\overline {4^2=16}}</math>
| Faux
|-

| <math>\scriptstyle{\overline {(x>2) \land (x<2)}}</math>
| Vraie
|}
== Négation des conjonctions et disjonctions (règles de De Morgan)  ==
Elles ont été formulées par le mathématicien britannique [[w:Auguste De Morgan|Augustus De Morgan]] (1806-1871).

Soient '''<math>P_1</math>''' et '''<math>P_2</math>''' deux propositions.

{{Théorème
  | titre=Négation d'une conjonction|contenu=
'''<math>\lnot(P_{1}\land P_{2}) \leftrightarrow (\lnot P_{1})\lor (\lnot P_{2})</math>'''
}}
La négation d'une conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations de ces deux propositions.

{{Théorème
  | titre=Négation d'une disjonction|contenu=
<math>\lnot(P_{1}\lor P_{2}) \leftrightarrow (\lnot P_{1})\land (\lnot P_{2})</math>}}

La négation d'une disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations de ces deux propositions.

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