Voir la source de Problème à deux corps, réduction canonique

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 2
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels/]]
  | suivant   = [[../Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels/]]
}}

== Exposé du problème ==

{{Al|5}}Le but est de déterminer les mouvements des deux points matériels dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> le plus simplement possible et pour cela on recherche successivement :

# le mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>par théorème du C.D.I<ref name="C.D.I." />.<math>\big)</math>, ce qui permet de connaître le mouvement d'entraînement du référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref name="référentiel barycentrique"> On rappelle que le référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels est le référentiel lié à son C.D.I. en translation relativement au référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> puis
# le mouvement barycentrique de chaque point<ref>''A priori'' <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> n'étant pas galiléen, <math>\;M_2\;</math> est soumis aux forces <math>\;\vec{F}_{2\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>, <math>\;\vec{F}_{2\, \leftarrow\, 1}\;</math> et à la pseudo-force d'inertie d'entraînement <math>\;\vec{f}_{\text{in},\,e}(M_2) =</math> <math>-m_2\;\vec{a}_\mathcal{R}(G)\;</math> d’où l’application de la r.f.d. à <math>\;M_2\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> <math>\Rightarrow</math> le mouvement barycentrique de <math>\;M_2</math>, et comme <math>\;m_1\;\overrightarrow{GM_1} + m_2\;\overrightarrow{GM_2} = \vec{0}</math>, la connaissance du mouvement barycentrique de <math>\;M_2\;</math> <math>\Rightarrow</math> celle de <math>\;M_1</math>.</ref> ;

{{Al|5}}de la connaissance du mouvement barycentrique de chaque point et de celle du mouvement d’entraînement de <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit, par composition newtonienne des mouvements, le mouvement de chaque point dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>.

{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Faire une réduction canonique du système des deux points<ref> Ce qui est l’objet de ce chapitre.</ref> n’est vraiment utile que dans le cas où le système est isolé ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans ce cas <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> est galiléen et il n’y a pas d’introduction de pseudo-force d’inertie d’entraînement.

== Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique ==

<div style="text-align: center;">Le but est d’exprimer ces grandeurs cinétiques par utilisation du mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1\;</math><ref> Repérer par rapport à <math>\;M_1\;</math> est arbitraire, on pourrait tout aussi bien choisir de repérer par rapport à <math>\;M_2\;</math> mais il faudrait, dans ce qui suit, permuter les indices <math>\;_1\;</math> et <math>\;_2</math>.</ref>.</div>
=== Comparaison des quantités de mouvement barycentriques de chaque point ===

{{Al|5}}La résultante cinétique barycentrique <math>\vec{P}^{*}\;</math> étant nulle par propriété la liant à la vitesse barycentrique du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref> Laquelle est nulle par définition.</ref> <math>\;\vec{P}^{*} = (m_1 + m_2)\;\vec{V}^{*}\!(G) = \vec{0}\;</math> on déduit, de la définition de la résultante cinétique barycentrique <math>\;\vec{P}^{*} = \vec{p}^{*}_1 + \vec{p}^{*}_2</math>, que <div style="text-align: center;"><math>\;\vec{p}^{*}_1 = -\vec{p}^{*}_2</math>, c.-a-d. les quantités de mouvement barycentrique de chaque point sont opposées.</div>
=== Expression de la quantité de mouvement barycentrique de M<sub>2</sub> en fonction de la vitesse relative de M<sub>2</sub> par rapport à M<sub>1</sub> ===

{{Al|5}}De <math>\;\vec{p}^{*}_2 = m_2\;\vec{v}_{\mathcal{R}^{*}}(M_2)\;</math> et de l’utilisation de la loi de composition newtonienne des vitesses dans laquelle <math>\;\mathcal{R}_1\;</math><ref> C'est le référentiel lié à <math>\;M_1\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et donc aussi en translation par rapport au référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>.</ref> représente le référentiel d’entraînement, le référentiel absolu étant <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> nous conduisant à <math>\;\vec{v}_{\mathcal{R}^{*}}(M_2) = \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2) + \vec{v}_{\mathcal{R}^{*}}(M_1)\;</math> d’où <math>\;\vec{p}^{*}_2 = m_2\;\vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2) + m_2\;\vec{v}_{\mathcal{R}^{*}}(M_1)\;</math> que l'on peut réécrire en utilisant <math>\;\vec{p}^{*}_1 = m_1\;\vec{v}_{\mathcal{R}^{*}}(M_1)\;</math> d'où <math>\;\vec{p}^{*}_2 = m_2\;\vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2) + \dfrac{m_2}{m_1}\;\vec{p}^{*}_1\;</math> puis uniquement <math>\;\vec{p}^{*}_2 = -\vec{p}^{*}_1\;</math> soit <math>\;\vec{p}^{*}_2 = m_2\;\vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2) - \dfrac{m_2}{m_1}\;\vec{p}^{*}_2\;</math> ou <math>\left( 1 + \dfrac{m_2}{m_1} \right) \vec{p}^{*}_2 = m_2\;\vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2)\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\vec{p}^{*}_2 = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\;\vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2)</math>.</div>
=== Expression du moment cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M<sub>2</sub> par rapport à M<sub>1</sub> ===

{{Al|5}}Le moment cinétique barycentrique du système <math>\;\vec{\sigma}^{*}\;</math> étant indépendant du point origine de calcul, on peut le calculer en <math>\;M_1\;</math> d'où <math>\;\vec{\sigma}^{*} =</math> <math>\cancel{\overrightarrow{M_1M_1} \wedge m_1\; \vec{v}^{*}(M_1)} + \overrightarrow{M_1M_2} \wedge m_2\;\vec{v}^{*}(M_2) = \overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{p}^{*}_2\;</math> soit, en utilisant le résultat obtenu au paragraphe précédent <div style="text-align: center;"><math>\;\vec{\sigma}^{*} = \overrightarrow{M_1M_2} \wedge \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\;\vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2)</math><ref> Le calcul en un autre point, par exemple <math>\;G</math>, conduisait à <math>\;\vec{\sigma}^{*} = \overrightarrow{GM_1} \wedge \vec{p}^{*}_1 + \overrightarrow{GM_2} \wedge \vec{p}^{*}_2\;</math> soit, en remplaçant <math>\;\vec{p}^{*}_1\;</math> par <math>\;-\vec{p}^{*}_2\;</math> et en factorisant, <math>\;\vec{\sigma}^{*} = \left[ \overrightarrow{GM_2} - \overrightarrow{GM_1} \right] \wedge \vec{p}^{*}_2 = \overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{p}^{*}_2 = \overrightarrow{M_1M_2} \wedge \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\;\vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2)\;</math> par utilisation du résultat obtenu au paragraphe précédent.</ref>.</div>
=== Expression de l'énergie cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M<sub>2</sub> par rapport à M<sub>1</sub> ===

{{Al|5}}Par définition, l'énergie cinétique barycentrique du système s'écrit <math>\;K^{*} = \dfrac{\left[ \vec{p}^{*}_1 \right]^2}{2\; m_1} + \dfrac{\left[ \vec{p}^{*}_2 \right]^2}{2\; m_2}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{p}^{*}_1 = - \vec{p}^{*}_2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Vert \vec{p}^{*}_1 \Vert = \Vert \vec{p}^{*}_2 \Vert\;</math> de valeur commune notée <math>\;p^{*}_2</math>, <math>\;K^{*} = \dfrac{\left[ p^{*}_2 \right]^2}{2} \left( \dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2} \right) =</math> <math>\dfrac{\left[ p^{*}_2 \right]^2}{2} \dfrac{m_2 + m_1}{m_1\; m_2}\;</math> soit encore, avec <math>\;p^{*}_2 = \dfrac{m_1\; m_2}{m_1 + m_2}\; \Vert \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2) \Vert = \dfrac{m_1\; m_2}{m_1 + m_2}\; v_{\mathcal{R}_1}(M_2)\;</math> où <math>\;v_{\mathcal{R}_1}(M_2) = \Vert \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2) \Vert\;</math> et par simplification évidente <div style="text-align: center;"><math>\;K^{*} = \dfrac{1}{2}\; \dfrac{m_1\; m_2}{m_1 + m_2} \left[ v_{\mathcal{R}_1}(M_2) \right]^2</math>.</div>
=== Notion de mobile réduit ===

==== Définition ====

{{Al|5}}Le mobile réduit <math>\;M\;</math> du système de deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1 \left( m_1 \right) \, ,\, M_2 \left( m_2 \right) \right\rbrace\;</math> est le point fictif 
* de masse égale à la masse réduite du système de deux points <math>\;\mu = \dfrac{m_1\; m_2}{m_1 + m_2}\;</math> <math>\bigg[</math>définition équivalente à <math>\;\dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2}\bigg]\;</math> et
* de mouvement barycentrique tel que son vecteur position repéré par rapport à <math>\;G\;</math> est identique, à tout instant, au vecteur position relatif de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1\;</math> soit <math>\;\overrightarrow{GM}(t) = \overrightarrow{M_1M_2}(t)\;\;\forall\;t</math> <math>\;\big[</math>on peut donc affirmer que le mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> est identique au mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1\big]</math>.

{{Al|5}}<u>Propriétés</u> : <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> étant en translation l’un par rapport à l’autre, les dérivées temporelles sont indépendantes du référentiel dans lequel on dérive et par suite on peut affirmer 
* {{Transparent|Propriétés : }}que <math>\;\overrightarrow{GM}(t) = \overrightarrow{M_1M_2}(t)\;\;\forall\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left[ \dfrac{d \overrightarrow{GM}}{dt} \right]_{\mathcal{R}^{*}}(t) = \left[ \dfrac{d \overrightarrow{M_1M_2}}{dt} \right]_{\mathcal{R}_1}(t)\;</math> soit <math>\;\vec{v}^{*}(M,\,t) = \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2,\,t)\;\;\forall\;t\;</math> ainsi 
* {{Transparent|Propriétés : }}que <math>\;\vec{v}^{*}(M,\,t) = \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2,\,t)\;\;\forall\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left[ \dfrac{d \vec{v}^{*}(M)}{dt} \right]_{\mathcal{R}^{*}}(t) = \left[ \dfrac{d \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2)}{dt} \right]_{\mathcal{R}_1}(t)\;</math> soit <math>\;\vec{a}^{*}(M,\,t) = \vec{a}_{\mathcal{R}_1}(M_2,\,t)\;\;\forall\;t</math>.

==== Grandeurs cinétiques barycentriques du mobile réduit ====

===== Quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit =====

{{Al|5}}Comme <math>\;\vec{v}^{*}(M,\,t) = \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2,\,t)\;\;\forall\;t\;</math> on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la masse réduite <math>\;\mu = \dfrac{m_1\; m_2}{m_1 + m_2}</math>, la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;\vec{p}^{*}(M,\,t) =</math> <math>\mu\; \vec{v}^{*}(M,\,t) = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\; \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2,\,t)</math>, cette dernière expression étant aussi <math>\;\vec{p}^{*}_2\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\vec{p}^{*}(M,\,t) = \vec{p}^{*}_2(t)\;</math> ou encore <br>les quantités de mouvement barycentriques du mobile réduit <math>\;M\;</math> et du point <math>\;M_2\;</math> sont identiques à tout instant.</div>
===== Moment cinétique barycentrique du mobile réduit =====

{{Al|5}}D'après <math>\;\vec{p}^{*}(M,\,t) = \vec{p}^{*}_2(t)\;\;\forall\;t\;</math> on en déduit, en multipliant vectoriellement à gauche de part et d'autre par la masse réduite <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{M_1M_2}</math>, le moment cinétique barycentrique du mobile réduit calculé par rapport à <math>\;G\;</math> soit <math>\;\vec{\sigma}^{*}_G(M,\,t) = \overrightarrow{GM} \wedge \vec{p}^{*}(M,\,t) =</math> <math>\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{p}^{*}_2(t)</math>, cette dernière expression étant aussi <math>\;\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\; \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2,\,t) = \vec{\sigma}^{*}(t)\;</math> c'est-à-dire le moment cinétique barycentrique du système soit <div style="text-align: center;"><math>\;\vec{\sigma}^{*}_G(M,\,t) = \vec{\sigma}^{*}(t)\;</math> ou encore <br>les moments cinétiques barycentriques du mobile réduit <math>\;M\;</math> calculé en <math>\;G\;</math> et du système des deux points <math>\;\left\lbrace M_1\, ,\, M_2 \right\rbrace\;</math><ref> Le calcul du moment cinétique barycentrique du système des deux points pouvant être fait en n'importe quel point origine.</ref> sont identiques à tout instant.</div>
===== Énergie cinétique barycentrique du mobile réduit =====

{{Al|5}}Comme <math>\;\vec{v}^{*}(M,\,t) = \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2,\,t)\;\;\forall\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left[ \vec{v}^{*}(M,\,t) \right]^2 = \left[ \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2,\,t) \right]^2\;\;\forall\;t\;</math> on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la moitié de la masse réduite <math>\;\dfrac{1}{2}\;\mu = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{m_1\; m_2}{m_1 + m_2}</math>, l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit <math>\;K^{*}(M,\,t) = \dfrac{1}{2}\;\mu \left[ \vec{v}^{*}(M,\,t) \right]^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\; \left[ \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2,\,t) \right]^2</math>, cette dernière expression étant aussi l'énergie cinétique barycentrique du système des deux points <math>\;K^{*}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;K^{*}(M,\,t) = K^{*}(t)\;</math> ou encore <br>les énergies cinétiques barycentriques du mobile réduit <math>\;M\;</math> et du du système des deux points <math>\;\left\lbrace M_1\, ,\, M_2 \right\rbrace\;</math> sont identiques à tout instant.</div>
===== Conclusion =====

{{Al|5}}En conclusion les propriétés cinétiques barycentriques du mobile réduit <math>\;M\;</math> sont celles du système des deux points <math>\;\left\lbrace M_1\, ,\, M_2 \right\rbrace\;</math> à l’exception de son vecteur quantité de mouvement qui s’identifie à celui de <math>\;M_2</math><ref> Il est aisé de se souvenir que la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit ne peut être celle du système des deux points <math>\;\left\lbrace M_1\, ,\, M_2 \right\rbrace\;</math> car celle de ce dernier <math>\;\vec{P}^{*} = (m_1 + m_2)\;\vec{v}^{*}(G)\;</math> est nulle.</ref>.

== Étude du mouvement barycentrique du mobile réduit dans le cas d'un système de deux points isolé ==

=== Conséquence du caractère isolé du système ===

{{Al|5}}Si le système des deux points <math>\;\left\lbrace M_1\;(m_1)\, , \,M_2\;(m_2) \right\rbrace\;</math> est isolé, l'application du théorème du C.D.I<ref name="C.D.I." />. dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen à ce système conduit à la propriété de mouvement rectiligne uniforme de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> et par suite au <u>caractère galiléen du référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> car ce dernier est en translation rectiligne uniforme par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen.

=== Recherche de la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M<sub>2</sub> par rapport à M<sub>1</sub> et conséquence ===

{{Al|5}}Si on applique la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation fondamentale de la dynamique newtonienne.</ref>. à <math>\;M_2\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> galiléen on obtient <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \dfrac{d \vec{p}^{*}_2}{dt}(t)\;</math> ou, la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> s'identifiant à la quantité de mouvement barycentrique du point <math>\;M_2\;</math> soit <math>\;\vec{p}^{*}_M(t) = \vec{p}^{*}_2(t)\;\;\forall\; t</math>, on peut réécrire la relation précédente sous la forme <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>\dfrac{d \vec{p}^{*}_M}{dt}(t)\;</math> et en déduire <div style="text-align: center;">la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1</math> : <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}</math>.</div>
{{Al|5}}<u>Conséquence</u> : La force que le point <math>\;M_1\;</math> exerce sur le point <math>\;M_2\;</math><ref> C'est-à-dire la force que le point origine du repérage relatif <math>\;\big(</math>point lié au référentiel <math>\;\mathcal{R}_1\big)\;</math> exerce sur le point dont on cherche le repérage relatif.</ref> <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2},\, \theta_{1,\,2},\, \varphi_{1,\,2})\;\vec{u}_{1,\,2}\;</math><ref> Les variables étant <math>\;r_{1,\,2} = \Vert \overrightarrow{M_1M_2} \Vert</math>, <math>\;\vec{u}_{1,\,2} = \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{r_{1,\,2}}\;</math> et <math>\;(\theta_{1,\,2},\, \varphi_{1,\,2})\;</math> les deux angles permettant de repérer la direction de <math>\;\overrightarrow{M_1M_2}\;</math> dans l'espace selon le repérage sphérique.</ref> devient, avec <math>\;\overrightarrow{M_1M_2} = \overrightarrow{GM}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;r_{1,\,2}\;\vec{u}_{1,\,2} = r_M\;\vec{u}_r(M)\;</math><ref> Si <math>\;r_M = \Vert \overrightarrow{GM} \Vert</math> <math>\;\big[</math>{{1re}} coordonnée sphérique <math>\;\big(</math>radiale<math>\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> dans son repérage sphérique de pôle <math>\;G\big]\;</math> et <math>\;\vec{u}_r(M) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{GM}}{r_M}</math> <math>\;\big[</math>{{1er}} vecteur de base sphérique <math>\;\big(</math>radial<math>\big)\;</math> lié à <math>\;M\;</math> dans son repérage sphérique de pôle <math>\;G\big]</math>, <math>\;(\theta_M,\, \varphi_M)\;</math> étant les deux autres coordonnées sphériques <math>\;\big(</math>respectivement orthoradiale et azimutale<math>\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> dans son repérage sphérique de pôle <math>\;G</math>.</ref>, <div style="text-align: center;"><math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_M,\, \theta_M,\, \varphi_M)\;\vec{u}_r(M)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <u>le mobile réduit '''M''' a un mouvement à force centrale</u> d'où <br> mouvement plan (ou rectiligne), application de la loi des aires, utilisation possible des formules de Binet <math>\;\ldots</math></div>
=== Cas où les forces intérieures au système de points sont conservatives ===

{{Al|5}}Les forces intérieures sont conservatives ssi <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2},\, \theta_{1,\,2},\, \varphi_{1,\,2})\;\vec{u}_{1,\,2}\;</math><ref> L'autre force s'exerçant sur <math>\;M_1\;</math> s'écrit <math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2},\, \theta_{1,\,2},\, \varphi_{1,\,2})\;\vec{u}_{2,\,1}\;</math> avec la même composante sur <math>\;\vec{u}_{2,\,1}\;</math> que celle de <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_{1,\,2}</math>.</ref> est telle que <math>\;F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2},\, \theta_{1,\,2},\, \varphi_{1,\,2})\;</math> ne dépende pas des variables angulaires mais uniquement de <math>\;r_{1,\,2}</math> ; 

{{Al|5}}sous cette condition l'énergie potentielle d'interaction <math>\;U_{2\,\leftrightarrow\,1}\;</math> dont dérive la force intérieure <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})\;\vec{u}_{1,\,2}\;</math> se détermine par <math>\;dU_{2\,\leftrightarrow\,1} =</math> <math>-\delta W(\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}) = -\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} \cdot \overrightarrow{d M_1M_2}\;</math> soit <math>\;dU_{2\,\leftrightarrow\,1} = -F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})\; dr_{1,\,2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})\;</math> est une primitive de <math>\;-F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})\;</math> et plus précisément, par choix de la référence de l'énergie potentielle d'interaction<ref> On rappelle que c'est la situation géométrique où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand les deux points sont éloignés à l'infini, <div style="text-align: center;"><math>\;U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2}) = \displaystyle\int_\infty^{r_{1,\,2}} -F_{2\,\leftrightarrow\,1}({r'}_{1,\,2})\; d{r'}_{1,\,2} = \displaystyle\int^\infty_{r_{1,\,2}} F_{2\,\leftrightarrow\,1}({r'}_{1,\,2})\; d{r'}_{1,\,2}</math></div>
{{Al|5}}Nous avons vu précédemment que le mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> s'identifiant, par définition, au mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1</math>, peut être déterminé par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à condition d'appliquer à <math>\;M\;</math> la force <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})\;\vec{u}_{1,\,2}\;</math> que <math>\;M_1\;</math> exerce sur <math>\;M_2</math>, force qui se réécrit à l’aide du repérage sphérique de pôle <math>\;G\;</math> lié à <math>\;M\;</math> selon <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_M)\;\vec{u}_r(M)\;</math><ref> On rappelle que <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{M_1M_2}\;</math> d'où <math>\;r_M = r_{1,\,2}\;</math> et <math>\;\vec{u}_r(M) = \vec{u}_{1,\,2}</math>.</ref> ; du caractère conservatif de la force <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math> on en déduit que la force appliquée à <math>\;M\;</math> est aussi conservative et l’énergie potentielle dont elle dérive étant telle que <math>\;F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_M)\; dr_M =</math> <math>F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})\; dr_{1,\,2} =</math> <math>-dU_{2\,\leftrightarrow\,1}\;</math><ref> La dernière égalité définissant l'énergie potentielle d'interaction entre les deux points.</ref>, on en déduit qu'elle s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction du système c'est-à-dire à <math>\;U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})\;</math> ou plus précisément, en remplaçant <math>\;r_{1,\,2}\;</math> par <math>\;r_M</math>, elle s'identifie à <math>\;U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_M)\;</math><ref> En choisissant une référence pour le mobile réduit formellement identique à celle précédemment choisie pour les deux points du système, à savoir quand <math>\;M\;</math> est à l'infini du C.D.I. <math>\;G</math>.</ref> ;

{{Al|5}}on en déduit que le mobile réduit <math>\;M</math>, dans ce champ de force <math>\;\vec{F}_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_M)\;\vec{u}_r(M)\;</math> conservative, possède l’énergie mécanique barycentrique <div style="text-align: center;"><math>\;E^{*}_m(M) = K^{*}(M) + U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_M)\;</math> </div>
{{Al|5}}avec l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit qui s'identifie à celle du système des deux points soit <math>\;K^{*}(M) = K^{*}\;</math> et l'énergie potentielle dont dérive la force appliquée à <math>\;M\;</math> qui s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction entre les deux points soit <math>\;U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_M) = U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})</math> ; 

{{Al|5}}par conséquent l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> est identifiable à l'énergie mécanique barycentrique du système de points soit <div style="text-align: center;"><math>\;E_m^{*}(M) = E_m^{*}</math>, cette dernière étant <math>\;E_m^{*} = K^{*} + U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})</math>.</div>
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : Comme il n’y a pas d’autre force, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit <math>\;\big(</math>ainsi que celle du système des deux points<math>\big)\;</math> est conservée soit <div style="text-align: center;"><math>\;E^{*}_m(M) = cste</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;E^{*}_m = cste\big]</math>, d'où <br>le mouvement étant à force centrale, possibilité de faire un traitement par diagrammes d’énergie potentielle effective<ref name="énergie potentielle effective"> Somme de l'énergie potentielle et de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>barycentrique<math>\big)</math>, l'énergie potentielle effective <math>\;\big(</math>barycentrique<math>\big)</math> <math>\;U_{\text{eff}}^{*}\;</math> ne dépend que de <math>\;r_M\;</math> et l'énergie mécanique <math>\;\big(</math>barycentrique<math>\big)\;</math> se réécrit <math>\;E_m^{*}(M) = \dfrac{1}{2}\;\mu\; \left( \dot{r_M} \right)^2 + U_{\text{eff}}^{*}(r_M)\;</math> permettant de se ramener au traitement d'un problème à une dimension de paramètre <math>\;r_M</math>.</ref> et d’énergie mécanique.</div>

=== Bilan des théorèmes applicables pour déterminer le mouvement barycentrique du mobile réduit ===

{{Al|5}}Tous les théorèmes fondamentaux de la mécanique du point matériel sont applicables au mobile réduit <math>\;M\;</math> d'un système de deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1\;(m_1)\, ,\, M_2\;(m_2) \right\rbrace\;</math> isolé dans son référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> si on lui impose <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math><ref> Si le mobile réduit est défini pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1</math> <math>\;\big(</math>et non l'inverse, ce qui l'est dans certaines présentations du mobile réduit, à savoir le mouvement barycentrique de ce dernier devant être identique au mouvement relatif de <math>\;M_1\;</math> par rapport à <math>\;M_2</math>, dans cette présentation la force imposée au mobile réduit doit aussi être l'inverse c'est-à-dire <math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2}</math>, ajoutons qu'avec cette définition la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit s'identifie à la quantité de mouvement barycentrique du point <math>\;M_1\big)</math>.</ref> c'est-à-dire : 

* la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. <math>\;\big(</math>la force à imposer au mobile réduit ayant été déterminée pour pouvoir déterminer son mouvement par cette relation<math>\big)</math>,

* le théorème du moment cinétique vectoriel<ref> Applicable avec une origine de calcul des moments fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> par exemple <math>\;G</math>.</ref>, ici la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale, il y a conservation du moment cinétique vectoriel du mobile réduit calculé en prenant <math>\;G\;</math> comme origine <math>\;\vec{\sigma}_G^{*}(M) = \overrightarrow{\text{cste}}\;</math><ref> Le moment cinétique barycentrique du mobile réduit calculé en prenant <math>\;G\;</math> comme origine <math>\;\vec{\sigma}_G^{*}(M)\;</math> s'identifie au moment cinétique barycentrique du système des deux points <math>\;\vec{\sigma}^{*}</math> <math>\;\Big(</math>lequel est indépendant du point origine choisi car la relation entre les moments cinétiques barycentriques du système calculés en deux origines distinctes <math>\;O\;</math> et <math>\;O'\;</math> est <math>\;\vec{\sigma}^{*}_O = \vec{\sigma}^{*}_{O'} + \cancel{\overrightarrow{OO'} \wedge \vec{P}^{*}}</math>, la résultante cinétique barycentrique du système étant, par définition du référentiel barycentrique, nulle<math>\Big)\;</math> et la raison de la conservation du moment cinétique barycentrique du système est que ce dernier est isolé {{Nobr|<math>\;\big(</math>absence}} de forces extérieures au système<math>\big)</math>.</ref>,

* le théorème de l'énergie cinétique<ref> Théorème obtenu en intégrant de part et d'autre le théorème de la puissance cinétique entre deux positions correspondant à des instants quelconques, le théorème de la puissance cinétique s'obtenant à partir de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>laquelle s'applique à condition d'imposer la force adéquate au mobile réduit<math>\big)\;</math> en multipliant scalairement de part et d'autre par <math>\;\vec{v}^{*}(M)\;</math> soit <math>\;F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_M)\;\vec{u}_r(M) \cdot \vec{v}^{*}(M) =</math> <math>\mu\; \dfrac{d \vec{v}^{*}}{dt}(M) \cdot \vec{v}^{*}(M)</math>, le {{1er}} membre définissant la puissance de la force appliquée au mobile réduit dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{P}^{*}\!\left[F_{2\,\leftrightarrow\,1}(M)\right]\;</math> qui s'identifie à la puissance développée par les forces intérieures au système <math>\;\Big\{</math>car <math>\;\mathcal{P}^{*}\!\left[\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}(M)\right] = F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_M)\;\vec{u}_r(M) \cdot \vec{v}^{*}(M) = F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{2,\,1})\;\vec{u}_{2,\,1} \cdot \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2)</math>, <math>\;\vec{v}^{*}(M)\;</math> s'identifiant à la vitesse relative de <math>\;M_2\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> soit <math>\;\mathcal{P}^{*}\!\left[\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}(M)\right] = F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{2,\,1})\;\vec{u}_{2,\,1} \cdot \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_2) + \cancel{F_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{2,\,1})\;\vec{u}_{1,\,2} \cdot \vec{v}_{\mathcal{R}_1}(M_1)} = \mathcal{P}_{\text{int}}\Big\}</math>, le 2<sup>ème</sup> membre définissant la puissance cinétique barycentrique du mobile réduit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit<math>\big)\;</math> qui s'identifie à la puissance cinétique barycentrique du système <math>\;\big(</math>la raison étant l'identification de l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit avec l'énergie cinétique barycentrique du système d'où l'identification de leurs dérivées temporelles<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}le théorème de la puissance cinétique barycentrique appliqué au mobile réduit peut être aussi trouvé en appliquant le théorème de la puissance cinétique barycentrique appliqué au système isolé, chaque membre s'identifiant au membre correspondant du théorème de la puissance cinétique barycentrique appliqué au mobile réduit.</ref>,

* le théorème de la variation de l'énergie mécanique barycentrique dans le cas où les forces d'interaction entre points du système sont conservatives et en définissant l'énergie potentielle d'interaction <math>\;U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})\;</math> dont ces forces dérivent, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit <math>\;E_m^{*}(M) =</math> <math>K^{*}(M) + U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_M)\;</math> s'identifiant à l'énergie mécanique barycentrique du système <math>\;E_m^{*} =</math> <math>K^{*} + U_{2\,\leftrightarrow\,1}(r_{1,\,2})</math>, ici la seule force à imposer au mobile réduit étant conservative, il y a conservation de l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit <math>\;E_m^{*}(M) = \text{cste}\;</math><ref> La raison de la conservation de l'énergie mécanique barycentrique du système est que ce dernier isolé n'est soumis qu'à des forces intérieures conservatives.</ref> ; de plus la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale en plus d'être conservative, on peut introduire une énergie potentielle effective<ref name="énergie potentielle effective" /> du mobile réduit pour faire un traitement par diagramme énergétique <math>\;\ldots</math>

=== Conclusion : mouvement relatif de M<sub>2</sub> par rapport à M<sub>1</sub> ===

{{Al|5}}On rappelle que le mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> s'identifiant à celui du mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_1</math>, la connaissance du {{1er}} implique celle du 2<sup>ème</sup>.

== Obtention des mouvements barycentriques de chaque point à partir du mouvement barycentrique du mobile réduit ==

=== Établissement du lien entre mouvements barycentriques du mobile réduit et de chaque point du système ===

{{Al|5}}Il convient donc d'expliciter le vecteur position barycentrique de chaque point <math>\;\overrightarrow{GM_2}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{GM_1}\;</math><ref> Le qualificatif « barycentrique » traduisant que le point origine est un point fixe du référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, par exemple <math>\;G</math>.</ref> en fonction du vecteur position <math>\;\big(</math>barycentrique<math>\big)\;</math> du mobile réduit <math>\;\overrightarrow{GM}\;</math><ref> A priori le qualificatif « barycentrique » n'est pas indispensable car le mobile réduit est défini, dans ce chapitre, uniquement dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big(</math>il existe d'autres présentations où il n'est pas fait référence au référentiel barycentrique pour définir le mobile réduit mais ça n'a pas été ma démarche<math>\big)</math>.</ref> en utilisant la définition cinématique du mobile réduit et celle du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{GM} = \overrightarrow{M_1M_2} = \overrightarrow{GM_2} - \overrightarrow{GM_1}\\ m_1\; \overrightarrow{GM_1} + m_2\; \overrightarrow{GM_2} = \vec{0} \end{array} \right\rbrace\;</math> ou encore le système hétérogène des deux équations linéaires aux deux inconnues <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{GM_2}\, , \, \overrightarrow{GM_1} \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} \overrightarrow{GM_2} &-& \overrightarrow{GM_1} &=& \overrightarrow{GM}\;\;\;(\mathfrak{a})\\ m_2\; \overrightarrow{GM_2} &+& m_1\; \overrightarrow{GM_1} &=& \vec{0}\;\;\;(\mathfrak{b}) \end{array} \right\rbrace\;</math> que l'on résout par la C.L. <math>\;m_1\;(\mathfrak{a}) + (\mathfrak{b})\;</math> donnant <math>\;\overrightarrow{GM_2} = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2}\;\overrightarrow{GM}\;</math> et par la C.L. <math>\;-m_2\;(\mathfrak{a}) + (\mathfrak{b})\;</math> donnant <math>\;\overrightarrow{GM_1} = -\dfrac{m_2}{m_1 + m_2}\;\overrightarrow{GM}</math> ;

{{Al|5}}finalement, avec <math>\;\mu = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}</math>, on réécrit <math>\;\dfrac{m_1}{m_1 + m_2} = \dfrac{\mu}{m_2}\;</math> d'une part, <math>\;-\dfrac{m_2}{m_1 + m_2} = -\dfrac{\mu}{m_1}\;</math> d'autre part et par suite les vecteurs positions barycentriques de chaque point du système s'expriment selon :
* <math>\;\overrightarrow{GM_2} = \dfrac{\mu}{m_2}\;\overrightarrow{GM}\;</math> établissant que le mouvement barycentrique du point <math>\;M_2\;</math> se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> par homothétie de centre <math>\;G\;</math> et de rapport <math>\;\dfrac{\mu}{m_2}\;</math> soit <math>\; M\;\; \stackrel{\mathcal{H}\left(G,\,\frac{\mu}{m_2} \right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}\;\; M_2\;</math><ref name="rapport d'homothétie"> Le rapport ne faisant intervenir que les masses des points en présence, le mobile réduit et le point <math>\;M_2</math>.</ref> et 
* <math>\;\overrightarrow{GM_1} = -\dfrac{\mu}{m_1}\;\overrightarrow{GM}\;</math> établissant que le mouvement barycentrique du point <math>\;M_1\;</math> se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> par homothétie de centre <math>\;G\;</math> et de rapport <math>\;-\dfrac{\mu}{m_1}\;</math> soit <math>\; M\;\; \stackrel{\mathcal{H}\left(G,\,-\frac{\mu}{m_1} \right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}\;\; M_1\;</math><ref name="rapport d'homothétie - bis"> Le rapport ne faisant intervenir que les masses des points en présence, le mobile réduit et le point <math>\;M_1</math>, le signe <math>\;-\;</math> résultant du fait que le point <math>\;M_1\;</math> est le point par rapport auquel le mouvement relatif est défini <math>\;\big(</math>et non le point dont on décrit le mouvement relatif<math>\big)\;</math> dans la définition cinématique du mobile réduit.</ref>.

=== Exemple de tracé ===

[[File:Système double - mouvement relatif.jpg|thumb|300px|Mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;M_1\;</math> avec <math>\;m_1 = 2\; m_2</math>]]

{{Al|5}}Soient deux points matériels dont le {{1er}} <math>\;M_1\;</math> est deux fois plus lourd que le 2<sup>ème</sup> <math>\;M_2\;</math> c'est-à-dire <math>\;m_1 = 2\;m_2\;</math> <math>\Rightarrow</math> la masse du système est <math>\;m_{\text{syst}} =</math> <math>m_1 + m_2 = 3\;m_2\;</math> et sa masse réduite <math>\;\mu = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} = \dfrac{2\;m_2^2}{3\;m_2} = \dfrac{2}{3}\;m_2</math> ; 

{{Al|5}}connaissant la trajectoire relative de <math>\;M_2\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> voir ci-contre, on en déduit, 
{{clr}}
[[File:Système double - mouvement barycentrique du mobile réduit et de chaque point.jpg|thumb|300px|Mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M</math>, des points <math>\;M_2\;</math> et <math>\;M_1\;</math> avec <math>\;m_1 = 2\; m_2</math>]]
* par identification, la trajectoire barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)\;</math> puis, 
* par homothétie de centre <math>\;G</math>, de rapport <math>\;\dfrac{\mu}{m_2} = \dfrac{2}{3}\;</math> celle de <math>\;M_2\;</math> <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> et 
* par homothétie de centre <math>\;G</math>, de rapport <math>\;-\dfrac{\mu}{m_1} = -\dfrac{1}{3}\;</math> celle de <math>\;M_1\;</math> <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)</math>.
{{clr}}

== Système isolé de deux points en interaction newtonienne ==

=== Généralités ===

{{Al|5}}<u>Le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> <u>est galiléen</u> <math>\;\big[</math>en effet le système des deux points <math>\;\left\lbrace M_1 \left( m_1 \right)\,,\, M_2 \left( m_2 \right) \right\rbrace\;</math> étant isolé, son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> a un mouvement rectiligne uniforme dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation <math>\;\big(</math>rectiligne uniforme<math>\big)\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est galiléen<math>\big]\;</math> et 

{{Al|5}}<u>le mouvement relatif de l'un des points</u> <math>\;M_2 \left( m_2 \right)\;</math> <u>par rapport à l'autre</u> <math>\;M_1 \left( m_1 \right)\;</math> <u>s’identifie au mouvement barycentrique du mobile réduit</u> <math>\;M \left( \mu = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \right)</math>, <u>ce dernier pouvant se déterminer par r.f.d.n.</u><ref name="r.f.d.n." /> <u>si on lui applique la force</u> <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \dfrac{k_{1,\,2}}{r_{1,\,2}^{\,2}}\; \vec{u}_{1,\,2}\;</math> ou, en utilisant les coordonnées de <math>\;M\;</math> dans la base locale sphérique <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \dfrac{k_{1,\,2}}{r^2}\; \vec{u}_r</math> ;

{{Al|5}}<math>\;M\;</math> a donc un <u>mouvement barycentrique à force centrale newtonienne</u><ref> Voir le paragraphe « nature de la trajectoire d'un point soumis à un champ de force newtonien dans le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d’une_force_newtonienne_attractive_(k_<_0)|cas d'une force newtonienne attractive (k < 0)]] » du chap. 14 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] », les notions de mouvements à force centrale conservative se trouvant dans le chap. 12 intitulé « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_du_mouvement_d'un_point_à_force_centrale,_exemples|mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : généralités]] » de la même leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du même cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>, <u>sa trajectoire est</u> donc <u>plane ou rectiligne</u> et, dans l’hypothèse de planéité, <u>une conique</u> <math>\;\big(</math>ou portion de conique<math>\big)\;</math> <u>dont</u> <math>\;G\;</math> <u>est le</u> {{Nobr|<math>\;\big(</math>ou}} l'un des<math>\big)\;</math> <u>foyer</u>(s) <math>\;\big(</math>le foyer dans le cas d'une parabole, l'un des foyers dans le cas d'une ellipse et dans le cas d'une branche d'hyperbole le foyer contourné par cette dernière<math>\big)</math>.

{{Al|5}}<u>Si l’interaction newtonienne est de gravitation</u>, la constante <math>\;k_{1,\,2}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et elle vaut «<math>\;k_{1,\,2} = - \mathcal{G}\;m_1\;m_2\;</math>» dans laquelle <math>\;\mathcal{G}\;</math> est la constante de gravitation universelle valant <math>\;\mathcal{G} = 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.</math>, la constante <math>\;k_{1,\,2}\;</math> pouvant être exprimée en fonction de la « masse du système <math>\;\left\lbrace M_1\,,\, M_2 \right\rbrace</math> <math>\;m_{\text{tot}} = m_1 + m_2\;</math>» et de la « masse réduite de ce dernier <math>\;\mu = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;m_1\;m_2 = \mu\;( m_1 + m_2)\;</math> ou «<math>\;m_1\;m_2 = \mu\;m_{\text{tot}}\;</math>» d'où «<math>\;k_{1,\,2} = - \mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu\;</math>» et ainsi <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si l’interaction newtonienne est de gravitation, }}<u>la force qui doit être imposée au point réduit</u> <math>\;\big(</math>de masse <math>\;\mu\big)\;</math> pour que celui-ci ait un mouvement barycentrique identique au mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> lié à <math>\;M_1\;</math> <u>est formellement identique à une force de gravitation qui serait créée par le C.D.I.</u><ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système <math>\;\left\lbrace M_1\,,\, M_2 \right\rbrace</math>, <math>\;G\;</math> <u>auquel on affecterait la masse</u> <math>\;m_{\text{tot}}</math>.

{{Al|5}}Si l’interaction newtonienne est électrostatique, la constante <math>\;k_{1,\,2}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> dans le cas d'une attraction entre les deux charges ou <math>\;> 0\;</math> dans le cas d'une répulsion et elle vaut «<math>\;k_{1,\,2} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;q_1\;q_2\;</math>» dans laquelle <math>\;\varepsilon_0\;</math> est la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique {{Nobr|<math>\;\big[</math>plus}} la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varepsilon_0 \simeq \dfrac{1}{36\;\pi}\;10^{-9}\; U.S.I. \simeq 8,85\;10^{-12}\; U.S.I.\;</math>», <math>\;\left( q_1\,,\,q_2 \right)\;</math> étant les charges respectives du système des deux points <math>\;\left\lbrace M_1\,,\, M_2 \right\rbrace</math>.

{{Al|5}}Nous nous intéresserons pour la suite aux <u>interactions de gravitation entre deux astres</u> <math>\;\big(</math>quand il s’agit d’étoiles, le système est appelé « <u>étoile double</u> »<math>\big)</math>.

=== Rappel des principaux résultats ===

{{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Les résultats concernant le mouvement d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> uniquement soumis à une force d'attraction gravitationnelle newtonienne «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» dans laquelle <math>\;k < 0\;</math> vaut «<math>\;k = -\mathcal{G}\;m_O\;m\;</math>» avec <math>\;\mathcal{G}\;</math> constante de gravitation universelle, <math>\;m_O\;</math> la masse de la source de l'espace champ de gravitation newtonien, <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage sphérique du point <math>\;M\;</math> de pôle <math>\;O</math>, le centre d'action de la force newtonienne<ref name="centre de force newtonienne"> Ce peut être, par exemple, le centre <math>\;O\;</math> de la source de l'espace champ de gravitation dont la répartition de masse est à symétrie sphérique <math>\;\big(</math>c'est-à-dire telle que la masse volumique de la source en <math>\;P\;</math> ne dépend que de la distance <math>\;OP = r_P\big)\;</math> en une position située hors de cette source.</ref> lequel est fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, peuvent être vus plus en détails <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Les résultats }}dans le chap. 14 intitulé « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler|mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : champ newtonien, lois de Kepler]] » de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] », ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Les résultats }}dans le chap. 17 intitulé « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne|mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne]] » de la même leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du même cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] »

{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}Les principaux résultats sont rappelés ci-dessous en les adaptant au mouvement barycentrique du mobile réduit «<math>\;M\, \left( \mu = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \right)\;</math>» dans le champ de gravitation newtonien créé par «<math>\;G\, \left( m_{\text{tot}} = m_1 + m_2 \right)\;</math>», « le mouvement barycentrique de <math>\;M \left( \mu \right)\;</math> étant identique au mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1\;</math>» <math>\;\big(</math>c'est-à-dire au mouvement de <math>\;M_2\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> lié à <math>\;M_1\;</math> en translation relativement au référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\big)</math>.

{{Al|5}}<u>Rappel des principaux résultats</u> : Appelant <math>\;\vec{V}_0\;</math> le vecteur vitesse relative initiale de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le vecteur vitesse barycentrique initial du mobile réduit <math>\;M\big)</math>,

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : Appelant }}<math>\;r_0\;</math> la distance initiale séparant les deux points <math>\;\big(</math>c'est aussi la distance initiale séparant le mobile réduit <math>\;M\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> ou la coordonnée radiale initiale de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\big)\;</math> et

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : Appelant }}<math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \overrightarrow{M_1x}\,,\, \vec{V}_0 \right)}\;</math> l'angle orienté que fait le vecteur vitesse relative initiale de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{M_1x}\;</math> choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{M_1M_{2,\,0}}\;</math> et de même sens, l'axe <math>\;\overrightarrow{M_1y}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{M_1x}\;</math> dans le plan initial du mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1</math>, les angles du plan étant orientés par le 3<sup>ème</sup> axe <math>\;\overrightarrow{M_1z}</math> <math>\;\perp\;</math> au plan et de sens tel que le trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{M_1x}\,,\,\overrightarrow{M_1y}\,,\,\overrightarrow{M_1z} \right\rbrace\;</math> soit direct <math>\;\bigg[</math>ou encore <math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \overrightarrow{Gx}\,,\, \vec{V}_0 \right)}\;</math> l'angle orienté que fait le vecteur vitesse barycentrique initial du mobile réduit <math>\;M\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Gx}\;</math> choisi de support confondu avec le vecteur position barycentrique initial du mobile réduit et dans le même sens que ce dernier, l'axe <math>\;\overrightarrow{Gy}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Gx}\;</math> dans le plan initial du mouvement barycentrique de <math>\;M</math>, les angles du plan étant orientés par le 3<sup>ème</sup> axe <math>\;\overrightarrow{Gz}</math> <math>\;\perp\;</math> au plan et de sens tel que le trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Gx}\,,\,\overrightarrow{Gy}\,,\,\overrightarrow{Gz} \right\rbrace\;</math> soit direct<math>\bigg]</math>,

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}l'équation polaire de la trajectoire de <math>\;M_2\;</math> dans le plan fixe de <math>\;\mathcal{R}_1</math> <math>\;\big(</math>référentiel lié à <math>\;M_1\;</math> en translation par rapport au référentiel barycentrique galiléen <math>\;\mathcal{R}^{*}\big)\;</math> contenant <math>\;\left( M_1\,,\,M_{2,\,0}\,,\,\vec{V}_0 \right)\;</math> étant «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\;\cos(\theta - \varphi)}\;</math>» est une conique dont le <math>\;\big(</math>ou l'un des<math>\big)\;</math> foyer(s) est <math>\;M_1\;</math> dans laquelle <math>\;\varphi = \widehat{\left( \overrightarrow{M_1x}\,,\, \overrightarrow{\text{axe focal}} \right)}\;</math> est l'angle orienté que fait l'axe focal orienté « <math>\overrightarrow{\text{axe focal}}</math> »<ref name="axe focal"> L'orientation de l'axe focal étant choisie du foyer <math>\;M_1\;</math> vers le point de la conique <math>\;\big(</math>ou de la branche de conique<math>\big)\;</math> situé au minimum d'approche <math>\;\big(</math>et évidemment sur l'axe {{Nobr|focal<math>\big)</math>,}} c'est-à-dire le péricentre dans le cas de l'ellipse, le sommet dans le cas de la parabole ou de la branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;M_1</math>.</ref> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{M_1x}</math>, <math>\;p\;</math> et <math>\;e\;</math> étant respectivement le paramètre et l'excentricité de la conique <math>\;\bigg[</math>ou encore l'équation polaire de la trajectoire barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> dans le plan fixe de <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> contenant <math>\;\left( G\,,\,M_0\,,\,\vec{V}_0 \right)\;</math> étant «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\;\cos(\theta - \varphi)}\;</math>» est une conique dont le <math>\;\big(</math>ou l'un des<math>\big)\;</math> foyer(s) est <math>\;G\;</math> dans laquelle <math>\;\varphi = \widehat{\left( \overrightarrow{Gx}\,,\, \overrightarrow{\text{axe focal}} \right)}\;</math> est l'angle orienté que fait l'axe focal orienté « <math>\overrightarrow{\text{axe focal}}</math> »<ref name="axe focal - bis"> L'orientation de l'axe focal étant choisie du foyer <math>\;G\;</math> vers le point de la conique <math>\;\big(</math>ou de la branche de conique<math>\big)\;</math> situé au minimum d'approche <math>\;\big(</math>et évidemment sur l'axe {{Nobr|focal<math>\big)</math>,}} c'est-à-dire le péricentre dans le cas de l'ellipse, le sommet dans le cas de la parabole ou de la branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;G</math>.</ref> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Gx}</math>, <math>\;p\;</math> et <math>\;e\;</math> étant respectivement le paramètre et l'excentricité de la conique<math>\bigg]</math>.

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}La suite des rappels sera exposée uniquement en termes de mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> sachant que ce dernier s'identifie au mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_1</math> <math>\;\big(</math>le référentiel lié à <math>\;M_1\;</math> en translation par rapport au référentiel barycentrique galiléen <math>\;\mathcal{R}^{*}\big)</math>.

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}Pour déterminer les grandeurs barycentriques du mouvement du mobile réduit «<math>\;M\,\left( \mu \right)\;</math>» on évalue successivement : 

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}<math>\;\succ\;</math>la constante des aires « <math>C = V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0)</math> »<ref name="constante des aires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_de_la_constante_des_aires_«_C_»|définition de la constante des aires]] (détermination de la constante des aires dans le cas où elle n'est pas nulle) » du chap. 12 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}<math>\;\succ\;</math>le paramètre de la conique « <math>p = \dfrac{\mu\;C^2}{\vert k_{1,\,2} \vert}</math> »<ref> Voir le paragraphe « détermination de la nature de la trajectoire dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d’une_force_newtonienne_attractive_(k_<_0)|cas d'une force newtonienne attractive]] » du chap. 14 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> soit, avec « <math>k_{1,\,2} = -\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu</math> »<ref name="généralités"> Voir le paragraphe « [[#Généralités|généralités]] (sur un système isolé de deux points en interaction newtonienne) » plus haut dans ce chapitre dans lequel <math>\;m_{\text{tot}} = m_1 + m_2</math>.</ref>, « <math>p = \dfrac{C^2}{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}</math> » <math>\;\bigg[</math>ou encore « <math>p = \dfrac{V_0^2\;r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}</math> »<math>\bigg]</math>,

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}<math>\;\succ\;</math>l'énergie mécanique barycentrique initiale « <math>E_{m,\,0}^{\,*} = \dfrac{1}{2}\;\mu\;V_0^2 + \dfrac{k_{1,\,2}}{r_0}</math> »<ref name="énergie potentielle newtonienne"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_de_l’énergie_potentielle_«_U(r)_»_dont_«_dérive_»_la_force_centrale_conservative_et_exemples|définition de l'énergie potentielle U(r) dont dérive la force centrale conservative et exemples]] (cas d'une force newtonienne) » du chap. 12 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> <math>\;\big(</math>en prenant la référence de l'énergie potentielle newtonienne<ref name="référence d'énergie potentielle"> C'est-à-dire la valeur de la variable pour laquelle l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> à l'infini<math>\big)\;</math> soit, avec « <math>k_{1,\,2}</math> <math>= -\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu</math> »<ref name="généralités" />, <math>\;E_{m,\,0}^{\,*} = \dfrac12\;\mu\;V_0^2 - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu}{r_0}\;</math> ou «<math>\;E_{m,\,0}^{\,*} = \mu \left[ \dfrac{1}{2}\;V_0^2 - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0} \right]\;</math>» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique barycentrique<ref name="conservation de l'énergie mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#2ème_intégrale_1ère_du_mouvement_d’un_point_à_force_centrale_quand_cette_dernière_est_conservative_:_conservation_de_son_énergie_mécanique_2|2<sup>ème</sup> intégrale {{1re}} du mouvement d'un point à force centrale quand cette dernière est conservative]] » du chap. 12 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> du mobile réduit <math>\;M\, \left( \mu \right)\;</math> et de l'expression de cette dernière en fonction de l'excentricité de la conique « <math>E_m^{\,*} = -\dfrac{k_{1,\,2}}{2\;p}\, \left( e^2 - 1 \right)</math> »<ref name="énergie mécanique en fonction de l'excentricité"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Détermination_de_l'énergie_mécanique_d’un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_de_l'excentricité_de_la_conique_décrite_par_le_point|détermination de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point]] » du chap. 17 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> ou encore, avec « <math>k_{1,\,2} = -\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu</math> »<ref name="généralités" />, «<math>\;E_m^{\,*} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu}{2\;p}\, \left( e^2 - 1 \right)\;</math>» on en déduit « la nature de la conique suivant la valeur de <math>\;E_{m,\,0}^{\,*}\;</math>» :

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}<math>\;\succ\;</math>si «<math>\;E_{m,\,0}^{\,*} = \mu \left[ \dfrac{1}{2}\;V_0^2 - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0} \right] = 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;V_0 = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0}}\;</math>», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit <math>\;M\;</math> valant <math>\;e = 1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}{{Al|122}}la trajectoire décrite par <math>\;M\;</math> est une <u>parabole de foyer</u> <math>\;G</math>, la vitesse <math>\;\sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0}} = V_{\text{lib}}(r_0)\;</math> étant appelée « vitesse de libération<ref> Ou encore « vitesse parabolique ».</ref> en la position <math>\;M_0</math> », 

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}<math>\;\succ\;</math>si «<math>\;E_{m,\,0}^{\,*} = \mu \left[ \dfrac{1}{2}\;V_0^2 - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0} \right]\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;V_0 < \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0}}\;</math>», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit <math>\;M\;</math> ayant une valeur <math>\;e < 1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}{{Al|130}}la trajectoire décrite par <math>\;M\;</math> est une <u>ellipse dont un des foyers est</u> <math>\;G</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}{{Al|130}}le demi-grand axe <math>\;a\;</math> de celle-ci se détermine à l'aide de la valeur de l'énergie mécanique «<math>\;E_m^{\,*} = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu}{2\;p}\, \left( 1 - e^2 \right)\;</math>» laquelle se réécrit « <math>E_m^{\,*} = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu}{2\;a}</math> »<ref name="énergie mécanique en fonction du demi-grand axe d'une ellipse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Établissement_de_l'énergie_mécanique_du_point_en_mouvement_elliptique_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_demi-grand_axe_de_sa_trajectoire|établissement de l'énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-grand axe de sa trajectoire]] » du chap. 17 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> d'où « <math>\mu \left[ \dfrac{1}{2}\;V_0^2 - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0} \right] = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu}{2\;a}</math> » <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0} - V_0^2 = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{a}\;</math> ou, en introduisant la vitesse de libération en la position <math>\;M_0\;</math> « <math>V_{\text{lib}}(r_0) = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0}}</math> », <math>\;V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_0^2 = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{a}\;</math> soit «<math>\;a = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_0^2}\;</math>» ou encore, en éliminant <math>\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;</math> en fonction de <math>\;V_{\text{lib}}(r_0)\;</math> et <math>\;r_0\;</math> à l'aide de <math>\;V_{\text{lib}}(r_0) = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}} = \dfrac{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)\;r_0}{2}\;</math>», l'expression finale du demi-grand axe de l'ellipse décrite par le mobile réduit <math>\;M\;</math> s'écrit «<math>\;a = r_0\;\dfrac{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}{2 \left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_0^2\right]}\;</math>», ou encore «<math>\;a = r_0\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}} - V_0^2\;r_0}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}{{Al|130}}l'excentricité de l'ellipse décrite par le mobile réduit se détermine à partir de la connaissance de son paramètre <math>\;p\;</math> et de son demi-grand axe <math>\;a\;</math> à l'aide de <math>\;p = a\;(1 - e^2)\;</math><ref> En effet la distance séparant le foyer <math>\;G\;</math> du péricentre <math>\;P\;</math> s'écrivant «<math>\;r_P = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>» et celle séparant le foyer <math>\;G\;</math> de l'apocentre <math>\;A\;</math> «<math>\;r_A = \dfrac{p}{1 - e}\;</math>» avec «<math>\;r_P + r_A = 2\;a\;</math>», nous en déduisons «<math>\;\dfrac{p}{1 + e} + \dfrac{p}{1 - e} = 2\;a\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{2\;p}{1 - e^2} = 2\;a\;</math>» d'où «<math>\;p = a\;(1 - e^2)\;</math>».</ref> d'où «<math>\;e = \sqrt{1 - \dfrac{p}{a}}\;</math>» soit, avec «<math>\;p = \dfrac{V_0^2\;r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}} = r_0\;\dfrac{2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}\;</math>» et «<math>\;a = r_0\;\dfrac{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}{2 \left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_0^2\right]}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p}{a} = \dfrac{2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}\;\dfrac{2 \left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_0^2\right]}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)} = \dfrac{4\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)\,\left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_0^2\right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_0)}\;</math> d'où <math>\;e = \sqrt{\dfrac{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_0) - 4\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)\,\left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_0^2\right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_0)}}\;</math> que l'on peut réécrire, en développant le numérateur et en reconnaissant le début d'un carré, <math>\;e = \dfrac{\sqrt{\left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - 2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0) \right]^2 - 4\;V_0^4\;\sin^4(\alpha_0) + 4\;V_0^4\;\sin^2(\alpha_0)}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)} = \dfrac{\sqrt{\left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - 2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0) \right]^2 + 4\;V_0^4\;\sin^2(\alpha_0)\, \left[ 1 - \sin^2(\alpha_0) \right]}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}\;</math> soit finalement, sachant que <math>\;1 - \sin^2(\alpha_0) = \cos^2(\alpha_0)\;</math> et <math>\;2\;\sin(\alpha_0)\;\cos(\alpha_0) = \sin(2\;\alpha_0)</math>, «<math>\;e = \dfrac{\sqrt{\left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - 2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0) \right]^2 + V_0^4\;\sin^2(2\;\alpha_0)}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)} = \sqrt{\left[ 1 - \dfrac{2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)} \right]^2 + \dfrac{V_0^4\;\sin^2(2\;\alpha_0)}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_0)}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}{{Al|130}}la période <math>\;T\;</math> du mouvement barycentrique du mobile réduit sur sa trajectoire elliptique se détermine à l'aide de la « 3<sup>ème</sup> loi de Kepler<ref name="Kepler"> '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]]''' <math>\;\big[</math>hypothèse que son professeur de mathématiques '''[[w:Michael_Maestlin|Michæl Mæstlin]]''' lui enseigna <math>\;\big(</math>ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants<math>\big)\;</math> à l’[[w:Université_Eberhard_Karl_de_Tübingen|Université de Tübingen]] alors que l’enseignement officiel que '''[[w:Michael_Maestlin|M. Mæstlin]]''' donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]'''<math>\big]\;</math> affirmant <math>\;\big(</math>avec '''[[w:Nicolas_Copernic|N. Copernic]]'''<math>\big)\;</math> que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1600</math>, poursuivi pour ses convictions religieuses <math>\;\big(</math>il était ministre du [[w:Luthéranisme|culte luthérien]]<math>\big)\;</math> et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome <math>\;\big(</math>danois<math>\big)\;</math> '''[[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]]''', ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais <math>\;\big(</math>d’après '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]'''<math>\big)\;</math> étant incapable de les exploiter correctement <math>\;\big[</math>'''[[w:Tycho_Brahe|T. Brahe]]''' ne croyait pas à l’héliocentrisme de '''[[w:Nicolas_Copernic|Copernic]]''', ni d’ailleurs au géocentrisme de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]''', l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil <math>\;\big(</math>et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]'''<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Tycho_Brahe|T. Brahe]]''' demande alors à '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]''' de calculer l’orbite précise de '''Mars''', travail que ce dernier commence en <math>\;1603\;</math> et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1<sup>ères</sup> lois, sa 3<sup>ème</sup> loi étant découverte près de <math>\;10\; ans\;</math> plus tard. <br>{{Al|3}}'''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrime » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}} '''[[w:Michael_Maestlin|Michæl Mæstlin]] (1550 - 1631)''' astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]]''' ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du [[w:Nombre_d'or|nombre d'or]] en <math>\;1597</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]] (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168)''' astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'''[[w:Almageste|Almageste]]'' <math>\;\big[</math>une somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie<math>\big]\;</math> et un traité de géographie <math>\;\big[</math>une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] (1546 - 1601)''' astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la [[w:SN_1572|Supernova de 1572]] ainsi que la [[w:C/1577_V1|grande comète de 1577]] qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques <math>\;\ldots</math></ref> généralisée aux centres gravitationnels autres que celui du Soleil »<ref name="3ème loi de Kepler"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#3ème_loi_de_Kepler|3<sup>ème</sup> loi de Kepler]] » du chap. 14 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] », le centre actif Soleil « ☉,<math>\;( m_{\text{☉}})\;</math>» devant être remplacé par «<math>\;G,\,(m_{\text{tot}})\;</math>».</ref> «<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{4\;\pi^2}\;</math>» d'où «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\sqrt{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}}\;a^{\frac{3}{2}}\;</math>» ou encore, en éliminant <math>\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;</math> en fonction de <math>\;V_{\text{lib}}(r_0)\;</math> et <math>\;r_0\;</math> à l'aide de <math>\;V_{\text{lib}}(r_0) = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}} = \dfrac{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)\;r_0}{2}\;</math>», l'expression finale de la période du mobile réduit <math>\;M\;</math> s'écrit «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi\;\sqrt{2}}{V_{\text{lib}}(r_0)\;\sqrt{r_0}}\;a^{\frac{3}{2}} = \dfrac{2\;\pi\;a\;\sqrt{2}}{V_{\text{lib}}(r_0)}\;\sqrt{\dfrac{a}{r_0}}\;</math>» ou enfin, en reportant l'expression de «<math>\;a = r_0\;\dfrac{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}{2 \left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_0^2\right]}\;</math>», «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi\;a}{\sqrt{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_0^2}} = \dfrac{\pi\;r_0\;V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}{\left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_0^2 \right]^{\frac{3}{2}}}\;</math>», 

{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}<math>\;\succ\;</math>si «<math>\;E_{m,\,0}^{\,*} = \mu \left[ \dfrac{1}{2}\;V_0^2 - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0} \right]\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;V_0 > \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0}}\;</math>», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit <math>\;M\;</math> ayant une valeur <math>\;e > 1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}{{Al|130}}la trajectoire décrite par <math>\;M\;</math> est une <u>branche d'hyperbole dont</u> <math>\;G\;</math> <u>est un des foyers, celui contourné par la branche</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}{{Al|130}}le demi-axe focal <math>\;a\;</math> de celle-ci se détermine à l'aide de la valeur de l'énergie mécanique «<math>\;E_m^{\,*} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu}{2\;p}\, \left( e^2 - 1\right)\;</math>» laquelle se réécrit « <math>E_m^{\,*} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu}{2\;a}</math> »<ref name="énergie mécanique en fonction du demi-axe focal d'une hyperbole"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#En complément,_expression_de_l'énergie_mécanique_du_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_demi-axe_focal_dans_un_mouvement_hyperbolique|en complément, expression de l'énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-axe focal dans un mouvement hyperbolique]] » du chap. 17 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> d'où «<math>\;\mu \left[ \dfrac{1}{2}\;V_0^2 - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0} \right] = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu}{2\;a}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;V_0^2 - \dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{a}\;</math> ou, en introduisant la vitesse de libération en la position <math>\;M_0\;</math> «<math>\;V_{\text{lib}}(r_0) = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0}}\;</math>», <math>\;V_0^2 - V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{a}\;</math> soit «<math>\;a = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{V_0^2 - V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}\;</math>» ou encore, en éliminant <math>\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;</math> en fonction de <math>\;V_{\text{lib}}(r_0)\;</math> et <math>\;r_0\;</math> à l'aide de <math>\;V_{\text{lib}}(r_0) = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}} = \dfrac{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)\;r_0}{2}\;</math>», l'expression finale du demi- axe focal de branche d'hyperbole décrite par le mobile réduit <math>\;M\;</math> s'écrit «<math>\;a = r_0\;\dfrac{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}{2 \left[ V_0^2 - V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) \right]}\;</math>», ou encore «<math>\;a = r_0\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{V_0^2\;r_0 - 2\;\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des principaux résultats : }}{{Al|130}}l'excentricité de la branche d'hyperbole décrite par le mobile réduit se détermine à partir de la connaissance de son paramètre <math>\;p\;</math> et de son demi-axe focal <math>\;a\;</math> à l'aide de <math>\;p = a\;(e^2 - 1)\;</math><ref> En effet la distance séparant le foyer <math>\;G\;</math> du sommet <math>\;P\;</math> de la branche s'écrivant «<math>\;GP = r_P = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>» et le demi-axe focal <math>\;a\;</math> étant la distance séparant <math>\;P\;</math> du centre <math>\;C\;</math> de l'hyperbole complète {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est-à-dire}} le point d'intersection des asymptotes situé sur l'axe focal<math>\big)\;</math> soit <math>\;PC = a</math>, la somme des deux est la distance séparant le foyer <math>\;G\;</math> du centre <math>\;GC = c = e\;a\;</math> de par la définition de l'excentricité <math>\;e = \dfrac{c}{a}\;</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_bifocale_d'une_hyperbole|définition bifocale d'une hyperbole]] » du chap. 11 de la leçon « [[Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] »<math>\big]\;</math> d'où «<math>\;GP + PC = GC\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r_P + a = e\;a\;</math> ou <math>\;\dfrac{p}{1 + e} = a\;(e - 1)\;</math>» d'où «<math>\;p = a\;(e^2 - 1)\;</math>».</ref> d'où «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{p}{a}}\;</math>» soit, avec «<math>\;p = \dfrac{V_0^2\;r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}} = r_0\;\dfrac{2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}\;</math>» ainsi que «<math>\;a =</math> <math>r_0\;\dfrac{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}{2 \left[ V_0^2 - V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) \right]}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p}{a} = \dfrac{2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}\;\dfrac{2 \left[ V_0^2 - V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) \right]}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)} = \dfrac{4\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)\,\left[ V_0^2 - V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) \right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_0)}\;</math> d'où <math>\;e = \sqrt{\dfrac{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_0) + 4\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)\,\left[ V_0^2 - V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) \right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_0)}}\;</math> c'est-à-dire la même expression que celle obtenue dans le cas d'une trajectoire elliptique, d'où finalement, «<math>\;e = \dfrac{\sqrt{\left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - 2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0) \right]^2 + V_0^4\;\sin^2(2\;\alpha_0)}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)} = \sqrt{\left[ 1 - \dfrac{2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)} \right]^2 + \dfrac{V_0^4\;\sin^2(2\;\alpha_0)}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_0)}}\;</math>».

{{Al|5}}<u>Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique</u> : une {{1re}} C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. est «<math>\;\alpha_0 = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» ce qui implique, en reportant cette valeur dans l'expression de l'excentricité de la trajectoire quand celle-ci est elliptique «<math>\;e = \sqrt{\left[ 1 - \dfrac{2\;V_0^2\;\cancel{\sin^2(\alpha_0)}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)} \right]^2\; \cancel{+\, \dfrac{V_0^4\;\sin^2(2\;\alpha_0)}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_0)}}} = \Bigg\vert 1 - \dfrac{2\;V_0^2}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)} \Bigg\vert\;</math>» laquelle, devant être nulle pour une trajectoire circulaire, implique comme <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : une }}2<sup>ème</sup> C.N<ref name="C.N." />. «<math>\;V_0 = \dfrac{V_{\text{lib}}(r_0)}{\sqrt{2}}\;</math>», valeur notée «<math>\;V_{\text{circ}}(r_0) = \dfrac{V_{\text{lib}}(r_0)}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0}}\;</math>» et usuellement appelée « vitesse circulaire en la position <math>\;M_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : }}le report de ces deux C.N<ref name="C.N." />. dans les expressions de la constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="constante des aires" />, du paramètre <math>\;p\;</math> et de l'énergie mécanique barycentrique initiale <math>\;E_{m,\,0}^{\,*}\;</math> du mobile réduit ainsi que celles du demi-grand axe <math>\;a\;</math> et de la période <math>\;T\;</math> dans le cas particulier d'un mouvement barycentrique elliptique de <math>\;M</math>, donnant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : }}<math>\succ\;</math>«<math>\;C = V_{\text{circ}}(r_0)\;r_0\;\sin\! \left( \pm \dfrac{\pi}{2} \right) = \pm V_{\text{circ}}(r_0)\;r_0\;</math>» ou encore «<math>\;C = \pm \sqrt{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;r_0}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : }}<math>\succ\;</math>«<math>\;p = \dfrac{V_{\text{circ}}^{\,2}(r_0)\;r_0^2\;\sin^2\! \left( \pm \dfrac{\pi}{2} \right)}{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}\;</math>» soit, après simplification, «<math>\;p = r_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : }}<math>\succ\;</math>«<math>\;E_{m,\,0}^{\,*} = \mu \left[ \dfrac{1}{2}\;V_{\text{circ}}^{\,2}(r_0) - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{r_0} \right] = \mu \left[ \dfrac{1}{2}\;V_{\text{circ}}^{\,2}(r_0) - V_{\text{circ}}^{\,2}(r_0) \right]\;</math>» soit « <math>E_{m,\,0}^{\,*} = -\dfrac{1}{2}\;\mu\; V_{\text{circ}}^{\,2}(r_0)\;</math> »<ref> C'est-à-dire l'opposé de l'énergie cinétique barycentrique initiale du mobile réduit « <math>K_0^{\,*}</math> », « la relation <math>\;E_{m,\,0}^{\,*} = -K_0^{\,*}\;</math> caractérisant un mouvement circulaire de point dans un champ de force gravitationnel newtonien ».</ref> ou encore, «<math>\;E_{m,\,0}^{\,*} = -\mu\; \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}{2\;r_0}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : }}<math>\succ\;</math>«<math>\;a = r_0\;\dfrac{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}{2 \left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_{\text{circ}}^{\,2}(r_0) \right]}\;</math>» soit, après simplification «<math>\;a = r_0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : }}<math>\succ\;</math>«<math>\;T = \dfrac{\pi\;r_0\;V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0)}{\left[ V_{\text{lib}}^{\,2}(r_0) - V_{\text{circ}}^{\,2}(r_0) \right]^{\frac{3}{2}}} = \dfrac{2\;\pi\;r_0}{V_{\text{circ}}(r_0)}\;</math>» ou encore «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi\;r_0^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}}\;</math>».

=== Cas particulier du système composé du Soleil et d'une planète (ou d'un astéroïde ou encore d'une comète) ===

{{Al|5}}<u>Le système composé du « Soleil ☉ » et d'une planète</u> <math>\;\big(</math><u>ou d'un [[w:Astéroïde|astéroïde]] ou encore d'une [[w:Comète|comète]]</u><math>\big)</math>, le Soleil <math>\;\big(</math>considéré comme ponctuel de masse <math>\;m_{\text{☉}} \simeq 2,0\;10^{30}\;kg = m_1\big)\;</math> étant noté <math>\;M_{\text{☉}} = M_1\;</math> et la planète <math>\;\big(</math>également considérée comme ponctuelle de masse <math>\;m_{\text{planète}} = m_2 \ll m_{\text{☉}} = m_1\big)\;</math> étant notée <math>\;M_{\text{planète}} = M_2</math> <math>\;\big[</math>la planète pouvant être remplacée par un [[w:Astéroïde|astéroïde]] de masse <math>\;m_{\text{astéroïde}} =</math> <math>m_2 \ll\!\! \ll m_{\text{☉}} = m_1\;</math> noté <math>\;M_{\text{astéroïde}} = M_2\;</math> ou par une [[w:Comète|comète]] de masse <math>\;m_{\text{comète}} = m_2 \ll\!\! \ll m_{\text{☉}} = m_1\;</math> noté <math>\;M_{\text{comète}} = M_2\big]</math>, <u>peut être considéré</u>, en {{1re}} approximation, <u>isolé</u>, l'influence des autres planètes <math>\;\big(</math>ou [[w:Astéroïde|astéroïdes]] ou [[w:Comète|comètes]]<math>\big)\;</math> pouvant être négligée ; 

{{Al|5}}de <math>\;m_1 \gg m_2</math> <math>\;\big(</math>ou même <math>\;m_1 \gg\!\!\gg m_2\big)\;</math> nous déduisons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} m_{\text{tot}} = m_1 \; \cancel{+\; m_2} \simeq m_1\\ \mu = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1\; \cancel{+\; m_2}} \simeq m_2\end{array} \right\rbrace\;</math> selon une très bonne approximation dans le cas d'un [[w:Astéroïde|astéroïde]] ou d'une [[w:Comète|comète]] <math>\;\big[</math>l'approximation dans le cas d'une planète est d'autant moins bonne que la masse de la planète est grande<ref> La planète ayant la masse la plus grande étant Jupiter « ♃ », sa masse représente approximativement <math>\;\dfrac{1}{1000}\;</math> de celle du Soleil.</ref> mais cela reste néanmoins très acceptable<ref> En considérant Jupiter « ♃ », l'erreur introduite ne dépasse pas <math>\;0,1\;\%</math>.</ref><math>\big]</math>.

{{Al|5}}<u>Le référentiel barycentrique du système composé du « Soleil ☉ » et d'une planète</u> <math>\;\big(</math><u>ou d'un [[w:Astéroïde|astéroïde]] ou encore d'une [[w:Comète|comète]]</u><math>\big)\;</math> pouvant être assimilé au <u>[[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel de Copernic]] </u><ref name="Copernic"> '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrime » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<u>le référentiel lié au « Soleil ☉ » en translation relativement au référentiel barycentrique</u> étant le <u>[[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]]</u><ref name="Kepler" /> <br>{{Al|5}}nous en déduisons, dans la mesure où le système étudié est considéré comme isolé, que <u>le mouvement de la planète</u> <math>\;\big(</math><u>ou de l'[[w:Astéroïde|astéroïde]] ou encore de la [[w:Comète|comète]]</u><math>\big)\;</math> <u>dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]]</u><ref name="Kepler" /> est <u>identique au mouvement du mobile réduit du système dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel de Copernic]]</u><ref name="Copernic" /> ;

{{Al|5}}<u>comme le mobile réduit du système étudié est assimilable à la planète</u> <math>\;\big(</math><u>ou à l'[[w:Astéroïde|astéroïde]] ou encore à la [[w:Comète|comète]]</u><math>\big)</math>, nous pouvons conclure, qu'à cette approximation, <u>le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]]</u><ref name="Kepler" /> <u>s'identifie au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel de Copernic]]</u><ref name="Copernic" />.

{{Al|5}}Le mouvement relatif de la planète <math>\;\big(</math>ou de l'[[w:Astéroïde|astéroïde]] ou encore de la [[w:Comète|comète]]<math>\big)</math> par rapport au Soleil <math>\;\big(</math>quand le système constitué avec le Soleil est dans un état lié<ref> Ce qui est toujours réalisé pour une planète mais non pour un [[w:Astéroïde|astéroïde]] ou une [[w:Comète|comète]].</ref><math>\big)\;</math> a été décrit historiquement par les trois lois de Kepler<ref name="Kepler" />, le mouvement correspondant étant qualifié de « [[w:Mouvement_képlérien|képlérien]] » :

{{Al|5}}<u>{{1re}} loi de Kepler</u><ref name="Kepler" /> : nature elliptique de la trajectoire de la planète <math>\;\big(</math>ou de l'[[w:Astéroïde|astéroïde]] ou encore de la [[w:Comète|comète]]<math>\big)\;</math> dont le « Soleil ☉ » est un des foyers<ref name="1ère loi de Kepler"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#1ère_loi_de_Kepler|{{1re}} loi de Kepler]] » du chap. 14 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>.

{{Al|5}}<u>2<sup>ème</sup> loi de Kepler</u><ref name="Kepler" /> : en des durées égales le rayon vecteur de la planète <math>\;\big(</math>ou de l'[[w:Astéroïde|astéroïde]] ou encore de la [[w:Comète|comète]]<math>\big)\;</math> issu du « Soleil ☉ » balaie des aires égales<ref name="2ème loi de Kepler"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#2ème_loi_de_Kepler|2<sup>ème</sup> loi de Kepler]] » du chap. 14 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref>.

{{Al|5}}<u>3<sup>ème</sup> loi de Kepler</u><ref name="Kepler" /> : le rapport du cube du demi-grand axe de l'ellipse décrite par la planète <math>\;\big(</math>ou par l'[[w:Astéroïde|astéroïde]] ou encore par la [[w:Comète|comète]]<math>\big)\;</math> sur le carré de la période du mouvement de la planète <math>\;\big(</math>ou de l'astéroïde ou encore de la comète<math>\big)\;</math> est une constante ne dépendant pas de la masse de l'objet gravitant autour du « Soleil ☉ »<ref name="3ème loi de Kepler - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#3ème_loi_de_Kepler|3<sup>ème</sup> loi de Kepler]] » du chap. 14 de la leçon « [[Mécanique 2 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> ou «<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi^2}\;</math>».

{{Al|5}}<u>Utilisation de la 3<sup>ème</sup> loi de Kepler</u><ref name="Kepler" /> : La 3<sup>ème</sup> loi de Kepler<ref name="Kepler" /> permet de déterminer le demi-grand axe de l’ellipse d'une planète, d'un [[w:Astéroïde|astéroïde]] ou d'une [[w:Comète|comète]] si on connaît sa période <math>\;\bigg[</math>par exemple le demi-grand axe de l’ellipse de la [[w:1P/Halley|comète de Halley]]<ref name="Halley"> '''[[w:Edmond_Halley|Edmond Halley]] (1656 - 1742)''' astronome et ingénieur britannique, surtout connu pour avoir été le premier à avoir déterminé la périodicité de la comète de <math>\;1682</math>, période qu'il évalua à <math>\;76\; ans\;</math> environ et dont la valeur correcte fût validée par le retour de la comète en <math>\;1758</math>, <math>\;16\;ans\;</math> après la mort de '''[[w:Edmond_Halley|E. Halley]]'''.</ref> se détermine aisément car on connaît sa période « <math>T_{\text{Halley}} \simeq 76\; ans</math> » et l'on peut écrire « <math>\dfrac{a_{\text{♁}}^{\,3}}{T_{\text{♁}}^{\,2}} = \dfrac{a_{\text{Halley}}^{\,3}}{T_{\text{Halley}}^{\,2}}</math> » avec « <math>a_{\text{♁}} = 1\; ua</math> »<ref name="unité astronomique"> L’[[w:Unité_astronomique|unité astronomique]] est une unité de longueur adaptée aux objets se déplaçant dans le système solaire représentant la valeur moyenne du rayon orbital de la Terre autour du Soleil soit «<math>\;1\;ua \simeq</math> <math>1,50\;10^{11}\;m\;</math>».</ref> et «<math>\;T_{\text{♁}} = 1\; an\;</math>»<math>\bigg]</math>.

== Système de deux points dans le champ d'un astre éloigné ==

=== But recherché ===

{{Al|5}}Nous avons vu le grand intérêt de l’introduction du mobile réduit pour étudier le mouvement barycentrique de chaque point matériel <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> d’un système de deux points isolé <math>\;\big[</math>mais aussi pour obtenir le mouvement relatif de l’un des points par exemple <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;M_1\;</math> toujours dans le cas d'un système de deux points isolé<math>\big]</math> ; 

{{Al|5}}le mobile réduit peut-il être utile dans le cas d’un système de deux points dans un champ de forces extérieures <math>\;\big(</math>donc non isolé<math>\big)</math> ? 

{{Al|5}}Pour tenter de répondre à cette question, nous allons, ci-après, considérer un cas particulier, celui d’un système de deux points dans le champ newtonien d’un astre éloigné et 

{{Al|5}}{{Transparent|Pour tenter de répondre à cette question, nous allons, ci-après, }}voir comment la notion de mobile réduit pourrait y être utilisée<ref> Le système « Terre ♁, Lune ☽ » dans le champ newtonien du « Soleil ☉ » peut être un exemple du cas étudié, mais aussi, avec des hypothèses un peu plus éloignées d’un système de deux points matériels, le système « Terre ♁, Océans » dans le champ newtonien de la « Lune ☽ » ou dans le champ newtonien du « Soleil ☉ » <math>\Rightarrow</math> explication des marées océaniques <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math>

=== Recherche des forces à appliquer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M<sub>2</sub> par rapport à M<sub>1</sub> ===

{{Al|5}}Le mobile réduit <math>\;M\;</math> du système des deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1 \left( m_1 \right)\,,\, M_2 \left( m_2 \right) \right\rbrace\;</math> dans l'espace champ de gravitation newtonien d'un astre éloigné de vecteur champ <math>\;\vec{G}_{\text{ext}}(P)\;</math> en un point <math>\;P\;</math> quelconque est toujours de masse <math>\;\mu = \dfrac{M_1\;m_2}{m_1 + m_2}\;</math> appelée « masse réduite » et tel que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> par rapport à <math>\;M_1</math> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire au mouvement de <math>\;M_2\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> lié à <math>\;M_1\;</math> en translation relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen<math>\big)</math> ;

{{Al|5}}les grandeurs cinétiques barycentriques du mobile réduit associé au système des deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1 \left( m_1 \right)\,,\, M_2 \left( m_2 \right) \right\rbrace\;</math> dans l'espace champ de gravitation newtonien d'un astre éloigné de vecteur champ <math>\;\vec{G}_{\text{ext}}(P)\;</math> en un point <math>\;P\;</math> quelconque restent celles d'un mobile réduit associé à un système de deux points matériels isolé énoncées, plus haut dans ce chapitre, dans le paragraphe «[[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Grandeurs_cinétiques_barycentriques_du_mobile_réduit|grandeurs cinétiques barycentriques du mobile réduit]] (d'un système de deux points isolé) ».

{{Al|5}}Sachant que le vecteur quantité de mouvement du mobile réduit <math>\;M \left( \mu \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> s'identifie au vecteur quantité de mouvement barycentrique du point matériel <math>\;M_2 \left( m_2 \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\vec{p}^{*}\! \left( M,\, t \right) = \vec{p}_2^{*}(t)\;</math><ref name="p* identique à p2*"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Quantité_de_mouvement_barycentrique_du_mobile_réduit|quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit]] » plus haut dans ce chapitre, son établissement ne dépendant pas du caractère isolé du système des deux points.</ref>, nous établirons la <math>\;\big(</math>ou les<math>\big)\;</math> force(s) à appliquer au mobile réduit dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> en cherchant ce qui doit être mis à la place du point d'interrogation dans «<math>\;\dfrac{d \vec{p}^{*}}{dt}(M,\, t) = \text{?}\;</math>» équivalent à «<math>\;\dfrac{d \vec{p}_2^{*}}{dt}(t) = \text{?}\;</math>» appliqué dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>.

==== Nature du référentiel barycentrique et conséquence ====

{{Al|5}}Le système des deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1 \left( m_1 \right)\,,\, M_2 \left( m_2 \right) \right\rbrace\;</math> n'étant pas isolé, <u>le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> <u>n’est pas galiléen</u> <math>\;\big[</math>en effet, si <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> est en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, celle-ci n'est pas rectiligne uniforme<math>\big]</math>, il faut donc <u>tenir compte de la pseudo-force d’inertie d’entraînement</u> lors de l'étude de la dynamique d'un point dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> non galiléen {{Nobr|<math>\;\big(</math>ce}} dernier étant en translation relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen<math>\big)</math>, par exemple, sur <math>\;M_2</math>, cette pseudo-force d’inertie d’entraînement s'écrit «<math>\;\vec{f}_{\text{in.},\, e}(M_2,\, t) = -m_2\;\vec{a}_{\mathcal{R}}(G,\, t)\;</math>» où <math>\;\vec{a}_{\mathcal{R}}(G,\, t)\;</math> est le vecteur accélération du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système des deux points à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen<ref name="pseudo-force d'inertie d'entraînement, le référentiel d'entraînement étant en translation par rapport au référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Dynamique_du_point_matériel_dans_un_référentiel_non_galiléen#Cas_d'un_référentiel_d'entraînement_en_translation_relativement_au_référentiel_absolu_galiléen|cas d'un référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu galiléen]] » du chap. 2 de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen ».</ref> ;

{{Al|5}}le vecteur accélération du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système des deux points à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à savoir «<math>\;\vec{a}_{\mathcal{R}}(G,\, t)\;</math>» se détermine par application, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, du théorème du mouvement du C.D.I. au système des deux points<ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] » du chap. 9 de la leçon « [[Mécanique 1 (PCSI)]] » du cours « [[Physique en classe préparatoire PCSI]] ».</ref> «<math>\;m_1\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_1) + m_2\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_2) = (m_1 + m_2)\;\vec{a}_{\mathcal{R}}(G,\, t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{a}_{\mathcal{R}}(G,\, t) = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2}\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_1) + \dfrac{m_2}{m_1 + m_2}\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_2)\;</math>», dont on déduit l'expression de <u>la pseudo-force d'inertie d'entraînement</u> en <math>\;M_2</math>, soit «<math>\;\vec{f}_{\text{in.},\, e}(M_2,\, t) = -\dfrac{m_2\;m_1}{m_1 + m_2}\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_1) - \dfrac{m_2^2}{m_1 + m_2}\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_2)\;</math>».

==== Application de la r.f.d.n. à M<sub>2</sub> dans le référentiel barycentrique non galiléen, notion de « force des marées » ====

===== Application de la r.f.d.n. à M<sub>2</sub> dans le référentiel barycentrique non galiléen =====

{{Al|5}}Appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au point matériel <math>\;M_2 \left( m_2 \right)\;</math> dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> non galiléen <math>\;\big(</math>en translation relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen<math>\big)\;</math><ref name="r.f.d.n. en référentiel non galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Dynamique_du_point_matériel_dans_un_référentiel_non_galiléen#Relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(r.f.d.n.)_dans_un_référentiel_non_galiléen|relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) dans un référentiel non galiléen]] » du chap. 2 de la leçon « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen|Mécanique du point en référentiel non galiléen]] ».</ref> nous obtenons la relation suivante «<math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} + m_2\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_2) + \vec{f}_{\text{in.},\, e}(M_2,\, t) = \dfrac{d \vec{p}_2^{\,*}}{dt}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{in.},\, e}(M_2,\, t) = -\dfrac{m_2\;m_1}{m_1 + m_2}\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_1) - \dfrac{m_2^2}{m_1 + m_2}\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_2)\;</math>» soit, en regroupant les deux termes <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_2)</math>, «<math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} + m_2\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_2) + \left[ m_2 - \dfrac{m_2^2}{m_1 + m_2} \right]\,\vec{G}_{\text{ext}}(M_2) = \dfrac{d \vec{p}_2^{\,*}}{dt}(t)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} - \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\;\vec{G}_{\text{ext}}(M_1) + \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) = \dfrac{d \vec{p}_2^{\,*}}{dt}(t)\;</math>» soit finalement <center><math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} + \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \left[ \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) - \vec{G}_{\text{ext}}(M_1) \right] = \dfrac{d \vec{p}_2^{\,*}}{dt}(t)\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}en conclusion, lors de l’application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M_2\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> non galiléen, on peut considérer que <math>\;M_2\;</math> est soumis à deux forces <math>\;\big(</math>ou pseudo-forces<math>\big)</math> :
* une {{1re}} force « la force d’interaction <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math> exercée par l’autre point <math>\;M_1\;</math>» <math>\;\big(</math>la seule force dans la mesure où le système des deux points matériels serait isolé<math>\big)\;</math> et
* une 2<sup>ème</sup> « force <math>\;\dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \left[ \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) - \vec{G}_{\text{ext}}(M_1) \right]\;</math>» résultant de l'action directe du champ extérieur créé par l'astre éloigné sur <math>\;M_2\;</math> et de la pseudo-force d’inertie d’entraînement liée au caractère non galiléen du référentiel barycentrique<ref name="force ou pseudo-force"> La somme d'une force et d'une pseudo-force n'existe, en tant que somme, que dans le référentiel dans laquelle elle est définie, c'est donc une « pseudo-force » d'où les guillemets qui entourent le terme « force <math>\;\dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \left[ \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) - \vec{G}_{\text{ext}}(M_1) \right]\;</math>» qui devrait plutôt être qualifié de « pseudo-force <math>\;\dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \left[ \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) - \vec{G}_{\text{ext}}(M_1) \right]\;</math>».</ref> <math>\;\Big\{</math>cette 2<sup>ème</sup> « force <math>\;\dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \left[ \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) - \vec{G}_{\text{ext}}(M_1) \right]</math> »<ref name="force ou pseudo-force" /> sera appelée « force des marées appliquée à <math>\;M_2\;</math> dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> »<ref name="abus force des marées"> C'est un abus, on devrait plutôt dire « pseudo-force des marées appliquée à <math>\;M_2\;</math> dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> » <math>\;\Big[</math>ou « pseudo-force des marées appliquée en l'un des points du doublet de points matériels étudié dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> du doublet »<math>\Big]</math>.</ref>, ce dernier devant alors être considéré « pseudo-galiléen » dans la mesure où cette 2<sup>ème</sup> « force » <math>\;\big[</math>que l'on notera <math>\;\vec{f}_{\text{marées}}(M_2)\big]\;</math> englobe la pseudo-force d'inertie d'entraînement tenant compte du caractère non galiléen de <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> <math>\Rightarrow</math> celle-ci ne doit donc pas être introduite une 2<sup>ème</sup> fois d'où <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> considéré comme galiléen <math>\;\big(</math>ce que souligne le préfixe « pseudo- »<math>\big)\Big\}</math>.

===== Notion de « force des marées » =====

{{Al|5}}La « <u>force des marées appliquée à</u> <math>\;M_2\;</math> <u>dans le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> »<ref name="abus force des marées" /> est la résultante de la force exercée par l'astre éloigné sur <math>\;M_2\;</math> et de la pseudo-force d'inertie d'entraînement liée au caractère non galiléen du référentiel barycentrique s'appliquant sur <math>\;M_2\;</math> soit <center>«<math>\;\vec{f}_{\text{marées}}(M_2) = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \left[ \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) - \vec{G}_{\text{ext}}(M_1) \right]\;</math>», <br>l'introduction de cette « force »<ref name="force ou pseudo-force" /> rendant le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> pseudo-galiléen<ref name="pseudo-galiléen"> Qui doit être considéré comme galiléen, son caractère non galiléen déjà introduit ne devant pas l'être une 2<sup>ème</sup> fois.</ref>.</center> 
{{Al|5}}En conséquence, pour déterminer le mouvement barycentrique de <math>\;M_2</math>, on peut donc <u>considérer le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> <u>pseudo-galiléen</u><ref name="pseudo-galiléen" /> <math>\;\big(</math>ou le système des deux points comme « isolé »<ref name="système considéré comme isolé"> En effet considérer <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> comme galiléen correspondant à un mouvement rectiligne uniforme du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système c'est-à-dire au caractère isolé de ce dernier sous-entendant l'absence de l'espace champ de gravitation de l'astre éloigné <math>\;\big(</math>en fait ceci ne peut être envisagé que si la pseudo-force d'inertie d'entraînement sur le point dont on étudie le mouvement ainsi que la force d'attraction gravitationnelle de l'astre éloigné sont introduites par ailleurs, ce qui est le cas lors de l'utilisation de la notion de « force des marées »<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> <u>à condition d’ajouter à la force d’interaction exercée par</u> <math>\;M_1</math> <math>\;\big(</math>la seule force qui s'exercerait sur <math>\;M_2\;</math> si le système des deux points matériels était réellement isolé<math>\big)</math>, « <u>la force des marées appliquée à</u> <math>\;M_2\;</math> c'est-à-dire <math>\;\vec{f}_{\text{marées}}(M_2)\;</math>», le mouvement barycentrique de <math>\;M_2\;</math> suivant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. suivante <center>«<math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} + \vec{f}_{\text{marées}}(M_2) = \dfrac{d \vec{p}_2^{\,*}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>».</center>
{{Al|5}}<u>Remarque</u> : En permutant les rôles joués par les points matériels <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> <math>\;\big(</math>ce qui revient à échanger les indices « <math>{}_1</math> » et « <math>{}_2</math> »<math>\big)</math>, on définit la « <u>force des marées appliquée à</u> <math>\;M_1\;</math> <u>dans le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> »<ref name="abus force des marées" /> comme la résultante de la force exercée par l'astre éloigné sur <math>\;M_1\;</math> et de la pseudo-force d'inertie d'entraînement liée au caractère non galiléen de <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> s'appliquant sur <math>\;M_1\;</math> soit <center>«<math>\;\vec{f}_{\text{marées}}(M_1) = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \left[ \vec{G}_{\text{ext}}(M_1) - \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) \right] = -\vec{f}_{\text{marées}}(M_2)\;</math>», <br>l'introduction de cette « force »<ref name="force ou pseudo-force" /> rendant le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> pseudo-galiléen<ref name="pseudo-galiléen" /> ;</center>
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}ainsi, pour déterminer le mouvement barycentrique de <math>\;M_1</math>, on pourra <u>considérer le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> <u>pseudo-galiléen</u><ref name="pseudo-galiléen" /> <math>\;\big(</math>ou le système des deux points comme « isolé »<ref name="système considéré comme isolé" /><math>\big)\;</math> <u>à condition d’ajouter à la force d’interaction exercée par</u> <math>\;M_2</math> <math>\;\big(</math>la seule force qui s'exercerait sur <math>\;M_1\;</math> si le système des deux points matériels était réellement isolé<math>\big)</math>, « <u>la force des marées appliquée à</u> <math>\;M_1\;</math> c'est-à-dire <math>\;\vec{f}_{\text{marées}}(M_1)\;</math>», le mouvement barycentrique de <math>\;M_1\;</math> suivant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. suivante <center>«<math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} + \vec{f}_{\text{marées}}(M_1) = \dfrac{d \vec{p}_1^{\,*}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en fait la relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> est équivalente à la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> car elle représente l'opposée de cette dernière puisque <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = -\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\\ \vec{f}_{\text{marées}}(M_1) = -\vec{f}_{\text{marées}}(M_2)\\ \vec{p}_1^{\,*} = -\vec{p}_2^{\,*}\end{array}\right\rbrace</math>.

==== Notion de champ des marées d'un astre dans le voisinage d'un point O éloigné de l'astre ====

{{Définition|titre=Champ des marées d'un astre dans le voisinage d'un point A éloigné de l'astre|contenu= {{Al|5}}Soit un astre <math>\;\left( \mathcal{A} \right)\;</math> de « centre <math>\;A</math> »<ref name="centre de l'astre"> « Centre » est entre guillemets car l'astre n'a pas nécessairement un centre de symétrie sphérique <math>\;\big(</math>même si c'est l'hypothèse la plus fréquente<math>\big)</math>, dans le cas où l'astre ne serait pas à symétrie sphérique, le point de l'astre choisi comme « centre » est l'un des points les plus éloignés de la surface de l'astre.</ref>, source d'un champ gravitationnel en tout point <math>\;P\;</math> extérieur «<math>\;\vec{G}_{\mathcal{A}}(P)\;</math>» ainsi que deux points <math>\;\left( O\,,\, M \neq O \right)\;</math> avec <math>\;O\;</math> <u>éloigné de l'astre</u> <math>\;\left( \mathcal{A} \right)</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire éloigné de son « centre <math>\;A</math> »<ref name="centre de l'astre" /><math>\big]\;</math><ref name="éloigné de l'astre"> Ou encore la distance <math>\;d\! \left( O,\, A \right)\;</math> est <math>\;\ll\;</math> relativement aux dimensions de l'astre.</ref> et <math>\;M\;</math> <u>restant dans le voisinage de</u> <math>\;O\;</math><ref name="voisinage du point O"> « Voisinage de <math>\;O\;</math>» au sens commun du terme c'est-à-dire restant à proximité de <math>\;O\;</math> sans lui être confondu, mathématiquement la distance <math>\;d\! \left( O,\, M \right)\;</math> est <math>\;\ll\;</math> devant la distance <math>\;d\! \left( A,\, O \right)</math>, <math>\;A\;</math> étant le « centre » de l'astre éloigné.</ref>, <u>le champ des marées de l'astre</u> <math>\;\left( \mathcal{A} \right)\;</math> <u>au point</u> <math>\;M\;</math> <u>du voisinage d'un point</u> <math>\;O\;</math><ref name="voisinage du point O" /> <u>éloigné de l'astre</u><ref name="éloigné de l'astre" /> est noté «<math>\;\vec{C}_{\mathcal{A}}(M)\;</math>» et défini selon <center>«<math>\;\vec{C}_{\mathcal{A}}(M) = \vec{G}_{\mathcal{A}}(M) - \vec{G}_{\mathcal{A}}(O)\;</math>».</center>}}
{{Al|5}}<u>Remarques</u> : Tout comme la définition du vecteur champ gravitationnel d'un astre <math>\;\left( \mathcal{A} \right)\;</math> en une position <math>\;P\;</math> de son espace ne nécessite pas que cette position soit occupée par un point matériel <math>\;\Big[</math>mais si ce n'est pas le cas l'action de l'astre en <math>\;P\;</math> reste invisible, ce n'est que si cette position est occupée par un point matériel <math>\;P \left( m_P \right)\;</math> que ce dernier subit la force d'attraction gravitationnelle <math>\;m_P\;\vec{G}_{\mathcal{A}}(P)\;</math> avec <math>\;\vec{G}_{\mathcal{A}}(P)\;</math> champ gravitationnel de l'astre en <math>\;P</math>, champ existant même si la position <math>\;P\;</math> est vide<math>\Big]</math>,

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Tout comme }}la définition du vecteur champ des marées d'un astre <math>\;\left( \mathcal{A} \right)\;</math> en la position <math>\;M\;</math> du voisinage d'une position <math>\;O\;</math><ref name="voisinage du point O" /> éloignée de l'astre<ref name="éloigné de l'astre" /> ne nécessite pas que ces deux positions soient occupées par des points matériels <math>\;\bigg\{</math>mais si ce n'est pas le cas l'action du champ des marées restera invisible, ce n'est que si ces deux positions sont simultanément occupées par deux points matériels <math>\;O \left( m_O \right)\;</math> et <math>\;M \left( m_M \right)\;</math> que ce dernier subit une « force des marées »<ref name="abus force des marées" /> dans le référentiel barycentrique des deux points matériels <math>\;\left( O\,,\, M \right)</math>, « force » dépendant du champ des marées «<math>\;\vec{C}_{\mathcal{A}}(M) =</math> <math>\vec{G}_{\mathcal{A}}(M) - \vec{G}_{\mathcal{A}}(O)\;</math>» <math>\;\Big[</math>avec <math>\;\vec{G}_{\mathcal{A}}(P)\;</math> champ gravitationnel de l'astre en <math>\;P\Big]\;</math> ainsi que des deux masses par l'intermédiaire de la masse réduite <math>\;\mu = \dfrac{m_O\;m_M}{m_O + m_M}\;</math> de ces dernières, « force » résultant de l'influence du champ de gravitation de l'astre éloigné sur le point <math>\;M\;</math> ainsi que du caractère non galiléen du référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> des deux points matériels et qui se manifeste dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> « pseudo-galiléen »<ref name="pseudo-galiléen" /> selon la relation <math>\;\vec{f}_{\text{marées}}(M) = \dfrac{m_O\;m_M}{m_O + m_M}\;\vec{C}_{\mathcal{A}}(M) = \mu\;\vec{C}_{\mathcal{A}}(M)\;</math><ref> Cette relation peut être vérifiée dans le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Notion_de_«_force_des_marées_»|notion de forces des marées]] » plus haut dans ce chapitre où on a établi que, dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> du système de deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1\, (m_1)\,,\, M_2\, (m_2) \right\rbrace</math>, <br>{{Al|3}}la « force des marées appliquée à <math>\;M_2\;</math>» s'écrit «<math>\;\vec{f}_{\text{marées}}(M_2) = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \left[ \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) - \vec{G}_{\text{ext}}(M_1) \right] = \mu\;\vec{C}_{\text{ext}}(M_2)\;</math>» avec <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> supposé « pseudo-galiléen » et <br>{{Al|3}}la « force des marées appliquée à <math>\;M_1\;</math>» {{Transparent|s'écrit }}«<math>\;\vec{f}_{\text{marées}}(M_1) = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \left[ \vec{G}_{\text{ext}}(M_1) - \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) \right] = \mu\;\vec{C}_{\text{ext}}(M_1)\;</math>» avec <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> supposé « pseudo-galiléen ».</ref><math>\bigg\}</math>.

{{Al|5}}<u>Exemples</u> <math>\;\succ\;</math> <u>Le champ des marées lunaires au voisinage de la Terre</u> « ♁ de centre <math>\;T\;</math>» <math>\;\Big[</math>ou le champ des marées de la Lune « ☽ de centre <math>\;L\;</math>» en un point matériel <math>\;M\, (m)\;</math> du voisinage de « <math>\text{♁}\, \left( m_{\text{♁}} \right)\;</math> de centre <math>\;T</math> »<ref name="voisinage du point T"> « Voisinage de <math>\;T\;</math>» au sens commun du terme c'est-à-dire restant à proximité de <math>\;T\;</math> sans lui être confondu, mathématiquement la distance <math>\;d\! \left( T,\, M \right)\;</math> est <math>\;\ll\;</math> devant la distance <math>\;d\! \left( L,\, T \right)</math>, <math>\;L\;</math> étant le « centre » de la Lune ; en pratique le point matériel <math>\;M\;</math> n'étant pas une partie de la Terre est à une distance de son centre <math>\;T\;</math> supérieure au rayon de celle-ci <math>\;\big(</math>en en restant toutefois voisine<math>\big)</math>.</ref> considéré comme éloigné de <math>\;L\;</math><ref name="T éloigné de L"> En effet la distance séparant le centre <math>\;T\;</math> de la Terre et le centre <math>\;L\;</math> de la Lune représente approximativement <math>\;60\;</math> fois le rayon de la Terre.</ref><math>\Big]</math> : «<math>\;\vec{C}_{\text{☽}}(M) = \vec{G}_{\text{☽}}(M) - \vec{G}_{\text{☽}}(T)\;</math>» avec «<math>\;\vec{G}_{\text{☽}}(P) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☽}}}{r_{L,\,P}^{\,2}}\;\vec{u}_{L\,\rightarrow\,P}\;</math> le champ d'attraction de la Lune en tout point hors de celle-ci, <math>\;m_{\text{☽}}\;</math> étant sa masse », <u>l'action de ce champ des marées lunaires sur le point matériel</u> <math>\;M\, (m)\;</math> <u>se manifestant par la « force des marées lunaires</u> <math>\;\vec{f}_{\text{marées ☽}}(M) = \dfrac{m\;m_{\text{♁}}}{m + m_{\text{♁}}}\;\vec{C}_{\text{☽}}(M)</math> »<ref name="abus force des marées" /> <u>dans le référentiel barycentrique du système</u> <math>\;\left( M\,,\, \text{♁} \right)</math>, référentiel considéré comme « pseudo-galiléen »<ref name="pseudo-galiléen" /> <math>\;\big(</math>sur une durée où l'action du Soleil peut être négligée c'est-à-dire <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;3\;j\big)\;</math> ou encore, <math>\;m\;</math> étant usuellement <math>\;\ll\;</math> par rapport à <math>\;m_{\text{♁}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{m\;m_{\text{♁}}}{\cancel{m\; +}\; m_{\text{♁}}} \simeq m</math>, la « <u>force des marées lunaires sur</u> <math>\;M</math> »<ref name="abus force des marées" /> <u>s'écrivant de façon approchée selon</u> <math>\;\vec{f}_{\text{marées ☽}}(M) \simeq m\;\vec{C}_{\text{☽}}(M)\;</math> <u>dans le référentiel géocentrique</u> « <u>pseudo-galiléen</u> »<ref name="pseudo-galiléen" /> <math>\;\bigg[</math>le  C.D.I<ref name="C.D.I." />. de <math>\;\left\lbrace T\, \left( m_{\text{♁}} \right)\,,\, M\, \left( m \right) \right\rbrace\;</math> se confondant avec <math>\;T\;</math> compte-tenu de <math>\;m \ll m_{\text{♁}}\bigg]</math>, ceci toujours sur une durée où l'action du Soleil peut être négligée c'est-à-dire <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;3\;j</math>.

{{Al|5}}{{Transparent|Exemples }}<math>\;\succ\;</math> <u>Le champ des marées solaires au voisinage de la Terre</u> « ♁ de centre <math>\;T</math> » <math>\;\Big[</math>ou le champ des marées du Soleil « ☉ de centre <math>\;S</math> » en un point matériel <math>\;M\, (m)\;</math> du voisinage de « <math>\text{♁}\, \left( m_{\text{♁}} \right)\;</math> de centre <math>\;T</math> »<ref name="voisinage du point T - bis"> « Voisinage de <math>\;T\;</math>» au sens commun du terme c'est-à-dire restant à proximité de <math>\;T\;</math> sans lui être confondu, mathématiquement la distance <math>\;d\! \left( T,\, M \right)\;</math> est <math>\;\ll\;</math> devant la distance <math>\;d\! \left( S,\, T \right)</math>, <math>\;S\;</math> étant le « centre » du Soleil ; en pratique le point matériel <math>\;M\;</math> n'étant pas une partie de la Terre est à une distance de son centre <math>\;T\;</math> supérieure au rayon de celle-ci <math>\;\big(</math>en en restant le plus souvent voisine<math>\big)</math>.</ref> considéré comme éloigné de <math>\;S\;</math><ref name="T éloigné de S"> En effet la distance séparant le centre <math>\;T\;</math> de la Terre et le centre <math>\;S\;</math> du Soleil représente approximativement <math>\;23500\;</math> fois le rayon de la Terre.</ref><math>\Big]</math> : «<math>\;\vec{C}_{\text{☉}}(M) = \vec{G}_{\text{☉}}(M) - \vec{G}_{\text{☉}}(T)\;</math>» avec «<math>\;\vec{G}_{\text{☉}}(P) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{S,\,P}^{\,2}}\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,P}\;</math> le champ d'attraction du Soleil en tout point hors de celui-ci, <math>\;m_{\text{☉}}\;</math> étant sa masse », <u>l'action de ce champ des marées solaires sur le point matériel</u> <math>\;M\, (m)\;</math> <u>se manifestant par la « force des marées solaires</u> <math>\;\vec{f}_{\text{marées ☉}}(M) = \dfrac{m\;m_{\text{♁}}}{m + m_{\text{♁}}}\;\vec{C}_{\text{☉}}(M)</math> »<ref name="abus force des marées" /> <u>dans le référentiel barycentrique du système</u> <math>\;\left( M\,,\, \text{♁} \right)</math>, référentiel considéré comme « pseudo-galiléen »<ref name="pseudo-galiléen" /> <math>\;\Big[</math>à condition toutefois d'y ajouter la « force des marées lunaires sur <math>\;M</math> »<ref name="abus force des marées" /> car l'action de la Lune a aussi une influence sur le mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. de <math>\;\left\lbrace T\, \left( m_{\text{♁}} \right)\,,\, M\, \left( m \right) \right\rbrace\;</math> dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> galiléen<math>\Big]\;</math> ou encore, <math>\;m\;</math> étant usuellement <math>\;\ll\;</math> par rapport à <math>\;m_{\text{♁}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{m\;m_{\text{♁}}}{\cancel{m\; +}\; m_{\text{♁}}} \simeq m</math>, la « <u>force des marées solaires sur</u> {{Nobr|<math>\;M</math> »<ref name="abus force des marées" />}} <u>s'écrivant de façon approchée selon</u> <math>\;\vec{f}_{\text{marées ☉}}(M) \simeq m\;\vec{C}_{\text{☉}}(M)\;</math> <u>dans le référentiel géocentrique</u> « <u>pseudo-galiléen</u> »<ref name="pseudo-galiléen" /> <math>\;\Big[</math>le  C.D.I<ref name="C.D.I." />. de <math>\;\left\lbrace T\, \left( m_{\text{♁}} \right)\,,\, M\, \left( m \right) \right\rbrace\;</math> se confondant avec <math>\;T\;</math> compte-tenu de <math>\;m \ll m_{\text{♁}}\Big]</math>, « pseudo-galiléen » sur une durée <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;3\;j\;</math> avec la nécessité d'ajouter à la « force des marées solaires »<ref name="abus force des marées" /> « la force des marées lunaires »<ref name="abus force des marées" /> dont l'influence est primordiale relativement à celle des marées solaires, cette dernière ne représentant approximativement que <math>\;45\;\%\;</math> de la {{1re}} en norme pour des points matériels restant voisins de la surface de la Terre.

==== Forces à appliquer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M<sub>2</sub> par rapport à M<sub>1</sub> ====

{{Al|5}}Comme cela a été rappelé en « introduction du paragraphe [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Recherche_des_forces_à_appliquer_au_mobile_réduit_pour_que_son_mouvement_barycentrique_s'identifie_au_mouvement_relatif_de_M2_par_rapport_à_M1|recherche des forces à appliquer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M<sub>2</sub> par rapport à M<sub>1</sub>]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur quantité de mouvement du mobile réduit <math>\;M \left( \mu \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> s'identifiant au vecteur quantité de mouvement barycentrique du point matériel <math>\;M_2 \left( m_2 \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, c'est-à-dire <math>\;\vec{p}^{*}\! \left( M,\, t \right) = \vec{p}_2^{*}(t)\;</math><ref name="p* identique à p2*" />, nous établissons la <math>\;\big(</math>ou les<math>\big)\;</math> force(s) à appliquer au mobile réduit dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> en cherchant ce qui doit être mis à la place du point d'interrogation dans «<math>\;\dfrac{d \vec{p}^{*}}{dt}(M,\, t) = \text{?}\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> « pseudo-galiléen »<ref name="pseudo-galiléen" /> ce qui est équivalent à «<math>\;\dfrac{d \vec{p}_2^{*}}{dt}(t) = \text{?}\;</math>» le même référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> ; or nous avons établi la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Notion_de_«_force_des_marées_»|notion de force des marées]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} + \vec{f}_{\text{marées}}(M_2) = \dfrac{d \vec{p}_2^{\,*}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» et nous en déduisons la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} + \vec{f}_{\text{marées}}(M_2) = \dfrac{d \vec{p}^{\,*}}{dt}(M,\, t),\;\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>» à appliquer dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> « pseudo-galiléen »<ref name="pseudo-galiléen" /> ;

{{Al|5}}de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> nous pouvons affirmer que le mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M \left( \mu \right)\;</math> associé au système des deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_2\, (m_2)\,,\, M_1\, (m_1) \right\rbrace\;</math> positionné dans l'espace champ de gravitation d'un astre éloigné de vecteur champ de gravitation en un point <math>\;P\;</math> quelconque <math>\;\vec{G}_{\text{ext}}(P)</math>, se détermine en lui appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> « <u>pseudo-galiléen</u> »<ref name="pseudo-galiléen" /> après avoir supposé que <u>le mobile réduit est soumis aux deux</u> « <u>forces</u> »<ref name="force ou pseudo-force - bis"> En fait une seule est une force, l'autre une pseudo-force selon l'explication de la note « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#cite_note-force_ou_pseudo-force-65|<sup>65</sup>]] » plus haut dans ce chapitre d'où la présence de guillemets entourant le terme « forces ».</ref> suivantes :
* <u>la force d'attraction gravitationnelle de</u> <math>\;M_1\;</math> <u>sur</u> <math>\;M_2\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_1\;m_2}{r_{1\,2}^{\,2}}\;\vec{u}_{1\,\rightarrow\,2}\;</math>» ou, sachant que <math>\;\mu = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;m_1\;m_2 = \mu\;m_{\text{syst}}\;</math> avec <math>\;m_{\text{syst}} = m_1 + m_2</math>, et que «<math>\;\overrightarrow{GM}(t) =</math> <math>\overrightarrow{M_1M_2}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» avec <math>\;G\;</math> le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système des deux points matériels <math>\Rightarrow</math> la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> dans son repérage sphérique de pôle <math>\;G\;</math> vaut «<math>\;r = r_{1\,2}\;</math>» et son vecteur unitaire radial du même repérage sphérique de pôle <math>\;G\;</math> «<math>\;\vec{u}_r = \vec{u}_{1\,\rightarrow\,2}\;</math>», la réécriture de la force selon «<math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = -\dfrac{\mathcal{G}\;\mu\;m_{\text{syst}}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>la seule force à appliquer dans le cas d'un système de deux points matériels isolé<math>\big)\;</math> et
* <u>la « force des marées appliquée à <math>\;M_2</math> »</u><ref name="abus force des marées" /> dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> « pseudo-galiléen »<ref name="pseudo-galiléen" /> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\text{marées}}(M_2) = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\;\vec{C}_{\text{ext}}(M_2)\;</math>» avec <math>\;\vec{C}_{\text{ext}}(M_2) = \vec{G}_{\text{ext}}(M_2) - \vec{G}_{\text{ext}}(M_1)</math>, le champ des marées en <math>\;M_2\;</math> de l'astre éloigné du système des deux points matériels dans lequel <math>\;\vec{G}_{\text{ext}}(P)\;</math> est le champ de gravitation créé par cet astre en un point <math>\;P\;</math> quelconque ou, sachant que <math>\;\dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} = \mu\;</math> et que «<math>\;\overrightarrow{GM}(t) = \overrightarrow{M_1M_2}(t),\;\;\forall\;t\;</math>», la réécriture de la « force des marées appliquée à <math>\;M</math> »<ref name="abus force des marées" /> dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> « pseudo-galiléen »<ref name="pseudo-galiléen" /> selon «<math>\;\vec{f}_{\text{marées}}(M) =</math> <math>\mu\;\vec{C}_{\text{ext}}(M)\;</math>» avec <math>\;\vec{C}_{\text{ext}}(M) = \vec{G}_{\text{ext}}(M) - \vec{G}_{\text{ext}}(G)</math>, cette « force »<ref name="force ou pseudo-force" /> n'étant, en pratique, qu'une force corrective relativement à l'autre force «<math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math>» <math>\;\ldots</math>

=== Conséquences de la force des marées sur le mouvement barycentrique du mobile réduit ===

{{Al|5}}L'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au mobile réduit <math>\;M\; (\mu)\;</math> du système des deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_2\, (m_2)\,,\, M_1\, (m_1) \right\rbrace\;</math> situé dans l'espace champ gravitationnel d'un astre éloigné, écrite dans le référentiel barycentrique du système des deux points <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> « pseudo-galiléen »<ref name="pseudo-galiléen" /> selon <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} + \vec{f}_{\text{marées}}(M_2) = \dfrac{d \vec{p}^{\,*}}{dt}(M,\, t)\;</math>» ou «<math>\;-\mu\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{syst}}}{r^2}\;\vec{u}_r + \mu\;\vec{C}_{\text{marées}}(M) = \mu\;\vec{a}^{*}(M,\,t)\;</math>» soit, après simplification par <math>\;\mu</math>, l'expression du vecteur accélération barycentrique du mobile réduit à l'instant <math>\;t\;</math> <center>«<math>\;\vec{a}^{*}(M,\,t) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{syst}}}{r^2}\;\vec{u}_r + \vec{C}_{\text{marées}}(M)\;</math>» dans lequel <br>la composante principale est <math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{syst}}}{r^2}\;\vec{u}_r</math>, l'autre composante <math>\;\vec{C}_{\text{marées}}(M)\;</math> étant corrective.</center>
{{Al|5}}Nous savons qu'<u>en absence de</u> « <u>la force des marées appliquée à</u> <math>\;M</math> »<ref name="abus force des marées" /> <u>dans le référentiel barycentrique</u> <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> « <u>pseudo-galiléen</u> »<ref name="pseudo-galiléen" />, le mouvement barycentrique du mobile réduit possède les propriétés rappelées dans le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Rappel_des_principaux_résultats|rappel des principaux résultats]] (du mouvement du mobile réduit d'un système de deux points en interaction newtonienne isolé) » plus haut dans ce chapitre et que la présence de cette « force des marées »<ref name="abus force des marées" /> peut modifier selon les ajouts indiqués :
* un mouvement plan <math>\;\big(</math>ou rectiligne<math>\big)</math>, <u>caractère « plan » maintenu si toutefois le centre de l'astre éloigné se trouve dans le plan envisagé</u> <math>\;\Big\{</math>en effet, utilisant le repérage polaire de pôle <math>\;G\;</math> du point <math>\;M\;</math> dans le plan de son mouvement en absence de « la force des marées »<ref name="abus force des marées" /> <math>\;\big(\vec{u}_z\;</math> étant le vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> au plan orientant les angles de ce dernier<math>\big)</math>, l'ajout de la « force des marées <math>\;\mu\;\vec{C}_{\text{marées}}(M)\;</math>»<ref name="abus force des marées" />, laquelle est, tout comme <math>\;\vec{G}_{\text{ext}}(G)\;</math> et <math>\;\vec{G}_{\text{ext}}(M)</math>, contenu dans ce plan, n'introduisant aucune composante sur <math>\;\vec{u}_z</math>, on en déduit <math>\;a_z^{*}(M,\,t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_z^{*}(M,\,t) = cste\;</math> ou, avec C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. <math>\;\Big(</math>le plan <math>\;xGy\;</math> contenant <math>\;M_0\;</math> et <math>\;\vec{V}^{*}_0\Big)</math>, <math>\;V_z^{*}(M,\,t) = 0\;</math> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.<math>\Big\}</math>, le caractère « plan » n'étant qu'approché dans le cas contraire,
* la trajectoire barycentrique de <math>\;M</math> est une <u>conique</u> <math>\;\big(</math><u>ou portion de conique</u><math>\big)\;</math> <u>dont</u> <math>\;G\;</math> <u>est le</u> <math>\;\big(</math><u>ou l'un des</u><math>\big)\;</math> <u>foyer(s)</u> <math>\;\big[</math>dans le cas d'une portion de conique, celle-ci est une hyperbole et la portion est la branche contournant <math>\;G\big]</math>, l'ajout de la « force des marées <math>\;\mu\;\vec{C}_{\text{marées}}(M)</math> »<ref name="abus force des marées" /> déformant plus ou moins la conique, la direction, le sens et l'intensité de la déformation dépendant de l'étude graphique ou algébrique exposée dans les deux paragraphes suivants « [[#Détermination_graphique_dans_le_référentiel_lié_à_M1_en_translation_par_rapport_au_référentiel_barycentrique_du_champ_des_marées_pour_quelques_positions_particulières_de_M2|détermination graphique dans le référentiel lié à M<sub>1</sub> en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M<sub>2</sub>]] »<ref name="mouvement barycentrique de M = mouvement relatif de M2 relativement à M1"> On rappelle que le mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M\;</math> s'identifie au mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1</math>, référentiel lié à <math>\;M_1\;</math> en translation relativement au référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>.</ref> et « [[#Détermination_algébrique_dans_le_référentiel_lié_à_M1_en_translation_par_rapport_au_référentiel_barycentrique_du_champ_des_marées_pour_quelques_positions_particulières_de_M2|détermination algébrique dans le référentiel lié à M<sub>1</sub> en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M<sub>2</sub>]] »<ref name="mouvement barycentrique de M = mouvement relatif de M2 relativement à M1" /> <math>\;\ldots</math>

=== Détermination graphique dans le référentiel lié à M<sub>1</sub> en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M<sub>2</sub> ===

{{Al|5}}De façon à rendre plus concrète cette détermination, la Terre « ♁ » <math>\;\big(</math>supposée ponctuelle<math>\;\big)\;</math> de centre <math>\;T\;</math> est choisie comme point matériel <math>\;M_1</math>, la Lune « ☽ » <math>\;\big(</math>également supposée ponctuelle<math>\;\big)\;</math> de centre <math>\;L\;</math> choisie comme point matériel <math>\;M_2</math>, le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> lié à <math>\;M_1\;</math> en translation par rapport au référentiel barycentrique est le référentiel géocentrique et le Soleil « ☉ » de centre <math>\;S\;</math> choisi comme astre éloigné du système « (♁, ☽) » ;

[[File:Champs de gravitation solaire en différents points.png|thumb|400px|Représentation du champ de gravitation solaire au centre de la Terre et en quatre positions de la Lune quand celle-ci est en opposition avec le Soleil (L<sub>1</sub>), en conjonction avec le Soleil (L<sub>2</sub>), en quadrature avec le Soleil relativement à la Terre (L<sub>3</sub> et L<sub>4</sub> respectivement en phase décroissante et croissante)]]
[[File:Construction du champ des marées solaires en des positions de la Lune.png|thumb|400px|Construction du champ des marées solaires en trois positions de la Lune quand celle-ci est en opposition avec le Soleil (L<sub>1</sub>), en conjonction avec le Soleil (L<sub>2</sub>), en quadrature avec le Soleil relativement à la Terre (L<sub>3</sub> en phase décroissante)]]
[[File:Représentation du champ des marées solaires en différentes positions de la Lune.png|thumb|400px|Représentation du champ des marées solaires en quatre positions de la Lune quand celle-ci est en opposition avec le Soleil (L<sub>1</sub>), en conjonction avec le Soleil (L<sub>2</sub>), en quadrature avec le Soleil relativement à la Terre (L<sub>3</sub> et L<sub>4</sub> respectivement en phase décroissante et croissante)]]
{{Al|5}}pour simplifier l'étude, nous supposons que le centre de l'astre source du champ newtonien extérieur <math>\;\big[</math>c'est-à-dire le centre <math>\;S\;</math> du Soleil<math>\big]\;</math> et le système des deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1\,,\, M_2 \right\rbrace</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire le système « (♁, ☽) » modélisé en <math>\;\left( T\,,\, L \right)\big]\;</math> sont coplanaires ; dans ce cadre d'étude nous envisageons quatre positions particulières <math>\;\big(</math>voir ci-contre les champs de gravitation solaire<ref name="hors échelle"> Représentation hors échelle.</ref><math>\big)</math> :
* position <math>\;L_1\;</math> correspondant à <math>\;S,\;T,\;L\;</math> alignés dans cet ordre, position de [[w:Pleine_lune|Pleine Lune]] <math>\;\big(</math>de <math>\;T\;</math> on voit la face éclairée par <math>\;S\;</math> de la Lune<ref name="absence d'éclipse lunaire"> Bien sûr s'il n'y a pas [[w:Éclipse_lunaire|éclipse lunaire]].</ref><math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le Soleil et la Lune sont en opposition par rapport à la {{Nobr|Terre<math>\big\}</math>,}}
* position <math>\;L_2\;</math> correspondant à <math>\;S,\;L,\;T\;</math> alignés dans cet ordre, position de [[w:Nouvelle_lune|Nouvelle Lune]] <math>\;\big(</math>de <math>\;T\;</math> on voit la face non éclairée par <math>\;S\;</math> de la Lune<ref name="absence d'éclipse solaire"> Bien sûr s'il n'y a pas [[w:Éclipse_lunaire|éclipse solaire]].</ref><math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le Soleil et la Lune sont en conjonction par rapport à la Terre<math>\big\}</math>,
* position <math>\;L_3\;</math> correspondant à <math>\;S,\;L\;</math> en [[w:Quadrature_(astronomie)|quadrature]] relativement à <math>\;T\;</math><ref name="S L en quadrature par rapport à T"> En astronomie deux astres sont en quadrature <math>\;\big(</math>ici le Soleil et la Lune<math>\big)\;</math> lorsque leur longitude céleste mesurée par rapport à un même 3<sup>ème</sup> <math>\;\big(</math>ici la Terre<math>\big)\;</math> vaut <math>\;\pm 90\,\text{°}</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas présent nous supposons que la Terre et la Lune sont situées à la même distance du Soleil, ce qui fait que les champs de gravitation solaire en <math>\;T\;</math> et <math>\;L\;</math> sont de même intensité.</ref> phase décroissante<ref name="phase décroissante"> C'est-à-dire que la partie éclairée de la Lune décroît avec le temps.</ref>, position de [[w:Phase_de_la_Lune|Dernier Quartier]] <math>\;\big(</math>de <math>\;T\;</math> on voit partiellement la face éclairée par <math>\;S\;</math> de la Lune sur sa partie gauche<ref name="panse d'un d"> On voit la panse d'un “ d ” {{1re}} lettre de « dernier ».</ref><math>\big)\;</math> et
* position <math>\;L_4\;</math> correspondant à <math>\;S,\;L\;</math> en [[w:Quadrature_(astronomie)|quadrature]] relativement à <math>\;T\;</math><ref name="S L en quadrature par rapport à T" /> phase croissante<ref name="phase croissante"> C'est-à-dire que la partie éclairée de la Lune croît avec le temps.</ref>, position de [[w:Phase_de_la_Lune|Premier Quartier]] <math>\;\big(</math>de <math>\;T\;</math> on voit partiellement la face éclairée par <math>\;S\;</math> de la Lune sur sa partie droite<ref name="panse d'un p"> On voit la panse d'un “ p ” {{1re}} lettre de « premier ».</ref><math>\big)</math>.
{{Al|5}}Voir ci-contre la construction du champ des marées solaires en les trois positions <math>\;L_1</math>, <math>\;L_2\;</math> et <math>\;L_3</math>, <math>\;\big(</math>la construction pour la position <math>\;L_4\;</math> étant la symétrique relativement à l'axe <math>\;\overrightarrow{ST}\;</math> de celle pour la position <math>\;L_3\big)</math>, les constructions utilisant les directions et sens comparés des champs de gravitation en <math>\;L_i\;</math> et <math>\;T\;</math> ainsi que leurs intensités comparées ;

{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}<math>\;\succ\;</math> en <math>\;L_1\;</math> le champ des marées solaires est «<math>\;\vec{C}_S(L_1) = \vec{G}_S(L_1) - \vec{G}_S(T)\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{G}_S(L_1)\;</math> et <math>\;\vec{G}_S(T)\;</math> sont de mêmes direction et sens avec <math>\;\Vert \vec{G}_S(L_1) \Vert < \Vert \vec{G}_S(T) \Vert\;</math> d'où «<math>\;\vec{C}_S(L_1)\;</math> de direction <math>\;\left( S T \right)\;</math> centrifuge relativement à <math>\;T\;</math> tel que <math>\;\Vert \vec{C}_S(L_1) \Vert</math> <math>= \Vert  \vec{G}_S(T) \Vert - \Vert  \vec{G}_S(L_1) \Vert\;</math>»,

{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}<math>\;\succ\;</math> en <math>\;L_2\;</math> le champ des marées solaires est «<math>\;\vec{C}_S(L_2) = \vec{G}_S(L_2) - \vec{G}_S(T)\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{G}_S(L_2)\;</math> et <math>\;\vec{G}_S(T)\;</math> sont de mêmes direction et sens avec <math>\;\Vert \vec{G}_S(L_2) \Vert > \Vert \vec{G}_S(T) \Vert\;</math> d'où «<math>\;\vec{C}_S(L_1)\;</math> de direction <math>\;\left( S T \right)\;</math> centrifuge relativement à <math>\;T\;</math> tel que <math>\;\Vert \vec{C}_S(L_2) \Vert</math> <math>= \Vert  \vec{G}_S(L_2) \Vert - \Vert  \vec{G}_S(T) \Vert\;</math>» et

{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}<math>\;\succ\;</math> en <math>\;L_3\;</math> le champ des marées solaires est «<math>\;\vec{C}_S(L_3) = \vec{G}_S(L_3) - \vec{G}_S(T)\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{G}_S(L_3)\;</math> et <math>\;\vec{G}_S(T)\;</math> n'ont pas même direction avec <math>\;\Vert \vec{G}_S(L_3) \Vert = \Vert \vec{G}_S(T) \Vert\;</math> d'où, par construction graphique «<math>\;\vec{C}_S(L_2)\;</math> de direction quasi-<math>\perp\;</math> à <math>\;\left( S T \right)\;</math> ainsi que quasi-centripète relativement à <math>\;T</math>, l'évaluation de <math>\;\Vert \vec{C}_S(L_3) \Vert\;</math> nécessitant une détermination algébrique<ref> Laquelle sera faite dans le paragraphe « [[#Détermination_algébrique_dans_le_référentiel_lié_à_M1_en_translation_par_rapport_au_référentiel_barycentrique_du_champ_des_marées_pour_quelques_positions_particulières_de_M2|détermination algébrique dans le référentiel lié à M<sub>1</sub> en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques position particulières de M<sub>2</sub>]] » de ce chapitre.</ref> » <math>\;\Big[</math>en <math>\;L_4\;</math> le champ des marées solaires «<math>\;\vec{C}_S(L_4) = \vec{G}_S(L_4) - \vec{G}_S(T)\;</math>» est le symétrique relativement à <math>\;\left( S T \right)\;</math> du champ des marées solaires en <math>\;L_3\Big]</math>.

{{Al|5}}Voir ci-contre la carte des champs des marées solaires en les quatre positions particulières étudiées :
* <math>\;L_1\;</math> et <math>\;L_2\;</math> donnant un champ des marées solaires centrifuge relativement à <math>\;T\;</math> dont l'action sur la trajectoire de la Lune dans le référentiel géocentrique sera un léger étirement le long de l'axe <math>\;\left( S T \right)\;</math> et
* <math>\;L_3\;</math> et <math>\;L_4\;</math> donnant un champ des marées solaires quasi-centripète relativement à <math>\;T\;</math> dont l'action sur la trajectoire de la Lune dans le référentiel géocentrique sera un léger tassement dans la direction <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;\left( S T \right)</math>.
{{Al|5}}Tout ce qui vient d'être exposé reste valable en remplaçant <math>\;T\;</math> par <math>\;M_1</math>, <math>\;L\;</math> par <math>\;M_2\;</math> et <math>\;S\;</math> par le centre de l'astre éloigné, le référentiel géocentrique étant remplacé par le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> lié à <math>\;M_1\;</math> en translation relativement au référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> du système des deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1\,,\, M_2 \right\rbrace</math>.

=== Détermination algébrique dans le référentiel lié à M<sub>1</sub> en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M<sub>2</sub> ===

{{Al|5}}De même que dans le paragraphe précédent, de façon à rendre plus concrète cette détermination, la Terre « ♁ » <math>\;\big(</math>supposée ponctuelle<math>\;\big)\;</math> de centre <math>\;T\;</math> est choisie comme point matériel <math>\;M_1</math>, la Lune « ☽ » {{Nobr|<math>\;\big(</math>également}} supposée ponctuelle<math>\;\big)\;</math> de centre <math>\;L\;</math> choisie comme point matériel <math>\;M_2</math>, le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> lié à <math>\;M_1\;</math> en translation par rapport au référentiel barycentrique est le référentiel géocentrique et le Soleil « ☉ » de centre <math>\;S\;</math> choisi comme astre éloigné du système « (♁, ☽) » ;

{{Al|5}}dans le but de simplifier l'étude, nous supposons que le centre de l'astre source du champ newtonien extérieur <math>\;\big[</math>c'est-à-dire le centre <math>\;S\;</math> du Soleil<math>\big]\;</math> et le système des deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1\,,\, M_2 \right\rbrace</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire le système « (♁, ☽) » modélisé en <math>\;\left( T\,,\, L \right)\big]\;</math> sont coplanaires ; 

{{Al|5}}là encore nous envisageons les quatre positions particulières précédentes dans le but de faire, pour chacune, une détermination approchée de «<math>\;\vec{C}_S(L_i) = \vec{G}_S(L_i) - \vec{G}_S\;(T),\;\; i \in \left[\left[ 1\,,\,4 \right]\right]\;</math>» qui s'écrit encore «<math>\;\vec{C}_S(L_i) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{SL_i^2}\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,L_i} - \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,T} \right] = -\mathcal{G}\;m_{\text{☉}} \left[ \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,L_i}}{SL_i^2} - \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,T}}{ST^2} \right]\;</math>» :
* pour la position <math>\;L_1\;</math> correspondant à <math>\;S,\;T,\;L\;</math> alignés dans cet ordre, position de [[w:Pleine_lune|Pleine Lune]] <math>\;\big(</math>de <math>\;T\;</math> on voit la face éclairée par <math>\;S\;</math> de la Lune<ref name="absence d'éclipse lunaire" /><math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le Soleil et la Lune sont en opposition par rapport à la {{Nobr|Terre<math>\big\}</math>,}} «<math>\;\vec{C}_S(L_1) = -\mathcal{G}\;m_{\text{☉}} \left[ \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,L_1}}{SL_1^2} - \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,T}}{ST^2} \right]\;</math>» avec « <math>\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,L_1} = \vec{u}_{S\,\rightarrow\,T} = \vec{u}_z</math> »<ref name="définition des trois vecteurs de base cartésienne"> Voir les schémas du paragraphe « [[#Détermination_graphique_dans_le_référentiel_lié_à_M1_en_translation_par_rapport_au_référentiel_barycentrique_du_champ_des_marées_pour_quelques_positions_particulières_de_M2|détermination graphique dans le référentiel lié à M<sub>1</sub> en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M<sub>2</sub>]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;SL_1 = ST + TL_1 = ST \left( 1 + \dfrac{TL_1}{ST} \right)\;</math> avec <math>\;\dfrac{TL_1}{ST} \ll 1\;</math> pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1 d'où «<math>\;\vec{C}_S(L_1) = -\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}\;\vec{u}_z \left[ \dfrac{1}{ST^2\;\left( 1 + \dfrac{TL_1}{ST} \right)^{\!2}} - \dfrac{1}{ST^2} \right] = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}\;\vec{u}_z \left[ \left( 1 + \dfrac{TL_1}{ST} \right)^{\!-2} - 1 \right]\;</math>» ou, en faisant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre 1 en <math>\;\dfrac{TL_1}{ST}\;</math> de l'expression entre crochets <math>\;\left( 1 + \dfrac{TL_1}{ST} \right)^{\!-2} - 1 \simeq \left( 1 - 2\;\dfrac{TL_1}{ST} \right) - 1 = -2\;\dfrac{TL_1}{ST}</math><ref name="D.L. de (1 + x) élevé à la puissance n"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre 1_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre 1 de quelques fonctions usuelles]] » du chap. 14 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel <math>\;\left( 1 + \varepsilon \right)^n \simeq 1 + n\;\varepsilon\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> utilisé ici pour <math>\;n = -2\;</math> ou <math>\;n = -\dfrac{3}{2}</math>.</ref> d'où «<math>\;\vec{C}_S(L_1) \simeq -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}\;\vec{u}_z \left[ -2\;\dfrac{TL_1}{ST} \right]\;</math> à l'ordre 1 en <math>\;\dfrac{TL_1}{ST}\;</math>» ou, en reconnaissant dans le facteur hors crochets, le champ de gravitation solaire au centre de la Terre, l'expression approchée du champ des marées solaires en la position <math>\;L_1\;</math> de la Lune « <math>\;\vec{C}_S(L_1) \simeq -2\;\dfrac{TL_1}{ST}\;\vec{G}_S(T)\;</math> » centrifuge relativement à la Terre,
* pour la position <math>\;L_2\;</math> correspondant à <math>\;S,\;L,\;T\;</math> alignés dans cet ordre, position de [[w:Nouvelle_lune|Nouvelle Lune]] <math>\;\big(</math>de <math>\;T\;</math> on voit la face non éclairée par <math>\;S\;</math> de la Lune<ref name="absence d'éclipse solaire" /><math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le Soleil et la Lune sont en conjonction par rapport à la Terre<math>\big\}</math> « <math>\vec{C}_S(L_2) = -\mathcal{G}\;m_{\text{☉}} \left[ \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,L_2}}{SL_2^2} - \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,T}}{ST^2} \right]</math> » avec « <math>\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,L_2} = \vec{u}_{S\,\rightarrow\,T} = \vec{u}_z</math> »<ref name="définition des trois vecteurs de base cartésienne" /> dans lequel <math>\;SL_2 = ST - TL_2 = ST \left( 1 - \dfrac{TL_2}{ST} \right)\;</math> avec <math>\;\dfrac{TL_2}{ST} \ll 1\;</math> pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1 d'où «<math>\;\vec{C}_S(L_2) = -\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}\;\vec{u}_z \left[ \dfrac{1}{ST^2\;\left( 1 - \dfrac{TL_2}{ST} \right)^{\!2}} - \dfrac{1}{ST^2} \right] = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}\;\vec{u}_z \left[ \left( 1 - \dfrac{TL_2}{ST} \right)^{\!-2} - 1 \right]\;</math>» ou, en faisant un D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre 1 en <math>\;\dfrac{TL_2}{ST}\;</math> de l'expression entre crochets <math>\;\left( 1 - \dfrac{TL_2}{ST} \right)^{\!-2} - 1 \simeq \left( 1 + 2\;\dfrac{TL_2}{ST} \right) - 1 = 2\;\dfrac{TL_2}{ST}</math><ref name="D.L. de (1 + x) élevé à la puissance n" /> d'où «<math>\;\vec{C}_S(L_2) \simeq -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}\;\vec{u}_z \left[ 2\;\dfrac{TL_2}{ST} \right]\;</math> à l'ordre 1 en <math>\;\dfrac{TL_2}{ST}\;</math>» ou, en reconnaissant dans le facteur hors crochets, le champ de gravitation solaire au centre de la Terre, l'expression approchée du champ des marées solaires en la position <math>\;L_2\;</math> de la Lune «<math>\;\vec{C}_S(L_2) \simeq 2\;\dfrac{TL_2}{ST}\;\vec{G}_S(T)\;</math>» centrifuge relativement à la Terre <math>\Rightarrow</math> « les champs des marées solaires en les positions opposées <math>\;L_1\;</math> et <math>\;L_2\;</math> de la Lune sur sa trajectoire quasi-circulaire autour de la Terre sont opposés et de même intensité »,
* pour la position <math>\;L_3\;</math> correspondant à <math>\;S,\;L\;</math> en [[w:Quadrature_(astronomie)|quadrature]] relativement à <math>\;T\;</math><ref name="S L en quadrature par rapport à T" /> phase décroissante<ref name="phase décroissante" />, position de [[w:Phase_de_la_Lune|Dernier Quartier]] <math>\;\big(</math>de <math>\;T\;</math> on voit partiellement la face éclairée par <math>\;S\;</math> de la Lune sur sa partie gauche<ref name="panse d'un d" /><math>\big)\;</math> «<math>\;\vec{C}_S(L_3) = -\mathcal{G}\;m_{\text{☉}} \left[ \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,L_3}}{SL_3^2} - \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,T}}{ST^2} \right] = -\mathcal{G}\;m_{\text{☉}} \left[ \dfrac{\overrightarrow{SL_3}}{SL_3^3} - \dfrac{\overrightarrow{ST}}{ST^3} \right]\;</math>» ou, avec <math>\;SL_3 = ST\;</math> et en mettant en facteur <math>\;\dfrac{1}{SL_3^3} = \dfrac{1}{ST^3}</math>, « <math>\vec{C}_S(L_3) = \dfrac{-\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^3} \left[ \overrightarrow{SL_3} - \overrightarrow{ST} \right] =</math> <math>\dfrac{-\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^3}\; \overrightarrow{TL_3}</math> » soit encore « <math>\vec{C}_S(L_3) = \dfrac{-\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}\; \dfrac{\overrightarrow{TL_3}}{ST} = \dfrac{-\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}\;\dfrac{TL_3\;\vec{u}_{T\,\rightarrow\,L_3}}{ST}</math> » ou, avec « <math>\;\vec{u}_{T\,\rightarrow\,L_3} \simeq \vec{u}_x</math> »<ref name="définition des trois vecteurs de base cartésienne" /> et <math>\;G_S(T) = \Vert \vec{G}_S(T) \Vert = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}</math>, l'expression approchée du champ des marées solaires en la position <math>\;L_3\;</math> de la Lune «<math>\;\vec{C}_S(L_3) \simeq -\dfrac{TL_3}{ST}\;G_S(T)\;\vec{u}_x\;</math>» centripète relativement à la Terre et
* pour la position <math>\;L_4\;</math> correspondant à <math>\;S,\;L\;</math> en [[w:Quadrature_(astronomie)|quadrature]] relativement à <math>\;T\;</math><ref name="S L en quadrature par rapport à T" /> phase croissante<ref name="phase croissante" />, position de [[w:Phase_de_la_Lune|Premier Quartier]] <math>\;\big(</math>de <math>\;T\;</math> on voit partiellement la face éclairée par <math>\;S\;</math> de la Lune sur sa partie droite<ref name="panse d'un p" /><math>\big)\;</math> «<math>\;\vec{C}_S(L_4) = -\mathcal{G}\;m_{\text{☉}} \left[ \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,L_4}}{SL_4^2} - \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,T}}{ST^2} \right] = -\mathcal{G}\;m_{\text{☉}} \left[ \dfrac{\overrightarrow{SL_4}}{SL_4^3} - \dfrac{\overrightarrow{ST}}{ST^3} \right]\;</math>» ou, avec <math>\;SL_4 = ST\;</math> et en mettant en facteur <math>\;\dfrac{1}{SL_4^3} = \dfrac{1}{ST^3}</math>, « <math>\vec{C}_S(L_4) = \dfrac{-\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^3} \left[ \overrightarrow{SL_4} - \overrightarrow{ST} \right] =</math> <math>\dfrac{-\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^3}\; \overrightarrow{TL_4}</math> » soit encore « <math>\vec{C}_S(L_4) = \dfrac{-\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}\; \dfrac{\overrightarrow{TL_4}}{ST} = \dfrac{-\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}\;\dfrac{TL_4\;\vec{u}_{T\,\rightarrow\,L_4}}{ST}</math> » ou, avec « <math>\vec{u}_{T\,\rightarrow\,L_4} \simeq -\vec{u}_x</math> »<ref name="définition des trois vecteurs de base cartésienne" /> et <math>\;G_S(T) = \Vert \vec{G}_S(T) \Vert = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{ST^2}</math>, l'expression approchée du champ des marées solaires en la position <math>\;L_4\;</math> de la Lune «<math>\;\vec{C}_S(L_4) \simeq \dfrac{TL_4}{ST}\;G_S(T)\;\vec{u}_x\;</math>» centripète relativement à la Terre <math>\Rightarrow</math> « les champs des marées solaires en les positions opposées <math>\;L_3\;</math> et <math>\;L_4\;</math> de la Lune sur sa trajectoire quasi-circulaire autour de la Terre sont opposés et de même intensité <math>\;\big(</math>cette intensité représentant la moitié de celle des champs des marées solaires en les positions opposées <math>\;L_1\;</math> et <math>\;L_2\big)\;</math>».
{{Al|5}}<u>Tout ce qui vient d'être exposé reste valable</u> en remplaçant <math>\;T\;</math> par <math>\;M_1</math>, <math>\;L\;</math> par <math>\;M_2\;</math> et <math>\;S\;</math> par le centre de l'astre éloigné, le référentiel géocentrique étant remplacé par le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> lié à <math>\;M_1\;</math> en translation relativement au référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> du système des deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1\,,\, M_2 \right\rbrace\;</math> soit, en s'adaptant aux notations d'un <u>système de deux points matériels</u> <math>\;\left\lbrace M_1\,,\, M_2 \right\rbrace\;</math> <u>dans le champ gravitationnel d'un astre de centre</u> <math>\;S\;</math> <u>éloigné des deux points</u> :
* pour <math>\;S,\;M_1,\;M_{2,\,a}\;</math> alignés dans cet ordre <math>\;\big\{S\;</math> et <math>\;M_2\;</math> sont en opposition par rapport à <math>\;M_1\big\}</math>, « <math>\vec{C}_S(M_{2,\,a}) = -\mathcal{G}\;m_S \left[ \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_{2,\,a}}}{SM_{2,\,a}^{\,2}} - \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_1}}{SM_1^2} \right]</math> » avec « <math>\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_{2,\,a}} = \vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_1} = \vec{u}_z</math> »<ref name="définition des trois vecteurs de base cartésienne" /> dans lequel <math>\;SM_{2,\,a} = SM_1 + M_1M_{2,\,a} = SM_1 \left( 1 + \dfrac{M_1M_{2,\,a}}{SM_1} \right)\;</math> avec <math>\;\dfrac{M_1M_{2,\,a}}{SM_1} \ll 1\;</math> considéré comme un infiniment petit d'ordre 1 d'où «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,a}) \;\overset{\ldots}{=}\; -\dfrac{\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^2}\;\vec{u}_z \left[ \left( 1 + \dfrac{M_1M_{2,\,a}}{SM_1} \right)^{\!-2} - 1 \right]\;</math>» ou, en faisant un D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre 1 en <math>\;\dfrac{M_1M_{2,\,a}}{SM_1}\;</math> de l'expression entre crochets <math>\;\left( 1 + \dfrac{M_1M_{2,\,a}}{SM_1} \right)^{\!-2} - 1\; \overset{\ldots}{\simeq}\; -2\;\dfrac{M_1M_{2,\,a}}{SM_1}</math><ref name="D.L. de (1 + x) élevé à la puissance n" /> d'où «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,a}) \simeq -\dfrac{\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^2}\;\vec{u}_z \left[ -2\;\dfrac{M_1M_{2,\,a}}{SM_1} \right]\;</math> à l'ordre 1 en <math>\;\dfrac{M_1M_{2,\,a}}{SM_1}\;</math>» ou, en reconnaissant dans le facteur hors crochets, le champ de gravitation de l'astre au point <math>\;M_1</math>, l'expression approchée du champ des marées de l'astre en la position <math>\;M_{2,\,a}\;</math> « <math>\vec{C}_S(M_{2,\,a}) \simeq</math> <math>-2\;\dfrac{M_1M_{2,\,a}}{SM_1}\;\vec{G}_S(M_1)</math> » centrifuge relativement à <math>\;M_1</math>,
* pour <math>\;S,\;M_{2,\,b},\;M_1\;</math> alignés dans cet ordre <math>\;\big\{S\;</math> et <math>\;M_2\;</math> sont en conjonction par rapport à <math>\;M_1\big\}</math>, « <math>\vec{C}_S(M_{2,\,b}) = -\mathcal{G}\;m_S \left[ \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_{2,\,b}}}{SM_{2,\,b}^{\,2}} - \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_1}}{SM_1^2} \right]</math> » avec « <math>\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_{2,\,b}} = \vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_1} = \vec{u}_z</math> »<ref name="définition des trois vecteurs de base cartésienne" /> dans lequel <math>\;SM_{2,\,b} = SM_1 - M_1M_{2,\,b} = SM_1 \left( 1 - \dfrac{TM_{2,\,b}}{SM_1} \right)\;</math> avec <math>\;\dfrac{M_1M_{2,\,b}}{SM_1} \ll 1\;</math> considéré comme un infiniment petit d'ordre 1 d'où « <math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,b}) \;\overset{\ldots}{=}\; -\dfrac{\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^2}\;\vec{u}_z \left[ \left( 1 - \dfrac{M_1M_{2,\,b}}{SM_1} \right)^{\!-2} - 1 \right]\;</math> » ou, en faisant un D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre 1 en <math>\;\dfrac{M_1M_{2,\,b}}{SM_1}\;</math> de l'expression entre crochets <math>\;\left( 1 - \dfrac{M_1M_{2,\,b}}{SM_1} \right)^{\!-2} - 1\; \overset{\ldots}{\simeq}\; 2\;\dfrac{M_1M_{2,\,b}}{SM_1}</math><ref name="D.L. de (1 + x) élevé à la puissance n" /> d'où «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,b}) \simeq -\dfrac{\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^2}\;\vec{u}_z \left[ 2\;\dfrac{M_1M_{2,\,b}}{SM_1} \right]\;</math> à l'ordre 1 en <math>\;\dfrac{M_1M_{2,\,b}}{SM_1}\;</math>» ou, en reconnaissant dans le facteur hors crochets, le champ de gravitation de l'astre au point <math>\;M_1</math>, l'expression approchée du champ des marées de l'astre en la position <math>\;M_{2,\,b}\;</math>  «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,b}) \simeq</math> <math>2\;\dfrac{M_1M_{2,\,b}}{SM_1}\;\vec{G}_S(M_1)\;</math>» centrifuge relativement à <math>\;M_1\;</math> <math>\Rightarrow</math> « les champs des marées de l'astre en les positions opposées <math>\;M_{2,\,a}\;</math> et <math>\;M_{2,\,b}\;</math> de <math>\;M_2\;</math> sur sa trajectoire autour de <math>\;M_1\;</math> sont de même direction et de sens opposés »<ref name="si M2 décrit un cercle par rapport à M1"> De plus si la trajectoire de <math>\;M_2\;</math> autour de <math>\;M_1\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> est circulaire, les champs des marées de l'astre en les positions opposées <math>\;M_{2,\,a}\;</math> et <math>\;M_{2,\,b}\;</math> de <math>\;M_2\;</math> sont de même intensité <math>\;\Big[</math>il en est de même en les positions opposées <math>\;M_{2,\,c}\;</math> et <math>\;M_{2,\,d}\;</math> de <math>\;M_2</math>, leur intensité commune étant la moitié de celle des champs des marées de l'astre en les positions opposées <math>\;M_{2,\,a}\;</math> et <math>\;M_{2,\,b}\;</math> de <math>\;M_2\Big].</math></ref>,
* pour <math>\;S,\;M_{2,\,c}\;</math> en [[w:Quadrature_(astronomie)|quadrature]] relativement à <math>\;M_1\;</math><ref name="S M2 en quadrature par rapport à M1"> Comme en astronomie deux points matériels sont en quadrature <math>\;\big(</math>ici <math>\;S\;</math> et <math>\;M_2\big)\;</math> lorsque leur rayon vecteur d'origine un même 3<sup>ème</sup> point matériel <math>\;\big(</math>ici <math>\;M_1\big)\;</math> vaut <math>\;\perp</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas présent nous supposons que <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_{2,\,c}\;</math> sont situées à la même distance de <math>\;S</math>, ce qui fait que les champs de gravitation de <math>\;S\;</math> en <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_{2,\,c}\;</math> sont de même intensité.</ref> à gauche par rapport à la direction <math>\;\left( S M_1 \right)\;</math> «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,c}) = -\mathcal{G}\;m_S \left[ \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_{2,\,c}}}{SM_{2,\,c}^{\,2}} - \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_1}}{SM_1^2} \right] = -\mathcal{G}\;m_S \left[ \dfrac{\overrightarrow{SM_{2,\,c}}}{SM_{2,\,c}^{\,3}} - \dfrac{\overrightarrow{SM_1}}{SM_1^3} \right]\;</math>» ou, avec <math>\;SM_{2,\,c}</math> <math>= SM_1\;</math> et en mettant en facteur <math>\;\dfrac{1}{SM_{2,\,c}^{\,3}} = \dfrac{1}{SM_1^3}</math>, « <math>\vec{C}_S(M_{2,\,c}) = \dfrac{-\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^3} \left[ \overrightarrow{SM_{2,\,c}} - \overrightarrow{SM_1} \right] =</math> <math>\dfrac{-\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^3}\; \overrightarrow{M_1M_{2,\,c}} = \dfrac{-\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^2}\;\dfrac{M_1M_{2,\,c}\;\vec{u}_{M_1\,\rightarrow\,M_{2,\,c}}}{SM_1}</math> » ou, avec « <math>\vec{u}_{M_1\,\rightarrow\,M_{2,\,c}} \simeq</math> {{Nobr|<math>\vec{u}_x</math> »<ref name="définition des trois vecteurs de base cartésienne" />}} et <math>\;G_S(M_1) = \Vert \vec{G}_S(M_1) \Vert = \dfrac{\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^2}</math>, l'expression approchée du champ des marées de l'astre en la position <math>\;M_{2,\,c}\;</math> «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,c}) \simeq -\dfrac{M_1M_{2,\,c}}{SM_1}\;G_S(M_1)\;\vec{u}_x\;</math>» centripète relativement à <math>\;M_1\;</math> et
* pour <math>\;S,\;M_{2,\,d}\;</math> en [[w:Quadrature_(astronomie)|quadrature]] relativement à <math>\;M_1\;</math><ref name="S M2 en quadrature par rapport à M1" /> à droite par rapport à la direction <math>\;\left( S M_1 \right)\;</math> «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,d}) = -\mathcal{G}\;m_S \left[ \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_{2,\,d}}}{SM_{2,\,d}^{\,2}} - \dfrac{\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_1}}{SM_1^2} \right] = -\mathcal{G}\;m_S \left[ \dfrac{\overrightarrow{SM_{2,\,d}}}{SM_{2,\,d}^{\,3}} - \dfrac{\overrightarrow{SM_1}}{SM_1^3} \right]\;</math>» ou, avec <math>\;SM_{2,\,d}</math> <math>= SM_1\;</math> et en mettant en facteur <math>\;\dfrac{1}{SM_{2,\,d}^{\,3}} = \dfrac{1}{SM_1^3}</math>, « <math>\vec{C}_S(M_{2,\,d}) = \dfrac{-\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^3} \left[ \overrightarrow{SM_{2,\,d}} - \overrightarrow{SM_1} \right] =</math> <math>\dfrac{-\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^3}\; \overrightarrow{M_1M_{2,\,d}} = \dfrac{-\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^2}\;\dfrac{M_1M_{2,\,d}\;\vec{u}_{M_1\,\rightarrow\,M_{2,\,d}}}{SM_1}</math> » ou, avec « <math>\vec{u}_{M_1\,\rightarrow\,M_{2,\,d}} \simeq</math> {{Nobr|<math>-\vec{u}_x</math> »<ref name="définition des trois vecteurs de base cartésienne" />}} et <math>\;G_S(M_1) = \Vert \vec{G}_S(M_1) \Vert = \dfrac{\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^2}</math>, l'expression approchée du champ des marées de l'astre en la position <math>\;M_{2,\,d}\;</math> «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,d}) \simeq \dfrac{M_1M_{2,\,d}}{SM_1}\;G_S(M_1)\;\vec{u}_x\;</math>» centripète relativement à <math>\;M_1\;</math> <math>\Rightarrow</math> « les champs des marées de l'astre en les positions opposées <math>\;M_{2,\,c}\;</math> et <math>\;M_{2,\,d}\;</math> de <math>\;M_2\;</math> sur sa trajectoire autour de <math>\;M_1\;</math> sont de même direction et de sens opposés »<ref name="si M2 décrit un cercle par rapport à M1" />.
{{Al|5}}<u>Généralisation dans le cadre d'un système de deux points matériels dans le champ gravitationnel d'un astre éloigné</u> : Si <math>\;\overrightarrow{M_1M_2}\;</math> fait un angle <math>\;\psi\;\in\;\left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math> <math>\;\big(</math>a priori quelconque<math>\big)\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{SG}\;</math> dans le référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> du système des deux points matériels <math>\;\left\lbrace M_1\,(m_1)\,,\, M_2\, (m_2) \right\rbrace</math> <math>\;\Big[G\;(m_{\text{syst}} = m_1 + m_2)\;</math> étant le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système <math>\;\left\lbrace M_1\,,\, M_2 \right\rbrace\Big]</math>, le champ des marées de l'astre de centre <math>\;S\;</math> défini en <math>\;M_2\;</math> s'écrit «<math>\;\vec{C}_S(M_2) = \vec{G}_S(M_2) - \vec{G}_S(M_1) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_S}{SM_2^2}\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_2} - \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_S}{SM_1^2}\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_1} \right] = -\mathcal{G}\;m_S \left[ \dfrac{\overrightarrow{SM_2}}{SM_2^3} - \dfrac{\overrightarrow{SM_1}}{SM_1^3} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>c'est aussi <math>\;\vec{C}_S(M)\;</math> avec <math>\;M\;</math> mobile réduit du système des deux points<math>\big]\;</math> dans lequel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \overrightarrow{SM_2} = \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GM_2}\\ \overrightarrow{SM_1} = \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GM_1}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \overrightarrow{SM_2}^2 = \overrightarrow{SG}^2 + 2\;\overrightarrow{SG} \cdot \overrightarrow{GM_2} + \overrightarrow{GM_2}^2 = SG^2 \left[ 1 + 2\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,G} \cdot \dfrac{\overrightarrow{GM_2}}{SG} + \dfrac{GM_2^2}{SG^2} \right]\\ \overrightarrow{SM_1}^2 = \overrightarrow{SG}^2 + 2\;\overrightarrow{SG} \cdot \overrightarrow{GM_1} + \overrightarrow{GM_1}^2 = SG^2 \left[ 1 + 2\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,G} \cdot \dfrac{\overrightarrow{GM_1}}{SG} + \dfrac{GM_1^2}{SG^2} \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> ou, avec <math>\;\dfrac{GM_1}{SG} \ll 1\;</math> et <math>\;\dfrac{GM_2}{SG} \ll 1\;</math> considérés comme deux infiniment petits de même ordre de {{Nobr|grandeur<ref> Ce qui suppose que les masses <math>\;m_1\;</math> et <math>\;m_2\;</math> sont de même ordre de grandeur.</ref>}}, et en limitant ces développements à l'ordre 1 <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \overrightarrow{SM_2}^2 \simeq SG^2 \left[ 1 + 2\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,G} \cdot \dfrac{\overrightarrow{GM_2}}{SG} \right] = SG^2 \left[ 1 + 2\;\dfrac{GM_2}{SG}\;\cos(\psi) \right]\\ \overrightarrow{SM_1}^2 \simeq SG^2 \left[ 1 + 2\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,G} \cdot \dfrac{\overrightarrow{GM_1}}{SG} \right] = SG^2 \left[ 1 - 2\;\dfrac{GM_1}{SG}\;\cos(\psi) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} SM_2 \simeq SG \left[ 1 + 2\;\dfrac{GM_2}{SG}\;\cos(\psi) \right]^{\frac{1}{2}}\\ SM_1 \simeq SG \left[ 1 - 2\;\dfrac{GM_1}{SG}\;\cos(\psi) \right]^{\frac{1}{2}}\end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{1}{SM_2^3} \simeq \dfrac{1}{SG^3} \left[ 1 + 2\;\dfrac{GM_2}{SG}\;\cos(\psi) \right]^{-\frac{3}{2}}\\ \dfrac{1}{SM_1^3} \simeq \dfrac{1}{SG^3} \left[ 1 - 2\;\dfrac{GM_1}{SG}\;\cos(\psi) \right]^{-\frac{3}{2}}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit, en faisant un D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre 1 du facteur entre les crochets <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{1}{SM_2^3} \simeq\\ \dfrac{1}{SM_1^3} \simeq \end{array}\right.</math> <math>\left. \begin{array}{l}\dfrac{1}{SG^3} \left[ 1 - 3\;\dfrac{GM_2}{SG}\;\cos(\psi) \right]\\ \dfrac{1}{SG^3} \left[ 1 + 3\;\dfrac{GM_1}{SG}\;\cos(\psi) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="D.L. de (1 + x) élevé à la puissance n" /> dont on tire, en se limitant à l'ordre 1, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{\overrightarrow{SM_2}}{SM_2^3} = \dfrac{\overrightarrow{SG}}{SM_2^3} + \dfrac{\overrightarrow{GM_2}}{SM_2^3} \simeq \dfrac{\overrightarrow{SG}}{SG^3} \left[ 1 - 3\;\dfrac{GM_2}{SG}\;\cos(\psi) \right] + \dfrac{\overrightarrow{GM_2}}{SG^3} \left[ 1 \;\cancel{-\; 3\;\dfrac{GM_2}{SG}\;\cos(\psi)} \right]\\ \dfrac{\overrightarrow{SM_1}}{SM_1^3} = \dfrac{\overrightarrow{SG}}{SM_1^3} + \dfrac{\overrightarrow{GM_1}}{SM_1^3} \simeq \dfrac{\overrightarrow{SG}}{SG^3} \left[ 1 + 3\;\dfrac{GM_1}{SG}\;\cos(\psi) \right] + \dfrac{\overrightarrow{GM_1}}{SG^3} \left[ 1 \;\cancel{+\; 3\;\dfrac{GM_1}{SG}\;\cos(\psi)} \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où <math>\;\dfrac{\overrightarrow{SM_2}}{SM_2^3} - \dfrac{\overrightarrow{SM_1}}{SM_1^3}</math> <math>\simeq -3\;\dfrac{\overrightarrow{SG}}{SG^3}\; \dfrac{GM_2 + GM_1}{SG}\;\cos(\psi) + \dfrac{\overrightarrow{GM_2} - \overrightarrow{GM_1}}{SG^3}\;</math> qui s'écrit encore <math>\;\dfrac{\overrightarrow{SM_2}}{SM_2^3} - \dfrac{\overrightarrow{SM_1}}{SM_1^3} \simeq -3\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,G}\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\cos(\psi) + \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{SG^3}\;</math> d'où l'expression approchée finale, définie dans le référentiel barycentrique des deux points matériels <math>\;\left( M_1\,,\, M_2 \right)</math>, du champ des marées de l'astre de centre <math>\;S\;</math> défini en <math>\;M_2</math> <math>\;\big[</math>qui est aussi le champ des marées de l'astre de centre <math>\;S\;</math> défini en <math>\;M</math>, mobile réduit du système des deux points<math>\big]\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{C}_S(M_2) = \vec{G}_S(M_2) - \vec{G}_S(M_1) \simeq 3\;\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\cos(\psi)\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,G} - \mathcal{G}\;m_S\;\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{SG^3}\\ \text{ou, sachant que}\;\; \overrightarrow{GM}(t) = \overrightarrow{M_1M_2}(t)\;\;\forall\;t, \\ \vec{C}_S(M) = \vec{G}_S(M_2) - \vec{G}_S(M_1) \simeq 3\;\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{GM}{SG^3}\;\cos(\psi)\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,G} - \mathcal{G}\;m_S\;\dfrac{\overrightarrow{GM}}{SG^3}\end{array}\right\rbrace\;</math>» dont les projetés orthogonaux sur <center>«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l c r c} \vec{u}_{S\,\rightarrow\,G}\!\!&\text{:}&\!\!3\;\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\cos(\psi) - \mathcal{G}\;m_S\;\dfrac{M_1M_2\;\cos(\psi)}{SG^3} \!\!&=&\!\! 2\;\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\cos(\psi)\\ \vec{u}_{\left\lbrace\begin{array}{c}\perp\,\text{à}\,(SG)\,\text{dans le plan}\,(SGM_1M_2)\\ \text{orienté de}\, G\,\text{vers l'ext. du côté de}\,M_{2,\,c}\end{array}\right\rbrace}\!\!&\text{:}&\!\! - \mathcal{G}\;m_S\;\dfrac{M_1M_2\;\sin(\psi)}{SG^3} \!\!&=&\!\!-\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\sin(\psi) \end{array}\right\rbrace\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}{{Transparent|Généralisation dans le cadre d'un système de deux points matériels dans le champ gravitationnel d'un astre éloigné : }}on vérifie l'expression approchée sur les quatre positions particulières de <math>\;M_2</math> :

{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;\psi = 0</math>, «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,a}) = 2\;\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,G} = 2\;\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_1}\;</math>» effectivement centrifuge relativement à <math>\;M_1</math>,

{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;\psi = \pi</math>, «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,b}) = -2\;\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,G} = -2\;\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\vec{u}_{S\,\rightarrow\,M_1}\;</math>» effectivement centrifuge relativement à <math>\;M_1</math>,

{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;\psi = \dfrac{\pi}{2}</math>, «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,c}) = -\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\vec{u}_{\left\lbrace\begin{array}{c}\perp\,\text{à}\,(SG)\,\text{dans le plan}\,(SGM_1M_2)\\ \text{orienté de}\, G\,\text{vers l'ext. du côté de}\,M_{2,\,c}\end{array}\right\rbrace} = -\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\vec{u}_{G\,\rightarrow\,M_{2,\,c}}\;</math>» effectivement centripète relativement à <math>\;M_1\;</math> et

{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;\psi = -\dfrac{\pi}{2}</math>, «<math>\;\vec{C}_S(M_{2,\,d}) = \mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\vec{u}_{\left\lbrace\begin{array}{c}\perp\,\text{à}\,(SG)\,\text{dans le plan}\,(SGM_1M_2)\\ \text{orienté de}\, G\,\text{vers l'ext. du côté de}\,M_{2,\,c}\end{array}\right\rbrace} = \mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\vec{u}_{G\,\rightarrow\,M_{2,\,c}} = -\mathcal{G}\;m_S\; \dfrac{M_1M_2}{SG^3}\;\vec{u}_{G\,\rightarrow\,M_{2,\,d}}\;</math>» effectivement centripète relativement à <math>\;M_1</math>.

=== Précisions sur les modifications du mouvement barycentrique du mobile réduit dues à l'influence de la force des marées ===

{{Al|5}}Dans le paragraphe « [[#Conséquences_de_la_force_des_marées_sur_le_mouvement_barycentrique_du_mobile_réduit|Conséquences de la force des marées sur le mouvement barycentrique du mobile réduit]] » traité plus haut dans ce chapitre, nous avons établi que <u>le mouvement barycentrique de</u> <math>\;M</math>, mobile réduit du système des deux points matériels <math>\;\left( M_1\,,\, M_2 \right)</math>, est 
* <u>plan</u> <u>dans la mesure où le centre</u> <math>\;S\;</math> <u>de l'astre éloigné est dans le plan que le mobile réduit décrirait en absence de force des marées de l'astre</u> et
* <u>une conique</u> <math>\;\big(</math>ou branche de conique<math>\big)\;</math> <u>dont</u> <math>\;G</math>, <u>le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système des deux points est un</u> <math>\;\big(</math>ou l'un des<math>\big)\;</math> <u>foyer</u>(s)<ref name="G foyer contourné par la branche d'hyperbole"> Dans le cas d'une branche d'hyperbole <math>\;G\;</math> est le foyer contourné par la branche.</ref>, <u>conique légèrement déformée</u> par influence de la force des marées ;
{{Al|5}}il nous reste à préciser les déformations de la trajectoire barycentrique de <math>\;M\;</math> dues à cette force des marées, nous observons :
* une légère <math>\;\nearrow\;</math> de la distance séparant <math>\;M\;</math> de <math>\;G\;</math> quand <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> sont alignés avec <math>\;S</math>, la déformation se faisant suivant la direction <math>\;\left( SG \right)</math> <math>\;\big[S\;</math> et <math>\;M_2\;</math> étant en opposition ou en conjonction par rapport à <math>\;M_1\big]</math>,
* une légère <math>\;\searrow\;</math> de la distance séparant <math>\;M\;</math> de <math>\;G\;</math> quand <math>\;M_1M_2\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( SG \right)</math>, la déformation se faisant suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( SG \right)</math> <math>\;\big[S\;</math> et <math>\;M_2\;</math> étant en [[w:Quadrature_(astronomie)|quadrature]] <math>\;\big(</math>d'un côté ou de l'autre<math>\big)\;</math> par rapport à <math>\;M_1\big]</math> et
* déformation variable en direction, sens et intensité en toutes positions du mobile réduit autres que celles correspondant à <math>\;M_2\;</math> en opposition, en conjonction ou en [[w:Quadrature_(astronomie)|quadrature]] avec <math>\;S\;</math> par rapport à <math>\;M_1</math>.
{{Al|5}}<u>Cas où le mobile réduit décrit une trajectoire circulaire en absence de force des marées</u> : si le centre <math>\;S\;</math> de l'astre éloigné est dans le plan du cercle décrit par le mobile réduit en absence de force des marées, on observe une déformation de ce cercle sous l'action de la force des marées telle que <math>\;G\;</math> reste un centre de symétrie du « cercle déformé » <math>\;\big[</math>un étirement à partir de <math>\;G\;</math> le long de <math>\;\left( SG \right)\;</math> et un tassement à partir de <math>\;G\;</math> le long de la <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( SG \right)</math>, la courbe obtenue ressemblant à une coupe longitudinale d'un ballon de rugby<math>\big]</math>.

=== Conséquences de la force des marées sur le mouvement relatif de M<sub>2</sub> par rapport à M<sub>1</sub> ===

{{Al|5}}Étant donné que le mouvement barycentrique du mobile réduit du système des deux points matériels <math>\;\left( M_1\,,\, M_2 \right)\;</math> s'identifie au mouvement relatif de <math>\;M_2\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1</math>, référentiel lié à <math>\;M_1\;</math> et en translation par rapport au référentiel barycentrique <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[#Définition|Définition]] (du mobile réduit d'un système de deux points matériels) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <u>nous obtenons exactement le même mouvement que celui décrit au paragraphe</u> « [[#Précisions_sur_les_modifications_du_mouvement_barycentrique_du_mobile_réduit_dues_à_l'influence_de_la_force_des_marées|précisions sur les modifications du mouvement barycentrique du mobile réduit dues à l'influence de la force des marées]] » précédent, à savoir :

{{Al|5}}<u>le mouvement relatif de</u> <math>\;M_2\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_1</math>, est 
* <u>plan</u> <u>dans la mesure où le centre</u> <math>\;S\;</math> <u>de l'astre éloigné est dans le plan que</u> <math>\;M_2\;</math> <u>décrirait en absence de force des marées de l'astre</u> et
* <u>une conique</u> <math>\;\big(</math>ou branche de conique<math>\big)\;</math> <u>dont</u> <math>\;M_1</math>, <u>est un</u> <math>\;\big(</math>ou l'un des<math>\big)\;</math> <u>foyer</u>(s)<ref> Dans le cas d'une branche d'hyperbole <math>\;M_1\;</math> est le foyer contourné par la branche.</ref>, <u>conique légèrement déformée</u> par influence de la force des marées ;
{{Al|5}}les déformations de la trajectoire relative de <math>\;M_2\;</math> dues à cette force des marées sont :
* une légère <math>\;\nearrow\;</math> de la distance séparant <math>\;M_2\;</math> de <math>\;M_1\;</math> quand <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> sont alignés avec <math>\;S</math>, la déformation se faisant suivant la direction <math>\;\left( SM_1 \right)</math> <math>\;\big[S\;</math> et <math>\;M_2\;</math> étant en opposition ou en conjonction par rapport à <math>\;M_1\big]</math>,
* une légère <math>\;\searrow\;</math> de la distance séparant <math>\;M_2\;</math> de <math>\;M_1\;</math> quand <math>\;M_1M_2\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( SM_1 \right)</math>, la déformation se faisant suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( SM_1 \right)</math> <math>\;\big[S\;</math> et <math>\;M_2\;</math> étant en [[w:Quadrature_(astronomie)|quadrature]] <math>\;\big(</math>d'un côté ou de {{Nobr|l'autre<math>\big)\;</math>}} par rapport à <math>\;M_1\big]</math> et
* déformation variable en direction, sens et intensité en toutes positions de <math>\;M_2\;</math> autres que celles correspondant à <math>\;M_2\;</math> en opposition, en conjonction ou en [[w:Quadrature_(astronomie)|quadrature]] avec <math>\;S\;</math> par rapport à <math>\;M_1</math>.
{{Al|5}}<u>Cas où le point matériel M<sub>2</sub> décrit une trajectoire circulaire en absence de force des marées</u> : si le centre <math>\;S\;</math> de l'astre éloigné est dans le plan du cercle décrit par <math>\;M_2\;</math> en absence de force des marées, on observe une déformation de ce cercle sous l'action de la force des marées telle que <math>\;M_1\;</math> reste un centre de symétrie du « cercle déformé » <math>\;\big[</math>un étirement à partir de <math>\;M_1\;</math> le long de <math>\;\left( SM_1 \right)\;</math> et un tassement à partir de <math>\;M_1\;</math> le long de la <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( SM_1 \right)</math>, la courbe obtenue ressemblant à une coupe longitudinale d'un ballon de rugby<math>\big]</math>.

=== Conséquences de la force des marées sur le mouvement barycentrique de chaque point ===

{{Al|5}}Étant donné que le mouvement barycentrique du point matériel «<math>\;M_2\,\left( m_2 \right)\;</math>» se déduit de celui du mobile réduit «<math>\;M\,\left( \mu = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \right)\;</math>» par homothétie de centre <math>\;G\;</math> et de rapport <math>\;\dfrac{\mu}{m_2}\;</math> soit « <math>M\;\; \stackrel{\mathcal{H}\left(G,\,\frac{\mu}{m_2} \right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}\;\; M_2</math> »<ref name="rapport d'homothétie" />{{,}}<ref name="lien entre mouvements barycentriques"> Voir le paragraphe « [[#Établissement_du_lien_entre_mouvements_barycentriques_du_mobile_réduit_et_de_chaque_point_du_système|établissement du lien entre mouvements barycentriques du mobile réduit et de chaque point du système]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où un <u>mouvement plan</u> dans la mesure où <math>\;S\;</math> est dans le plan du mouvement que décrirait <math>\;M_2\;</math> en absence de force des marées, <u>la trajectoire décrite par</u> <math>\;M_2\;</math> <u>résultant de légères déformations d'une conique</u> <math>\;\big(</math>ou branche de conique<math>\big)\;</math> <u>dont</u> <math>\;G</math>, <u>le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système des deux points est un</u> <math>\;\big(</math>ou l'un des<math>\big)\;</math> <u>foyer</u>(s)<ref name="G foyer contourné par la branche d'hyperbole" />, légères déformations dues à la force des marées <math>\;\big\{</math>une légère <math>\;\nearrow\;</math> de la distance séparant <math>\;M_2\;</math> de <math>\;G\;</math> quand <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> sont alignés avec <math>\;S</math>, la déformation se faisant suivant la direction <math>\;\left( SG \right)\;</math> et une légère <math>\;\searrow\;</math> de la distance séparant <math>\;M_2\;</math> de <math>\;G\;</math> quand <math>\;M_1M_2\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( SG \right)</math>, la déformation se faisant suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( SG \right)\big\}\;</math> et

{{Al|5}}{{Transparent|Étant donné }}que le mouvement barycentrique du point «<math>\;M_1\,\left( m_1 \right)\;</math>» se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit «<math>\;M\,\left( \mu = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2} \right)\;</math>» par homothétie de centre <math>\;G\;</math> et de rapport <math>\;-\dfrac{\mu}{m_1}\;</math> soit « <math>M\;\; \stackrel{\mathcal{H}\left(G,\,-\frac{\mu}{m_1} \right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}\;\; M_1</math> »<ref name="rapport d'homothétie - bis" />{{,}}<ref name="lien entre mouvements barycentriques" /> d'où un <u>mouvement plan</u> dans la mesure où <math>\;S\;</math> est dans le plan du mouvement que décrirait <math>\;M_1\;</math> en absence de force des marées, <u>la trajectoire décrite par</u> <math>\;M_1\;</math> <u>résultant de légères déformations d'une conique</u> <math>\;\big(</math>ou branche de conique<math>\big)\;</math> <u>dont</u> <math>\;G</math>, <u>le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système des deux points est un</u> <math>\;\big(</math>ou l'un des<math>\big)\;</math> <u>foyer</u>(s)<ref name="G foyer contourné par la branche d'hyperbole" />, légères déformations dues à la force des marées <math>\;\big\{</math>une légère <math>\;\nearrow\;</math> de la distance séparant <math>\;M_1\;</math> de <math>\;G\;</math> quand <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> sont alignés avec <math>\;S</math>, la déformation se faisant suivant la direction <math>\;\left( SG \right)\;</math> et une légère <math>\;\searrow\;</math> de la distance séparant <math>\;M_1\;</math> de <math>\;G\;</math> quand <math>\;M_1M_2\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( SG \right)</math>, la déformation se faisant suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( SG \right)\big\}</math>.

== Notes et références ==

<references/>

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels/]]
  | suivant   = [[../Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels/]]
}}