Voir la source de Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé

{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | chapitre = [[../../Dérivation formelle/]]
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Racines de polynômes/]]
  | suivant   = [[../Arithmétique des polynômes/]]
}}

==Exercice 2-1==
Trouver tous les polynômes <math>P\in\Complex[X]</math> tels que <math>P</math> est divisible par <math>P'</math>.
{{Solution|contenu=
On constate rapidement que le polynôme nul est solution et que les polynômes constants non nuls ne le sont pas.

Si un polynôme <math>P</math> de degré <math>n\ge1</math> est divisible par <math>P'</math> alors (par comparaison des degrés et coefficients dominants de <math>P</math> et <math>P'</math>) il existe <math>\alpha\in\Complex</math> tel que <math>P(X)=\frac{X-\alpha}nP'(X)</math>, d'où <math>\left({P\over (X-\alpha)^n}\right)'=0</math>, donc <math>\lambda(X-\alpha)^n</math>. Réciproquement, tout polynôme de cette forme est divisible par son polynôme dérivé.

Autre méthode si <math>n\ge2</math> (le cas <math>n=1</math> étant trivial) : soient <math>\alpha_1,\dots,\alpha_k</math> les racines de <math>P'</math> dans <math>\Complex</math>, de multiplicités <math>n_1,\dots,n_k</math> avec <math>\sum n_i=n-1</math>. Alors les <math>\alpha_i</math> sont racines de <math>P</math> avec multiplicités <math>n_i+1</math>, donc <math>n\geq\sum(n_i+1)=n-1+k</math>, donc <math>k=1</math> et <math>n_1=n-1</math> donc <math>P'</math> est de la forme <math>n\lambda(X-\alpha)^{n-1}</math>, donc <math>P=\lambda(X-\alpha)^n+c</math>, et <math>c=P(a)=0</math> puisque <math>P'(a)=0</math>.
}}

==Exercice 2-2==
Trouver tous les <math>(A,B)\in(\Complex[X])^2</math> tels que <math>A=B'B''</math> et <math>B=A'A''</math>.
{{Solution|contenu=
Ces deux polynômes doivent être de degrés respectifs <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>, avec <math>\alpha=\beta-1+\beta-2=2\beta-3</math> et <math>\beta=2\alpha-3</math> donc <math>\alpha=\beta=-\infty</math> ou <math>3</math>, c'est-à-dire <math>A=B=0</math> ou <math>A=aX^3+bX^2+cX+d</math> et <math>B=a'X^3+b'X^2+c'X+d'</math> avec <math>aa'\ne0</math>. Dans ce cas, l'équation <math>A=(3a'X^2+2b'X+c')(6a'X+2b')</math> se traduit par <math>a=18a'^2,b=18a'b',c=4b'^2+6a'c',d=2b'c'</math>. De même, <math>B=A'A''</math> se traduit par <math>a'=18a^2,b'=18ab,c'=4b^2+6ac,d'=2bc</math>.

On a <math>a=18a'^2</math> et <math>a'=18a^2</math> (avec <math>aa'\ne0</math>) si et seulement si <math>a=\frac\omega{18}</math> et <math>a=\frac{\omega^2}{18}</math> avec <math>\omega\in\{1,\mathrm j,\mathrm j^2\}</math>. Le reste du système équivaut alors, de proche en proche, à : <math>b'=\omega b, c=6\omega^2b^2, c'=6b^2, d=12\omega b^3, d'=12\omega^2b^3</math>, d'où <math>A=\frac\omega{18}X^3+bX^2+6\omega^2b^2X+12\omega b^3</math> et <math>B=\frac{\omega^2}{18}X^3+\omega bX^2+6b^2X+12\omega^2b^3</math>.
}}

==Exercice 2-3==
Montrer qu'il n'est pas possible que <math>\operatorname e^x={P(x)\over Q(x)}</math> sur un intervalle réel ouvert non vide, où <math>P</math> et <math>Q</math> sont deux polynômes.
{{Solution|contenu=
<math>P=\operatorname e^xQ\Rightarrow
QP'=Q\operatorname e^x(Q+Q')=P(Q+Q')\Rightarrow PQ=QP'-PQ'</math>. Si <math>P,Q</math> sont non nuls, de degrés <math>p,q</math>, ceci donne <math>p+q\le p+q-1</math> : absurde.
}}

==Exercice 2-4==
Soit <math>P\in\Complex[X]</math>.
#Montrer que s'il existe <math>S\in\Complex[X]</math> tel que <math>P=S^2</math> alors <math>P</math> divise <math>P'^2</math>.
#Si <math>\deg P=4</math>, démontrer la réciproque.
{{Solution|contenu=
#<math>P=S^2\Rightarrow P'=2SS'\Rightarrow P'^2=4S^2S'^2=P\times 4S'^2</math>.
#Si <math>P\mid P'^2</math>, toute racine de <math>P</math> est au moins double. Il y en a <math>4</math> au total, donc deux doubles ou une quadruple. Dans les deux cas, <math>P=S^2</math>.
}}

==Exercice 2-5==
Soit <math>f:\R\to\R</math> une application dérivable. Montrer que <math>f</math> est polynomiale de degré <math><n</math> si et seulement si
:<math>\forall(x_1,\dots,x_n)\in\R^n\quad\sum_{J\subset\{1,\dots,n\}}(-1)^{|J|}f\left(\sum_{j\in J}x_j\right)=0</math>.
(Indication : pour l'implication <math>\Rightarrow</math>, on pourra considérer l'application <math>\Delta_u:P(X)\mapsto P(X)-P(X+u)</math> et calculer de deux façons
différentes <math>(\Delta_{x_n}\circ\dots\circ\Delta_{x_1})(P)</math> lorsque <math>P</math> est un polynôme de degré <math><n</math>. Pour l'implication réciproque, raisonner par récurrence et utiliser la dérivabilité.)
{{Solution|contenu=
<math>\Delta_x</math> fait baisser de 1 le degré polynomial, donc si <math>P</math> est un polynôme de degré <math><n</math>, <math>\forall(x_1,\dots,x_n)\in\R^n\quad\sum_{J\subset\{1, \dots,n\}}(-1)^{|J|}f\left(\sum_{j\in J}x_j\right)=(\Delta_{x_n}\circ\dots\circ\Delta_{x_1})(P)(0)=0(0)=0</math>, donc <math>P</math> vérifie la propriété <math>{\cal P}_n</math> de l'énoncé.

Montrons la réciproque.
*Soit <math>f</math> vérifiant <math>{\cal P}_1</math>, alors <math>\forall x\in\R\quad f(x)=f(0)</math> donc <math>f</math> est constante ; c'est donc bien un polynôme de degré <math><1</math>.
*Supposons l'implication vraie pour <math>n</math>, et soit <math>f</math> vérifiant <math>{\cal P}_{n+1}</math>. Pour montrer que <math>f</math> est polynomiale de degré <math><n+1</math>, il suffit de montrer que <math>f'</math> vérifie <math>{\cal P}_n</math>, ce qui s'obtient en dérivant <math>{\cal P}_{n+1}</math> par rapport à <math>x_{n+1}</math>.
D'ailleurs, on montre aussi facilement que si <math>f'</math> vérifie <math>{\cal P}_n</math> alors <math>f</math> vérifie <math>{\cal P}_{n+1}</math>, car la fonction qui entre en jeu dans <math>{\cal P}_{n+1}</math> est nulle pour <math>x_{n+1}=0</math>. Cette remarque fournit une méthode pour prouver directement l'équivalence par récurrence.
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