Voir la source de Polynôme/Arithmétique des polynômes

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Définitions/]]
  | suivant   = [[../Dérivation formelle/]]
  | niveau    = 14
  | page_liée = Exercices/Arithmétique des polynômes
}}

<math>K</math> désigne toujours un corps commutatif et <math>K[X]</math> l'anneau des polynômes à coefficients dans ce corps.

== Division euclidienne et divisibilité dans ''K''[''X''] ==

{{Théorème
  | titre   = Théorème et définition : Division euclidienne dans ''K''[''X'']
  | contenu =
Il existe une unique division euclidienne dans <math>K[X]</math>, c'est-à-dire :
:<math>\forall A,B \in K[X] \times (K[X]\setminus\{0\})\quad\exists ! (Q,R) \in (K[X])^2\quad A = BQ + R \mathrm{\;et\;} \deg R < \deg B</math>.

<math>Q</math> est appelée '''quotient''' de <math>A</math> par <math>B</math> et <math>R</math> '''reste'''.
}}

{{Démonstration déroulante|contenu=
La démonstration est généralement faite en deux temps. L'unicité est plutôt plus facile. Avec les notations du théorème :
* '''Le couple (''Q'',&nbsp;''R''), s'il existe, est unique :'''

La démonstration se fonde sur une propriété du [[w:degré d'un polynôme|degré d'un polynôme]] ; le degré du produit de deux polynômes ''M'' et ''N'' est égal à la somme des degrés de chaque polynôme :
<center><math>\text{deg } (MN) = \text{deg }M + \text{deg }N</math></center>
On suppose l'existence de deux couples (''Q''<sub>1</sub>,&nbsp;''R''<sub>1</sub>), (''Q''<sub>2</sub>,&nbsp;''R''<sub>2</sub>) résultats de la division euclidienne de ''A'' par ''B'', on va montrer qu'ils sont égaux. On dispose des égalités :
<center><math>A = BQ_1 + R_1,\quad A = BQ_2 + R_2 \quad\text{donc}\quad (1)\quad B(Q_1-Q_2)=R_2-R_1.</math></center>

Le polynôme ''B''(''Q''{{ind|1}} – ''Q''{{ind|2}}) est donc de degré strictement inférieur à celui de ''B'', ce qui n'est possible que si ''Q''{{ind|1}} – ''Q''{{ind|2}} est nul. L'égalité (1) montre alors que ''R''{{ind|1}} – ''R''{{ind|2}} est aussi nul.

* '''Il existe un couple (''Q'',&nbsp;''R'') satisfaisant l'identité de la division euclidienne :'''

Soient ''m'' et ''n'' les degrés de ''A'' et ''B''. Si ''m < n ''(y compris si ''m ''= {{formule|–∞}}, c'est-à-dire si ''A ''= 0), il suffit de prendre ''Q'' égal au [[w:Polynôme constant|polynôme constant]] 0 et ''R'' égal à ''A'' pour établir l'existence. Raisonnons par récurrence pour établir les autres cas. Soit ''p ≥ n'' ; supposons la propriété démontrée pour toute valeur de ''m ''strictement inférieure à ''p ''et montrons-la pour ''m = p''. Pour cela, notons
<center><math>A = a_mX^m + a_{m-1}X^{m-1} + \cdots + a_0 \quad \text{et}\quad B = b_nX^n + b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_0 \quad\text{avec}\quad b_n\neq 0</math></center>
et posons
<center><math>(2)\quad A_1=A-\frac {a_m}{b_n}X^{m-n} B.</math></center>

Ce polynôme est de degré inférieur à ''m'', strictement (car les monômes de degré ''m ''des deux membres de cette différence sont égaux donc s'éliminent). On peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence : il existe deux polynômes ''Q''<sub>1</sub> et ''R''{{ind|1}} tels que :
<center><math>(3)\quad A_1=Q_1B+R_1\quad \text{avec}\quad \deg R_1< \deg B.</math></center>

En combinant (2) et (3), on obtient :
<center><math>A=\left(\frac {a_m}{b_n}X^{m-n}+Q_1\right)B + R_1\quad\text{avec}\quad \deg R_1< \deg  B,</math></center>

ce qui établit la proposition.}}

'''Exemple''' : Division de x{{exp|4}}-x{{exp|3}}+x{{exp|2}}-x+8 par x{{exp|2}}+3x+1
* ''Étape 1'' : division de x{{exp|4}}-x{{exp|3}}+x{{exp|2}} par x{{exp|2}}+3x+1 (quotient x{{exp|2}}, reste -4x{{exp|3}})
:{| border="0" cellspacing="0"
|- style="text-align:right"
| x{{exp|4}} ||- x {{exp|3}} ||+ x{{exp|2}} || - x || + 8|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | x{{exp|2}} + 3x + 1
|- style="text-align:right"
|x{{exp|4}} ||+ 3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}|| || || style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black" |x{{exp|2}}
|- style="text-align:right"
| style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 4x{{exp|3}}|| style="border-top:thin solid black" | || || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | 
|}
* ''Étape 2'' : division de -4x{{exp|3}} - x par x{{exp|2}} + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x{{exp|2}} + 3x)
:{| border="0" cellspacing="0" 
|- style="text-align:right"
| x{{exp|4}} ||- x {{exp|3}} ||+ x{{exp|2}} || - x || + 8|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | x{{exp|2}} + 3x + 1
|- style="text-align:right"
|x{{exp|4}} ||-3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}|| || || style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black" |x{{exp|2}} - 4x
|- style="text-align:right"
| style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 4x{{exp|3}}|| style="border-top:thin solid black" | ||- x || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | 
|- style="text-align:right"
| ||-4x{{exp|3}}|| - 12x{{exp|2}}||-4x || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | 
|- style="text-align:right"
| || style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |+ 12x<sup>2</sup> || style="border-top:thin solid black" |+ 3x || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | 
|}
* ''Étape 3'' : division de 12x{{exp|2}} - 3x + 8 par x{{exp|2}} + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)
:{| border="0" cellspacing="0" 
|- style="text-align:right"
| x{{exp|4}} ||- x {{exp|3}} ||+ x{{exp|2}} || - x || + 8|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | x{{exp|2}} + 3x + 1
|- style="text-align:right"
|x{{exp|4}} ||+ 3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}|| || || style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black" |x{{exp|2}} - 4x + 12
|- style="text-align:right"
| style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 4x{{exp|3}}|| style="border-top:thin solid black" | ||- x || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | 
|- style="text-align:right"
| ||-4x{{exp|3}}|| - 12x{{exp|2}}||-4x || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | 
|- style="text-align:right"
| || style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |+ 12x<sup>2</sup> || style="border-top:thin solid black" |+ 3x ||+ 8 || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | 
|- style="text-align:right"
| || || 12x{{exp|2}}||+ 36x ||+12 || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | 
|- style="text-align:right"
| || || style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 33x || style="border-top:thin solid black" |- 4|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | 
|}
* ''Conclusion'' : x{{exp|4}} - x {{exp|3}} + x{{exp|2}} - x + 8 = (x{{exp|2}} + 3x + 1)(x{{exp|2}} - 4x + 12) - 33x - 4


{{Définition
 | titre   = Définition : Divisiblité
 | contenu =
Soient <math>A</math> et <math>B</math> deux polynômes.

On dit que <math>B</math> '''divise''' <math>A</math> (ce qu'on note <math>B\mid A</math>) s'il existe <math>P\in K[X]</math> tel que <math>A = PB</math> :
:<math>B\mid A\iff \exists P\in K[X]\quad A = PB</math>.
}}

{{Propriété
 | titre   = Propriétés
 | contenu =
Soient <math>A,B,C\in K[X]</math> et <math>\lambda\in K^*</math>.
#<math>A\mid\lambda \iff A\text{ constant.}</math> 
#<math>A\mid B\text{ et }B\mid C\Rightarrow A\mid C</math> ([[Relation (mathématiques)/Définition|transitivité]]).
#<math>A\mid B\text{ et }A\mid C\Rightarrow A\mid BU+CV\quad\forall U,V\in K[X]</math>.
#<math>\left(A\mid B\text{ et }B\mid A\right) \iff \left(\exist \mu\in K^*\quad A=\mu B\right)</math>.
}}

Les démonstrations se font comme dans <math>\Z</math> (voir le cours d'[[arithmétique]]).

== PGCD et PPCM ==
=== Définitions ===
{{Définition
 | titre   = Définitions : PGCD et PPCM de deux polynômes
 | contenu = 
Soient <math>A,B\in K[X]</math>.
* Un '''PGCD (Plus Grand Diviseur Commun)''' de <math>A</math> et <math>B</math> est un polynôme <math>D</math> qui divise <math>A</math> et <math>B</math> et tel que tout diviseur commun à <math>A</math> et <math>B</math> divise <math>D</math> (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") .
* Un '''PPCM (Plus Petit Commun Multiple)''' de <math>A</math> et <math>B</math> est un polynôme <math>M</math> qui est divisible par <math>A</math> et <math>B</math> et tel que tout multiple commun à <math>A</math> et <math>B</math> soit divisible par <math>M</math> (c'est donc le "plus petit" au sens de la relation d'ordre "divise") .
}}

'''Remarques :'''
* <math> P\mid Q \iff \operatorname{pgcd}(P,Q) = P \iff \operatorname{ppcm}(P,Q) = Q</math>.
*Deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
* Comme dans <math>\mathbb Z</math>, deux polynômes sont dits '''premiers entre eux''' si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).

=== [[Arithmétique/PGCD|Algorithme d'Euclide]] ===
Il est le même que dans <math>\mathbb Z</math>. On établit le lemme d'Euclide :

{{Lemme
  | titre   = Lemme d'Euclide
  | contenu =
Soient <math>A,B\in K[X]</math>. Alors <math>\forall Q,R\in K[X]</math>, si <math>A = BQ+R</math> on a :
:<math>\operatorname{pgcd}(A,B) = \operatorname{pgcd}(B,R)</math>.
}}

{{Démonstration déroulante
  | contenu =
Il faut montrer que l’ensemble <math>\mathcal D(A,B)</math> des diviseurs communs à <math>A</math> et <math>B</math> est égal à <math>\mathcal D(B,R)</math>.

Soit <math>C</math> un diviseur de <math>B</math>. ALors, <math>C\mid A\Rightarrow C\mid A-BQ=R</math> et réciproquement, <math>C\mid R\Rightarrow C\mid BQ+R=A</math>.

On a bien l'égalité <math>\mathcal D(A;B) = \mathcal D(B;Q)</math> : si ces ensembles sont égaux, alors leurs plus grands éléments aussi, d'où le résultat.
}}

On en déduit l'algorithme d'Euclide :

Soient <math>A,B\in K[X]</math> tels que <math>\deg A>\deg B</math>.
{| border="1" align="center" | valign="center"
! Opération !! Reste <math>R</math> !! Commentaires
|- valign="center" align="center" |
| on divise <math>A</math> par <math>B</math>
| <math>R_0</math>
| <math>\deg 0\le \deg R_0<\deg B \mbox{ et } pgcd(A,B)=pgcd(B,R_0)</math>
|- valign="center" align="center" |
| si <math>R_0\neq 0</math>, on divise <math>B</math> par <math>R_0</math>
| <math>R_1</math>
| <math>\deg 0\le \deg R_1<\deg R_0 \mbox{ et } pgcd(B,R_0)=pgcd(R_0,R_1)</math>
|- valign="center" align="center" |
| …
| …
| …
|- valign="center" align="center" |
| si <math>R_n\neq 0</math>, on divise <math>R_{n-1}</math> par <math>R_n</math>
| <math>0</math>
| <math>pgcd(R_{n-1},R_n)=R_n</math>
|}

== Théorèmes d'arithmétique ==
Ces théorèmes se démontrent comme dans <math>\Z</math>.

{{Théorème
  | titre   = Théorème de Bézout
  | contenu = 
* <math>\forall A,B\in K[X]\quad\exists U,V\in K[X]\quad AU+BV = \operatorname{pgcd}(A,B)</math>.
* <math>\operatorname{pgcd}(A;B) = 1 \iff \left(\exists U,V \in K[X]\quad AU+BV = 1\right)</math>.
}}

{{Théorème
  | titre   = Théorème de Gauss
  | contenu = 
Soient <math>A,B,C\in K[X]</math>.

Si <math>A\mid BC</math> et <math>\operatorname{pgcd}(A,B) = 1</math>, alors <math>A\mid C</math>.
}}

== Idéaux de ''K''[''X''] ==
{{Théorème
 | contenu =
''K''[''X''] est un [[Anneau (mathématiques)/Anneau principal|anneau '''principal''']], ce qui signifie que tout [[Anneau (mathématiques)/Définitions#Idéaux|idéal]] de ''K''[''X''] est principal : plus précisément, si <math>I</math> est un idéal de ''K''[''X''], alors :
:<math>\exists P\in K[X]\quad I = (P) = \{PQ\mid Q\in K[X]\}</math>.
}}

{{Démonstration déroulante
| contenu =
L'idéal <math>\{0\}</math> est engendré par le polynôme nul.

Soit maintenant <math>I</math> un idéal non nul de <math>K[X]</math>. Soit, parmi les éléments non nuls de <math>I</math>, un polynôme <math>B</math> de degré minimum.

Comme <math>B\in I</math>, par définition d'un idéal, <math> (B) \subset I</math>.

Réciproquement, soit <math>A\in I </math>. Par division euclidienne de <math>A</math> par <math>B</math>, il existe <math>Q,R\in K[X]</math> tels que <math>A=BQ+R</math> et <math>\deg(R)<\deg(B)</math>. 

Le polynôme <math>R=A-BQ</math> appartient à <math>I</math>, comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par choix de <math>B</math>, la condition <math>\deg(R)<\deg(B)</math> implique <math>R=0</math> donc <math>A=BQ\in(B)</math>.

Ceci prouve que <math>I\subset(B)</math> donc finalement, <math>I=(B)</math>.
}}

== Polynômes premiers et irréductibles ==

{{Définition
  | titre   = Définition : Polynômes premiers et irréductibles
  | contenu =
Soit <math>P\in K[X]</math> non constant.
* Le polynôme <math>P</math> est dit '''irréductible''' si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme <math>\lambda P\;(\mathrm{avec\;} \lambda\in K)</math>.
* Le polynôme <math>P</math> est dit '''premier''' si :
*:<math>\forall A,B\in K[X]\quad P\mid AB \Rightarrow\left(P\mid A\text{ ou }P\mid B\right)</math>.
}}

[[Anneau (mathématiques)/Anneau principal#Factorialité de A, décomposition primaire|Comme dans tout anneau vérifiant le théorème de Gauss]], on a :
{{Corollaire
 | contenu  =
Un polynôme est premier si (et seulement si) il est irréductible.
}}

Mieux : on a vu que <math>K[X]</math> est [[Anneau (mathématiques)/Anneau principal#Factorialité de A, décomposition primaire|principal ; on en déduit]] :
{{Corollaire
  | contenu =
L'anneau <math>K[X]</math> est '''factoriel''' ; cela signifie que tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs irréductibles, unique à l’ordre des facteurs près et à association près.
}}

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Définitions/]]
  | suivant   = [[../Dérivation formelle/]]
}}