Voir la source de Phénomènes d'induction/Loi de Faraday

{{Chapitre
  | idfaculté  = physique
  | précédent  = [[../Induction mutuelle, induction propre/]]
  | suivant    = [[../Loi de Lenz/]]
  | page_liée  = Exercices/Champ électromoteur
  | page_liée2 = Exercices/Phénomènes d'induction
  | numéro     = 2
  | niveau     = 15
}}

== Champ électromoteur  ==

{{propriété|titre=Champ électromoteur induit|contenu=
Soit un fil conducteur en mouvement dans un champ magnétique <math>\vec B</math>. Alors '''tout point du conducteur est le siège d'un champ électromoteur''' <math>\vec E_m</math> valant

<math>\vec E_m=\vec v\wedge\vec B-\frac{\partial\vec A}{\partial t}</math>}}

{{CfExo|align= right  
  | idfaculté = physique|exercice=[[Phénomènes d'induction/Exercices/Champ électromoteur|Champ électromoteur]]
}}
{{Définition
  | contenu =
La '''force électromotrice induite''' ''e'' le long d'une courbe orientée Γ vaut <math>e=\int_\Gamma\vec E_m. \mathrm d\vec l</math>
}}

== Loi de Faraday  ==

=== Cas d'un circuit mobile lorsque B est indépendant du temps  ===

{{principe|titre=Dispositif|contenu=[[Fichier:Moving coil in magnetic field.svg|450px]]

On dispose d'une spire Γ mobile dans un champ magnétique <math>\vec B</math> indépendant du temps.

On considère Γ aux instants ''t'' et ''t+dt'. On dispose également
* d'une surface ''S'' qui s'appuie sur ''Γ(t)'', orientée en concordance avec ''Γ(t)'', au travers de laquelle le flux de <math>\vec B</math> vaut Ф
* d'une surface ''S''' qui s'appuie sur ''Γ(t+dt)'', orientée en concordance avec ''Γ(t+dt)'', au travers de laquelle le flux de <math>\vec B</math> vaut Ф'}}

Un point courant P de Γ à l'instant ''t'' a subi une translation élémentaire <math>\overrightarrow{{\rm d}P}</math> pour devenir P'.


Si <math>\vec B</math> est indépendant du temps, <math>\vec A</math> aussi et <math>\vec E_m=\vec v\wedge\vec B</math>

<math>\begin{align}
e &= \oint_\Gamma (\vec v \wedge \vec B).\mathrm d \vec l\\
&= \oint_\Gamma (\overrightarrow{{\rm d}l} \wedge \vec v).\vec B\\
&= \oint_\Gamma \frac1{\mathrm dt} (\overrightarrow{{\rm d}l} \wedge \vec v~{\rm d}t).\vec B\\
&= \frac1{\mathrm dt} \oint_\Gamma  (\overrightarrow{{\rm d}l} \wedge \overrightarrow{{\rm d}P}).\vec B
\end{align}</math>

* La surface infinitésimale <math>\mathrm d^2S_c~</math> engendrée par <math>\overrightarrow{{\rm d}l}</math> et <math>\overrightarrow{{\rm d}P}</math> est appelée surface  coupée élémentaire, ou parfois surface balayée élémentaire. Elle est orientée dans le sens de <math>\mathrm d\vec P\wedge\overrightarrow{\mathrm dl}</math>.
* La réunion de toutes les surfaces coupées élémentaires forme la surface coupée <math>\mathrm dS_c~</math>. Elle forme une sorte de tube s'appuyant sur ''S'' et ''S'''.
* Le flux de <math>\vec B</math> à travers la surface coupée <math>\mathrm dS_c~</math> s’appelle le '''flux coupé''' dФ<sub>c</sub>.

<math>\begin{align}
e&= -\frac1{{\rm d}t} \oint_\Gamma  ({\rm d}^2S_c ~ \vec n_c).\vec B\\
&= -\oint_\Gamma  \frac{\mathrm d^2 \Phi_c}{{\rm d}t}\\
&= -\frac{{\rm d}\Phi_c}{{\rm d}t}
\end{align}</math>
<br />
Comme <math>S\cup S'\cup\mathrm dS_c</math> est une surface fermée, on a <math>~\Phi-\Phi'+\mathrm d\Phi_c=0</math>

Donc <math>~\mathrm d\Phi_c=\Phi-\Phi'=\mathrm d\Phi</math>

On a finalement <math>e=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}</math>

=== Cas d'un circuit fixe dans B(t)  ===

[[Fichier:Conductor ring in variable magnetic field.svg|350px|centré]]
{{principe|titre=Dispositif|contenu=
On dispose d'une spire Γ orientée immobile dans un champ magnétique <math>\vec B(t)</math>.
On dispose également d'une surface Σ qui s'appuie sur Γ, orientée en concordance avec Γ, au travers de laquelle le flux de <math>\vec B</math> vaut Ф.}}

Pour un circuit fixe, <math>\vec v=\vec0</math> donc <math>\vec E_m=-\frac{\partial\vec A}{\partial t}</math>

<math>\begin{align}
e&=-\oint_\Gamma \frac{\partial\vec A}{\partial t}.\mathrm d\vec l\\
&=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\oint_\Gamma\vec A.\mathrm d\vec l\right)\\
&=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\int_\Sigma\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\vec A).\overrightarrow{{\rm d}S}\right)\\
&=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\int_\Sigma\vec B.\overrightarrow{{\rm d}S}\right)\\
&=-\frac{\partial\Phi}{\partial t}=-\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}t}
\end{align}</math>

=== Cas général  ===

{{CfExo|align= right  
  | idfaculté = physique|exercice=[[Phénomènes d'induction/Exercices/Phénomènes d'induction|Phénomènes d'induction]]
}}
{{Attention|Avec_fond=oui|Il est absolument fondamental de connaître et savoir correctement appliquer ce résultat. La méthode d'application est détaillée dans les exercices.}}


{{Théorème
  | titre = Loi de Faraday
  | contenu = 
La force électromotrice induite <math>e(t)</math> dans un circuit filiforme fermé <math>(\mathcal {C})</math> est :
:<math>e(t) = -\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}t}</math> avec <math>\Phi (t) = \iint_S \vec{B} . \vec{\rm d S}</math>.

La force électromotrice <math>e(t)</math> est orienté comme le circuit et <math>\Phi(t)</math> est défini en accord avec l'orientation de la surface <math>S</math>.
}}


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}}