Voir la source de Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions trigonométriques inverses

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Grandeurs associées à une fonction sinusoïdale du temps : amplitude complexe et vecteur de Fresnel/]]
  | suivant   = [[../Complexes, formes algébrique et trigonométrique/]]
}}


== Rappel et additif sur les fonctions trigonométriques directes ==

<div style="text-align: center;">Ce sont les fonctions sinus <math>\;\sin()</math>, cosinus <math>\;\cos()</math>, tangente <math>\;\tan()\;</math> et cotangente <math>\;\cot()\;</math> <ref> Cette dernière étant très peu utilisée.</ref> :</div> 
{{Al|5}}le domaine de définition est «<math>\;\mathbb{R}\;</math> pour les deux 1<sup>ères</sup> », «<math>\;\mathbb{R} - \left\lbrace \dfrac{\pi}{2} + n\, \pi,\; n \in \mathbb{Z} \right\rbrace\;</math> pour tangente » et «<math>\;\mathbb{R} - \left\lbrace n\, \pi,\; n \in \mathbb{Z} \right\rbrace\;</math> pour cotangente » ;
<br>{{Al|5}}« les deux 1<sup>ères</sup> sont <math>\;2\, \pi</math>-périodiques » et « les deux suivantes <math>\;\pi</math>-périodiques » ; 
<br>{{Al|5}}elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », leurs dérivées étant respectivement :

{{Al|5}}{{Transparent|elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{d \left[ \sin(x) \right]}{dx} = \cos(x) = \sin\! \left( x + \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math>»<ref name="Dérivée sin, cos"> Cette dernière expression peut se déduire <math>\;\dfrac{d \left[ \exp(i\, x) \right]}{dx} = i\, \exp(i\, x) = \exp\! \left[ i \left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) \right]\;</math> soit, en en prenant la partie imaginaire <math>\;\big(</math>respectivement la partie réelle<math>\big)\;</math> et sachant que la dérivée de la partie imaginaire <math>\;\big(</math>respectivement de la partie réelle<math>\big)\;</math> est la partie imaginaire <math>\;\big(</math>respectivement de la partie réelle<math>\big)\;</math> de la dérivée, la dernière expression énoncée concernant la dérivée de <math>\;\sin(x)\;</math> ou de <math>\;\cos(x)</math>.</ref>, 

{{Al|5}}{{Transparent|elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{d \left[ \cos(x) \right]}{dx} = -\sin(x) = \cos\! \left( x + \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math>» <ref name="Dérivée sin, cos" />, 

{{Al|5}}{{Transparent|elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{d \left[ \tan(x) \right]}{dx} = \dfrac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)\;</math>» <ref> On dérive <math>\;\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\;</math> comme un quotient et on obtient <math>\;\dfrac{d \left[ \tan(x) \right]}{dx} = \dfrac{\cos(x)\, \cos(x) - \sin(x) \left[ -\sin(x) \right]}{\cos^2(x)}\;</math> soit, en utilisant <math>\;\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1</math>, <math>\;\dfrac{d \left[ \tan(x) \right]}{dx} = \dfrac{1}{\cos^2(x)}\;</math> d'une part, et d'autre part en remplaçant <math>\;1\;</math> par <math>\;\cos^2(x) + \sin^2(x)\;</math> et en distribuant le dénominateur <math>\;\dfrac{d \left[ \tan(x) \right]}{dx} = \dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)</math> ; ces deux expressions sont à connaître.</ref> et 

{{Al|5}}{{Transparent|elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{d \left[ \cot(x) \right]}{dx} = -\dfrac{1}{\sin^2(x)} = -\left[ 1 + \cot^2(x) \right]\;</math>» <ref> La fonction cotangente est liée à la fonction tangente par <math>\;\cot(x) = \dfrac{1}{\tan(x)}</math> ; du caractère <math>\;\nearrow\;</math> de la fonction tangente sur les intervalles continus où elle est définie, et donc de la positivité de sa dérivée, on en déduit que la fonction cotangente est <math>\;\searrow\;</math> sur les intervalles continus où elle est définie et que sa dérivée est négative d'où le signe «<math>\;-\;</math>» précédant <math>\;\dfrac{1}{\sin^2(x)}</math> ; <br>{{Al|3}}on établit l'expression de la dérivée en dérivant <math>\;\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\;</math> comme un quotient et on obtient <math>\;\dfrac{d \left[ \cot(x) \right]}{dx} =</math> <math>\dfrac{\sin(x)\, \left[ -\sin(x) \right] - \cos(x)\, \cos(x) }{\sin^2(x)}\;</math> ou, avec <math>\;\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1</math>, <math>\;\dfrac{d \left[ \cot(x) \right]}{dx} = -\dfrac{1}{\sin^2(x)}\;</math> d'une part, et d'autre part en réintroduisant <math>\;\sin^2(x) + \cos^2(x)\;</math> et en distribuant le dénominateur <math>\;\sin^2(x)\;</math> on obtient <math>\;\dfrac{d \left[ \cot(x) \right]}{dx} = -\left[ \dfrac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)} + \dfrac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \right] =</math> <math>-\left[ 1 + \cot^2(x) \right]</math> ; ce résultat est beaucoup moins important que le précédent.</ref> ; 
<br>{{Al|5}}les tracés sont rappelés ci-dessous <ref> On remarque que les fonctions « sinus », « tangente » et « cotangente » sont impaires, alors que la fonction « cosinus » est paire.</ref>.

<div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="316px">
Fonction sinus - graphe.jpg|Tracé du graphe de <math>\;\sin(x)\;</math> et choix de son domaine d'inversabilité
Fonction cosinus - graphe.jpg|Tracé du graphe de <math>\;\cos(x)\;</math> et choix de son domaine d'inversabilité
</gallery></div>
<div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="316px">
Fonction tangente - graphe.jpg|Tracé du graphe de <math>\;\tan(x)\;</math> et choix de son domaine d'inversabilité
Fonction cotangente - graphe.jpg|Tracé du graphe de <math>\;\cot(x)\;</math> et choix de son domaine d'inversabilité
</gallery></div>
== Condition pour qu'une fonction soit inversible, notion de fonction bijective ==

=== Définition de fonction bijective ===

{{Al|5}}Une fonction est « <u>[[w:Bijection|bijective]]</u> » si et seulement si « <u>tout élément du domaine des valeurs a un et un seul antécédent du domaine de définition</u> » c.-à-d. encore « ''si tout élément du domaine des valeurs est image d'exactement un élément du domaine de définition'' » ; <br>{{Al|5}}une fonction '''[[w:Bijection|bijective]]''' est à la fois « <u>[[w:Injection_(mathématiques)|injective]]</u> » <ref name="fonction injective"> Une fonction est <u>[[w:Injection_(mathématiques)|injective]]</u> si tout élément du domaine des valeurs a <u>au plus un antécédent</u> du domaine de définition ; la fonction « sinus » appliquant <math>\;\mathbb{R}\;</math> dans <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math> n'est pas [[w:Injection_(mathématiques)|injective]] car tout élément de <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math> possède une infinité d'antécédents.</ref> et « <u>[[w:Surjection|surjective]]</u> » <ref name="fonction surjective"> Une fonction est <u>[[w:Surjection|surjective]]</u> si tout élément du domaine des valeurs a <u>au moins un antécédent</u> du domaine de définition ; la fonction « sinus » appliquant <math>\;\mathbb{R}\;</math> dans <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math> est [[w:Surjection|surjective]] car tout élément de <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math> possède au moins un antécédent ; <br>{{Al|3}}si l'ensemble de départ est le domaine de définition et l'ensemble d'arrivée le domaine des valeurs, une fonction est ''nécessairement [[w:Surjection|surjective]]'' mais <br>{{Al|3}}si l'ensemble de départ est restreint en maintenant l'ensemble d'arrivée confondu avec le domaine de toutes les valeurs possibles, par exemple la fonction sinus considérée comme appliquant <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right]\;</math> dans <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]</math>, l'application peut ne pas être [[w:Surjection|surjective]] et c'est le cas sur l'exemple de l'application sinus appliquant <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right]\;</math> dans <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math> non [[w:Surjection|surjective]] car aucun élément de <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, 0 \right[\;</math> n'a d'antécédent dans <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right]</math>.</ref>.

=== Condition pour qu'une fonction soit inversible ===

{{Al|5}}Pour qu'une fonction soit inversible elle doit être '''[[w:Bijection|bijective]]'''<ref name="fonction bijective"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Définition_de_fonction_bijective|définition de fonction bijective]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> : 

* <u>si l'ensemble de départ est son domaine de définition et l'ensemble d'arrivée son domaine de valeurs</u>, elle est '''nécessairement [[w:Surjection|surjective]]'''<ref name="fonction surjective" /> car tout élément du domaine de valeurs a au moins un antécédent dans le domaine de définition mais '''elle peut ne pas être [[w:Injection_(mathématiques)|injective]]'''<ref name="fonction injective" /> car des éléments du domaine des valeurs peuvent avoir plusieurs antécédents dans le domaine de définition <math>\;\big(</math>c'est le cas de la fonction « sinus » appliquant <math>\;\mathbb{R}\;</math> dans <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\big)\;</math> <math>\ldots</math>
* <u>si la fonction n'est pas [[w:Injection_(mathématiques)|injective]]<ref name="fonction injective" /> quand on considère son domaine de définition complet</u> <math>\;\big(</math>cas de la fonction « sinus »<math>\big)</math>, on peut '''restreindre le domaine de définition en maintenant le domaine des valeurs''' pour que la « <u>fonction restreinte</u> » devienne '''[[w:Injection_(mathématiques)|injective]]'''<ref name="fonction injective" />{{,}}<ref> La restriction du domaine de définition doit être telle que tout élément du domaine des valeurs ait au plus un antécédent dans le domaine restreint : par exemple la fonction « sinus » restreinte au domaine de définition <math>\;\left[ -\dfrac{\pi}{2}\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right]</math>, l'ensemble d'arrivée restant <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]</math>.</ref>, tout <u>en restant [[w:Surjection|surjective]]</u><ref name="fonction surjective" />{{,}}<ref> Attention à ne pas trop restreindre le domaine de définition de façon qu'il n'existe aucun élément du domaine des valeurs n'ayant plus d'antécédent dans le domaine de définition restreint : <br>{{Al|3}}par exemple la fonction « sinus » restreinte au domaine de définition <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right]</math>, l'ensemble d'arrivée restant <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]</math>, est certes [[w:Injection_(mathématiques)|injective]] car tout élément de <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math> a au plus un antécédent dans <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right]</math> <math>\;\big(</math>en effet l'antécédent existe et est unique si l'élément d'arrivée <math>\;\in \left[ 0\, \text{,}\, +1 \right]\;</math> et l'antécédent n'existe pas si l'élément d'arrivée <math>\;\in \left[ -1\, \text{,}\, 0 \right[ \big)\;</math> mais n'est plus [[w:Surjection|surjective]] {{Nobr|<math>\;\bigg(</math>aucun}} élément de <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, 0 \right[\;</math> n'ayant d'antécédent dans <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right] \bigg)</math>.</ref>.

== Fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus ==

{{Al|5}}« Pour que la fonction <math>\;\sin()\;</math> soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « [[w:Bijection|bijective]] »<ref name="fonction bijective" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Pour que la fonction <math>\;\color{transparent}{\sin()}\;</math> soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » }}ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à <math>\;\left[ -\dfrac{\pi}{2}\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right]\;</math>» ;

[[File:Fonction arcsin - graphe.jpg|thumb|400px|<center>Tracé du graphe de <math>\;\arcsin(x)</math></center>]]

{{Al|5}}«<math>\;y = \arcsin(x)\;</math><u>fonction inverse de</u><math>\;x = \sin(y)\;</math>», pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à <math>\;\left[ -\dfrac{\pi}{2}\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arcsin(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \sin(y)}\;</math>», pour cette dernière }}le « domaine des valeurs restant <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math>» on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arcsin(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \sin(y)}\;</math>», }}« le '''domaine de définition de la fonction''' <math>\;\arcsin()\;</math> <math>\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arcsin(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \sin(y)}\;</math>», }}« '''son domaine de valeurs''' <math>\;\left[ -\dfrac{\pi}{2}\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right]\;</math>» ;

{{Al|5}}tracé du graphe de la fonction <math>\;y = \arcsin(x)</math> : voir ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|tracé}}<math>\big[</math>le graphe de <math>\;y = \arcsin(x)\;</math> est le symétrique de celui de <math>\;x = \sin(y)\;</math> par rapport à la 1<sup>ère</sup> diagonale<math>\big]</math> ;

{{Al|5}}on observe que la fonction est «<math>\;\nearrow\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe que la fonction est }}« continue sur <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe que la fonction est }}« dérivable sur <math>\;\left] -1\, \text{,}\, +1 \right[\;</math>», sa dérivée valant «<math>\;\dfrac{d \left[ \arcsin(x) \right]}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math>» ;

{{Al|5}}<u>justification de la dérivée</u> : on démontre ce résultat en inversant la fonction «<math>\;y = \arcsin(x)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x = \sin(y)\;</math>» <ref> L'équivalence n'étant correcte que pour <math>\;x \in \left[ -1\, \text{;} +1 \right]\;</math> et <math>\;y \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}\, \text{;} +\dfrac{\pi}{2} \right]</math>.</ref>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : on démontre ce résultat }}en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «<math>\;dx = \cos(y)\, dy\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne }}«<math>\;dy = \dfrac{dx}{\cos(y)}\;</math> à condition que <math>\;\cos(y)\;</math> ne soit pas nul », « réalisé si <math>\;y \neq \pm \dfrac{\pi}{2}\;</math> ou <math>\;x \neq \pm 1\;</math>»<ref> D'où le domaine de dérivabilité de la fonction <math>\;\arcsin()\;</math> restreint à <math>\;\left] -1\, \text{,}\, +1 \right[</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : }}on termine en éliminant <math>\;y\;</math> au profit de <math>\;x\;</math> avec «<math>\;\cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - x^2}\;</math>» <ref> <math>\;y \in \left] -\dfrac{\pi}{2}\, \text{,}\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos(y)\;</math> est <math>\; > 0\;</math> d'où <math>\;\cos(y)\;</math> égal à <math>\;+\sqrt{1 - \sin^2(y)}</math>.</ref> soit «<math>\;dy = \dfrac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math>» ;

{{Al|5}}<u>conséquence</u> : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction <math>\;\arcsin()\;</math> qu'« une primitive de <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math> est <math>\;\arcsin(x) + cste\;</math>».

== Fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus ==

{{Al|5}}« Pour que la fonction <math>\;\cos()\;</math> soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « [[w:Bijection|bijective]] »<ref name="fonction bijective" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Pour que la fonction <math>\;\color{transparent}{\cos()}\;</math> soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » }}ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +\pi \right]\;</math>» ;

[[File:Fonction arccos - graphe.jpg|thumb|400px|<center>Tracé du graphe de <math>\;\arccos(x)</math></center>]]

{{Al|5}}«<math>\;y = \arccos(x)\;</math><u>fonction inverse de</u><math>\;x = \cos(y)\;</math>», pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +\pi \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arccos(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \cos(y)}\;</math>», pour cette dernière }}le « domaine des valeurs restant <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math>» on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arccos(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \cos(y)}\;</math>», }}« le '''domaine de définition de la fonction''' <math>\;\arccos()\;</math> <math>\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arccos(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \cos(y)}\;</math>», }}« '''son domaine de valeurs''' <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +\pi \right]\;</math>» ;

{{Al|5}}tracé du graphe de la fonction <math>\;y = \arccos(x)</math> : voir ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|tracé}}<math>\big[</math>le graphe de <math>\;y = \arccos(x)\;</math> est le symétrique de celui de <math>\;x = \cos(y)\;</math> par rapport à la 1<sup>ère</sup> diagonale<math>\big]</math> ;

{{Al|5}}on observe que la fonction est «<math>\;\searrow\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe que la fonction est }}« continue sur <math>\;\left[ -1\, \text{,}\, +1 \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe que la fonction est }}« dérivable sur <math>\;\left] -1\, \text{,}\, +1 \right[\;</math>», sa dérivée valant «<math>\;\dfrac{d \left[ \arccos(x) \right]}{dx} = \dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math>» ;

{{Al|5}}<u>justification de la dérivée</u> : on démontre ce résultat en inversant la fonction «<math>\;y = \arccos(x)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x = \cos(y)\;</math>» <ref> L'équivalence n'étant correcte que pour <math>\;x \in \left[ -1\, \text{;} +1 \right]\;</math> et <math>\;y \in \left[ 0\, \text{;} +\pi \right]</math>.</ref>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : on démontre ce résultat }}en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «<math>\;dx = -\sin(y)\, dy\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne }}«<math>\;dy = \dfrac{-dx}{\sin(y)}\;</math> à condition <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne }}que <math>\;\sin(y)\;</math> ne soit pas nul », « réalisé si <math>\;y \neq \left\lbrace 0\;\text{,}\; +\pi \right\rbrace\;</math> ou <math>\;x \neq \pm 1\;</math>»<ref> D'où le domaine de dérivabilité de la fonction <math>\;\arccos()\;</math> restreint à <math>\;\left] -1\, \text{,}\, +1 \right[</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : }}on termine en éliminant <math>\;y\;</math> au profit de <math>\;x\;</math> avec «<math>\;\sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)} = \sqrt{1 - x^2}\;</math>»<ref> <math>\;y \in \left] 0\, \text{,}\, \pi \right[\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(y)\;</math> est <math>\; > 0\;</math> d'où <math>\;\sin(y)\;</math> égal à <math>\;+\sqrt{1 - \cos^2(y)}</math>.</ref> soit «<math>\;dy = \dfrac{-dx}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math>» ;

{{Al|5}}<u>conséquence</u> : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction <math>\;\arccos()\;</math> qu'« une primitive de <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math> est aussi <math>\;-\arccos(x) + cste\;</math>».

{{Remarque|titre=Relation entre les fonctions trigonométriques inverses arcsinus et arccosinus|contenu= {{Al|5}}« Le fait qu'une primitive de <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math>» s'écrive «<math>\;\arcsin(x) + cste'\;</math>» ou «<math>\;-\arccos(x) + cste''\;</math>» montre qu'il existe un lien entre les deux fonctions trigonométriques inverses <math>\;\arcsin()\;</math> et <math>\;\arccos()\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\arcsin(x) = -\arccos(x) + cste\;</math>» ou «<math>\;\arcsin(x) + \arccos(x) = cste\;</math>»,</center> 
{{Al|5}}la valeur de <math>\;cste\;</math> étant déterminée en donnant à <math>\;x\;</math> une valeur particulière par exemple <math>\;0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la valeur de <math>\;\color{transparent}{cste}\;</math> étant déterminée }}en sachant que <math>\;\arcsin(0) = 0\;</math> et que <math>\;\arccos(0) = +\dfrac{\pi}{2}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la valeur de <math>\;\color{transparent}{cste}\;</math> étant déterminée }}d'où la relation : «<math>\;\arcsin(x) + \arccos(x) = +\dfrac{\pi}{2}\;</math>».}}
== Fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente ==

{{Al|5}}« Pour que la fonction <math>\;\tan()\;</math> soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « [[w:Bijection|bijective]] »<ref name="fonction bijective" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Pour que la fonction <math>\;\color{transparent}{\sin()}\;</math> soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » }}ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>» ;

[[File:Fonction arctan - graphe.jpg|thumb|400px|<center>Tracé du graphe de <math>\;\arctan(x)</math></center>]]

{{Al|5}}«<math>\;y = \arctan(x)\;</math><u>fonction inverse de</u><math>\;x = \tan(y)\;</math>», pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arctan(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \tan(y)}\;</math>», pour cette dernière }}le « domaine des valeurs restant <math>\;\mathbb{R}\;</math>» on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arctan(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \tan(y)}\;</math>», }}« le '''domaine de définition de la fonction''' <math>\;\arctan()\;</math> <math>\mathbb{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arctan(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \tan(y)}\;</math>», }}« '''son domaine de valeurs''' <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\, \text{,}\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>» ;

{{Al|5}}tracé du graphe de la fonction <math>\;y = \arctan(x)</math> : voir ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|tracé}}<math>\big[</math>le graphe de <math>\;y = \arctan(x)\;</math> est le symétrique de celui de <math>\;x = \tan(y)\;</math> par rapport à la 1<sup>ère</sup> diagonale<math>\big]</math> ;

{{Al|5}}on observe que la fonction est «<math>\;\nearrow\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe que la fonction est }}« continue sur <math>\;\mathbb{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe que la fonction est }}« dérivable sur <math>\;\mathbb{R}\;</math>», sa dérivée valant «<math>\;\dfrac{d \left[ \arctan(x) \right]}{dx} = \dfrac{1}{1 + x^2}\;</math>» ;

{{Al|5}}<u>justification de la dérivée</u> : on démontre ce résultat en inversant la fonction «<math>\;y = \arctan(x)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x = \tan(y)\;</math>» <ref> L'équivalence n'étant correcte que pour <math>\;x \in \mathbb{R}\;</math> et <math>\;y \in \left] -\dfrac{\pi}{2}\, \text{;} +\dfrac{\pi}{2} \right[</math>.</ref>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : on démontre ce résultat }}en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «<math>\;dx = \left[ 1 + \tan^2(y) \right] dy\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne }}«<math>\;dy = \dfrac{dx}{1 + \tan^2(y)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : }}on termine en éliminant <math>\;y\;</math> au profit de <math>\;x\;</math> avec «<math>\;\tan(y) = x\;</math>» soit «<math>\;dy = \dfrac{dx}{1 + x^2}\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + x^2}\;</math>» ;

{{Al|5}}<u>conséquence</u> : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction <math>\;\arctan()\;</math> qu'« une primitive de <math>\;\dfrac{1}{1 + x^2}\;</math> est <math>\;\arctan(x) + cste\;</math>».

== Fonction inverse de la fonction cotangente : fonction arccotangente ==

{{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : La fonction <math>\;\cot()\;</math> étant très peu utilisée par rapport à la fonction <math>\;\tan()</math>, il en est de même de leur fonction inverse, <math>\;\arccot()\;</math> quasiment jamais utilisée par rapport à <math>\;\arctan()</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque préliminaire : La fonction <math>\;\color{transparent}{\cot()}\;</math> étant très peu utilisée par rapport à la fonction <math>\;\color{transparent}{\tan()}</math>, il en est de même de leur fonction inverse, }}la fonction <math>\;\arctan()\;</math> suffisant amplement<ref> Toutefois, pour des raisons de symétrie d'exposé, l'introduction est faite, mais vous ne l'utiliserez vraisemblablement jamais.</ref>.

{{Al|5}}« Pour que la fonction <math>\;\cot()\;</math> soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « [[w:Bijection|bijective]] »<ref name="fonction bijective" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Pour que la fonction <math>\;\color{transparent}{\cot()}\;</math> soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » }}ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à <math>\;\left] 0\, \text{,}\, +\pi \right[\;</math>» ;

[[File:Fonction arccot - graphe.jpg|thumb|400px|<center>Tracé du graphe de <math>\;arccot(x)</math></center>]]

{{Al|5}}«<math>\;y = \arccot(x)\;</math><u>fonction inverse de</u><math>\;x = \cot(y)\;</math>», pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à <math>\;\left] 0\, \text{,}\, +\pi \right[\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arccot(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \cot(y)}\;</math>», pour cette dernière }}le « domaine des valeurs restant <math>\;\mathbb{R}\;</math>» on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arccot(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \cot(y)}\;</math>», }}« le '''domaine de définition de la fonction''' <math>\;\arccot()\;</math> <math>\;\mathbb{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{y = \arccot(x)}\;</math>fonction inverse de<math>\;\color{transparent}{x = \cot(y)}\;</math>», }}« '''son domaine de valeurs''' <math>\;\left] 0\, \text{,}\, +\pi \right[\;</math>» ;

{{Al|5}}tracé du graphe de la fonction <math>\;y = \arccot(x)</math> : voir ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|tracé}}<math>\big[</math>le graphe de <math>\;y = \arccot(x)\;</math> est le symétrique de celui de <math>\;x = \cot(y)\;</math> par rapport à la 1<sup>ère</sup> diagonale<math>\big]</math> ;

{{Al|5}}on observe que la fonction est «<math>\;\searrow\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe que la fonction est }}« continue sur <math>\;\mathbb{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe que la fonction est }}« dérivable sur <math>\;\mathbb{R}\;</math>», sa dérivée valant «<math>\;\dfrac{d \left[ \arccot(x) \right]}{dx} = \dfrac{-1}{1 + x^2}\;</math>» ;

{{Al|5}}<u>justification de la dérivée</u> : on démontre ce résultat en inversant la fonction «<math>\;y = \arccot(x)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x = \cot(y)\;</math>» <ref> L'équivalence n'étant correcte que pour <math>\;x \in \mathbb{R}\;</math> et <math>\;y \in \left] 0\, \text{;} +\pi \right[</math>.</ref>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : on démontre ce résultat }}en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «<math>\;dx = -\left[ 1 + \cot^2(y) \right] dy\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne }}«<math>\;dy = \dfrac{-dx}{1 + \cot^2(y)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|justification de la dérivée : }}on termine en éliminant <math>\;y\;</math> au profit de <math>\;x\;</math> avec «<math>\;\cot(y) = x\;</math>» soit «<math>\;dy = \dfrac{-dx}{1 + x^2}\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1}{1 + x^2}\;</math>» ;

{{Al|5}}<u>conséquence</u> : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction <math>\;\arccot()\;</math> qu'« une primitive de <math>\;\dfrac{1}{1 + x^2}\;</math> est aussi <math>\;-\arccot(x) + cste\;</math>».

{{Remarque|titre=Relation entre les fonctions trigonométriques inverses arctangente et arccotangente|contenu= {{Al|5}}« Le fait qu'une primitive de <math>\;\dfrac{1}{1 + x^2}\;</math>» s'écrive «<math>\;\arctan(x) + cste'\;</math>» ou «<math>\;-\arccot(x) + cste''\;</math>» montre qu'il existe un lien entre les deux fonctions trigonométriques inverses <math>\;\arctan()\;</math> et <math>\;\arccot()\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\arctan(x) = -\arccot(x) + cste\;</math>» ou «<math>\;\arctan(x) + \arccot(x) = cste\;</math>»,</center> 
{{Al|5}}la valeur de <math>\;cste\;</math> étant déterminée en donnant à <math>\;x\;</math> une valeur particulière par exemple <math>\;1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la valeur de <math>\;\color{transparent}{cste}\;</math> étant déterminée }}en sachant que <math>\;\arctan(1) = +\dfrac{\pi}{4}\;</math> et que <math>\;\arccot(1) = +\dfrac{\pi}{4}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la valeur de <math>\;\color{transparent}{cste}\;</math> étant déterminée }}d'où la relation : «<math>\;\arctan(x) + \arccot(x) = +\dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref> Ce lien justifiant que l'on pourrait se passer d'introduire la fonction <math>\;\arccot()\;</math> puisque qu'elle n'est que le complément à <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> de la fonction <math>\;\arctan()</math> ; <br>{{Al|3}}bien que le lien entre <math>\;\arccos()\;</math> et <math>\;\arcsin()\;</math> soit le même, la fonction <math>\;\arccos()\;</math> est usuellement introduite bien qu'elle pourrait ne pas l'être, la fonction <math>\;\arccos()\;</math> n'étant que le complément à <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> de la fonction <math>\;\arcsin()</math> ; toutefois ce n'est que lors de la prise de primitive que l'on privilégie la fonction <math>\;\arcsin()\;</math> au profit de la fonction <math>\;\arccos()</math>.</ref>.}}
== Simplification de fonction composée de grandeurs trigonométriques directe et inverse ==

{{Al|5}}Nous nous proposons de simplifier des expressions du genre «<math>\;\cos\! \left[ \arcsin(x) \right]\;</math>» ou «<math>\;\sin\! \left[ \arctan(x) \right]\;</math>»<ref> Ces deux exemples quelconques devraient suffire pour présenter la méthode de simplification.</ref>

=== Présentation de la méthode de simplification sur le premier exemple ===

{{Al|5}}Soit à simplifier «<math>\;\cos\! \left[ \arcsin(x) \right]\;</math>» :

{{Al|5}}Posant «<math>\;\alpha = \arcsin(x)\;</math>», on cherche donc à « évaluer <math>\;\cos(\alpha)\;</math> en fonction de <math>\;x\;</math>»<ref> Le fait de baptiser <math>\;\alpha\;</math> la fonction <math>\;\arcsin(x)\;</math> va permettre de préciser « son domaine de valeurs plus simplement <math>\;\alpha \in \left[ -\dfrac{\pi}{2} \text{ ; } \dfrac{\pi}{2} \right]\;</math>», « son domaine de définition étant <math>\;x \in \left[ -1 \text{ ; } +1 \right]\;</math>».</ref> ; 

{{Al|5}}« l'inversion de <math>\;\alpha = \arcsin(x)\;</math> conduit à <math>\;x = \sin(\alpha)\;</math>», avec «<math>\;\alpha \in \left[ -\dfrac{\pi}{2} \text{ ; } \dfrac{\pi}{2} \right]\;</math> dont on déduit <math>\;\cos(\alpha) \geqslant 0\;</math>» ;

{{Al|5}}il reste alors à utiliser le lien entre « ce qu'on cherche à évaluer <math>\;\cos(\alpha)\;</math>» et « ce qu'on connaît <math>\;\sin(\alpha) = x\;</math>» par <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste alors à utiliser le lien }}«<math>\;\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\;</math>» dont on tire «<math>\;\vert \cos(\alpha) \vert = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}\;</math>» et comme <math>\;\cos(\alpha)\;</math> est <math>\;\geqslant 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste alors à utiliser le lien }}«<math>\;\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}\;</math>» soit, avec <math>\;\sin(\alpha) = x</math>, «<math>\;\cos(\alpha) = \sqrt{1 - x^2}\;</math>» ou finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\cos\! \left[ \arcsin(x) \right] = \sqrt{1 - x^2}\;</math>».</div>
=== Développement de la méthode de simplification sur le deuxième exemple ===

{{Al|5}}Soit à simplifier «<math>\;\sin\! \left[ \arctan(x) \right]\;</math>» :

{{Al|5}}Posant «<math>\;\alpha = \arctan(x)\;</math>», on cherche donc à « évaluer <math>\;\sin(\alpha)\;</math> en fonction de <math>\;x\;</math>»<ref> Le fait de baptiser <math>\;\alpha\;</math> la fonction <math>\;\arctan(x)\;</math> va permettre de préciser « son domaine de valeurs plus simplement <math>\;\alpha \in \left] -\dfrac{\pi}{2} \text{ ; } \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>», « son domaine de définition étant <math>\;x \in \mathbb{R}\;</math>».</ref> ; 

{{Al|5}}« l'inversion de <math>\;\alpha = \arctan(x)\;</math> conduit à <math>\;x = \tan(\alpha)\;</math>», avec «<math>\;\alpha \in \left] -\dfrac{\pi}{2} \text{ ; } \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>», «<math>\;\sin(\alpha)\;</math> étant de signe quelconque » mais «<math>\;\cos(\alpha)\;</math> étant quant à elle <math>\;> 0\;</math>» ;

{{Al|5}}il reste alors à utiliser le lien entre « ce qu'on cherche à évaluer <math>\;\sin(\alpha)\;</math>» et « ce qu'on connaît <math>\;\tan(\alpha) = x\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste alors à utiliser le lien }}«<math>\;\sin(\alpha) = \tan(\alpha) \times \cos(\alpha)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste alors à utiliser le lien «<math>\;\color{transparent}{\sin(\alpha) = \tan(\alpha) \times}</math> }}<math>\;\cos(\alpha)\;</math> s'exprimant en fonction de <math>\;\tan(\alpha)\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{\cos^2(\alpha)} = 1 + \tan^2(\alpha)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vert \cos(\alpha) \vert = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}}\;</math>» ou, avec <math>\;\cos(\alpha) > 0</math>, 

{{Al|5}}{{Transparent|il reste alors à utiliser le lien «<math>\;\color{transparent}{\sin(\alpha) = \tan(\alpha) \times}</math>}}«<math>\;\cos(\alpha) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}}\;</math>» d'où 

{{Al|5}}{{Transparent|il reste alors à utiliser le lien }}«<math>\;\sin(\alpha) = \dfrac{\tan(\alpha)}{\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}}\;</math>» soit, avec <math>\;\tan(\alpha) = x</math>, «<math>\;\sin(\alpha) =</math> <math>\dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\;</math>» ou finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\sin\! \left[ \arctan(x) \right] = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\;</math>».</div>

== Notes et références ==
<references/>

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