Voir la source de Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un plasma

{{Exercice
  | idfaculté = physique
  | chapitre  = [[../../Propagation/]]
  | précédent = [[../Polarisation/]]
  | suivant   = [[../Propagation dans un métal réel/]]
  | numéro    = 3
  | niveau    = 15
}}

{{Attention|Avec_fond=oui|La propagation d'une onde monochromatique plane dans un plasma est un exercice extrêmement classique. La démarche à suivre, les grandes étapes du raisonnement doivent être absolument connues.}}

Un plasma neutre est constitué d'atomes ionisés dans le vide. On note ''n'' la densité volumique d'électrons libres ainsi produits. Les ions positifs, beaucoup plus lourds, seront considérés comme immobiles.

On désire propager une onde électromagnétique plane monochromatique dans ce plasma.

# Montrer que la propagation est possible à condition d’avoir une certaine relation entre ''k'' et ω que l’on déterminera. On fera apparaître une pulsation de coupure caractéristique.
# Calculer la vitesse de phase <math>v_\varphi=\frac{\omega}{k}</math>
# Calculer la vitesse de groupe <math>v_g=\left.\frac{{\rm d}\omega}{{\rm d}k}\right|_{k_0}</math>
# Calculer numériquement la fréquence caractéristique apparue dans la question 1 dans le cas de l'ionosphère.

Données:
* Charge élémentaire : <math>e=1,6.10^{-19}\mathrm{~C}</math>
* Masse de l'électron : <math>m=9.10^{-31}\mathrm{~kg}</math>
* <math>n=10^{12}\mathrm{~m}^{-3}</math> pour l'ionosphère


{{Solution
  | contenu =
'''1.''' Dans ce plasma, les équations de Maxwell sont :
* <math>\mathrm{div}(\vec E)=0</math> car l’ensemble est électriquement neutre
* <math>\mathrm{div}(\vec B)=0</math>
* <math>\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\vec E)=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}</math>
* <math>\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\vec B)=\mu_0\vec j+\frac1{c^2}\frac{\partial\vec E}{\partial t}</math>

Pour obtenir la relation de dispersion, on calcule :
:<math>\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\vec E))&=\vec\nabla(\mathrm{div}(\vec E))-\vec\Delta\vec E=-\vec\Delta\vec E\\
&=\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left(-\frac{\partial\vec B}{\partial t}\right)=-\frac{\partial(\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\vec B))}{\partial t}=-\mu_0\frac{\partial\vec j}{\partial t}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}
\end{align}</math>

De plus, en notation complexe, <math>\underline\vec E=\underline\vec E_0e^{i(\omega t-kx)}</math>.

On calcule le laplacien de <math>\vec E</math>:
:<math>\begin{align}
\vec\Delta\underline\vec E&=\Delta\underline E_x\vec u_x+\Delta\underline E_y\vec u_y+\Delta\underline E_z\vec u_z\\
&=\frac{\partial}{\partial x^2}\left(\underline E_{0y}e^{i(\omega t-kx)}\right)\vec u_y+\frac{\partial}{\partial x^2}\left(\underline E_{0z}e^{i(\omega t-kx)}\right)\vec u_z\\
&=-k^2\underline\vec E_0e^{i(\omega t-kx)}\\
&=-k^2\underline\vec E
\end{align}</math>

En outre, <math>\frac{\partial^2\underline\vec E}{\partial t^2}=-\omega^2\underline\vec E</math>

L'égalité <math>-\mu_0\frac{\partial\underline\vec j}{\partial t}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\underline\vec E}{\partial t^2}=-\vec\Delta\underline\vec E</math> devient <math>-i\omega\mu_0\underline\vec j+\frac{\omega^2}{c^2}\underline\vec E=k^2\underline\vec E</math>

Il nous reste à expliciter <math>\underline\vec j</math>. Par définition, <math>\underline\vec j=-ne\underline\vec v</math>. Il faut maintenant le relier à <math>\underline\vec E</math>. Comme on ne peut pas être certain ''a priori'' que la loi d'Ohm puisse s'appliquer, on revient aux bases en appliquant le principe fondamental de la dynamique à un électron du plasma dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :
<math>m\frac{\mathrm d\underline\vec v}{\mathrm dt}=-e\underline\vec E \Leftrightarrow i\omega m\underline\vec v=-e\underline\vec E</math>

Ceci aboutit à <math>\underline\vec v=i\frac{e\underline\vec E}{m\omega}</math>, c'est-à-dire <math>\underline\vec j=-i\frac{ne^2\underline\vec E}{m\omega}</math>

On remplace <math>\underline\vec j</math> par son expression :
<math>-\mu_0\frac{ne^2\underline\vec E}m+\frac{\omega^2}{c^2}\underline\vec E=k^2\underline\vec E</math>

{{Encadre|contenu=La relation de dispersion est finalement <math>k^2=\frac{\omega^2}{c^2}-\frac{\mu_0ne^2}m</math>}}


Cette relation de dispersion fait apparaître une fréquence de coupure caractéristique ω<sub>c</sub> qui vérifie <math>\frac{\omega_c^2}{c^2}=\frac{\mu_0ne^2}m</math>.

{{Encadre|contenu=
La fréquence de coupure du plasma est <math>\omega_c=\sqrt{\frac{\mu_0nc^2e^2}{m}}</math>. La relation de dispersion devient alors <math>k^2=\frac{\omega^2-\omega_c^2}{c^2}</math>}}

'''2.''' De la relation de dispersion <math>k^2=\frac{\omega^2-\omega_c^2}{c^2}</math> on tire <math>\left(\frac k\omega\right)^2 = \frac1{c^2}\left(1-\left(\frac{\omega_c}{\omega}\right)^2\right)</math>

{{Encadre|contenu=D'où <math>v_\varphi=\frac{c\omega}{\sqrt{\omega^2-\omega_c^2}}</math>}}

'''3.''' Toujours en partant de la relation de dispersion, <math>c^2k^2+\omega_c^2=\omega^2</math>.

On prend la différentielle : <math>2c^2k\,{\rm d}k=2\omega\,{\rm d}\omega</math>

Donc <math>\frac{{\rm d}\omega}{{\rm d}k}=c^2\frac{k}{\omega}=\frac{c^2}{v_\varphi}</math>

{{Encadre|contenu=<math>v_g=\frac c\omega \sqrt{\omega^2-\omega_c^2}</math>}}


'''4.''' L'application numérique pour la fréquence de coupure donne f<sub>c</sub>={{unité|9.02|MHz}}
}}

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Polarisation/]]
  | suivant   = [[../Propagation dans un métal réel/]]
}}