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{{Entête de fiche
  | idfaculté = mathématiques
  | nom       = les nombres complexes et la trigonométrie
}}

== Rappels sur les nombres complexes  ==
* <math>\forall z \in \Complex, Re(z) = \frac{z+\bar z}2 \text{ et } Im(z) = \frac{z-\bar z}{2i}</math>
* '''Inégalité triangulaire''' : <math>|z+z'| \leqslant |z|+|z'|</math>
* Pour tous réels <math>a,b</math> vérifiant <math>a^2+b^2=1</math>, il existe un réel <math>\theta</math> tel que : <math>a = \cos \theta</math> et <math>b = \sin \theta</math>


== Rappels sur la trigonométrie  ==
=== Dérivée des fonctions usuelles ===
* <math>\textstyle \cos'(x) = -\sin(x)</math>
* <math>\textstyle \sin'(x) = \cos(x)</math>
* <math>\textstyle \tan'(x) = \frac1{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)</math>
=== Cosinus, sinus et tangente d'une somme  ===
* <math>\textstyle \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)</math>
* <math>\textstyle \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)</math>
* <math>\textstyle \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)</math>
* <math>\textstyle \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)</math>
* <math>\textstyle \tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}</math>
* <math>\textstyle \tan(a-b) = \frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}</math>
=== Produit de cosinus, sinus ou tangente  ===
* <math>\textstyle \cos(a)\cos(b) = \frac12 (\cos(a-b)+\cos(a+b))</math>
* <math>\textstyle \sin(a)\sin(b) = \frac12 (\cos(a-b)-\cos(a+b))</math>
* <math>\textstyle \sin(a)\cos(b) = \frac12 (\sin(a+b)+\sin(a-b))</math>
* <math>\textstyle \cos(a)\sin(b) = \frac12 (\sin(a+b)-\sin(a-b))</math>
=== Somme de cosinus, sinus ou tangente  ===
* <math>\textstyle \sin(p)+\sin(q) = 2 \sin(\frac{p+q}2)\cos(\frac{p-q}2)</math>
* <math>\textstyle \sin(p)-\sin(q) = 2 \cos(\frac{p+q}2)\sin(\frac{p-q}2)</math>
* <math>\textstyle \cos(p)+\cos(q) = 2 coq(\frac{p+q}2)\cos(\frac{p-q}2)</math>
* <math>\textstyle \cos(p)-\cos(q) = -2 \sin(\frac{p+q}2)\sin(\frac{p-q}2)</math>
=== Formules de duplication  ===
* <math>\textstyle \cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x) = 2\cos^2(x)-1 = 1-2\sin^2(x)</math>
* <math>\textstyle \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)</math>
* <math>\textstyle \tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1-\tan^2(x)}</math>
=== Formules de linérisation  ===
* <math>\textstyle \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}2</math>
* <math>\textstyle \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}2</math>
=== Substitution de la tangente  ===
On pose <math>\scriptstyle t = \tan(\frac{x}2)</math>
* <math>\textstyle \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}</math>
* <math>\textstyle \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math>
* <math>\textstyle \tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}</math>


== Formules avancées  ==
=== Formule d'Euler ===
* <math>\textstyle \cos(x) = Re(e^{i\theta}) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2</math>
* <math>\textstyle \sin(x) = Im(e^{i\theta}) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}</math>
* '''Remarque :''' On utilisera ces deux formules pour linéariser des expressions de la forme <math>\cos^p(\theta)+\sin^n(\theta)</math>
=== Formule de Moivre  ===
* Soient <math>\scriptstyle \theta \in \R</math> et <math>\scriptstyle n \in \N</math>, alors : <br /><math>\cos(n\theta)+i\sin(n\theta) = e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n = (\cos\theta+i\sin\theta)^n</math>
=== Binôme de Newton  ===
* Rappel : <math>\textstyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math>
* Soient <math>a, b</math> des nombres réels ou complexes et <math>n</math> un entier naturel <br /><math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k</math>
=== Application du binôme  ===
* Soient <math>\scriptstyle \theta \in \R</math> et <math>\scriptstyle n \in \N</math>, alors : <br /><math>\cos(n\theta) = \sum_\overset{k=0}{\text{k pair}}^\overset{{\color{White}n}}{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(\theta) i^k \sin^k(\theta)</math> <br /><math>\sin(n\theta) = \frac12 \sum_\overset{k=0}{\text{k impair}}^\overset{{\color{White}n}}{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(\theta) i^k \sin^k(\theta) </math>


== Racines n<sup>ième</sup> d'un nombre complexe d'équations du second degré  ==
=== Introduction ===
* Soit <math>\scriptstyle z \in \Complex^*</math>, alors <math>\scriptstyle z^n</math> admet exactement <math>n</math> racines <math>n</math><sup>ièmes</sup> 2 à 2 distinctes.
* Les racines carrées des nombres complexes de <math>\scriptstyle R \cdot e^{i\theta}</math> sont <math>\scriptstyle \sqrt{R} \cdot e^{i\frac{\theta}2}</math> et <math>\scriptstyle - \sqrt{R} \cdot e^{i\frac{\theta}2}</math>.
=== Racines de l'unité  ===
* Les racines de l'unité sont :<br /><math>\omega_k = e^\frac{2ik\pi}n , k \in \{0,1,\ldots,n-1\}</math>
* Les racines cubiques de l'unité sont <math>1</math>, <math>j</math> et <math>j^2</math>, où : <br /><math>j = e^\frac{2\pi i}3 = \frac{-1}2 + i\frac\sqrt32</math>
* De plus, on a : <math>\textstyle \bar j = j^2</math> et <math>\textstyle j^2 + j + 1 = 0</math>
=== Calculs algébriques des racines carrées  ===
* Pour obtenir les racines carrées de <math>\scriptstyle Z = X + iY \in \Complex^*</math> sous forme algébrique, on résout <math>z^2 = Z</math> <br /><math>z^2 = Z \Leftrightarrow \begin{cases} (x+iy)^2=X+iY \\ |z|^2=|Z| \end{cases}</math>
=== Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes  ===
* Soient <math>a, b, c</math> des nombres complexes avec <math>\scriptstyle a \neq 0</math> <br />On veut résoudre <math>az^2+bz+c=0</math>. <br />On pose <math>\Delta = b^2-4ac</math>.
** Si <math>\scriptstyle \Delta \neq 0</math>, les solutions de l'équation sont <math>\scriptstyle \frac{-b+\delta}{2a}</math> et <math>\scriptstyle \frac{-b-\delta}{2a}</math> <small>(où <math>\delta</math> est une racine carrée de <math>\Delta</math>)</small>
** Si <math>\scriptstyle \Delta = 0</math>, alors l'équation a une solution double : <math>\scriptstyle \frac{-b}{2a}</math>
'''Remarque :''' si <math>z_1</math> et <math>z_2</math> sont solutions de l'équation <math>\scriptstyle az^2+bz+c=0</math>, alors <math>\scriptstyle z_1+z_2=\frac{-b}a</math> et <math>\scriptstyle z_1z_2=\frac{c}a</math>
=== Proposition sur la somme et le produit des racines  ===
* Si <math>z_1</math> et <math>z_2</math> sont des nombres complexes dont on connaît la somme <math>S</math> et le produit <math>P</math>. <br />Alors <math>z_1</math> et <math>z_2</math> sont solutions de l'équation <math>z^2 - Sz + P = 0</math>.

== Application des nombres complexes à la géométrie  ==
=== Quelques rappels utiles ... ===
* Soient <math>\scriptstyle A(a),\ B(b),\ M(z)</math> des points de <math>P</math> (avec <math>\scriptstyle M \neq A</math> et <math>\scriptstyle M \neq B</math>)
** <math>\scriptstyle \frac{MA}{MB} \;=\; |\frac{z-a}{z-b}|</math>
** <math>\scriptstyle (\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}) \;=\; \arg(\frac{z-a}{z-b})</math>
** Les points <math>A, B, M</math> sont alignés si et seulement si <math>\scriptstyle \frac{z-a}{z-b} \in \R</math>
=== Transformations usuelles  ===
* L'application <math>\begin{array}{llll} _{\Complex \rightarrow \Complex} \\ ^{z \rightarrow z+b} \end{array}</math> se traduit géométriquement par la '''translation de vecteur''' <math>\scriptstyle Re(b)\vec{i} + Im(b)\vec{j}</math>
* L'application <math>\begin{array}{llll} _{\Complex \rightarrow \Complex} \\ ^{z \rightarrow \bar{z}} \end{array}</math> se traduit géométriquement par la '''symétrie d'axe (Ox)'''.
* L'application <math>\begin{array}{llll} _ {\Complex \rightarrow \Complex} \\ ^{z \rightarrow az} \end{array}</math> se traduit géométriquement par la transformation <math>\scriptstyle M \rightarrow M'</math> avec : <math>\textstyle \begin{cases} OM' = |a| \cdot OM \\ (\vec{i},\overrightarrow{OM'}) = (\vec{i},\overrightarrow{OM}) + \arg(a) ~[2\pi] \end{cases}</math>
* L'application <math>\begin{array}{llll} _ {\Complex \rightarrow \Complex} \\ ^{z \rightarrow az+b} \end{array}</math> se traduit géométriquement par la transformation <math>\scriptstyle M \rightarrow M'</math> où : <math>\textstyle \overrightarrow{\Omega M'} = |a| \cdot e^{i \arg(a)} \overrightarrow{\Omega M}</math> <small>(où <math>\Omega</math> est l''''unique point fixe''' d'affixe <math>\scriptstyle \omega = \frac{b}{1-a}</math>)</small> <br />Cette transformation est appelée '''similitude directe''' de centre <math>M</math>, d'angle <math>\arg(a)</math> et de rapport <math>|a|</math>.
=== Notion de disque  ===
* Le '''disque ouvert''' de centre <math>a</math> et de rayon <math>r</math> est : <math>\scriptstyle D(a,r) \;=\; \{z\in\Complex \;/\; |z-a|<r\}</math>
* Le '''disque fermé''' de centre <math>a</math> et de rayon <math>r</math> est : <math>\scriptstyle D'(a,r) \;=\; \{z\in\Complex \;/\; |z-a| \leqslant r\}</math>
=== Expression avancée du scalaire de deux vecteurs  ===
* Soient <math>\scriptstyle \vec{u}(a)</math> et <math>\scriptstyle \vec{v}(b)</math> des vecteurs de <math>P</math>, alors on a : <math>\scriptstyle \vec{u} \cdot \vec{v} \;=\; Re(a\bar{b})</math>
* Soient <math>\scriptstyle A(a),\ B(b),\ M(z)</math> des points de <math>P</math>, alors les vecteurs <math>\scriptstyle \overrightarrow{MA}</math> et <math>\scriptstyle \overrightarrow{MB}</math> sont orthogonaux si et seulement si : <math>\scriptstyle Re((z-a)(\bar{z}-\bar{b}))=0</math>
=== Racines de l'unité  ===
* L'ensemble des racines <math>n</math><sup>ièmes</sup> de l'unité forme un polygone régulier à <math>n</math> côtés <small>(racines cubiques : triangle ; racines 4{{e}} : carré ; ...)</small>