Voir la source de Modélisation Mixte Harmonique Hyperbolique par 5 ou 7 points

: Soit 5 couples <math>(x_i,y_i), i(-2,-1,0,+1,+2)</math>
: Puis soit 7 couples <math>(x_i,y_i), i(-3,-2,-1,0,+1,+2,+3 )</math>
La mission consiste, si vous l'acceptez, à déterminer une fonction qui répond, soit exactement, soit au mieux au sens de la régression, à ces données.   



Possibilités , parmi d'autres à trouver : 

______________________________________________________________________________________________ <center> 1ere forme de modèle : <math>y_i = y_0 + S*sinhh( \omega_s*i) +C*(1-coshh( \omega_c*i )) </math> </center>
: hh signifie que la fonction sin ou cos peuvent être selon les calculs harmonique ou hyperbolique
::<math>\begin{cases}
y_{-2} = y_0 + S*sinhh( \omega_s*-2) +C*(1-coshh( \omega_c*-2 ))\\
y_{-1} = y_0 + S*sinhh( \omega_s*-1) +C*(1-coshh( \omega_c*-1 ))\\
y_{+1} = y_0 + S*sinhh( \omega_s*+1) +C*(1-coshh( \omega_c*+1 ))\\
y_{+2} = y_0 + S*sinhh( \omega_s*+2) +C*(1-coshh( \omega_c*+2 ))
\end{cases}</math> D'où
::<math>\begin{cases}
y_{+2}+y_{-2} = 2*y_0 +C*(1-coshh(\omega_c*2))\\
y_{+1}+y_{-1} = 2*y_0 +C*(1-coshh(\omega_c*1))
\end{cases}</math>
::<math>\begin{cases}
y_{+2}-y_{-2} = S*sinhh(\omega_s*2)\\
y_{+1}-y_{-1} = S*sinhh(\omega_s*1)
\end{cases}</math>
::Plus rapide et plus stylé consiste à dire que tout échantillonnage peut se décomposer en une somme d'un échantillonnage pair et d'un échantillonnage impair
::Ce qui donne ici <center><math>(x_i,y_i) = (x_i,\frac{y_i+y_{-i}}{2})+(x_i,\frac{y_i-y_{-i}}{2})</math></center>
<center> Soit </center>
<center><math>\begin{cases}
\frac{y_{+2}-y_{-2}}{2} = S*sinhh(\omega_s*2)\\
\frac{y_{+1}-y_{-1}}{2} = S*sinhh(\omega_s*1)
\end{cases}</math>:ET:<math>\begin{cases}
\frac{y_{+2}+y_{-2}}{2} = y_0 +C*(1-coshh(\omega_c*2))\\
\frac{y_{+1}+y_{-1}}{2} = y_0 +C*(1-coshh(\omega_c*1))
\end{cases}</math>
 :D'où l'on déduit par calculie les cosinus harmonique ou hyperbolique de ws et wc puis S et C 
</center>________________________________________________________________________________________________<center> 2eme forme de modèle : <math>y_i = y_0 + e^{-kx^2}*(S*sinhh( \omega*x) +C*(1-coshh( \omega*x )) </math><math>\begin{cases}
y_{-2} = y_0 + e^{-k4}*(S*sin( \omega*-2) +C*(1-cos( \omega*2)) \\
y_{-1} = y_0 + e^{-k1}*(S*sin( \omega*-1) +C*(1-cos( \omega*1)) \\
y_{+1} = y_0 + e^{-k1}*(S*sin( \omega*+1) +C*(1-cos( \omega*1)) \\
y_{+2} = y_0 + e^{-k4}*(S*sin( \omega*+2) +C*(1-cos( \omega*2))
\end{cases}</math> </center>
<center> OU </center>
<center> 3ème forme cas particulier de la 2ème : <math>y_i = y_0 + Ke^{-kx^2}*(sinhh( \omega_s*x) +(1-coshh( \omega_c*x )) </math><math>\begin{cases}
y_{-2} = y_0 + Ke^{-k4}*(sin( \omega_s*-2) +(1-cos( \omega_c*2)) \\
y_{-1} = y_0 + Ke^{-k1}*(sin( \omega_s*-1) +(1-cos( \omega_c*1)) \\
y_{+1} = y_0 + Ke^{-k1}*(sin( \omega_s*+1) +(1-cos( \omega_c*1)) \\
y_{+2} = y_0 + Ke^{-k4}*(sin( \omega_s*+2) +(1-cos( \omega_c*2))
\end{cases}</math> Sans oublier dans les deux formes les formes hybrides e*sinhh et coshh , sinhh et e*coshh

OU

Toute combinaison d'une fonction paire t d'une fonction impaire avec 5 inconnues en tout,y0 comptant pour 1 . Des combinaisons à n'en plus finir , ce qui amène à des test de présélection
</center>_________________________________________________________________________________________________<center> Puis au -delà , par exemple si on souhaite n'avoir que des harmoniques, et avec 7 couples de données </center>
<center> <math>y_{t} = y_0 + e^{-k_st^2}*Asin(\omega_s*t) +e^{-k_ct^2}*B(1-cos( \omega_c*t)) </math> </center>
<center> <math>\begin{cases}
y_{-2} = y_0 + e^{-4k_s}*Asin(\omega_s*-2) +e^{-4k_c}*B(1-cos( \omega_c*2)) \\
y_{-1} = y_0 + e^{-k_s}*Asin(\omega_s*-1) +e^{-k_c}*B(1-cos( \omega_c*1)) \\
y_{+1} = y_0 + e^{-k_s}*Asin(\omega_s*+1) +e^{-k_c}*B(1-cos( \omega_c*1)) \\
y_{+2} = y_0 + e^{-4k_s}*Asin(\omega_s*+2) +e^{-4k_c}*B(1-cos( \omega_c*2))
\end{cases}</math> </center>

<center> _____________________________________________________________ </center>
<center> <math> y_i = y_0 + (1-e^{-k_sx^2})*Asin( \omega_s*x) +(1-e^{-k_cx^2})*Bcos( \omega_c*x ) </math> <math>\begin{cases}
y_{-2} = y_0 - (1-e^{-4k_s})*Asin(\omega_s*2) + (1-e^{-4k_c})*Bcos( \omega_c*2) \\
y_{-1} = y_0 - (1-e^{-k_s})*Asin(\omega_s*1) + (1-e^{-k_c})*B(1-cos( \omega_c*1)) \\
y_{+1} = y_0 + (1-e^{-k_s}=*Asin(\omega_s*+1) + (1-e^{-k_c})*B(1-cos( \omega_c*1)) \\
y_{+2} = y_0 + (1-e^{-4k_s})*Asin(\omega_s*2) + (1-e^{-4k_c})*Bcos( \omega_c*2)
\end{cases}</math> 
</center><center><center> _________________________________________________________________________ </center>
<center> <math>  y_i = y_0 + Ax^{2k}e^{-k_ax^2}+B x^{2h+1}e^{-k_bx^2}</math><math>\begin{cases}
y_{-2} = y_0 + Ax^{2k}e^{-k_a4}-Bx^{2k+1}e^{-k_b4}\\
y_{-1} = y_0 + Ax^{2k}e^{-k_a1}-Bx^{2k+1}e^{-k_b1}\\
y_{+1} = y_0 + Ax^{2k}e^{-k_a1}+Bx^{2k+1}e^{-k_b1}\\
y_{+2} = y_0 + Ax^{2k}e^{-k_a4}+Bx^{2k+1}e^{-k_b4}
\end{cases}</math> En faisant successivement k&h=1,2,3....pour 5 données et en testant 

<center> ___________________________________________________________________________ </center>
<center> <math>  y_i = y_0 + Ax^{2k}(1-e^{-k_ax^2})+B x^{2h+1}(1-e^{-k_bx^2})</math><math>\begin{cases}
y_{-2} = y_0 + Ax^{2k}(1-e^{-k_a4})-Bx^{2k+1}(1-e^{-k_b4})\\
y_{-1} = y_0 + Ax^{2k}(1-e^{-k_a1})-Bx^{2k+1}(1-e^{-k_b1})\\
y_{+1} = y_0 + Ax^{2k}(1-e^{-k_a1})+Bx^{2k+1}(1-e^{-k_b1})\\
y_{+2} = y_0 + Ax^{2k}(1-e^{-k_a4})+Bx^{2k+1}(1-e^{-k_b4})
\end{cases}</math> En faisant successivement k&h=1,3,5....pour 5 données et en testant 

OU 

Toute combinaison de fonction paire et de fonction impaire avec 7 inconnues en tout 
</center>