Modélisation Mixte Harmonique Hyperbolique par 5 ou 7 points

Soit 5 couples $(x_i,y_i),i(-2,-1,0,+1,+2)$

Puis soit 7 couples $(x_i,y_i),i(-3,-2,-1,0,+1,+2,+3)$

La mission consiste, si vous l'acceptez, à déterminer une fonction qui répond, soit exactement, soit au mieux au sens de la régression, à ces données.

Possibilités , parmi d'autres à trouver :

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1ere forme de modèle : $y_i=y_0+S\ast sinhh({\omega }_s\ast i)+C\ast (1-coshh({\omega }_c\ast i))$

hh signifie que la fonction sin ou cos peuvent être selon les calculs harmonique ou hyperbolique

$\{\begin{array}{c}{y}_{-2}=y_0+S\ast sinhh({\omega }_s\ast -2)+C\ast (1-coshh({\omega }_c\ast -2))\\ y_{-1}=y_0+S\ast sinhh({\omega }_s\ast -1)+C\ast (1-coshh({\omega }_c\ast -1))\\ y_{+1}=y_0+S\ast sinhh({\omega }_s\ast +1)+C\ast (1-coshh({\omega }_c\ast +1))\\ y_{+2}=y_0+S\ast sinhh({\omega }_s\ast +2)+C\ast (1-coshh({\omega }_c\ast +2))\end{array}$ D'où

$\{\begin{array}{c}{y}_{+2}+y_{-2}=2\ast y_0+C\ast (1-coshh({\omega }_c\ast 2))\\ y_{+1}+y_{-1}=2\ast y_0+C\ast (1-coshh({\omega }_c\ast 1))\end{array}$

$\{\begin{array}{c}{y}_{+2}-y_{-2}=S\ast sinhh({\omega }_s\ast 2)\\ y_{+1}-y_{-1}=S\ast sinhh({\omega }_s\ast 1)\end{array}$

Plus rapide et plus stylé consiste à dire que tout échantillonnage peut se décomposer en une somme d'un échantillonnage pair et d'un échantillonnage impair

Ce qui donne ici $(x_i,y_i)=(x_i,\frac{y_i+y_{-i}}{2})+(x_i,\frac{y_i-y_{-i}}{2})$

Soit $\{\begin{array}{c}\frac{y_{+2}-y_{-2}}{2}=S\ast sinhh({\omega }_s\ast 2)\\ \frac{y_{+1}-y_{-1}}{2}=S\ast sinhh({\omega }_s\ast 1)\end{array}$:ET:$\{\begin{array}{c}\frac{y_{+2}+y_{-2}}{2}=y_0+C\ast (1-coshh({\omega }_c\ast 2))\\ \frac{y_{+1}+y_{-1}}{2}=y_0+C\ast (1-coshh({\omega }_c\ast 1))\end{array}$

:D'où l'on déduit par calculie les cosinus harmonique ou hyperbolique de ws et wc puis S et C 

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2eme forme de modèle : $y_i=y_0+e^{-k{x}^2}\ast (S\ast sinhh(\omega \ast x)+C\ast (1-coshh(\omega \ast x))$$\{\begin{array}{c}{y}_{-2}=y_0+e^{-k4}\ast (S\ast sin(\omega \ast -2)+C\ast (1-cos(\omega \ast 2))\\ y_{-1}=y_0+e^{-k1}\ast (S\ast sin(\omega \ast -1)+C\ast (1-cos(\omega \ast 1))\\ y_{+1}=y_0+e^{-k1}\ast (S\ast sin(\omega \ast +1)+C\ast (1-cos(\omega \ast 1))\\ y_{+2}=y_0+e^{-k4}\ast (S\ast sin(\omega \ast +2)+C\ast (1-cos(\omega \ast 2))\end{array}$ OU 3ème forme cas particulier de la 2ème : $y_i=y_0+K{e}^{-k{x}^2}\ast (sinhh({\omega }_s\ast x)+(1-coshh({\omega }_c\ast x))$$\{\begin{array}{c}{y}_{-2}=y_0+K{e}^{-k4}\ast (sin({\omega }_s\ast -2)+(1-cos({\omega }_c\ast 2))\\ y_{-1}=y_0+K{e}^{-k1}\ast (sin({\omega }_s\ast -1)+(1-cos({\omega }_c\ast 1))\\ y_{+1}=y_0+K{e}^{-k1}\ast (sin({\omega }_s\ast +1)+(1-cos({\omega }_c\ast 1))\\ y_{+2}=y_0+K{e}^{-k4}\ast (sin({\omega }_s\ast +2)+(1-cos({\omega }_c\ast 2))\end{array}$ Sans oublier dans les deux formes les formes hybrides e*sinhh et coshh , sinhh et e*coshh

OU

Toute combinaison d'une fonction paire t d'une fonction impaire avec 5 inconnues en tout,y0 comptant pour 1 . Des combinaisons à n'en plus finir , ce qui amène à des test de présélection

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Puis au -delà , par exemple si on souhaite n'avoir que des harmoniques, et avec 7 couples de données $y_t=y_0+e^{-k_s{t}^2}\ast Asin({\omega }_s\ast t)+e^{-k_c{t}^2}\ast B(1-cos({\omega }_c\ast t))$ $\{\begin{array}{c}{y}_{-2}=y_0+e^{-4k_s}\ast Asin({\omega }_s\ast -2)+e^{-4k_c}\ast B(1-cos({\omega }_c\ast 2))\\ y_{-1}=y_0+e^{-k_s}\ast Asin({\omega }_s\ast -1)+e^{-k_c}\ast B(1-cos({\omega }_c\ast 1))\\ y_{+1}=y_0+e^{-k_s}\ast Asin({\omega }_s\ast +1)+e^{-k_c}\ast B(1-cos({\omega }_c\ast 1))\\ y_{+2}=y_0+e^{-4k_s}\ast Asin({\omega }_s\ast +2)+e^{-4k_c}\ast B(1-cos({\omega }_c\ast 2))\end{array}$ _____________________________________________________________ $y_i=y_0+(1-e^{-k_s{x}^2})\ast Asin({\omega }_s\ast x)+(1-e^{-k_c{x}^2})\ast Bcos({\omega }_c\ast x)$ $\{\begin{array}{c}{y}_{-2}=y_0-(1-e^{-4k_s})\ast Asin({\omega }_s\ast 2)+(1-e^{-4k_c})\ast Bcos({\omega }_c\ast 2)\\ y_{-1}=y_0-(1-e^{-k_s})\ast Asin({\omega }_s\ast 1)+(1-e^{-k_c})\ast B(1-cos({\omega }_c\ast 1))\\ y_{+1}=y_0+(1-e^{-k_s}=\ast Asin({\omega }_s\ast +1)+(1-e^{-k_c})\ast B(1-cos({\omega }_c\ast 1))\\ y_{+2}=y_0+(1-e^{-4k_s})\ast Asin({\omega }_s\ast 2)+(1-e^{-4k_c})\ast Bcos({\omega }_c\ast 2)\end{array}$ _________________________________________________________________________ $y_i=y_0+A{x}^{2k}{e}^{-k_a{x}^2}+B{x}^{2h+1}{e}^{-k_b{x}^2}$$\{\begin{array}{c}{y}_{-2}=y_0+A{x}^{2k}{e}^{-k_{a}4}-B{x}^{2k+1}{e}^{-k_{b}4}\\ y_{-1}=y_0+A{x}^{2k}{e}^{-k_{a}1}-B{x}^{2k+1}{e}^{-k_{b}1}\\ y_{+1}=y_0+A{x}^{2k}{e}^{-k_{a}1}+B{x}^{2k+1}{e}^{-k_{b}1}\\ y_{+2}=y_0+A{x}^{2k}{e}^{-k_{a}4}+B{x}^{2k+1}{e}^{-k_{b}4}\end{array}$ En faisant successivement k&h=1,2,3....pour 5 données et en testant ___________________________________________________________________________ $y_i=y_0+A{x}^{2k}(1-e^{-k_a{x}^2})+B{x}^{2h+1}(1-e^{-k_b{x}^2})$$\{\begin{array}{c}{y}_{-2}=y_0+A{x}^{2k}(1-e^{-k_{a}4})-B{x}^{2k+1}(1-e^{-k_{b}4})\\ y_{-1}=y_0+A{x}^{2k}(1-e^{-k_{a}1})-B{x}^{2k+1}(1-e^{-k_{b}1})\\ y_{+1}=y_0+A{x}^{2k}(1-e^{-k_{a}1})+B{x}^{2k+1}(1-e^{-k_{b}1})\\ y_{+2}=y_0+A{x}^{2k}(1-e^{-k_{a}4})+B{x}^{2k+1}(1-e^{-k_{b}4})\end{array}$ En faisant successivement k&h=1,3,5....pour 5 données et en testant

OU

Toute combinaison de fonction paire et de fonction impaire avec 7 inconnues en tout