Voir la source de Mathématiques en terminale générale/Examen/Bac S math France 2007

{{Examen
  | titre     = Baccalauréat série S
  | idfaculté = mathématiques
  | niveau    = 13
  | lieu      = France
  | épreuve   = Mathématiques
  | date      = juin 2007
  | durée     = 4 heures
}}


== Sujet ==
Pour télécharger le sujet de cette épreuve, [http://maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/ProblemesBac/2007/BacS_Juin2007_Specialite_Enonce.pdf cliquer sur ce lien].

== Corrigé des exercices 1, 2 et 5 ==
Pour un corrigé de tous les exercices, [http://maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/ProblemesBac/2007/BacS_Juin2007_Specialite_Corrige.pdf cliquer sur ce lien].
=== Exercice 1 ===
Voir [[Produit scalaire dans l'espace/Exercices/Exercices#Exercice 2]].

=== Exercice 2 ===

==== Question 1 ====
Voir [[Intégration de Riemann/Intégrale et primitives#Intégration par parties]].

{{citation|titre=Points importants de la démonstration|contenu=
* Comme toute démonstration où l'énoncé n'introduit pas explicitement les éléments à manipuler, il faut commencer par présenter les éléments de travail par '''Soient <math>u</math> et <math>v</math>'''…
* Avant d'intégrer une relation, il faut bien écrire qu'elle est valable sur tout l'intervalle sur lequel on va intégrer :<br />pour tout <math>t\in[a,b],~(uv)'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)</math>.
* Bien sûr, '''ne pas oublier de conclure'''.}}

==== Question 2 ====
===== a =====
On va intégrer <math>I</math> par parties de deux façons.

On choisit d'abord de poser sur l'intervalle <math>[0,\pi]</math> les fonctions <math>u</math> et <math>v</math> telles que :
*<math>u':=\exp</math>, de primitive (par exemple) <math>u:=\exp</math> ;
*<math>v:=\sin</math>, de dérivée <math>v'=\cos</math>.

Les fonctions <math>u</math> et <math>v</math> sont bien dérivables à dérivée continue sur l'intervalle <math>[0,\pi]</math>. On peut donc appliquer la formule d'intégration par parties :
:<math>\begin{align}
I&=\int_0^\pi u'(x)v(x)\,\mathrm dx\\
&=[uv]_0^\pi-\int_0^\pi u(x)v'(x)\,\mathrm dx\\
&=u(\pi)\times0-u(0)\times0-\int_0^\pi\operatorname e^x\cos x\,\mathrm dx\\
&=-J.
\end{align}</math>

{{citation|titre=Point à ne pas omettre avant le calcul|contenu=
Dans cette démonstration, le point-clé est l’application de la formule d'intégration par parties. Il faut bien '''expliciter l'hypothèse-phare''' de ce théorème avant de dérouler les calculs, à savoir :
:'''Les fonctions <math>u</math> et <math>v</math> doivent être dérivables à dérivée continue sur l'intervalle d'intégration.'''
}}

De même, en posant :
*<math>u':=\sin</math>, de primitive (par exemple) <math>u:=-\cos</math> ;
*<math>v:=\exp</math>, de dérivée <math>v'=\exp</math>,
on obtient :
:<math>\begin{align}
I&=-\cos\pi\times\operatorname e^\pi-(-\cos0)\times\operatorname e^0-\int_0^\pi\operatorname e^x(-\cos x)\,\mathrm dx\\
&=\operatorname e^\pi+1+J.
\end{align}</math>

===== b =====
<math>-J=I=\operatorname e^\pi+1+J</math> donc <math>J=-\frac{e^\pi+1}2</math> et <math>I=\frac{e^\pi+1}2</math>.

=== Exercice 5 ===

==== Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe C ====

===== Question 1 =====
Soient <math>u,v:\left]-1,+\infty\right[\to\R</math> définies par
:<math>v(x)=1+x</math> et <math>u=\ln v</math>.
Alors (pour tout <math>x>-1</math>)
:<math>v'(x)=1</math> et <math>u'(x)=\frac{v'(x)}{v(x)}=\frac1{1+x}</math> donc
:<math>\begin{align}f'(x)&=1-\frac{\frac1{1+x}(1+x)-\ln(1+x)}{(1+x)^2}\\
&=\frac{(1+x)^2-1+\ln(1+x)}{(1+x)^2}.
\end{align}</math>

===== Question 2 =====
* <math>x\mapsto (1+x)^2</math> est strictement croissante sur <math>\left]-1,+\infty\right[</math> ;
* <math>x\mapsto \ln(1+x)</math> est strictement croissante sur <math>\left]-1,+\infty\right[</math> ;
* La somme de deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante.
Donc <math>N</math> est strictement croissante sur <math>\left]-1,+\infty\right[</math>.

<math>N(0)=1^2-1+\ln(1)=0</math>.

Par conséquent, <math>N</math> est strictement négative sur <math>\left]-1,0\right[</math> et strictement positive sur <math>\left]0,+\infty\right[</math>. Puisque <math>f'(x)=\frac{N(x)}{(1+x)^2}</math> est du même signe, on en déduit le tableaux de variations suivant pour <math>f</math> :
:<math>\begin{array}{c||cccccc|}
x&-1&&&0&&+\infty\\
\hline
\text{Signe de }f'(x)&\|&&-&0&+&\\
\hline
&\|&+\infty&&&&+\infty\\
f(x)&\|&&\searrow&&\nearrow&\\
&\|&&&0&&&\\
\hline
\end{array}
</math>

===== Question 3 =====

Soit <math>x\in\left]-1,+\infty\right[</math>.
:<math>\begin{align}
f(x)=x &\Leftrightarrow x-\frac{\ln(1+x)}{1+x}=x\\
&\Leftrightarrow \frac{\ln(1+x)}{1+x}=0\\
&\Leftrightarrow \ln(1+x)=0\\
&\Leftrightarrow 1+x=1\\
&\Leftrightarrow x=0.
\end{align}</math>

L'unique point d'intersection de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math> est donc l'origine du repère : <math>O(0,0)</math>.

==== Partie B : Étude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction {{formule|''f''}} ====

===== Question 1 =====
<math>f</math> est croissante sur <math>\left[0,+\infty\right[</math> donc
:<math>0\le x\le 4\Rightarrow f(0)\le f(x)\le f(4)\Rightarrow0\le f(x)\le4-\frac{\ln5}5\Rightarrow0\le f(x)<4</math>.

===== Question 2 =====

====== a ======
[[Fichier:Bac S 2007 Métropole Mathématiques Spécialité - Annexe 2.png|thumb|left|upright=2]]
{{clr}}
====== b ======
Montrons par récurrence que pour tout <math>n\in\N</math>, <math>u_n\in\left[0,4\right]</math>.
*Initialisation : <math>u_0=4\in\left[0,4\right]</math>.
*Hérédité : soit <math>n\in\N</math> tel que <math>u_n\in\left[0,4\right]</math>. Alors, d'après la question B.1, <math>u_{n+1}=f(u_n)\in\left[0,4\right]</math>.
Le principe de récurrence permet de conclure.

====== c ======
Pour tout <math>n\in\N</math>, <math>u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=-\frac{\ln(1+u_n)}{1+u_n}\le0</math> car <math>u_n\ge0</math>.

La suite <math>(u_n)</math> est donc décroissante.

====== d ======
Puisque <math>(u_n)</math> est décroissante et minorée (par <math>0</math>), elle converge.

====== e ======
Puisque la suite est récurrente de la forme <math>u_{n+1}=f(u_n)</math> avec <math>f:\left[0,4\right]\to\left[0,4\right]</math> continue,

sa limite est un réel <math>\ell\in\left[0,4\right]</math> tel que <math>f(\ell)=\ell</math>,

c'est-à-dire (d'après la question A.3) : <math>\ell=0</math>.