Voir la source de Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, calcul d'aire et complexes

{{Réforme|2019|https://cache.media.eduscol.education.fr/file/SPE8_MENJ_25_7_2019/90/7/spe246_annexe_1158907.pdf|février 2021|nocat=oui}}
{{Devoir
  | idfaculté = mathématiques
  | cours     = oui
  | numéro    = 17
  | précédent = [[../Exponentielles, intégrales et suites/]]
  | suivant   = [[../Logarithme, fonctions puissances, suites et intégrales/]]
  | niveau    = 13
}}
__TOC__
{{Clr}}
<div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅰ —''' </span></div>

'''1°''' &nbsp;<math>f</math> est la fonction définie par :
:<math>f(x)=\ln(\ln|x|)</math>
:'''a)''' &nbsp;Calcul <math>f(e^k),\,k</math> réel arbitraire strictement positif.
:'''b)''' &nbsp;Étudiez la fonction <math>f</math> (ensemble de définition, parité, sens de variation, limites aux bornes de l'ensemble de définition).
:'''c)''' &nbsp;Tracez la courbe <math>\mathcal{C}</math> représentant <math>f</math> dans un repère orthonormal <math>(O;\,\vec i,\,\vec j)</math> dont l'unité graphique de longueur est '''{{unité|2|{{abréviation|cm|centimètre}}}}'''.
::Précisez, s'ils existent, les points d'interception de <math>\mathcal{C}</math> avec les axes de coordonnées, et les tangentes à <math>\mathcal{C}</math> en ces points.

'''2°''' &nbsp;<math>g</math> et <math>h</math> sont respectivement les fonctions définies par :
:<math>\begin{cases} g(x)=\ln(\ln x) \\ h(x)=\ln(|\ln|x||) \end{cases}</math>
:Précisez leurs ensembles de définition, et tracez, sans autres calculs, leurs représentations graphiques dans <math>(O;\,\vec i,\,\vec j)</math>.


<div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅱ —''' </span></div>

<math>\varphi</math> est la fonction définie par :

<math>\varphi(x)=\frac1{x\ln|x|}</math>.

'''1°''' &nbsp;Calculez <math>\varphi(e^k),\,k</math> réel arbitraire non nul.

'''2°''' &nbsp;Étudiez <math>\varphi</math> et tracez la courbe <math>\Gamma</math> qui représente cette fonction dans <math>(O;\,\vec i,\,\vec j)</math>.

'''3°''' &nbsp;'''a)''' &nbsp;Calculez en '''cm<sup>2</sup>''' l'aire <math>A(\alpha)</math> du domaine limité par <math>\Gamma</math>, l'axe des abscisses et les droites d'équations <math>x=\alpha,\,(\alpha>1),\,x=e</math>.
:'''b)''' &nbsp;Étudiez la limite de <math>\alpha\mapsto A(\alpha)</math> en 1 et en <math>+\infty</math>.

'''4°''' &nbsp;'''a)''' &nbsp;Déterminez graphiquement l'ensemble des points d'intersection de <math>\Gamma</math> avec la première bissectrice des axes de coordonnées (cette bissectrice est la droite d'équation <math>y=x</math>).
:'''b)''' &nbsp;Montrez que <math>\Gamma</math> et la seconde bissectrice (droite d'équation <math>y=-x</math>) sont sans point commun.


<div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅲ —''' </span></div>

On considère la fonction <math>t</math> définie sur une partie de <math>\Complex</math> par :

<math>t(z)=\frac1{z\ln|z|}\qquad</math> (<math>z\in\Complex</math> et <math>|z|</math> est le module de <math>z</math>).

'''1°''' &nbsp;Quel est l'ensemble de définition de <math>t</math> ?

'''2°''' &nbsp;Le plan est muni d'un repère orthonormal direct <math>(O';\,\vec u,\,\vec v)</math>.
:Exprimez le module et un argument de <math>z'=t(z)</math> en fonction de ceux de <math>z</math>. On notera <math>z=re^{i\theta},\,r>0</math>.

'''3°''' &nbsp;On associe à <math>t</math> l'application <math>T</math> du plan dans lui-même qui au point <math>M(z)</math> fait correspondre le point <math>M'\left(t(z)\right)</math>.
:Déterminez les points fixes de <math>T</math>, c'est-à-dire les point <math>M</math> tel que <math>T(M)=M</math>.

'''4°''' &nbsp;Déterminez les points <math>M</math> tels que <math>O',\,M</math> et <math>T(M)</math> soient alignés. (<math>O'</math> est l’origine du repère.)

'''5°''' &nbsp;Quel est l'image de <math>T</math> d'un cercle de centre <math>O'</math> et de rayon <math>r,\,r>0,\,r\neq1</math> ?

{{Corrigé}}


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