Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, calcul d'aire et complexes

— Ⅰ —

1°  $f$ est la fonction définie par :

$f(x)=\ln (\ln |x|)$

a)  Calcul $f(e^k),k$ réel arbitraire strictement positif.

b)  Étudiez la fonction $f$ (ensemble de définition, parité, sens de variation, limites aux bornes de l'ensemble de définition).

c)  Tracez la courbe $𝒞$ représentant $f$ dans un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ dont l'unité graphique de longueur est Modèle:Unité.

Précisez, s'ils existent, les points d'interception de $𝒞$ avec les axes de coordonnées, et les tangentes à $𝒞$ en ces points.

2°  $g$ et $h$ sont respectivement les fonctions définies par :

$\{\begin{array}{c}g(x)=\ln (\ln x)\\ h(x)=\ln (|\ln |x||)\end{array}$

Précisez leurs ensembles de définition, et tracez, sans autres calculs, leurs représentations graphiques dans $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

— Ⅱ —

$\phi$ est la fonction définie par :

$\phi (x)=\frac{1}{x\ln |x|}$.

1°  Calculez $\phi (e^k),k$ réel arbitraire non nul.

2°  Étudiez $\phi$ et tracez la courbe $\mathrm{\Gamma }$ qui représente cette fonction dans $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

3°  a)  Calculez en cm² l'aire $A(\alpha )$ du domaine limité par $\mathrm{\Gamma }$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\alpha ,(\alpha >1),x=e$.

b)  Étudiez la limite de $\alpha \mapsto A(\alpha )$ en 1 et en $+\mathrm{\infty }$.

4°  a)  Déterminez graphiquement l'ensemble des points d'intersection de $\mathrm{\Gamma }$ avec la première bissectrice des axes de coordonnées (cette bissectrice est la droite d'équation $y=x$).

b)  Montrez que $\mathrm{\Gamma }$ et la seconde bissectrice (droite d'équation $y=-x$) sont sans point commun.

— Ⅲ —

On considère la fonction $t$ définie sur une partie de $ℂ$ par :

$t(z)=\frac{1}{z\ln |z|}$ ($z\in ℂ$ et $|z|$ est le module de $z$).

1°  Quel est l'ensemble de définition de $t$ ?

2°  Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O^{\prime };\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

Exprimez le module et un argument de $z^{\prime }=t(z)$ en fonction de ceux de $z$. On notera $z=r{e}^{i\theta },r>0$.

3°  On associe à $t$ l'application $T$ du plan dans lui-même qui au point $M(z)$ fait correspondre le point $M^{\prime }(t(z))$.

Déterminez les points fixes de $T$, c'est-à-dire les point $M$ tel que $T(M)=M$.

4°  Déterminez les points $M$ tels que $O^{\prime },M$ et $T(M)$ soient alignés. ($O^{\prime }$ est l’origine du repère.)

5°  Quel est l'image de $T$ d'un cercle de centre $O^{\prime }$ et de rayon $r,r>0,r\ne 1$ ?

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