Voir la source de Machine à courant continu/Exercices/Fonctionnement d'une MCC

{{Exercice
  | idfaculté = sciences de l'ingénieur
  | numéro    = 1
  | chapitre  = [[../../Fonctionnement d'une MCC/]]
  | niveau    = 12
  | précédent = [[../../|Sommaire]]
}}

== Exercice 1 ==
Un moteur à courant continu est soumis aux essais suivants :

* À vide : 
** Puissance absorbée par l’induit <math>P_0</math> = {{Unité|470|{{Abréviation|W|watt}}}} 
** Vitesse de l’arbre <math>N_0</math> = {{unité|1494|tr||min|-1}}
** Tension d’induit : <math>U_0</math> = 243 V 
* En charge :
** Couple utile <math>C_u</math> = {{Unité|27|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}}
** Vitesse de l’arbre N = {{unité|1440|tr||min|-1}}
** Tension d’induit : U = 243 V

{{BDdebut|titre=Analyse du sujet}}
Un moteur à courant continu est soumis aux essais suivants :
* À vide : '''A vide signifie que le couple résistant (opposé au MCC) est nul => <math>C_r=0</math>'''
** Puissance absorbée par l’induit <math>P_0</math> = {{Unité|470|{{Abréviation|W|watt}}}} '''l'induit correspond à la partie rotor de la machine'''
** Vitesse de l’arbre <math>N_0</math> = {{unité|1494|tr||min|-1}} '''indice 0 parce qu’à vide'''
** Tension d’induit : <math>U_0</math> = 243 V 
{{BDdebut|titre=Commentaire sur l'induit}}
Il y a des fils de cuivre, il y a une force électro-motrice. Pour modéliser cet induit, en mesurant la puissance absorbée par cette partie fil de cuivre induit, le wattmètre indiquerait {{Unité|470|{{Abréviation|W|watt}}}} alors que l’on fonctionne à vide. Le couple résistant donc la puissance mécanique est nulle.
{{BDfin}}
{{BDdebut|titre=Schémas de l'essai à vide}}
À vide : Cela correspond à un couple résistant égal à 0 : <math>C_r</math> = {{Unité|0|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}}

[[Fichier:Couple sur un moteur à courant continu.svg|250px|left]]
Ici, <math>C_m</math> = {{Unité|0|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}} et <math>C_r</math> = {{Unité|0|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}}
{{clr}}

Machine à courant continu avec un couple moteur et un couple résistant nuls si <math>J.\frac {d\Omega}{dt} = 0</math> car <math>C_m - C_r = J.\frac {d\Omega}{dt}</math>

Ici, le terme "à vide" correspond à <math>C_r=0</math>. Ces deux bornes sont les extrémités de l'induit et le sujet nous dit que la tension de l'induit est <math>U_0</math> = 243 V lors de l'essai à vide

[[Fichier:Couple sur un moteur à courant continu avec alimentation.svg|250px|left]]Ici, <math>C_m</math> = {{Unité|0|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}}, <math>C_r</math> = {{Unité|0|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}} et <math>U_0</math> = 243 V
{{clr}}

Remarquons que le courant lors de cet essai à vide <math>I_0</math> pourrait être déterminé car <math>P_0</math> = {{Unité|470|{{Abréviation|W|watt}}}} = <math>U_0 \times I_0</math> puisque nous sommes en continu. Donc lors de l'essai à vide <math>I_0=\frac {470}{243}</math> = 1,93 A
{{BDfin}}


* En charge : '''En charge signifie que le MCC est connecté à une charge mécanique. Il entraîne un récepteur mécanique (ascenseur, tapis roulant, ventilateur, etc)'''
** Couple utile <math>C_u</math> = {{Unité|27|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}} '''Couple utile développé par le moteur lors de l'essai en charge'''
** Vitesse de l’arbre N = {{unité|1440|tr||min|-1}} '''Plus faible que <math>N_0</math> = {{unité|1494|tr||min|-1}} (à vide)'''
** Tension d’induit : U = 243 V '''Identique à l'essai à vide, c'est-à-dire que la batterie qui alimente cet induit n'a pas été modifiée sur son réglage'''

{{BDdebut|titre=Schémas de l'essai en charge}}
En charge : Cela correspond à un couple résistant différent de 0 : <math>C_r</math> ≠ 0 

[[Fichier:Analyse sujet MCC 3.png]]

MCC avec la même tenstion d'induit. Par contre, le couple moteur <math>C_m</math> appelé aussi couple utile <math>C_u</math> est cette fois de {{Unité|27|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}} et non plus 0. Le couple résistant est donc également différent de 0. On symbolise la charge mécanique avec un schéma de treuil avec une masse qui pourrait monter et descendre. Et si cette masse augmente, le couple résistant augmente. Par contre, quelle que soit la vitesse de montée descente, c'est-à-dire quelle que soit la vitesse de rotation de l'arbre moteur <math>\Omega</math>, le couple résistant, ici supposé à {{Unité|27|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}}, ne dépend pas de la vitesse. Ce qui était une des hypothèses du sujet.

Ici on travaille à vitesse stabilisée. C'est-à-dire que l’on suppose <math>C_m=C_r</math> pas de variation de vitesse. Ou si variation de vitesse il y a, on n'étudie pas les phases pendant lesquelles la vitesse change.
{{BDfin}}
{{BDfin}}

Calculer le couple de perte <math>C_p</math>, correspondant aux pertes fer et mécanique. On négligera pour cette question les pertes cuivre induit dans l’essai à vide.

{{BDdebut|titre=Analyse de la question}}

Le couple utile (ou couple moteur) sur l'arbre disponible n’est pas celui qui est développé au cœur de la machine. Il y a entre le couple développé au cœur et le couple utile sur l'arbre, des pertes (par exemple des frottements). Si on développe au cœur de la machine un couple de {{Unité|10|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}} et que les frottements sont de {{Unité|2|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}}, il reste pour l'utilisateur un couple utile (ou couple moteur) <math>C_u</math> = 10 - 2 = {{Unité|8|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}}.

Négliger les pertes cuivre revient à négliger l'échauffement du fil de cuivre de l'induit Ri².

{{BDfin}}

{{BDdebut|titre=Solution}}
Le sujet nous suggère de considérer l'essai à vide. On va donc essayer de faire un bilan des puissances dans cet essai à vide. 

La puissance des {{Unité|470|{{Abréviation|W|watt}}}} correspond au produit <math>U_0\times I_0</math>. Ces {{Unité|470|{{Abréviation|W|watt}}}}-là, ceux sont ceux électriques, fournis par la batterie, et qui rentrent sur l'induit du MCC

[[Fichier:Réponse MCC 1.png]]

Il y a une partie échauffement sous forme <math>R . I_0^2</math> qui correspond (sur le schéma de droite) à la perte par effet Joule de la résistance. La différence correspond donc ici au produit <math>E_0 . I_0</math>

[[Fichier:Réponse MCC 2.png]] [[Fichier:Réponse MCC 5.png]]

C'est ce qui correspond à la puissance développée sous forme de <math>C_em . \Omega </math>. Le couple électromagnétique multiplié par la vitesse de rotation.

[[Fichier:Réponse MCC 3.png]]

Ici, le couple utile étant nul alors <math>C_u . \Omega =0</math>. Autrement dit il ne reste uniquement le couple de perte (les frottements) fois la vitesse : <math>C_p . \Omega </math>. Ce sont ces frottements fois la vitesse qui consomme de l'énergie que la machine est obligée de produire pour vaincre ces frottements. 

[[Fichier:Réponse MCC 4.png]]

Cette première partie du bilan des puissance aurait pu être retrouvé par une loi des mailles :

<math>U_0=R \times I_0 + E_0</math> (<math>E_0</math> est la force électromotrice à vide)

<math>U_0 \times I_0=R \times I_0^2 + E_0 \times I_0</math>

<math>E_0 \times I_0 = C_{em} \times \Omega = C_p \times \Omega</math> (car <math>C_u</math>=0 : à vide)


On a donc, en négligeant <math>R \times I_0^2</math>: 

<math>U_0 \times I_0 = C_p \times \Omega</math> d'où <math>C_p = \frac {470}{1494 \times \frac{\pi}{30}}</math> = {{Unité|3|{{Abréviation|Nm|Newton-mètre}}}}

{{BDfin}}

{{Bas de page
  | idfaculté = sciences de l'ingénieur
  | précédent = [[../../|Sommaire]]
}}