Voir la source de Mécanique du solide/Solide indéformable et centre d'inertie

<noinclude>{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 1
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  | niveau    = 15
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== Répartition continue de matière, solide  ==

{{Définition
  | contenu =

* Un solide indéformable est un système de points matériels tel que la distance entre deux points quelconques du système est une constante du temps
* On adopte pour la mécanique du solide le modèle de la répartition continue de matières. 

:Chaque élément <math>\mathrm d\tau</math> de matière contient un nombre infini de points. 

* On définit alors la masse volumique locale au point '''P''' du solide comme : 

<math>\rho(P)=\frac{\mathrm dm}{\mathrm d\tau}(P)</math>
}}

'''Remarques''' : 

* Le solide est ''homogène'' si <math>\rho(P)</math> ne dépend pas de '''P'''.

On adoptera aussi des modèles de répartition continue de matière sur une surface, ou sur une ligne, selon les solides à étudier.

== Masse et centre d'inertie  ==

=== Masse ===

{{Définition
  | contenu =
La masse du solide est l'intégrale de <math>\rho</math> sur tout le solide :

<math>M=\iiint \rho(P)\, \mathrm d \tau</math>
}}

* Si le solide est homogène de volume '''V''', alors <math>M = \rho_0 \times V</math>

=== Centre d'inertie  ===

{{Définition
  | contenu =
 Le centre d'inertie '''G''' du solide est le barycentre des points du solides pondérés par <math>\rho</math>. Il est défini par la formule : 

<math>\iiint \rho(P) \overrightarrow {GP} \, \mathrm d \tau=\overrightarrow {0}</math>}}

En introduisant l'origine '''O''', on obtient facilement la formule suivante pour calculer '''G''' : 

{{Propriété
  | contenu =
<math>\overrightarrow {OG}=\frac{1}{M}\iiint \rho(P) \overrightarrow {OP} \, \mathrm d \tau</math>}}

== Exemples ==

=== Plaque triangulaire homogène  ===

==== Calcul ====
On désire calculer le centre d'inertie d'une plaque triangulaire à répartition surfacique de masse homogène <math>\sigma_0</math>.

On se place dans un repère <math>(A,\vec{i},\vec{j})</math> où :

<div style="text-align: center;">[[Fichier:Center gravity triangular surface.svg|300px]]</div>

<math>\vec{i}=\frac{\vec{AI}}{AI}</math> et <math>\vec{j}=\frac{\vec{BC}}{BC}</math>.

On a alors :

<math>\overrightarrow{AG}=\frac{1}{m}\iint \sigma_0 \overrightarrow{AP} \, \mathrm  dS</math>

On note <math>\theta = (\vec{AI},\vec{BC})</math>. L'aire du triangle vaut : 

<math>S = \frac{AI.BC.sin\theta}{2}</math>

de plus l'élément d'aire vaut : 

<math>dS = dx.dy.sin\theta</math>

donc avec <math>m = S.\sigma_0</math>

on obtient : 

<math>\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC.sin\theta.\sigma_0}\iint \sigma_0 \overrightarrow{AP} \, \mathrm  dx dy sin \theta ,</math>

<math>\overrightarrow{AG}=\frac{2.\sigma_0. sin \theta}{AI.BC.sin\theta.\sigma_0}\iint \overrightarrow{AP} \, \mathrm  dx dy  </math>

<math>\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC}\iint (\vec{AM}+y\vec{j}) \, \mathrm  dx dy  </math>

comme '''M''' est le milieu du segment <math>[NL]</math>, le second terme s'annule :

<math>\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC}\int (NL\times \vec{AM}) \, \mathrm  dx  </math>

Or <math>NL =AM.\frac{BC}{AI}</math> par proportionnalité :

<math>\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI.BC}\int (AM.\frac{BC}{AI}\times \vec{AM}) \, \mathrm  dx  </math>

en écrivant <math>\vec{AM}= x \vec{i}</math>, on obtient :

<math>\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI^2}\int (x^2\times \vec{i}) \, \mathrm  dx  </math>

<math>\overrightarrow{AG}=\frac{2}{AI^2} \times \frac{AI^3}{3}\times \vec{i} </math>

<math>\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \times AI \vec{i} </math>

<math>\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \times  \vec{AI} </math>

==== Remarques ====

* Le centre de gravité d'une plaque triangulaire homogène est donc le même que l'isobarycentre des trois sommets du triangle. 

=== Triangle à répartition linéique de masse sur les côtés  ===

Dans ce cas le calcul intégral est inutile puisque le barycentre de chaque côté est son milieu affecté du poids correspondant à la longueur du côté. Le centre de gravité de ces trois points donne celui du triangle.


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