Voir la source de Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Pendule pesant

{{Exercice
  | titre     = Loi du moment cinétique : Pendule pesant
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | chapitre  = [[../../Loi du moment cinétique : Pendule pesant/]]
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
  | niveau    = 14
}}

== Oscillations d'un pendule dans une voiture qui démarre ==

[[File:Pendule dans une voiture qui démarre.png|thumb|400px|Schéma descriptif d'un pendule pesant dont l'axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math> est lié à une voiture qui démarre avec un vecteur accélération <math>\;\vec{a}_0</math>]]
{{Al|5}}Un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> et de C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G\;</math> peut tourner sans frottements autour d’un axe horizontal <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe"> Simplement noté <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> sur le schéma de profil ci-contre, <math>\;O\;</math> y étant la trace de l'axe.</ref>, fixe dans une voiture, cette dernière définissant le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{voit}}\;</math> du mouvement d'oscillations du solide autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe" /> <math>\;\big[\Delta_O\; \cancel{\ni}\; G\;</math> <math>\Rightarrow</math> « le solide est donc un pendule pesant » et <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> porté par l'axe orientant ce dernier ainsi que les angles algébrisés définis dans le plan de profil du schéma ci-contre<math>\big]</math> ;

{{Al|5}}la voiture étant en phase d'accélération sur route horizontale d'un référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> supposé galiléen avec un vecteur accélération constant <math>\;\vec{a}_0</math>, le pendule pesant <math>\;\bigg[</math>dont le repérage spatial est défini par l'angle algébrisé <math>\;\theta = \widehat{\left( \overrightarrow{Oz}\,,\, \overrightarrow{OG} \right)}\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> la verticale descendante passant par <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>attention sur le schéma <math>\;\theta\;</math> est <math>\;< 0\big)\bigg]\;</math> acquière une nouvelle position d'équilibre relatif repérée par <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> et, si on lui impose un petit écart initial avec lâché sans vitesse initiale, il oscille autour de cette nouvelle position d'équilibre avec une période de petites élongations angulaires<ref name="élongations angulaires petites"> On devrait dire « élongations angulaires petites en valeur absolue » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> <math>\;T</math> ;

{{Al|5}}sachant que le pendule pesant est de moment d'inertie <math>\;J\;</math> par rapport à son axe d'oscillation <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe" /> et notant <math>\;b\;</math> la distance orthogonale séparant cet axe du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déterminer, en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un solide en rotation autour d'un axe mobile dans un référentiel galiléen, l'axe étant en translation dans ce référentiel<ref name="théorème du moment cinétique scalaire relativement à un axe mobile"> Voir la généralisation à un solide du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> :
* l'expression de l'abscisse angulaire <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> de l'équilibre relatif du pendule dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{voit}}\;</math> ainsi que
* {{Al|11}}celle de la période des petites élongations angulaires<ref name="élongations angulaires petites" /> <math>\;T\;</math> du pendule autour de la position d'équilibre précédente.

{{Solution| contenu = [[File:Pendule dans une voiture qui démarre - bis.png|thumb|400px|Bilan des forces extérieures appliquées à un pendule pesant dont l'axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math> est lié à une voiture qui démarre avec un vecteur accélération <math>\;\vec{a}_0</math>]]
{{Al|5}}Les forces extérieures s'exerçant sur le solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> et de C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G</math>, solide pouvant tourner sans frottements autour d’un axe horizontal <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe" />, fixe dans une voiture en phase d'accélération de vecteur accélération constant <math>\;\vec{a}_0\;</math> sur une route horizontale d'un référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> supposé galiléen, la voiture définissant le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{voit}}\;</math> du mouvement d'oscillations du solide autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe" /> <math>\;\big[\Delta_O\; \cancel{\ni}\; G\;</math> <math>\Rightarrow</math> « le solide est donc un pendule pesant » et <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> porté par l'axe orientant ce dernier ainsi que les angles algébrisés définis dans le plan de profil du schéma ci-contre<math>\big]\;</math> sont <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)\;</math>
* le poids du solide <math>\;m\;\vec{g}\;</math> vertical descendant appliqué au C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du solide et
* les réactions de l'axe <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe" /> sur le pendule, réparties sur le pourtour de l'axe et qui, en absence de frottements solides, sont équivalente à une force unique <math>\;\vec{R}\;</math> appliquée en <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe ;
{{Al|5}}l'application du « théorème du moment cinétique scalaire appliqué au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe mobile <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe" /> dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> galiléen, l'axe étant en translation rectiligne de vecteur accélération <math>\;\vec{a}_0\;</math> constant dans ce référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> galiléen »<ref name="théorème du moment cinétique scalaire relativement à un axe mobile" /> nous conduit à <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_O}\!\left( \mathcal{S} \right)}{dt}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta_O}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left(  \mathcal{S},\,t \right)\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans laquelle <br> les grandeurs cinétiques «<math>\;\sigma_{\Delta_O}\!\left( \mathcal{S},\,t \right)\;</math> et <math>\;\vec{P}\!\left(  \mathcal{S},\,t \right)\;</math>» sont définies dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> galiléen <br>ainsi que la grandeur cinématique «<math>\;\vec{V}_{\Delta_O}(t) = \vec{a}_0\;t + \vec{V}_{\Delta_O}(0)\;</math>» définissant le vecteur vitesse de translation de <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe" /> ;</center>
{{Al|5}}la résultante cinétique <math>\;\vec{P}\!\left(  \mathcal{S},\,t \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> étant liée au vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> selon «<math>\;\vec{P}\!\left(  \mathcal{S},\,t \right) = m\;\vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{terr}}}(G,\, t)\;</math>», le 2<sup>ème</sup> terme du 2<sup>nd</sup> membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> se réécrit «<math>\;A = \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta_O}(t) \right] \cdot m\;\vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{terr}}}(G,\, t)\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire<ref name="invariance d'un produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit mixte de trois vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] remarque) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;A = \left[ \vec{V}_{\Delta_O}(t) \wedge m\;\vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{terr}}}(G,\, t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \left[ \vec{V}_{\Delta_O}(t) \wedge m\;\dfrac{d \overrightarrow{O'G}}{dt}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» avec <math>\;O'\;</math> l'origine des repérages dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math> <math>\;\big(</math>choisie coïncidant avec <math>\;O \in \Delta_O\;</math> à <math>\;t = 0\big)</math>, ce qui, en tenant compte de «<math>\;\dfrac{d\! \left[ \vec{V}_{\Delta_O} \wedge \overrightarrow{O'G} \right]}{dt}(t) = \dfrac{d \vec{V}_{\Delta_O}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{O'G}(t) + \vec{V}_{\Delta_O} \wedge \dfrac{d \overrightarrow{O'G}}{dt}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_{\Delta_O} \wedge \dfrac{d \overrightarrow{O'G}}{dt}(t) = \overrightarrow{O'G}(t) \wedge \vec{a}_0 - \dfrac{d\! \left[ \overrightarrow{O'G} \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right]}{dt}(t)\;</math>» permet de réécrire {{Nobr|«<math>\;A =</math>}} <math>\left[ \vec{V}_{\Delta_O}(t) \wedge m\;\vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{terr}}}(G,\, t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta =</math> <math>\left[ \overrightarrow{O'G}(t) \wedge m\;\vec{a}_0 \right] \cdot \vec{u}_\Delta - \left\lbrace \dfrac{d\! \left[ m\;\overrightarrow{O'G} \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right]}{dt}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}d'où la réécriture de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O,\,\text{ext}}(t) - \left[ \overrightarrow{O'G}(t) \wedge m\;\vec{a}_0 \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_O}\!\left( \mathcal{S} \right)}{dt}(t) - \left\lbrace \dfrac{d\! \left[ m\;\overrightarrow{O'G} \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right]}{dt}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>» ;

{{Al|5}}le {{1er}} terme du {{1er}} membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> s'explicite en «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O,\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta_O}(m\;\vec{g},\,t)\;\cancel{ +\; \mathcal{M}_{\Delta_O}(\vec{R},\,t)} = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»,

{{Al|5}}le 2<sup>nd</sup> terme du {{1er}} membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> {{Transparent|s'explicite }} en «<math>\;- \left[ \overrightarrow{O'G}(t) \wedge m\;\vec{a}_0 \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \cancel{ - \left[ \overrightarrow{O'O}(t) \wedge m\;\vec{a}_0 \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;} - \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{a}_0 \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» <math>\;\Big[</math>le {{1er}} terme du 2<sup>ème</sup> membre étant nul car <math>\;\overrightarrow{O'O}(t)\;</math> et <math>\;\vec{a}_0\;</math> sont colinéaires puisque <math>\;O\;</math> est fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{voit}}\;</math> lequel a un mouvement de translation rectiligne relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\Big]</math>,

{{Al|5}}le {{1er}} terme du 2<sup>ème</sup> membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> est la dérivée temporelle, calculée dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>, de «<math>\;\sigma_{\Delta_O}\!\left( \mathcal{S},\,t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\mathcal{S}} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{terr}}}(M,\, t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;d \tau_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrale_volumique|les deux types d'intégrale volumique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\;d \tau_M\;</math> est le volume de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant le point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique du solide au point <math>\;M\;</math> et enfin 

{{Al|5}}le 2<sup>nd</sup> terme du 2<sup>ème</sup> membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> «<math>\;- \left\lbrace \dfrac{d\! \left[ m\;\overrightarrow{O'G} \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right]}{dt}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» se réécrit sous forme de dérivée temporelle, calculée dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>, de «<math>\;B = -\left[ m\;\overrightarrow{O'G} \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>car <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est constant<math>\big)\;</math> ou, en utilisant la propriété liant les vecteurs position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. et du point générique <math>\;m\;\overrightarrow{O'G}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\mathcal{S}} \mu(M)\;\overrightarrow{O'M}(t)\;d \tau_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <math>\;d \tau_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> ont les mêmes définitions que précédemment, «<math>\;B = -\left\lbrace \left[ \;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\mathcal{S}} \mu(M)\;\overrightarrow{O'M}(t)\;d \tau_M \right] \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta = -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\mathcal{S}} \left[ \mu(M)\;\overrightarrow{O'M}(t) \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;d \tau_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /><math>\;\big(\vec{V}_{\Delta_O}\;</math> et <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant indépendantes de <math>\;M\;</math> peuvent entrer dans l'intégrale<math>\big)\;</math> soit encore  «<math>\;B = -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\mathcal{S}} \left\lbrace \mu(M)\, \left[ \overrightarrow{O'O}(t) + \overrightarrow{OM}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;d \tau_M = \cancel{-\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\mathcal{S}} \left[ \mu(M)\; \overrightarrow{O'O}(t) \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;d \tau_M}\; - \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\mathcal{S}} \left[ \mu(M)\; \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;d \tau_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Big[</math>le {{1er}} terme du 2<sup>ème</sup> membre étant nul car <math>\;\overrightarrow{O'O}(t)\;</math> et <math>\;\vec{V}_{\Delta_O}\;</math> sont colinéaires puisque <math>\;O\;</math> est fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{voit}}\;</math> lequel a un mouvement de translation rectiligne relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\Big]</math> ;

{{Al|5}}finalement le 2<sup>èms</sup> membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> est la dérivée temporelle, calculée dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>, de «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\mathcal{S}} \left\lbrace \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M) \left[ \vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{terr}}}(M,\, t) - \vec{V}_{\Delta_O} \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;d \tau_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ou, en utilisant la loi de composition des vitesses dans le cas d'un changement de référentiels en translation l'un par rapport à l'autre «<math>\;\vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{terr}}}(M,\, t) = \vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{voit}}}(M,\, t) + \vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{terr}}}(\mathcal{R}_{\text{voit}},\, t)\;</math><ref name="loi de composition des vitesses dans le cas d'un entraînement de translation"> La démonstration est donnée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Loi_de_composition_des_vecteurs_vitesses_dans_le_cas_où_les_deux_référentiels_sont_en_translation_l'un_par_rapport_à_l'autre|loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; cette loi s'énonce encore : <br>{{Al|3}}le vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> dans un référentiel « absolu » <math>\;\mathcal{R}_a</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire le vecteur vitesse absolue de <math>\;M\;</math> encore noté <math>\;\vec{V}_{a,\,M}(t)\big]\;</math> s'obtient en ajoutant au vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans un référentiel « d'entraînement » <math>\;\mathcal{R}_e</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> encore noté <math>\;\vec{V}_{r,\,M}(t)\big]\;</math> le vecteur vitesse d’entrainement de translation de <math>\;\mathcal{R}_e\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}_a</math> <math>\;\big[</math>encore appelé vecteur vitesse d'entraînement de <math>\;M\;</math> et noté <math>\;\vec{V}_{e,\,M}(t)\big]</math>.</ref> avec <math>\;\vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{terr}}}(\mathcal{R}_{\text{voit}},\, t) = \vec{V}_{\Delta_O}(t)\;</math>» d'où la réécriture du 2<sup>ème</sup> membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> comme dérivée temporelle de «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\mathcal{S}} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\; \vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{voit}}}(M,\, t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;d \tau_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> c'est-à-dire la dérivée temporelle du « moment cinétique scalaire du solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude lié à la voiture <math>\;\mathcal{R}_{\text{voit}}\;</math>»<ref name="indépendance du référentiel de calcul de dérivée temporelle d'une grandeur scalaire"> On rappelle que la dérivée temporelle d'une grandeur scalaire est indépendante du référentiel dans lequel le calcul est effectué, d'où l'inutilité de préciser ce référentiel et on choisit par la suite le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{voit}}</math> <math>\;\big(</math>non galiléen<math>\big)\;</math> comme référentiel de dérivation temporelle.</ref> «<math>\;\sigma_{\Delta_O,\,/\,\mathcal{R}_{\text{voit}}}\!\left( \mathcal{S},\,t \right)\;</math>» soit le 2<sup>ème</sup> membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> égal à «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_O,\,/\,\mathcal{R}_{\text{voit}}}\!\left( \mathcal{S} \right)}{dt}(t)\;</math>» ;

{{Al|5}}en conclusion la relation «<math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;\;\mathcal{M}_{\Delta_O,\,\text{ext}}(t) - \left[ \overrightarrow{O'G}(t) \wedge m\;\vec{a}_0 \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_O}\!\left( \mathcal{S} \right)}{dt}(t) - \left\lbrace \dfrac{d\! \left[ m\;\overrightarrow{O'G} \wedge \vec{V}_{\Delta_O} \right]}{dt}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» se réécrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O}(m\;\vec{g},\,t) - \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{a}_0 \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \dfrac{d \sigma_{\Delta_O,\,/\,\mathcal{R}_{\text{voit}}}\!\left( \mathcal{S} \right)}{dt}(t)\;</math>» dans lequel <br>«<math>\;- \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{a}_0 \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» peut s'interpréter comme le moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O}(-m\;\vec{a}_0,\,t)\;</math>» relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe" /> d'une <br>« pseudo-force <math>\;-m\;\vec{a}_0\;</math> appliquée au C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», l'intervention de cette dernière étant liée au « caractère non galiléen de <math>\;\mathcal{R}_{\text{voit}}\;</math>», <br>d'où la réécriture de la relation «<math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>» selon «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O}(m\;\vec{g},\,t) + \mathcal{M}_{\Delta_O}(-m\;\vec{a}_0,\,t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta_O,\,/\,\mathcal{R}_{\text{voit}}}\!\left( \mathcal{S} \right)}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>»<ref name="théorème du moment cinétique scalaire dans un référentiel non galiléen en entraînement de translation par rapport à un galiléen"> C.-à-d. la forme du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans un référentiel non galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{non gal}}\;</math> en translation de vecteur accélération d'entraînement <math>\;\vec{a}_{\mathcal{R}_{\text{non gal}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{gal}}}(t)\;</math> par rapport à un galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math> <math>\;\big[</math>théorème hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big]\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) + \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{f}_{in.\,e},\,t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,/\,\mathcal{R}_{\text{non gal}}}\!\left( \mathcal{S} \right)}{dt}(t)\;</math>» dans lequel la grandeur vectorielle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{in.\,e} =</math>}} <math>-m\;\vec{a}_{\mathcal{R}_{\text{non gal}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{gal}}}(t)\;</math> est la pseudo-force d'inertie d'entraînement » appliquée au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> caractérisant l'aspect non galiléen en translation du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{non gal}}</math> <math>\;\big[</math>voir la généralisation à un système fermé de points matériels du paragraphe énonçant le « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Dynamique_du_point_matériel_dans_un_référentiel_non_galiléen#Énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_du_point_applicable_dans_un_référentiel_non_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire du point applicable dans un référentiel non galiléen]] (commentaire) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen|Mécanique du point en référentiel non galiléen]] »<math>\big]</math>.</ref>.</center>
{{Al|5}}Le {{1er}} terme du {{1er}} membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> s'évaluant selon «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O}(m\;\vec{g},\,t) = -m\;g\;b\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>», «<math>\;b\;</math> étant la distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe" /> du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> c'est-à-dire <math>\;b = OG\;</math>» <math>\;\Big\{</math>dans le cas de figure ci-dessus dans lequel <math>\;\theta(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;m\;\vec{g}\;</math> tend à faire tourner le solide dans le sens <math>\;+\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O}(m\;\vec{g},\,t)\;</math> est <math>\;> 0</math>, le bras de levier de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> étant égal à <math>\;b\;\big\vert \sin\! \left[ \theta(t) \right] \big\vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \mathcal{M}_{\Delta_O}(m\;\vec{g},\,t) \vert</math> <math>= m\;g\;b\;\big\vert \sin\! \left[ \theta(t) \right] \big\vert\;</math> d'où, le moment scalaire étant <math>\;> 0\;</math> dans le cas de figure, <math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O}(m\;\vec{g},\,t) = m\;g\;b\;\big\vert \sin\! \left[ \theta(t) \right] \big\vert\;</math> ou, <math>\;\theta(t)\;</math> y étant <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O}(m\;\vec{g},\,t) = m\;g\, \left\lbrace -b\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>», ce résultat restant applicable dans le cas où <math>\;\theta(t)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le moment scalaire de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> étant alors <math>\;< 0\Big\}</math>, 

{{Al|5}}le 2<sup>nd</sup> terme du {{1er}} membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> s'évaluant selon «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O}(-m\;\vec{a}_0,\,t) = -m\;a_0\;b\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>», avec «<math>\;b = OG\;</math>» <math>\;\Big\{</math>dans le cas de figure ci-dessus dans lequel <math>\;\theta(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;-m\;\vec{a}_0\;</math> tend à faire tourner le solide dans le sens <math>\;-\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O}(-m\;\vec{a}_0,\,t)\;</math> est <math>\;< 0</math>, le bras de levier de <math>\;-m\;\vec{a}_0\;</math> étant égal à <math>\;b\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \mathcal{M}_{\Delta_O}(-m\;\vec{a}_0,\,t) \vert =</math> <math>m\;a_0\;b\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> d'où, le moment scalaire étant <math>\;< 0\;</math> dans le cas de figure, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_O}(-m\;\vec{a}_0,\,t) = -m\;a_0\;b\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>», ce résultat restant applicable dans le cas où <math>\;\theta(t)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le moment scalaire de <math>\;-m\;\vec{a}_0\;</math> étant encore <math>\;< 0\;</math><ref> Nous supposons que <math>\;\vert \theta(t) \vert\;</math> reste aigu <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] > 0\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\theta(t)</math>, <math>\;-m\;\vec{a}_0\;</math> appliquée en <math>\;G\;</math> restant horizontal orienté vers la gauche et passant au-dessous de <math>\;O</math>, son moment scalaire reste <math>\;< 0\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\theta(t)</math>.</ref><math>\Big\}\;</math> et

{{Al|5}}le 2<sup>ème</sup> membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> s'évaluant selon «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_O,\,/\,\mathcal{R}_{\text{voit}}}\!\left( \mathcal{S} \right)}{dt}(t) = J\;\ddot{\theta}(t)\;</math>», avec «<math>\;J\;</math> le moment d'inertie du solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_O \right)\;</math><ref name="notation simplifiée de l'axe" /> »,

{{Al|5}}nous en déduisons l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du pendule dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{voit}}\;</math> non galiléen selon <center>«<math>\;-m\;g\;b\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] - m\;a_0\;b\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = J\;\ddot{\theta}(t)\;</math>».</center>
{{Al|5}}En faisant <math>\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> dans l'équation différentielle précédente nous obtenons l'abscisse angulaire de la position d'équilibre du pendule <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> soit «<math>\;-m\;g\;b\;\sin(\theta_{\text{éq}}) - m\;a_0\;b\;\cos(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou, après simplification évidente, «<math>\;g\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = - a_0\;\cos(\theta_{\text{éq}})\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tan(\theta_{\text{éq}}) = -\dfrac{a_0}{g}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\theta_{\text{éq}} = -\arctan\! \left( \dfrac{a_0}{g} \right)\;</math>» valeur négative <br>{{Al|45}}<math>\Downarrow</math> <br>en phase d'accélération de la voiture le pendule acquiert une position d'équilibre inclinée vers l'arrière.</center>
{{Al|5}}Envisageant un petit écart initial du pendule relativement à sa position d'équilibre «<math>\;\varepsilon_0 = \theta_0 - \theta_{\text{éq}}\;</math>» <math>\;\big(</math>petit en valeur absolue<math>\big)\;</math> suivi d'un lâcher sans vitesse initiale, et faisant l'hypothèse que l'écart à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\varepsilon(t)</math>}} <math>= \theta(t) - \theta_{\text{éq}}\;</math>» reste petit en valeur absolue <math>\;\big(</math>hypothèse à vérifier<math>\big)</math>, nous pouvons réécrire l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> en l'équation en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> «<math>\;-m\;g\;b\;\sin\! \left[ \varepsilon(t) + \theta_{\text{éq}} \right] - m\;a_0\;b\;\cos\! \left[ \varepsilon(t) + \theta_{\text{éq}} \right] = J\;\ddot{\varepsilon}(t)\;</math>» ou, en utilisant les formules trigonométriques d'addition, «<math>\;-m\;g\;b\, \left\lbrace \sin\! \left[ \varepsilon(t) \right]\,\cos(\theta_{\text{éq}}) + \cos\! \left[ \varepsilon(t) \right]\,\sin(\theta_{\text{éq}}) \right\rbrace - m\;a_0\;b\, \left\lbrace \cos\! \left[ \varepsilon(t) \right]\,\cos(\theta_{\text{éq}}) - \sin\! \left[ \varepsilon(t) \right]\,\sin(\theta_{\text{éq}}) \right\rbrace = J\;\ddot{\varepsilon}(t)\;</math>» soit, en regroupant différemment les termes de la somme du {{1er}} membre, «<math>\;\left[ -m\;g\;b\;\cos(\theta_{\text{éq}}) + m\;a_0\;b\;\sin(\theta_{\text{éq}}) \right]\, \sin\! \left[ \varepsilon(t) \right] + \left[ -m\;g\;b\;\sin(\theta_{\text{éq}}) -  m\;a_0\;b\;\cos(\theta_{\text{éq}}) \right]\, \cos\! \left[ \varepsilon(t) \right] = J\;\ddot{\varepsilon}(t)\;</math>» ou, en utilisant la définition de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> la nullité du cœfficient de <math>\;\cos\! \left[ \varepsilon(t) \right]</math>, «<math>\;J\;\ddot{\varepsilon}(t) + m\;b\,\left[ g\;\cos(\theta_{\text{éq}}) - a_0\;\sin(\theta_{\text{éq}}) \right]\, \sin\! \left[ \varepsilon(t) \right] = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J\;\ddot{\varepsilon}(t) + m\;b\;\cos(\theta_{\text{éq}})\,\left[ g - a_0\;\tan(\theta_{\text{éq}}) \right]\, \sin\! \left[ \varepsilon(t) \right] = 0\;</math>» ou, avec <math>\;\tan(\theta_{\text{éq}}) = -\dfrac{a_0}{g}\;</math> et <math>\;\cos(\theta_{\text{éq}}) > 0\;</math> s'évaluant par <math>\;\cos(\theta_{\text{éq}}) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\theta_{\text{éq}})}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{a_0^{\,2}}{g^2}}} = \dfrac{g}{\sqrt{g^2 + a_0^{\,2}}}</math>, «<math>\;J\;\ddot{\varepsilon}(t) + m\;b\;\dfrac{g}{\sqrt{g^2 + a_0^{\,2}}}\,\left[ g + \dfrac{a_0^{\,2}}{g} \right]\, \sin\! \left[ \varepsilon(t) \right] = 0\;</math>» d'où «<math>\;J\;\ddot{\varepsilon}(t) + m\;b\;\sqrt{g^2 + a_0^{\,2}}\; \sin\! \left[ \varepsilon(t) \right] = 0\;</math>» ou, en utilisant le caractère petit de <math>\;\vert \varepsilon(t) \vert\;</math> <math>\;\big[\Rightarrow \varepsilon(t)\;</math> est choisi comme infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petit d'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] (ordre un) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big]\;</math> et en faisant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un de <math>\;\sin\! \left[ \varepsilon(t) \right]\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\sin\! \left[ \varepsilon(t) \right] \simeq \varepsilon(t)\;</math>», l'équation différentielle des petites élongations angulaires<ref name="élongations angulaires petites" /> du mouvement du pendule en <math>\;\varepsilon(t)\;</math> recherchée «<math>\;J\;\ddot{\varepsilon}(t) + m\;b\;\sqrt{g^2 + a_0^{\,2}}\;\varepsilon(t) = 0\;</math>» ou, sous forme normalisée <center>«<math>\;\ddot{\varepsilon}(t) + \dfrac{m\;b\;\sqrt{g^2 + a_0^{\,2}}}{J}\;\varepsilon(t) = 0\;</math>»,</center>
{{Al|5}}c'est-à-dire l’équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;b\;\sqrt{g^2 + a_0^{\,2}}}{J}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> le mouvement des petites élongations angulaires<ref name="élongations angulaires petites" /> du pendule est sinusoïdal de « pulsation des petites élongations angulaires<ref name="élongations angulaires petites" /> <math>\;\omega_0\;</math>» s'écrivant, en utilisant les « C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. <math>\;\varepsilon(0) = \varepsilon_0\;</math> et <math>\;\dot{\varepsilon}(0) = 0\;</math>», <center>«<math>\;\varepsilon(t) = \varepsilon_0\;\cos(\omega_0\;t)\;</math>»,</center> 
{{Al|5}}cette lois horaire de position angulaire permettant de valider le caractère petit de <math>\;\vert \varepsilon(t) \vert\;</math> compte-tenu de celui de <math>\;\vert \varepsilon_0 \vert\;</math> car <math>\;\vert \varepsilon(t) \vert \leqslant \vert \varepsilon_0 \vert\;\forall\;t\;</math> ;

{{Al|5}}nous en déduisons la période des petites élongations angulaires<ref name="élongations angulaires petites" /> du pendule oscillant dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{voit}}\;</math> en translation de vecteur accélération horizontal <math>\;\vec{a}_0\;</math> relativement au référentiel terrestre <center>«<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J}{m\;b\;\sqrt{g^2 + a_0^{\,2}}}}\;</math>».</center>}}

== Mouvements indésirables d'une machine mal équilibrée ==

[[File:Machine tournante mal équilibrée.png|thumb|450px|Schéma de principe d'une machine tournante mal équilibrée relativement à un axe de rotation horizontal]]
{{Al|5}}Le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> dans lequel se déroule l'expérience étant supposé galiléen, nous lui associons le repère cartésien <math>\;\left\lbrace O\,,\, \left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right) \right\rbrace</math>, la base cartésienne étant directe et le vecteur de base <math>\;\vec{u}_z\;</math> étant vertical ascendant. 

{{Al|5}}Le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g} = -g\;\vec{u}_z\;</math> est uniforme d'intensité <math>\;g</math>.

{{Al|5}}Nous nous proposons d'étudier l'[[w:Équilibrage_(mécanique)|équilibrage]] d'une machine tournante composée
* d'un bâti fixe <math>\;\left( MPC \right)\;</math> posé sur le sol horizontal fixe, de masse <math>\;m</math>, de largeur <math>\;MP = 2\;l\;</math> et de centre de masse <math>\;B\;</math> situé au milieu de cette largeur à une hauteur <math>\;b\;</math> au-dessus du sol, son extrémité supérieure étant <math>\;C\;</math> située au milieu de la largeur du bâti à une hauteur <math>\;h\;</math> au-dessus du sol <math>\;\big\{</math>bien que le bâti ait une certaine épaisseur, celle-ci n'intervenant pas dans l'étude de l'[[w:Équilibrage_(mécanique)|équilibrage]] de la machine tournante, nous supposerons cette dernière entièrement contenue dans le plan vertical <math>\;yOz</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, le sens <math>\;+\;</math> des angles algébrisés de ce plan étant défini par le vecteur de base <math>\;\vec{u}_x\;</math> horizontal pointant vers le lecteur c'est-à-dire dans le sens anti-horaire du plan, le vecteur de base <math>\;\vec{u}_y\;</math> horizontal de ce plan étant égal à <math>\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_x\;</math> c'est-à-dire de gauche à droite sur le schéma ci-contre<math>\big\}\;</math> et
* d'un rotor <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> tournant autour d’un axe horizontal <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;C\;</math> et colinéaire à <math>\;\vec{u}_x</math>, de masse <math>\;m</math>, de centre de masse <math>\;A\;</math> situé à une distance <math>\;a\;</math> de <math>\;\Delta</math>. 
{{Al|5}}Un couple d’origine électromagnétique exercé par le bâti sur le rotor maintient une vitesse de rotation <math>\;\omega\;</math> uniforme de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta</math> <math>\;\bigg\{</math>nous supposerons <math>\;\omega > 0\;</math> et prendrons l’origine des temps lorsque l'abscisse angulaire du rotor «<math>\;\theta = \widehat{\left( \overrightarrow{CB}\,,\,\overrightarrow{CA} \right)}\;</math>» s'annule de telle sorte que «<math>\;\theta(t) = \omega\;t\;</math>»<math>\bigg\}</math>.

{{Al|5}}Nous modélisons les efforts que le sol exerce sur le bâti par une force «<math>\;\vec{N} + \vec{T}\;</math>», où <math>\;\vec{N}\;</math> est verticale et <math>\;\vec{T}\;</math> horizontale, l'état de surface au « contact sol - bâti »<ref name="contact linéaire"> En fait, comme nous négligeons l'épaisseur de la machine tournante, le contact n'est pas surfacique mais linéique.</ref> est décrit par un « cœfficient de frottement de glissement statique <math>\;f_s\;</math>»<ref name="loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_d’équilibre|loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> et un « cœfficient de frottement dynamique <math>\;f_d\;</math>»<ref name="loi empirique de Coulomb du frottement avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Frottement_de_glissement#Rappel_:_loi_empirique_de_Coulomb_du_frottement_de_glissement_d’un_solide_en_translation_sur_un_autre_solide_dans_le_cas_effectif_de_glissement|loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>.

=== Détermination de la vitesse angulaire du rotor à partir de laquelle il y a rupture de contact entre le bâti et le sol ===

{{Al|5}}Montrer qu’une vitesse de rotation du rotor trop élevée peut provoquer une rupture du contact entre le sol et le bâti.
 
{{Al|5}}Donner l’expression de la vitesse angulaire <math>\;\omega_1\;</math> à partir de laquelle apparaît ce phénomène.

{{Solution | contenu = {{Al|5}}Les forces extérieures qui s'exercent sur l'ensemble « bâti - rotor » étant
* le poids du bâti «<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» s'appliquant en «<math>\;B\, \left\lbrace x_B = 0\,,\, y_B = y_C\,,\, z_B \right\rbrace\;</math>»<ref name="en absence de rupture de contact"> Avec <math>\;z_B = b\;</math> tant qu'il n'y a pas rupture de contact entre le bâti et le sol.</ref>,
* le poids du rotor «<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» s'appliquant en «<math>\;A\, \left\lbrace x_A = 0\,,\, y_A = y_C + a\;\sin(\theta)\,,\, z_A = z_C - a\;\cos(\theta) \right\rbrace\;</math>»<ref name="en absence de rupture de contact - bis"> Avec <math>\;z_C = h\;</math> tant qu'il n'y a pas rupture de contact entre le bâti et le sol.</ref> et
* la réaction du sol sur le bâti «<math>\;\vec{N} + \vec{T} = N_z\;\vec{u}_z + T_y\;\vec{u}_y\;</math>», 
{{Al|5}}l'application du théorème de la résultante cinétique appliqué à cet ensemble dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> galiléen nous conduit à «<math>\;2\;m\;\vec{g} + \vec{N} + \vec{T} = \dfrac{d \left[ m\;\vec{V}_B + m\;\vec{V}_A \right]}{dt}(t)\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_B(t) = \vec{0}\;\;\forall\;t\;</math> dans l'hypothèse où le bâti reste en contact avec le sol sans glissement de l'un par rapport à l'autre » et «<math>\;\vec{V}_A(t) = \vec{V}_C(t) + \omega\;\vec{u}_x \wedge \overrightarrow{CA}(t)\;\;\forall\;t\;</math>»<ref name="composition de mouvements de translation et de rotation du point A"> Le mouvement du point <math>\;A\;</math> résultant d'une translation <math>\;\big(</math>éventuelle<math>\big)\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_C(t)\;</math> et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( Cz \right)\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\omega\;\vec{u}_x</math>.</ref> avec «<math>\;\vec{V}_C(t) = \vec{0}\;\;\forall\;t\;</math> sous la même hypothèse où le bâti reste en contact avec le sol sans glisser de l'un sur l'autre » soit, dans cette hypothèse, «<math>\;\vec{V}_A(t) = \omega\;\vec{u}_x \wedge a\;\vec{u}_r(t)\;\;\forall\;t\;</math> où <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r(t)\,,\,\vec{u}_\theta(t) \right\rbrace\;</math> est la base polaire du plan <math>\;yOz\;</math> liée à <math>\;A\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_A(t) = a\;\omega\;\vec{u}_\theta(t)\;\;\forall\;t\;</math>» d'où {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \vec{V}_A}{dt}(t)</math>}} <math>= -a\;\omega^2\;\vec{u}_r(t) = \vec{a}_A(t)\;\;\forall\;t\;</math>»<ref name="accélération radiale d'un mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Composantes_polaires_du_vecteur_accélération_de_M|composantes polaires du vecteur accélération de M]] (accélération radiale) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et finalement <center>en absence de rupture de contact entre le bâti et le sol et de glissement de l'un par rapport à l'autre <br>«<math>\;2\;m\;\vec{g} + \vec{N} + \vec{T} = -m\;a\;\omega^2\;\vec{u}_r\;\;\text{:}\; \left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}projeté sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> nous obtenons «<math>\;-2\;m\;g + N_z(t) = m\;a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t)\;</math>» <math>\;\Rightarrow</math> «<math>\;N_z(t) = m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;</math>» dont il faut valider la positivité en absence de rupture de contact ce qui est réalisé si le minimum de la grandeur temporelle l'est c'est-à-dire «<math>\;\min_{t\, \in\, \mathbb{R}^{*}} \left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right] > 0\;</math>» ou «<math>\;2\;g - a\;\omega^2 > 0\;</math>» soit enfin «<math>\;\omega < \sqrt{\dfrac{2\;g}{a}}\;</math>».

{{Al|5}}En conclusion « si <math>\;\omega\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\omega_1 = \sqrt{\dfrac{2\;g}{a}}\;</math>» il n'y a jamais rupture de contact entre le bâti et le sol mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion }}« si <math>\;\omega\;</math> est <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;\omega_1 = \sqrt{\dfrac{2\;g}{a}}\;</math>» il y a rupture de contact entre le bâti et le sol pour les instants <math>\;t\;</math> tels que «<math>\;N_z(t) = m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;</math><ref name="validité en cas de glissement"> La relation «<math>\;N_z(t) = m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;</math>» résultant de <math>\;a_{B,\,z} = a_{C,\,z} = 0\;</math> ne nécessite que l'absence de rupture de contact entre le bâti et le sol, elle reste valable si le {{1er}} glisse sur le 2<sup>nd</sup>.</ref> est <math>\;\leqslant 0\;</math>».}}

=== Détermination expérimentale du cœfficient de frottement de glissement statique entre le sol et le bâti ===

{{Al|5}}Pour <math>\;\omega <\;</math> à <math>\;\omega_1\;</math> il n'y a donc pas rupture de contact entre le bâti et le sol mais nous observons que, 

{{Al|5}}pour <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}}</math>, le bâti glisse sur le sol à partir de l'instant <math>\;t_0 = \dfrac{2\;\pi}{3\;\omega}</math>, en déduire l'expression du cœfficient de frottement de glissement statique <math>\;f_s\;</math><ref name="loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement" /> entre le sol et le bâti.

{{Solution | contenu = {{Al|5}}Pour <math>\;\omega < \omega_1 = \sqrt{\dfrac{2\;g}{a}}</math>, il n'y a pas rupture de contact entre le bâti et le sol, la composante normale de la réaction du sol sur le bâti vaut donc «<math>\;N_z(t) = m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right] > 0\;</math>»<ref name="validité en cas de glissement" /> ;

{{Al|47}}projetant l'équation «<math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;\text{:}\;\;2\;m\;\vec{g} + \vec{N} + \vec{T} = -m\;a\;\omega^2\;\vec{u}_r\;</math>» sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> nous obtenons «<math>\;T_y(t) = -m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math> dans la mesure où le bâti ne glisse pas sur le sol » et <br>{{Al|47}}sous cette hypothèse nous pouvons appliquer la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de ce dernier<ref name="loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement" /> c'est-à-dire «<math>\;\vert T_y(t) \vert < f_s\;N_z(t)\;</math>» soit, <center>en absence de glissement du bâti sur le sol «<math>\;m\;a\;\omega^2\;\vert \sin(\omega\;t) \vert < f_s\;m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;</math>» <br>{{Al|18}}ou, après simplification évidente, «<math>\;a\;\omega^2\;\vert \sin(\omega\;t) \vert < f_s\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;\;\text{:}\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ;</center>
{{Al|47}}<u>remarque</u> : pour <math>\;t\,\in\,\left[ 0\,,\,\dfrac{\mathcal{T}}{2} = \dfrac{\pi}{\omega} \right]</math>, le {{1er}} membre de l'inégalité ci-dessus s'écrit «<math>\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math>», intervalle sur lequel « le 2<sup>nd</sup> membre de cette inégalité <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;f_s\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2 \right]\;</math> à <math>\;f_s\,\left[ 2\;g - a\;\omega^2 \right]\;</math>» puis, pour <math>\;t'\,\in\,\left[ \dfrac{\mathcal{T}}{2} \,,\, \mathcal{T} \right]</math>, le {{1er}} membre de l'inégalité ci-dessus égal à «<math>\;-a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t')\;</math>» reprend les valeurs de l'intervalle précédent «<math>\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)</math> en posant <math>\;t = t' - \dfrac{\mathcal{T}}{2}\;</math>» pendant que le 2<sup>nd</sup> membre de cette inégalité «<math>\;f_s\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t') \right] = f_s\,\left[ 2\;g - a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]</math> <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;f_s\,\left[ 2\;g - a\;\omega^2 \right]\;</math> à <math>\;f_s\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2 \right]\;</math>» et, étant donné que «<math>\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math> quand <math>\;t\,\in\,\left[ 0\,,\,\dfrac{\mathcal{T}}{2} \right]\;</math>» prend les mêmes valeurs pour des instants symétriques par rapport à <math>\;\dfrac{\mathcal{T}}{4}</math>, nous retrouvons la « même condition d'inégalité pour <math>\;t'\,\in\,\left[ \dfrac{\mathcal{T}}{2} \,,\, \mathcal{T} \right]\;</math> que pour <math>\;t\,\in\,\left[ 0\,,\,\dfrac{\mathcal{T}}{2} \right]\;</math>»<ref name="même condition d'inégalité"> Il suffit pour justifier cela d'inverser l'évolution de l'intervalle <math>\;t'\,\in\,\left[ \dfrac{\mathcal{T}}{2} \,,\, \mathcal{T} \right]\;</math> ou <math>\;t = t' - \dfrac{\mathcal{T}}{2}\,\in\,\left[ 0\,,\, \dfrac{\mathcal{T}}{2} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;t' \searrow\;</math> de <math>\;\mathcal{T}\;</math> à <math>\;\dfrac{\mathcal{T}}{2}\;</math> ou <math>\;t \searrow\;</math> de <math>\;\dfrac{\mathcal{T}}{2}\;</math> à <math>\;0\;</math> en observant que, lors de cette évolution inversée, le 2<sup>nd</sup> membre de l'inégalité «<math>\;f_s\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t') \right] = f_s\,\left[ 2\;g - a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right] \searrow\;</math> de <math>\;f_s\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2 \right]\;</math> à <math>\;f_s\,\left[ 2\;g - a\;\omega^2 \right]\;</math>» alors que le {{1er}} membre «<math>\;-a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t') =</math> <math>a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math> pour <math>\;t = t' - \dfrac{\mathcal{T}}{2}\,\in\,\left[ 0\,,\,\dfrac{\mathcal{T}}{2} \right]\;</math>» conserve la même variation que cet intervalle soit décrit dans un sens ou l'autre c'est-à-dire d'abord <math>\;\nearrow\;</math> d'une des bornes de l'intervalle jusqu'à l'instant milieu <math>\;\dfrac{\mathcal{T}}{4}\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> de l'instant milieu <math>\;\dfrac{\mathcal{T}}{4}\;</math> jusqu'à l'autre borne de l'intervalle, ce qui donne effectivement la « même condition d'inégalité pour l'intervalle <math>\;\left[ \dfrac{\mathcal{T}}{2} \,,\, \mathcal{T} \right]\;</math> que pour <math>\;\left[ 0\,,\, \dfrac{\mathcal{T}}{2} \right]\;</math>».</ref> ; <br>{{Al|47}}{{Transparent|remarque : }}comme l'inégalité <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> est périodique de période <math>\;\mathcal{T}</math>, si la condition de non glissement est vérifiée sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\, \dfrac{\mathcal{T}}{2} \right]</math>, elle l'est pour tout instant <math>\;t > 0\;</math> et il suffit de la valider sur <math>\;\left[ 0\,,\, \dfrac{\mathcal{T}}{2} \right]\;</math> pour lequel elle se réécrit «<math>\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t) < f_s\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;\;\text{:}\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math> avec <math>\;t\,\in\,\left[ 0\,,\,\dfrac{\mathcal{T}}{2} = \dfrac{\pi}{\omega} \right]\;</math>».

{{Al|5}}Ayant constaté que le bâti ne glisse pas sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\, t_0 = \dfrac{2\;\pi}{3\;\omega} \right]\;</math> pour le rotor tournant à la vitesse angulaire <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{g}{a}}\;</math> et qu'il se met à glisser à partir de <math>\;t_0^{+}</math>, nous en déduisons que l'inégalité <math>\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math> cessant d'être validée pour <math>\;t_0 = \dfrac{2\;\pi}{3\;\omega} = \dfrac{2\;\pi}{3}\;\sqrt{\dfrac{a}{g}}\;</math> avec chaque membre de l'inégalité fonction continue de <math>\;t\;</math> correspond à l'égalité des deux membres pour <math>\;t_0 = \dfrac{2\;\pi}{3\;\omega} = \dfrac{2\;\pi}{3}\;\sqrt{\dfrac{a}{g}}\;</math> soit <center>«<math>\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t_0) = f_s\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t_0) \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;a\;\dfrac{g}{a}\;\sin\! \left( \dfrac{2\;\pi}{3} \right) = f_s\,\left[ 2\;g + a\;\dfrac{g}{a}\;\cos\! \left( \dfrac{2\;\pi}{3} \right) \right]\;</math>» <br> se réécrivant «<math>\;g\;\dfrac{\sqrt{3}}{2} = f_s\,\left[ 2\;g + g\;\dfrac{-1}{2} \right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sqrt{3}}{2} = f_s\;\dfrac{3}{2}\;</math>» <br>soit finalement «<math>\;f_s = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \simeq 0,577 \simeq 0,58\;</math>».</center>}}

=== Détermination du sens de glissement ainsi que de l'expression de la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti tant que le glissement perdure ===

{{Al|5}}Quel est le sens de la vitesse de glissement à un instant postérieur à <math>\;t_0</math> <math>\;\big(</math>tant que le glissement perdure<math>\big)</math> ? 

{{Al|5}}En déduire l’expression de la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti <math>\;\vec{T}\;</math> tant que le glissement se maintient dans ce sens.

{{Solution | contenu = {{Al|5}}Sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\, t_0 = \dfrac{2\;\pi}{3\;\omega} \right]\;</math> avec le rotor tournant à la vitesse angulaire <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{g}{a}}</math>, la « composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti égale à <math>\;T_y(t) = -m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>», le bâti a tendance à glisser dans le sens contraire de <math>\;\vec{T}\;</math><ref name="loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement" /> c'est-à-dire dans le sens de <math>\;\vec{u}_y\;</math> d'où, en admettant la continuité du sens de <math>\;\vec{T}\;</math> lors de l'apparition du glissement, nous en déduisons que « le bâti glisse dans le sens de <math>\;\vec{u}_y\;</math> à partir de l'instant <math>\;t_0\;</math>» <math>\;\big(</math>jusqu'à ce que la vitesse de glissement du bâti sur le sol redevienne nulle<math>\big)</math> ;

{{Al|5}}comme la composante normale de la réaction du sol sur le bâti reste égale à «<math>\;N_z(t) = m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right] > 0\;</math>»<ref name="validité en cas de glissement" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|comme }}la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti s'évalue en utilisant la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en présence de ce dernier<ref name="loi empirique de Coulomb du frottement avec glissement" /> c'est-à-dire «<math>\;\vert T_y(t) \vert = f_d\;N_z(t)\;</math>» ou, tant que le glissement se fait vers la droite <center>«<math>\;T_y(t) = -f_d\;N_z(t) = -f_d\;m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;\;\text{:}\;\left( \mathfrak{2}'' \right)\;</math>».</center>}}

=== Détermination de l'accélération horizontale du bâti lorsque ce dernier glisse sur le sol ===

{{Al|5}}Établir, dans la durée de glissement, l’expression de la mesure algébrique de l’accélération horizontale <math>\;\ddot{y}_{\text{bâti}}\;</math> du bâti relativement au sol.

{{Solution | contenu = {{Al|5}}Le bâti glissant le long de <math>\;\overrightarrow{Oy}</math>, «<math>\;\vec{V}_B(t) = \vec{V}_C(t) = \dot{y}_B(t)\;\vec{u}_y = \dot{y}_C(t)\;\vec{u}_y\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \vec{V}_B}{dt}(t) = \dfrac{d \vec{V}_C}{dt}(t) = \ddot{y}_B(t)\;\vec{u}_y = \ddot{y}_C(t)\;\vec{u}_y = \ddot{y}_{\text{bâti}}(t)\;\vec{u}_y\;</math>» soit encore, avec «<math>\;\dfrac{d \vec{V}_A}{dt}(t) = \dfrac{d \vec{V}_C}{dt}(t) - a\;\omega^2\;\vec{u}_r(t)\;</math>» nous en déduisons «<math>\;\dfrac{d \vec{V}_A}{dt}(t) = \ddot{y}_{\text{bâti}}(t)\;\vec{u}_y - a\;\omega^2\;\vec{u}_r(t)\;</math>» et par suite, la réécriture de la projection sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> du théorème de la résultante cinétique appliqué à l'ensemble « bâti - rotor » dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> galiléen «<math>\;2\;m\;\vec{g} + \vec{N} + \vec{T} = \dfrac{d \left[ m\;\vec{V}_B + m\;\vec{V}_A \right]}{dt}(t)\;</math>» selon «<math>\;T_y(t) = 2\;m\;\ddot{y}_{\text{bâti}}(t) - m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math>» ou, en y reportant la relation «<math>\;\left( \mathfrak{2}'' \right)\;\text{:}\;\;T_y(t) = -f_d\;m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;</math>» puis en simplifiant par <math>\;m</math>, «<math>\;-f_d\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right] = 2\;\ddot{y}_{\text{bâti}}(t) - a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math>» soit finalement, l'accélération horizontale du bâti relativement au sol tant que le {{1er}} glisse sur le 2<sup>nd</sup>, <center>«<math>\;\ddot{y}_{\text{bâti}}(t) = -f_d\;g + \dfrac{a\;\omega^2}{2}\, \left[ \sin(\omega\;t) - f_d\;\cos(\omega\,t) \right]\;</math>».</center>}} 

=== Détermination expérimentale du cœfficient de frottement de glissement dynamique entre le sol et le bâti ===

{{Al|5}}Pour <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}}</math>, le bâti s'étant mis à glisser sur le sol à partir de l'instant <math>\;t_0 = \dfrac{2\;\pi}{3\;\omega}</math>, ce glissement cesse à l'instant <math>\;t_1 = \dfrac{\pi}{\omega}</math>, en déduire l'expression du cœfficient de frottement de glissement dynamique <math>\;f_d\;</math> entre le sol et le bâti.

{{Solution | contenu = {{Al|5}}À partir de <math>\;t_0 = \dfrac{2\;\pi}{3\;\omega}\;</math> avec <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{g}{a}}\;</math> et tant que le bâti glisse sur le sol, l'accélération horizontale du bâti valant «<math>\;\ddot{y}_{\text{bâti}}(t) = -f_d\;g + \dfrac{a\;\omega^2}{2}\, \left[ \sin(\omega\;t) - f_d\;\cos(\omega\,t) \right]\;</math>» nous en déduisons, en intégrant entre <math>\;t_0\;</math> et <math>\;t</math>, la vitesse horizontale du bâti «<math>\;\dot{y}_{\text{bâti}}(t) \cancel{-\; \dot{y}_{\text{bâti}}(t_0)} = -f_d\;g\,\left( t - t_0 \right) + \dfrac{a\;\omega}{2}\, \left[ -\cos(\omega\;t) - f_d\;\sin(\omega\,t) \right]_{t_0}^t\;</math>» ou, avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} \cos(\omega\;t_0) = \cos\!\left( \dfrac{2\;\pi}{3} \right) = \dfrac{-1}{2}\\ \sin(\omega\;t_0) = \sin\!\left( \dfrac{2\;\pi}{3} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;a\;\omega = a\;\sqrt{\dfrac{g}{a}} = \sqrt{a\;g}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{y}_{\text{bâti}}(t)</math>}} <math>= -f_d\;g\,\left( t - \dfrac{2\;\pi}{3}\;\sqrt{\dfrac{a}{g}} \right) + \dfrac{\sqrt{a\;g}}{2}\, \left[ \dfrac{-1}{2} - \cos(\omega\;t) + f_d\;\dfrac{\sqrt{3}}{2} - f_d\;\sin(\omega\,t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\dot{y}_{\text{bâti}}(t) = \dfrac{\sqrt{a\;g}}{4}\, \left[ -1 - 2\;\cos(\omega\;t) \right] - f_d\, \left[ g\;t - \dfrac{2\;\pi\;\sqrt{a\;g}}{3} - \dfrac{\sqrt{3\;a\;g}}{4} + \dfrac{\sqrt{a\;g}}{2}\;\sin(\omega\;t) \right]\;</math>» <br> expression applicable tant que la vitesse horizontale du bâti reste strictement positive ;</center>
{{Al|5}}cette dernière s'annulant pour <math>\;t_1 = \dfrac{\pi}{\omega} = \pi\;\sqrt{\dfrac{a}{g}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;0 = \dot{y}_{\text{bâti}}(t_1) = \dfrac{\sqrt{a\;g}}{4}\, \left[ -1 - 2\;\cos(\omega\;t_1) \right] - f_d\, \left[ g\;t_1 - \dfrac{2\;\pi\;\sqrt{a\;g}}{3} - \dfrac{\sqrt{3\;a\;g}}{4} + \dfrac{\sqrt{a\;g}}{2}\;\sin(\omega\;t_1) \right]\;</math>» ou, avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} \cos(\omega\;t_1) = \cos(\pi) = -1\\ \sin(\omega\;t_1) = \sin(\pi) = 0\end{array} \right\rbrace\;</math> nous en déduisons l'équation «<math>\;0 = \dfrac{\sqrt{a\;g}}{4}\, \left[ -1 - 2\;(-1) \right] - f_d\, \left[ g\;\pi\;\sqrt{\dfrac{a}{g}} - \dfrac{2\;\pi\;\sqrt{a\;g}}{3} - \dfrac{\sqrt{3\;a\;g}}{4} \cancel{+\; \dfrac{\sqrt{a\;g}}{2}\;0} \right]\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;0 = \dfrac{\sqrt{a\;g}}{4} - f_d\; \sqrt{a\;g}\, \left[ \pi - \dfrac{2\;\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4} \right]\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;0 = \dfrac{1}{4} - f_d\, \left[ \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4} \right]\;</math>» soit finalement {{Nobr|«<math>\;0 =</math>}} <math>3 - f_d\, \left[ 4\;\pi - 3\;\sqrt{3} \right]\;</math>» dont nous déduisons la valeur du cœfficient de frottement de glissement dynamique <math>\;f_d\;</math> entre le sol et le bâti <center>«<math>\;f_d = \dfrac{3}{4\;\pi - 3\;\sqrt{3}} \simeq 0,407 \simeq 0,41\;</math>» <br>effectivement <math>\;<\;</math> à <math>\;f_s \simeq 0,577 \simeq 0,58</math>.</center>}}

=== Reprise éventuelle du glissement du bâti après l'arrêt de sa {{1re}} phase de glissement sur le sol ===

{{Al|5}}Pour <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}}</math>, le bâti s'étant mis à glisser sur le sol à partir de l'instant <math>\;t_0 = \dfrac{2\;\pi}{3\;\omega}\;</math> puis arrêté à l'instant <math>\;t_1 = \dfrac{\pi}{\omega}</math>, nous nous proposons d'établir que

{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'absence de glissement se maintient jusqu'à un instant <math>\;t_2</math> <math>\;\big(</math>à déterminer<math>\big)\;</math> à partir duquel le glissement reprend dans un sens à préciser puis que

{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le glissement se poursuit jusqu'à un instant <math>\;t_3</math> <math>\;\big(</math>à déterminer<math>\big)\;\ldots</math>

{{Solution |contenu = {{Al|5}}Sur l'intervalle <math>\;\left[ t_0 = \dfrac{2\;\pi}{3\;\omega}\,,\, t_1 = \dfrac{\pi}{\omega} \right]\;</math> avec le rotor tournant à la vitesse angulaire <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{g}{a}}</math>, la « composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti égale à <math>\;T_y(t) = -f_d\;N_z(t)\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>», le bâti glisse dans le sens contraire de <math>\;\vec{T}\;</math><ref name="loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement" /> c'est-à-dire dans le sens de <math>\;\vec{u}_y</math> <math>\;\big(</math>toutefois s'il est possible d'admettre la continuité du sens de <math>\;\vec{T}\;</math> lors de l'apparition du glissement, la propriété s'avère fausse lors de l'arrêt du glissement et du fait que le glissement se faisait dans le sens de <math>\;\vec{u}_y\;</math> nous ne pouvons pas induire que « le bâti aura tendance à glisser dans le sens de <math>\;\vec{u}_y\;</math> à partir de l'instant <math>\;t_1\;</math>», cela sera d'ailleurs faux<math>\big)</math> ; <br>{{Al|47}}{{Transparent|Sur l'intervalle }}la « composante normale de la réaction du sol sur le bâti étant égale à <math>\;N_z(t) = m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right] > 0\;</math> qu'il y ait glissement ou non »<ref name="validité en cas de glissement" /> et «<math>\;f_d\;</math> <math><\;</math> à <math>\;f_s\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'applicabilité de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de ce dernier<ref name="loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement" /> «<math>\;\vert T_y(t) \vert < f_s\;N_z(t)\;</math>» aux instants <math>\;t_1^{+}</math>, d'où pas de reprise de glissement du bâti immédiatement à partir de <math>\;t_1</math>.

{{Al|5}}À partir de <math>\;t_1 = \dfrac{\pi}{\omega}\;</math> avec le rotor tournant à la vitesse angulaire <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{g}{a}}</math>, le bâti ne glissant pas, l'équation «<math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;\text{:}\;\;2\;m\;\vec{g} + \vec{N} + \vec{T} = -m\;a\;\omega^2\;\vec{u}_r\;</math>» est applicable et sa projection sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> nous donne {{Nobr|«<math>\;T_y(t) =</math>}} <math>-m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math> tant que le bâti ne glisse pas sur le sol » ; or, sur l'intervalle <math>\;\left] t_1 = \dfrac{\pi}{\omega} = \dfrac{\mathcal{T}}{2}\,,\, \mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} \right[</math>, <math>\;\sin(\omega\;t)\;</math> étant <math>\;< 0</math>, nous en déduisons «<math>\;T_y(t) = -m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t) > 0\;</math>» et par suite que « le bâti a une tendance à glisser dans le sens de <math>-\vec{u}_y\;</math>» sans glisser effectivement jusqu'à ce que <br>{{Al|22}}{{Transparent|À partir de }}la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de ce dernier<ref name="loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement" /> «<math>\;\vert T_y(t) \vert < f_s\;N_z(t)\;</math>» ne s'applique plus c'est-à-dire jusqu'à l'instant <math>\;t_2\,\in\,\left] t_1 = \dfrac{\mathcal{T}}{2}\,,\, \mathcal{T} \right[\;</math> tel que {{Nobr|«<math>\;\vert T_y(t_2) \vert</math>}} <math>= -m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t_2)\;</math> devienne égale à <math>\;f_s\;N_z(t_2) = f_s\;m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t_2) \right]\;</math>» soit «<math>\;-a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t_2) = f_s\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t_2) \right]\;</math>» ou «<math>\;-a\;\dfrac{g}{a}\;\sin(\omega\;t_2) = f_s\,\left[ 2\;g + a\;\dfrac{g}{a}\;\cos(\omega\;t_2) \right]\;</math>» se réécrivant «<math>\;-g\;\sin(\omega\;t_2) = f_s\;g\,\left[ 2 + \cos(\omega\;t_2) \right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sin(\omega\;t_2) + f_s\;\cos(\omega\;t_2) = -2\;f_s\;</math>» ou, avec «<math>\;f_s = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\;</math>», «<math>\;\sin(\omega\;t_2) + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\;\cos(\omega\;t_2) = -\dfrac{2}{\sqrt{3}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\sin(\omega\;t_2) + \dfrac{1}{2}\;\cos(\omega\;t_2) = -1\;</math>» et finalement, avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\! \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\\ \dfrac{1}{2} = \sin\! \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\end{array}\right\rbrace</math>, «<math>\;\sin\! \left( \omega\;t_2 + \dfrac{\pi}{6} \right) = -1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\omega\;t_2 + \dfrac{\pi}{6} \equiv \dfrac{3\;\pi}{2} \!\!\pmod{2\;\pi}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;t_2 \equiv \dfrac{4\;\pi}{3\;\omega} \!\!\pmod{\dfrac{2\;\pi}{\omega}}\;</math>» soit, en ne conservant que la valeur de <math>\;t_2\;</math> de l'intervalle <math>\;\left] t_1 = \dfrac{\mathcal{T}}{2}\,,\, \mathcal{T} \right[</math>, la « reprise du glissement du bâti sur le sol à partir de l'instant <math>\;t_2 = \dfrac{4\;\pi}{3\;\omega} = \dfrac{2\;\mathcal{T}}{3}\;</math>».

{{Al|5}}À partir de <math>\;t_2 = \dfrac{4\;\pi}{3\;\omega}\;</math> avec le rotor tournant à la vitesse angulaire <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{g}{a}}</math>, la « composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti égale à <math>\;T_y(t) = -m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math> étant <math>\;> 0\;</math>», le bâti a tendance à glisser dans le sens contraire de <math>\;\vec{T}\;</math><ref name="loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement" /> c'est-à-dire dans le sens de <math>\;-\vec{u}_y\;</math> d'où, en admettant la continuité du sens de <math>\;\vec{T}\;</math> lors de l'apparition du glissement, nous en déduisons que « le bâti glisse dans le sens de <math>\;-\vec{u}_y\;</math> à partir de l'instant <math>\;t_2\;</math>» <math>\;\big(</math>jusqu'à ce que la vitesse de glissement du bâti sur le sol redevienne nulle<math>\big)</math> ;

{{Al|5}}comme la composante normale de la réaction du sol sur le bâti reste égale à «<math>\;N_z(t) = m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right] > 0\;</math>»<ref name="validité en cas de glissement" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|comme }}la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti s'évalue en utilisant la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en présence de ce dernier<ref name="loi empirique de Coulomb du frottement avec glissement" /> c'est-à-dire «<math>\;\vert T_y(t) \vert = f_d\;N_z(t)\;</math>» ou, tant que le glissement se fait vers la gauche <center>«<math>\;T_y(t) = f_d\;N_z(t) = f_d\;m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;\;\text{:}\;\left( \mathfrak{2}''' \right)\;</math>».</center>
{{Al|5}}Le bâti glissant le long de <math>\;\overrightarrow{Oy}</math>, «<math>\;\vec{V}_B(t) = \vec{V}_C(t) = \dot{y}_B(t)\;\vec{u}_y = \dot{y}_C(t)\;\vec{u}_y\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \vec{V}_B}{dt}(t) = \dfrac{d \vec{V}_C}{dt}(t) = \ddot{y}_B(t)\;\vec{u}_y = \ddot{y}_C(t)\;\vec{u}_y = \ddot{y}_{\text{bâti}}(t)\;\vec{u}_y\;</math>» soit encore, avec «<math>\;\dfrac{d \vec{V}_A}{dt}(t) = \dfrac{d \vec{V}_C}{dt}(t) - a\;\omega^2\;\vec{u}_r(t)\;</math>» nous en déduisons «<math>\;\dfrac{d \vec{V}_A}{dt}(t) = \ddot{y}_{\text{bâti}}(t)\;\vec{u}_y - a\;\omega^2\;\vec{u}_r(t)\;</math>» et par suite, la réécriture de la projection sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> du théorème de la résultante cinétique appliqué à l'ensemble « bâti - rotor » dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> galiléen «<math>\;2\;m\;\vec{g} + \vec{N} + \vec{T} = \dfrac{d \left[ m\;\vec{V}_B + m\;\vec{V}_A \right]}{dt}(t)\;</math>» selon «<math>\;T_y(t) = 2\;m\;\ddot{y}_{\text{bâti}}(t) - m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math>» ou, en y reportant la relation «<math>\;\left( \mathfrak{2}''' \right)\;\text{:}\;\;T_y(t) = f_d\;m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;</math>» puis en simplifiant par <math>\;m</math>, «<math>\;f_d\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right] = 2\;\ddot{y}_{\text{bâti}}(t) - a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math>» soit finalement, l'accélération horizontale du bâti relativement au sol tant que le {{1er}} glisse sur le 2<sup>nd</sup>, <center>«<math>\;\ddot{y}_{\text{bâti}}(t) = f_d\;g + \dfrac{a\;\omega^2}{2}\, \left[ \sin(\omega\;t) + f_d\;\cos(\omega\,t) \right]\;</math>».</center>
{{Al|5}}À partir de <math>\;t_2 = \dfrac{4\;\pi}{3\;\omega}\;</math> avec <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{g}{a}}\;</math> et tant que le bâti glisse sur le sol, l'accélération horizontale du bâti valant «<math>\;\ddot{y}_{\text{bâti}}(t) = f_d\;g + \dfrac{a\;\omega^2}{2}\, \left[ \sin(\omega\;t) + f_d\;\cos(\omega\,t) \right]\;</math>» nous en déduisons, en intégrant entre <math>\;t_2\;</math> et <math>\;t</math>, la vitesse horizontale du bâti «<math>\;\dot{y}_{\text{bâti}}(t) \cancel{-\; \dot{y}_{\text{bâti}}(t_2)} = f_d\;g\,\left( t - t_2 \right) + \dfrac{a\;\omega}{2}\, \left[ -\cos(\omega\;t) + f_d\;\sin(\omega\,t) \right]_{t_0}^t\;</math>» ou, avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} \cos(\omega\;t_2) = \cos\!\left( \dfrac{4\;\pi}{3} \right) = \dfrac{-1}{2}\\ \sin(\omega\;t_2) = \sin\!\left( \dfrac{4\;\pi}{3} \right) = \dfrac{-\sqrt{3}}{2}\end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;a\;\omega = a\;\sqrt{\dfrac{g}{a}} = \sqrt{a\;g}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{y}_{\text{bâti}}(t) =</math>}} <math>f_d\;g\,\left( t - \dfrac{4\;\pi}{3}\;\sqrt{\dfrac{a}{g}} \right) + \dfrac{\sqrt{a\;g}}{2}\, \left[ \dfrac{-1}{2} - \cos(\omega\;t) - f_d\;\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + f_d\;\sin(\omega\,t) \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\dot{y}_{\text{bâti}}(t) = \dfrac{\sqrt{a\;g}}{4}\, \left[ -1 - 2\;\cos(\omega\;t) \right] + f_d\, \left[ g\;t - \dfrac{4\;\pi\;\sqrt{a\;g}}{3} + \dfrac{\sqrt{3\;a\;g}}{4} + \dfrac{\sqrt{a\;g}}{2}\;\sin(\omega\;t) \right]\;</math>» <br> expression applicable tant que la vitesse horizontale du bâti reste strictement négative ;</center>
{{Al|5}}cette dernière s'annulant éventuellement pour l'instant <math>\;t_3</math> <math>\;\big(</math>à déterminer<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;0 = \dot{y}_{\text{bâti}}(t_3) = \dfrac{\sqrt{a\;g}}{4}\, \left[ -1 - 2\;\cos(\omega\;t_3) \right] + f_d\, \left[ g\;t_3 - \dfrac{4\;\pi\;\sqrt{a\;g}}{3} + \dfrac{\sqrt{3\;a\;g}}{4} + \dfrac{\sqrt{a\;g}}{2}\;\sin(\omega\;t_3) \right]\;</math>» ou, avec {{Nobr|«<math>\;f_d =</math>}} <math>\dfrac{3}{4\;\pi - 3\;\sqrt{3}}\;</math>», nous en déduisons l'équation «<math>\;0 = \dfrac{\sqrt{a\;g}}{4}\, \left[ -1 - 2\;\cos(\omega\;t_3) \right] + \dfrac{3}{4\;\pi - 3\;\sqrt{3}}\, \left[ g\;t_3 - \dfrac{16\;\pi\;\sqrt{a\;g} - 3\;\sqrt{3\;a\;g}}{12} + \dfrac{\sqrt{a\;g}}{2}\;\sin(\omega\;t_3) \right]\;</math>» soit, en « multipliant les deux membres par <math>\;\dfrac{4}{\sqrt{a\;g}}\;</math>» et en utilisant «<math>\;g\;t_3 = \dfrac{g}{\omega}\;\omega\;t_3 = \sqrt{a\;g}\;\omega\;t_3\;</math>», «<math>\;0 = \left[ -1 - 2\;\cos(\omega\;t_3) \right] + \dfrac{3}{4\;\pi - 3\;\sqrt{3}}\, \left[ 4\;\omega\;t_3 - \dfrac{16\;\pi - 3\;\sqrt{3}}{3} + 2\;\sin(\omega\;t_3) \right]\;</math>» soit encore, en « multipliant les deux membres par <math>\;\left( 4\;\pi - 3\;\sqrt{3} \right)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;0 =</math>}} <math>-4\;\pi + 3\;\sqrt{3} + \left( -8\;\pi + 6\;\sqrt{3} \right)\;\cos(\omega\;t_3) + 12\;\omega\;t_3 - 16\;\pi + 3\;\sqrt{3} + 6\;\sin(\omega\;t_3)\;</math>» soit «<math>\;0 = -20\;\pi + 6\;\sqrt{3} + 12\;\omega\;t_3 - \left( 8\;\pi - 6\;\sqrt{3} \right)\;\cos(\omega\;t_3) + 6\;\sin(\omega\;t_3)\;</math>» et finalement, 
[[File:Exemple de résolution graphique.png|thumb|400px|Résolution graphique de l'[[w:Équation_transcendante|équation transcendante]] <math>\;\left( \mathfrak{3}' \right)\;</math> <center><math>\;\;0,7540\;\omega\;t_3 - 3,295 = \cos\! \left( \omega\;t_3 + 0,3866 \right)\;</math></center>]]
<center>«<math>\;\omega\;t_3\;</math> est solution de l'intervalle <math>\;\left] \dfrac{4\;\pi}{3}\,,\, 2\;\pi \right[\;</math> de l'[[w:Équation_transcendante|équation transcendante]] <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> <br><math>\;-10\;\pi + 3\;\sqrt{3} + 6\;\omega\;t_3 = + \left( 4\;\pi - 3\;\sqrt{3} \right)\;\cos(\omega\;t_3) - 3\;\sin(\omega\;t_3)\;\;\text{:}\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math>» ou numériquement <br>«<math>\;-26,22 + 6\;\omega\;t_3 = 7,370\;\cos(\omega\;t_3) - 3\;\sin(\omega\;t_3)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-3,295 + 0,7540\;\omega\;t_3 = 0,9262\;\cos(\omega\;t_3) - 0,3770\;\sin(\omega\;t_3)\;</math>» ou <br>« en définissant <math>\;\alpha\;</math> par <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\cos(\alpha) \simeq 0,9262\\ \sin(\alpha) \simeq 0,3770\end{array} \right\rbrace \Rightarrow \alpha \simeq 0,3866\;rad \simeq \dfrac{\pi}{8}\;rad\;</math>», <br>«<math>\;\omega\;t_3\;</math> est solution de l'intervalle <math>\;\left] \dfrac{4\;\pi}{3}\,,\, 2\;\pi \right[\;</math> de l'[[w:Équation_transcendante|équation transcendante]] <math>\;\left( \mathfrak{3}' \right)\;\text{:}\;\;0,7540\;\omega\;t_3 - 3,295 = \cos\! \left( \omega\;t_3 + \dfrac{\pi}{8} \right)\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}pour résoudre graphiquement l'[[w:Équation_transcendante|équation transcendante]] <math>\;\left( \mathfrak{3}' \right)</math>, nous superposons sur un même diagramme pour les « valeurs <math>\;x\,\in\, \left[ \dfrac{4\;\pi}{3}\,,\, 2\;\pi \right]\;</math>», le graphe de «<math>\;y(x) = 0,7540\;x - 3,295\;</math> en noir » et celui de «<math>\;z(x) = \cos\! \left( x + 0,3866 \right)\;</math> en rouge », la solution de l'équation étant l'abscisse du point d'intersection des deux graphes soit <math>\;x \simeq 5,66</math>, valeur que nous pouvons affiner par [[w:Méthode_de_dichotomie|dichotomie]] en «<math>\;x \simeq 5,659\;</math>» d'où <center>l'instant <math>\;t_3\;</math> de 2<sup>ème</sup> arrêt de glissement du bâti sur le sol «<math>\;t_3 \simeq \dfrac{5,659}{\omega} \simeq \dfrac{1,801\;\pi}{\omega} \simeq 0,9\;\mathcal{T} = \dfrac{9}{10}\;\mathcal{T}\;</math>».</center>
{{Al|5}}À partir de <math>\;t_3 \simeq \dfrac{1,801\;\pi}{\omega} \simeq \dfrac{9}{10}\;\mathcal{T}\;</math> avec le rotor tournant à la vitesse angulaire <math>\;\omega = \dfrac{\omega_1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{g}{a}}</math>, le bâti ne glissant plus, l'équation «<math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;\text{:}</math> <math>2\;m\;\vec{g} + \vec{N} + \vec{T} = -m\;a\;\omega^2\;\vec{u}_r\;</math>» est applicable et sa projection sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> nous donne «<math>\;T_y(t) = -m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math> tant que le bâti ne glisse pas sur le sol » ; or, sur l'intervalle <math>\;\left] t_3 \simeq \dfrac{1,801\;\pi}{\omega} \simeq \dfrac{9}{10}\;\mathcal{T}\,,\, \mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} \right[</math>, <math>\;\sin(\omega\;t)\;</math> étant <math>\;< 0</math>, nous en déduisons «<math>\;T_y(t) = -m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t) > 0\;</math>» et par suite que « le bâti a une tendance à glisser dans le sens de <math>-\vec{u}_y\;</math>» sans glisser effectivement jusqu'à ce que <br>{{Al|50}}{{Transparent|À partir de }}la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de ce dernier<ref name="loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement" /> «<math>\;\vert T_y(t) \vert < f_s\;N_z(t)\;</math>» ne s'applique plus c'est-à-dire jusqu'à un éventuel instant <math>\;t_4 \leqslant \mathcal{T}\;</math><ref> Étant donné que le mouvement du rotor est périodique de période <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega}\;</math> nous limitons l'étude des effets indésirables de la machine tournante à l'intervalle d'une période <math>\;\ldots</math></ref> tel que «<math>\;\vert T_y(t_4) \vert = -m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t_4)\;</math> devienne égale à <math>\;f_s\;N_z(t_4) = f_s\;m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t_4) \right]\;</math>» soit «<math>\;-a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t_4) = f_s\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t_4) \right]\;</math>» ou, avec «<math>\;\omega = \sqrt{\dfrac{g}{a}}\;</math>», «<math>\;-a\;\dfrac{g}{a}\;\sin(\omega\;t_4) =</math> <math>f_s\,\left[ 2\;g + a\;\dfrac{g}{a}\;\cos(\omega\;t_4) \right]\;</math>» se réécrivant «<math>\;-g\;\sin(\omega\;t_4) = f_s\;g\,\left[ 2 + \cos(\omega\;t_4) \right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sin(\omega\;t_4) + f_s\;\cos(\omega\;t_4) = -2\;f_s\;</math>» ou, avec «<math>\;f_s = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\;</math>», l'équation «<math>\;\sin(\omega\;t_4) + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\;\cos(\omega\;t_4) = -\dfrac{2}{\sqrt{3}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\sin(\omega\;t_4) + \dfrac{1}{2}\;\cos(\omega\;t_4) = -1\;</math>» soit encore, avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\! \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\\ \dfrac{1}{2} = \sin\! \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\end{array}\right\rbrace</math>, l'équation «<math>\;\sin\! \left( \omega\;t_4 + \dfrac{\pi}{6} \right) = -1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\omega\;t_4 + \dfrac{\pi}{6} \equiv \dfrac{3\;\pi}{2} \!\!\pmod{2\;\pi}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;t_4 \equiv \dfrac{4\;\pi}{3\;\omega} \!\!\pmod{\dfrac{2\;\pi}{\omega}}\;</math>» ne donnant finalement aucune solution dans l'intervalle <math>\;\left] t_3 \simeq \dfrac{9}{10}\;\mathcal{T}\,,\, \mathcal{T} \right[\;</math> d'où, le « non glissement du bâti sur le sol se poursuit jusqu'à l'instant <math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega}\;</math>» à partit duquel nous retrouvons dans les conditions de l'instant <math>\;t = 0</math> <math>\;\big(</math>à l'exception de la position du bâti, laquelle n'a aucune importance sur la détermination des effets indésirables de la machine tournante<math>\big)</math>.}}

=== Détermination des conditions de non basculement de la machine tournante dans le cas où son rotor tourne à une vitesse angulaire suffisamment faible pour que le bâti ne glisse pas sur le sol ===

{{Al|5}}La vitesse angulaire de rotation du rotor étant <math>\;\omega \ll \sqrt{\dfrac{g}{a}}</math>, vérifiez que le bâti ne peut pas glisser sur le sol puis,

{{Al|5}}montrer que, malgré cela, la machine tournante peut avoir tendance à basculer dans des conditions que l’on précisera.

{{Solution | contenu = {{Al|5}}Dans le cas où la vitesse angulaire de rotation du rotor <math>\;\omega\;</math> est <math>\;\ll \sqrt{\dfrac{g}{a}}</math>, d'une part il ne peut y avoir rupture de contact entre le bâti et le sol, <math>\;\omega\;</math> étant effectivement <math>\;<\;</math> à <math>\;\omega_1 = \sqrt{\dfrac{2\;g}{a}}</math>, d'autre part, dans l'hypothèse où le bâti ne glisse pas sur le sol, l'application de la relation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;\text{:}\;\;2\;m\;\vec{g} + \vec{N} + \vec{T} = -m\;a\;\omega^2\;\vec{u}_r\;</math> donnant toujours en la projetant sur <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} \vec{u}_z\;\text{:}\;N_z(t) = m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\\ \vec{u}_y\;\text{:}\;T_y(t) = -m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\end{array}\right\rbrace\;</math> et <math>\;a\;\omega^2\;</math> étant <math>\;\ll g < 2\;g</math>, la « loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de ce dernier<ref name="loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement" /> c'est-à-dire “<math>\;\vert T_y(t) \vert < f_s\;N_z(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;m\;a\;\omega^2\;\vert \sin(\omega\;t) \vert < f_s\;m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\;</math>” est validée <math>\;\forall\;t\;</math>» C.Q.F.V<ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref>.

{{Al|5}}Supposons que l’action du sol sur le bâti s’applique en un point «<math>\;I\;</math> d’abscisse <math>\;x_B + u\;</math> avec <math>\;u\,\in\,\left[ -\mathit{l}\,,\, +\mathit{l}\, \right]\;</math>» et appliquons, à l’ensemble « bâti - rotor », le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe fixe <math>\;\left( Cx \right)\;</math> du référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> galiléen dans l’hypothèse où la machine tournante ne bascule pas «<math>\;\mathcal{M}_{Cx,\,\text{ext}} = \dfrac{d\! \left[ \sigma_{Cx,\,\text{bâti}} + \sigma_{Cx,\,\text{rotor}} \right]}{dt}(t)\;</math>» avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \sigma_{Cx,\,\text{bâti}}(t) = 0\\ \sigma_{Cx,\,\text{rotor}}(t) = J_{Cx,\,\text{rotor}}\;\omega\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\big(</math>l'ensemble « bâti - rotor » ne basculant pas et <math>\;J_{Cx,\,\text{rotor}}\;</math> étant le moment d'inertie du rotor relativement à son axe de rotation<math>\big)\;</math> dont nous déduisons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dot{\sigma}_{Cx,\,\text{bâti}}(t) = 0\\ \dot{\sigma}_{Cx,\,\text{rotor}}(t) = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\big(</math>le mouvement de rotation du rotor étant uniforme<math>\big)\;</math> ainsi que {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{Cx,\,\text{ext}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{Cx}\!\left[ m_{\text{bâti}}\;\vec{g} \right] + \mathcal{M}_{Cx}\!\left[ \vec{N} + \vec{T} \right] + \mathcal{M}_{Cx}\!\left[ m_{\text{rotor}}\;\vec{g} \right] = N_z(t)\;u + T_y(t)\;h - m\;g\;a\;\sin(\omega\;t)\;</math>» <math>\;\Big\{m_{\text{bâti}}\;\vec{g}\;</math> s'appliquant en <math>\;B\;</math> a un bras de levier nul, <math>\;N_z(t)\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> tend à faire tourner l'ensemble dans le sens <math>\;+\;</math> pour <math>\;u > 0</math> <math>\;\big[</math>et dans le sens contraire pour <math>\;u < 0\big]</math>, <math>\;T_y(t)\;</math> dans le cas où elle est <math>\;> 0\;</math> tend à faire tourner l'ensemble dans le sens <math>\;+\;</math> <math>\;\big[</math>et dans le sens contraire si <math>\;T_y(t)\;</math> est <math>\;< 0\big]</math> avec un bras de levier égal à <math>\;h</math>, enfin <math>\;m_{\text{rotor}}\;\vec{g}\;</math> s'appliquant en <math>\;A\;</math> tend à faire tourner l'ensemble dans le sens <math>\;-\;</math> si <math>\;A\;</math> est à droite de <math>\;CB</math> <math>\;\big[</math>et dans le sens <math>\;+\;</math> si <math>\;A\;</math> est à gauche de <math>\;CB\big]</math> avec un bras de levier égal à <math>\;a\;\vert \sin(\omega\;t) \vert\;</math> s'écrivant <math>\;a\;\sin(\omega\;t)\;</math> si <math>\;A\;</math> est à droite de <math>\;CB</math> <math>\;\big[</math>et <math>\;-a\;\sin(\omega\;t)\;</math> si <math>\;A\;</math> est à gauche de <math>\;CB\big]\Big\}\;</math> soit <center>dans l'hypothèse où il n'y a pas basculement «<math>\;N_z(t)\;u + T_y(t)\;h - m\;g\;a\;\sin(\omega\;t) = 0\;\;\text{:}\;\left( \mathfrak{4} \right)\;</math> avec <math>\;u\,\in\,\left[ -\mathit{l}\,,\, +\mathit{l}\, \right]\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}comme la composante normale de la réaction du sol sur le bâti reste égale à «<math>\;N_z(t) = m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right] > 0\;</math>»<ref name="validité en cas de glissement" /> et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|comme }}la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti en absence de glissement de ce dernier sur le sol résulte de la projection de la relation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> «<math>\;T_y(t) = -m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;</math>»,

{{Al|5}}nous pouvons réécrire la relation <math>\;\left( \mathfrak{4} \right)\;</math> selon «<math>\;m\,\left[ 2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t) \right]\,u - m\;a\;\omega^2\;\sin(\omega\;t)\;h - m\;g\;a\;\sin(\omega\;t) = 0\;\;\text{:}\;\left( \mathfrak{4}' \right)\;</math>» dont nous tirons «<math>\;u = \dfrac{a\,\left( g + h\;\omega^2 \right)\,\sin(\omega\;t)}{2\;g + a\;\omega^2\;\cos(\omega\;t)} \simeq \dfrac{a\,\left( g + h\;\omega^2 \right)\,\sin(\omega\;t)}{2\;g}\;</math>» <math>\;\big\{a\;\omega^2\;</math> étant <math>\;\ll\;</math> devant <math>\;g\big\}\;</math> soit «<math>\;u \simeq \dfrac{a}{2}\, \left( 1 + \dfrac{h\;\omega^2}{g} \right)\,\sin(\omega\;t)\;</math>» et, dans la mesure où «<math>\;a\;</math> est <math>\not\ll\; h\;</math>», «<math>\;\dfrac{h\;\omega^2}{g} = \dfrac{h}{a}\;\dfrac{a\;\omega^2}{g}\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math>» comme le produit d'un facteur fini <math>\;\dfrac{h}{a}\;</math> et d'un autre infiniment petit <math>\;\dfrac{a\;\omega^2}{g}\;</math> <center>d'où «<math>\;u \simeq \dfrac{a}{2}\;\sin(\omega\;t)\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}enfin, comme la variable <math>\;u\;</math> doit <math>\;\in\,\left[ -\mathit{l}\,,\, +\mathit{l}\, \right]</math>, la relation <math>\;u \simeq \dfrac{a}{2}\;\sin(\omega\;t)\;</math> sera réalisée « si <math>\;\dfrac{a}{2}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\mathit{l}\;</math>» c'est-à-dire « si <math>\;a\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\mathit{l}\;</math>» d'où <center>« avec <math>\;a < 2\;l\;</math> il y a non basculement de la machine tournante » alors que <br>« si <math>\;a\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;l\;</math> le basculement devient possible <math>\;\big(</math>mais non assuré<math>\big)\;</math>».</center>}}

== Étude des petites oscillations d'un pendule pesant élastique ==

[[File:Pendule pesant élastique - équilibre.png|thumb|300px|Schéma descriptif de l'équilibre d'un pendule pesant <math>\;\left( AOB \right)\;</math> pouvant osciller autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( AOB \right)\;</math> en étant retenu en <math>\;A\;</math> par l'action d'un ressort vertical]]
{{Al|5}}Un solide «<math>\;(\mathcal{S})\;</math>» est constitué de deux tiges homogènes rigidement liées l'une à l'autre, <math>\;AO\;</math> et <math>\;OB</math>, faisant entre elles un angle droit, chaque tige étant de masse <math>\;m\;</math> et de longueur <math>\;2\; a</math> ; 

{{Al|5}}l'extrémité commune <math>\;O\;</math> des deux tiges du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant un point fixe du référentiel terrestre d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> galiléen, <math>\;(\mathcal{S})\;</math> peut tourner autour de l'axe horizontal <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_x</math> <math>\;\big\{\perp\;</math> au plan contenant <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et pointant vers le lecteur, <math>\;\vec{u}_x\;</math> orientant les angles algébrisés de ce plan dans le sens antihoraire<math>\big\}</math>, la liaison en <math>\;O\;</math> agissant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] parfaite<ref name="liaison pivot parfaite"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_d'une_«_liaison_pivot_»|définition d'une liaison pivot]] (idéale) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>.

{{Al|5}}Un ressort de masse négligeable, de constante de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;\mathit{l}_0</math>, est accroché à <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;A</math>, l'autre extrémité du ressort <math>\;C\;</math> étant maintenue fixe et telle que la verticale passant par <math>\;C\;</math> est séparée d'une distance horizontale de <math>\;2\; a\;</math> du point <math>\;O\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})</math> ; 

{{Al|5}}lorsque l'ensemble est en équilibre dans le champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> vertical et uniforme, <math>\;AO\;</math> est horizontale et <math>\;OB\;</math> verticale, la longueur du ressort à l'équilibre étant <math>\;\mathit{l}_{\text{éq}} > \mathit{l}_0</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; 

{{Al|5}}nous nous proposons ci-après d'étudier les petites oscillations de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math><ref name="élongations angulaires petites" /> et pour cela nous associons au référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> le repère cartésien <math>\;\left\lbrace 0\,, \left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right) \right\rbrace\;</math> dans lequel la base cartésienne est directe, <math>\;\vec{u}_z\;</math> étant vertical descendant et <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x\;</math> horizontal orienté de <math>\;O\;</math> vers <math>\;A_{\text{éq}}</math>.

{{Al|5}}Nous rappelons l'expression du moment d'inertie d'une tige <math>\;(\mathcal{T})</math>, de masse <math>\;m</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, par rapport à un axe <math>\;\Delta \perp\;</math> à <math>\;(\mathcal{T})\;</math> passant par une de ses extrémités «<math>\;J_\Delta\! \left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\; m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>».

=== Étude de l'équilibre du pendule pesant élastique ===

{{Al|5}}Déduire, de la C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. d'équilibre du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta</math>, l'« allongement <math>\;\Delta \mathit{l}_{\text{éq}} = \mathit{l}_{\text{éq}} - \mathit{l}_0\;</math> du ressort à l'équilibre ».

{{Solution| contenu = [[File:Pendule pesant élastique - équilibre - bis.png|thumb|300px|Schéma descriptif de l'équilibre d'un pendule pesant <math>\;\left( AOB \right)\;</math> pouvant osciller autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( AOB \right)\;</math> en étant retenu en <math>\;A\;</math> par l'action d'un ressort vertical avec représentation des forces extérieures appliquées]]
{{Al|5}}Les forces extérieures appliquées au solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] parfaite<ref name="liaison pivot parfaite" /> avec l'axe horizontal <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O</math>, point fixe du référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>, et <math>\;\perp\;</math> au plan contenant <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sont, dans le cas de l'équilibre de ce dernier :
* le poids <math>\;m_{AO}\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> appliqué au milieu <math>\;I_{A_{\text{éq}}O}\;</math> de <math>\;A_{\text{éq}}O\;</math> de coordonnées <math>\;\left( x_{I_{A_{\text{éq}}O}} = 0\,,\,y_{I_{A_{\text{éq}}O}} = a\,,\,z_{I_{A_{\text{éq}}O}} = 0 \right)</math>,
* le poids <math>\;m_{OB}\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> appliqué au milieu <math>\;I_{OB_{\text{éq}}}\;</math> de <math>\;OB_{\text{éq}}\;</math> de coordonnées <math>\;\left( x_{I_{OB_{\text{éq}}}} = 0\,,\,y_{I_{OB_{\text{éq}}}} = 0\,,\,z_{I_{OB_{\text{éq}}}} = a \right)</math>,
* la force de tension du ressort <math>\;\vec{T}_{\text{éq}} = -k\;\Delta \mathit{l}_{\text{éq}}\;\vec{u}_z\;</math> appliquée en <math>\;A_{\text{éq}}\;</math> de coordonnées <math>\;\left( x_{A_{\text{éq}}} = 0\,,\,y_{A_{\text{éq}}} = 2\;a\,,\,z_{A_{\text{éq}}} = 0 \right)\;</math> avec <math>\;\Delta \mathit{l}_{\text{éq}} = \mathit{l}_{\text{éq}} - \mathit{l}_0\;</math> l'allongement du ressort à l'équilibre et 
* la réaction de l'axe <math>\;\vec{R}_{\text{éq}} = \overline{R}_{\text{éq}}\;\vec{u}_z</math> <math>\;\big\{</math>a priori de direction quelconque mais ici verticale comme toutes les autres forces extérieures<math>\big\}\;</math> appliquée en <math>\;O\;</math> de coordonnées <math>\;\left( x_O = 0\,,\,y_O = 0\,,\,z_O = 0 \right)</math> ainsi qu'un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}\, \perp\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>non représenté<math>\big)\;</math><ref name="actions exercées par liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] (idéale) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; 
{{Al|5}}pour déterminer la C.N<ref name="C.N." />. d'équilibre du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en rotation autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> galiléen, nous écrivons que « le moment résultant dynamique scalaire appliqué à <math>\;(\mathcal{S})\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est nul » dans lequel «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \mathcal{M}_\Delta\! \left( m_{AO}\;\vec{g} \right) + \mathcal{M}_\Delta\! \left( m_{OB}\;\vec{g} \right) + \mathcal{M}_\Delta\! \left( \vec{T}_{\text{éq}} \right) + \mathcal{M}_\Delta\! \left( \vec{R}_{\text{éq}} \right) + \Gamma_x =</math> <math>m\;g\;a\; \cancel{+\; m\;g\;0} - k\;\Delta \mathit{l}_{\text{éq}}\;2\;a\; \cancel{+\; \overline{R}_{\text{éq}}\;0\, +\, 0} = 0\;</math>» <math>\;\big\{m_{AO}\;\vec{g}\;</math> tendant à faire tourner le solide dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier égal à <math>\;a</math>, <math>\;m_{OB}\;\vec{g}\;</math> ayant un bras de levier nul ainsi que <math>\;\vec{R}_{\text{éq}}</math>, <math>\;\vec{T}_{\text{éq}} = -k\;\Delta \mathit{l}_{\text{éq}}\;\vec{u}_z\;</math> tendant à faire tourner <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier égal à <math>\;2\;a\;</math> et enfin <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta</math>, <math>\;\Gamma_x = 0\big\}\;</math> soit, après simplification évidente, l'expression de l'allongement <math>\;\Delta \mathit{l}_{\text{éq}} = \mathit{l}_{\text{éq}} - \mathit{l}_0\;</math> du ressort à l'équilibre «<math>\;\Delta \mathit{l}_{\text{éq}} = \dfrac{m\;g}{2\;k}\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>».}}

{{clr}}
[[File:Pendule pesant élastique - hors équilibre.png|thumb|300px|Schéma descriptif d'une position quelconque hors équilibre d'un pendule pesant <math>\;\left( AOB \right)\;</math> pouvant osciller autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( AOB \right)\;</math> en étant retenu en <math>\;A\;</math> par l'action d'un ressort, l'écart angulaire de la position d'équilibre pour laquelle le ressort est vertical restant faible]]

=== Étude des petites oscillations du pendule pesant élastique ===

{{Al|5}}Déterminer, au préalable, le moment d'inertie <math>\;J_\Delta\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta</math>.

{{Al|5}}On se propose d'étudier les petites oscillations de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> autour de sa position d'équilibre<ref name="élongations angulaires petites" />, l'« angle <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{OA}_{\text{éq}}\,,\, \overrightarrow{OA}(t) \right\rbrace}\;</math> repérant la position de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à un instant <math>\;t\;</math> quelconque restant de valeur absolue petite », on peut considérer que la force exercée par le ressort sur le solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> reste verticale pendant tout le mouvement.

{{Al|5}}En appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> relativement à l'axe <math>\;\Delta\;</math> déterminer l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement rotatoire du pendule « pesant élastique » <math>\;\Big\{</math>nommé ainsi parce qu'il s'agit d'un pendule oscillant sous l'action de son poids <math>\;\big(</math>donc pouvant être qualifié de « pesant »<math>\big)\;</math> et de celle d'un ressort <math>\;\big(</math>suggérant le qualificatif « élastique »<ref> On pourrait même ajouter « vertical » <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)\Big\}\;</math> puis

{{Al|5}}en déduire que le mouvement de rotation du pendule « pesant élastique » autour de <math>\;\Delta\;</math> est sinusoïdal et <br>{{Al|5}}préciser l'expression de la période <math>\;\mathcal{T}\;</math> des petites oscillations de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="élongations angulaires petites" /> autour de <math>\;\Delta\;</math> en fonction de <math>\;m</math>, <math>\;g</math>, <math>\;k\;</math> et <math>\;a</math>.

{{Al|5}}calculer la période <math>\;\mathcal{T}\;</math> sachant que <math>\;m = 100\; g</math>, <math>\;a = 10\; cm</math>, <math>\;k = 12\; N \cdot m^{-1}\;</math> et <math>\;g = 9,8\; m \cdot s^{-2}</math>.

{{clr}}
{{Solution |contenu = {{Al|5}}<u>Moment d'inertie du solide</u><math>\underline{\;\left( \mathcal{S} \right)\;}</math><u>relativement à</u><math>\underline{\;\Delta}</math> : le moment d'inertie de l'ensemble de deux solides par rapport à un même axe étant la somme des moments d'inertie de chaque solide pris individuellement nous en déduisons «<math>\;J_\Delta = J_\Delta(OA) + J_\Delta(OB) = 2 \times \dfrac{1}{3}\; m\, \left( 2\;a \right)^2\;</math>»<ref name="tiges identiques"> Les deux tiges étant de même masse «<math>\;m\;</math>», de même longueur «<math>\;2\; a\;</math>» et l'axe passant par une extrémité commune <math>\;O</math>, les moments d'inertie de chaque solide par rapport à cet axe sont égaux de valeur commune «<math>\;J_\Delta(\mathcal{T}) = \dfrac{1}{3}\; m\, l^2\left( 2\;a \right)^2\;</math>».</ref> soit finalement «<math>\;J_\Delta = \dfrac{8}{3}\; m\; a^2\;</math>».

{{Al|10}}{{Transparent|Moment d'inertie du solide relativement à l'axe : }}<u>Additif : détermination du moment d'inertie d'une tige homogène relativement à un axe</u><math>\underline{\;\perp\;}</math><u>passant par une de ses extrémités</u><ref name="Non demandé"> Ceci n'était pas demandé étant donné que le résultat était fourni.</ref> : soit une tige <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> homogène, de masse linéique <math>\;\lambda_0</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}\;</math> et de masse <math>\;m</math>, le moment d'inertie <math>\;J\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;\perp\;</math> passant par une de ses extrémités choisie comme origine <math>\;O\;</math> de repérage des points de la tige étant définie par «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{T} \right)} \lambda_0\;\vert x_M \vert^2\;dx_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;x_M = \overline{OM}\;</math> orienté vers l'autre extrémité, soit «<math>\;J_\Delta = \lambda_0\;\displaystyle\int_0^{+\mathit{l}} x_M^{\,2}\;dx_M = \lambda_0\, \left[ \dfrac{x_M^{\,3}}{3} \right]_{0}^{+\mathit{l}}</math> <math>= \lambda_0\;\dfrac{\mathit{l}^{\,3}}{3}\;</math>» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la tige <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> «<math>\;m = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{T} \right)} \lambda_0\;dx_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> égale à «<math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» d'où «<math>\;J_\Delta = \dfrac{m\;\mathit{l}^{\,2}}{3}\;</math>» C.Q.F.V<ref name="C.Q.F.V." />.
[[File:Pendule pesant élastique - hors équilibre - bis.png|thumb|300px|Schéma descriptif d'une position quelconque hors équilibre d'un pendule pesant <math>\;\left( AOB \right)\;</math> pouvant osciller autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( AOB \right)\;</math> en étant retenu en <math>\;A\;</math> par l'action d'un ressort, l'écart angulaire de la position d'équilibre pour laquelle le ressort est vertical restant faible et représentation des forces extérieures appliquées]]
{{Al|5}}Les forces extérieures appliquées au solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] parfaite<ref name="liaison pivot parfaite" /> avec l'axe horizontal <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O</math>, point fixe du référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>, et <math>\;\perp\;</math> au plan contenant <math>\;(\mathcal{S})\;</math> sont, dans le cas hors équilibre de ce dernier représenté ci-contre :
* le poids <math>\;m_{AO}\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> appliqué au milieu <math>\;I_{AO}\;</math> de <math>\;AO\;</math> de coordonnées <math>\;\left\lbrace x_{I_{AO}} = 0\,,\,y_{I_{AO}} = a\;\cos(\theta),\,z_{I_{AO}} = a\;\sin(\theta) \right\rbrace</math>,
* le poids <math>\;m_{OB}\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> appliqué au milieu <math>\;I_{OB}\;</math> de <math>\;OB\;</math> de coordonnées <math>\;\left\lbrace x_{I_{OB}} = 0\,,\,y_{I_{OB}} = -a\;\sin(\theta)\,,\,z_{I_{OB}} = a\;\cos(\theta) \right\rbrace</math>,
* la force de tension du ressort <math>\;\vec{T} = -k\, \left( \Delta \mathit{l}\, \right)\,\vec{u}_{C\,\rightarrow\,A}\;</math> appliquée en <math>\;A\;</math> de coordonnées <math>\;\left\lbrace x_A = 0\,,\,y_A = 2\;a\;\cos(\theta)\,,\,z_A = 2a\;\sin(\theta) \right\rbrace\;</math> avec «<math>\;\vec{u}_{C\,\rightarrow\,A} = \dfrac{\overrightarrow{CA}}{CA} =</math> <math>\dfrac{\left[ \mathit{l}_{\text{éq}} + 2\;a\;\sin(\theta) \right]\,\vec{u}_z - 2\;a\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,\vec{u}_y}{\sqrt{\left[ \mathit{l}_{\text{éq}} + 2\;a\;\sin(\theta) \right]^2 + 4\;a^2\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]^2}}\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de <math>\;C\;</math> vers <math>\;A\;</math>»<ref name="vecteur unitaire orientant l'axe du ressort"> En effet «<math>\;\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA_{\text{éq}}} + \overrightarrow{A_{\text{éq}}A} = \mathit{l}_{\text{éq}}\;\vec{u}_z - 2\;a\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,\vec{u}_y + 2\;a\;\sin(\theta)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;CA = \sqrt{\left[ \mathit{l}_{\text{éq}} + 2\;a\;\sin(\theta) \right]^2 + 4\;a^2\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]^2}\;</math>».</ref> ainsi que «<math>\;\Delta \mathit{l} = \mathit{l} - \mathit{l}_0 = CA - \mathit{l}_0\;</math> l'allongement du ressort à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrivant <math>\;\Delta \mathit{l} = \sqrt{\left[ \mathit{l}_{\text{éq}} + 2\;a\;\sin(\theta) \right]^2 + 4\;a^2\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]^2} - \mathit{l}_0\;</math>»<ref name="vecteur unitaire orientant l'axe du ressort" /> et 
* la réaction de l'axe <math>\;\vec{R} = \overline{R}_y\;\vec{u}_y + \overline{R}_z\;\vec{u}_z</math> <math>\;\big\{</math>a priori de direction quelconque mais ici dans le plan <math>\;yOz\;</math> comme toutes les autres forces extérieures<math>\big\}\;</math> appliquée en <math>\;O\;</math> de coordonnées <math>\;\left( x_O = 0\,,\,y_O = 0\,,\,z_O = 0 \right)</math> ainsi qu'un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}\, \perp\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>non représenté<math>\big)\;</math><ref name="actions exercées par liaison pivot" /> ;
{{Al|5}}pour déterminer l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> galiléen, nous appliquons le théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;(\mathcal{S})\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_\Delta\! \left( m_{AO}\;\vec{g},\, t \right) + \mathcal{M}_\Delta\! \left( m_{OB}\;\vec{g},\, t \right) + \mathcal{M}_\Delta\! \left[ \vec{T}(t) \right] + \mathcal{M}_\Delta\! \left[ \vec{R}(t) \right] + \Gamma_x(t) =</math> <math>m\;g\;a\;\cos(\theta) - m\;g\;a\;\sin(\theta) - k\, \left( \Delta \mathit{l}\, \right)\;\dfrac{\left[ \mathit{l}_{\text{éq}} + 2\;a\;\sin(\theta) \right]\,2\;a\;\cos(\theta) + 2\;a\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,2\;a\;\sin(\theta)}{\sqrt{\left[ \mathit{l}_{\text{éq}} + 2\;a\;\sin(\theta) \right]^2 + 4\;a^2\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]^2}}\; \cancel{+\; R(t)\;0\, +\, 0}\;</math>» <math>\;\Bigg\{m_{AO}\;\vec{g}\;</math> tendant à faire tourner le solide dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>pour <math>\;\vert \theta \vert\;</math> aigu<math>\big)\;</math> égal à <math>\;a\;\cos(\theta)</math>, <math>\;m_{OB}\;\vec{g}\;</math> tendant à faire tourner <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le sens <math>\;-\;</math> pour <math>\;\theta > 0</math> <math>\;\big(</math>et dans le sens <math>\;+\;</math> pour <math>\;\theta < 0\big)\;</math> avec un bras de levier <math>\;a\;\vert \sin(\theta) \vert</math> <math>\;\big[</math>se réécrivant «<math>\;a\;\sin(\theta)\;</math> pour <math>\;\theta > 0\;</math>» et «<math>\;-a\;\sin(\theta)\;</math> pour <math>\;\theta < 0\;</math>»<math>\big]</math>, «<math>\;\vec{T}(t)\;</math> se décomposant en <math>\;\vec{T}_z(t) + \vec{T}_y(t)\;</math>», <math>\;\vec{T}_z(t) = -\dfrac{k\, \left( \Delta \mathit{l}\, \right)\,\left[ \mathit{l}_{\text{éq}} + 2\;a\;\sin(\theta) \right]\,\vec{u}_z}{\sqrt{\left[ \mathit{l}_{\text{éq}} + 2\;a\;\sin(\theta) \right]^2 + 4\;a^2\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]^2}}\;</math> tendant à faire tourner <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>pour <math>\;\vert \theta \vert\;</math> aigu<math>\big)\;</math> égal à <math>\;2\;a\;\cos(\theta)</math>, <math>\;\vec{T}_y(t) = \dfrac{k\, \left( \Delta \mathit{l}\, \right)\,2\;a\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,\vec{u}_y}{\sqrt{\left[ \mathit{l}_{\text{éq}} + 2\;a\;\sin(\theta) \right]^2 + 4\;a^2\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]^2}}\;</math> tendant à faire tourner <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le sens <math>\;-\;</math> pour <math>\;\theta > 0</math> <math>\;\big(</math>et dans le sens <math>\;+\;</math> pour <math>\;\theta < 0\big)\;</math> avec un bras de levier <math>\;2\;a\;\vert \sin(\theta) \vert</math> <math>\;\big[</math>se réécrivant «<math>\;2\;a\;\sin(\theta)\;</math> pour <math>\;\theta > 0\;</math>» et «<math>\;-2\;a\;\sin(\theta)\;</math> pour <math>\;\theta < 0\;</math>»<math>\big]</math>, <math>\;\vec{R}(t)\;</math> ayant un bras de levier nul et enfin <math>\;\vec{\Gamma}(t)\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta</math>, <math>\;\Gamma_x(t) = 0\Bigg\}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>J_\Delta\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ou, avec <math>\;J_\Delta = \dfrac{8}{3}\; m\; a^2</math>, l'expression de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement rotatoire du solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> après division des deux membres par <math>\;m\;a^2</math>, <center>«<math>\;\dfrac{g}{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{g}{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{k}{m}\, \left\lbrace \sqrt{\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2 + 4\,\left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2} - \dfrac{\mathit{l}_0}{a} \right\rbrace\;\dfrac{\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,2\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + 4\,\left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,\sin\! \left[ \theta(t) \right]}{\sqrt{\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2 + 4\,\left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2}} = \dfrac{8}{3}\;\ddot{\theta}(t)\;\;\text{:}\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» ;</center>
{{Al|5}}tenant compte de «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;</math>» ainsi que, dans une autre unité, «<math>\;\vert \ddot{\theta}(t) \vert \ll 1\;</math>»<ref name="dérivées temporelles d'infiniment petits"> La grandeur <math>\;\theta(t)\;</math> est un infiniment petit d'ordre un si le maximum de sa valeur absolue l'est et, dans le cas présent où <math>\;\theta(t)\;</math> s'avérera périodique si son amplitude l'est ; les grandeurs dérivées temporelles <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> et <math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> définiront alors des infiniment petits d'ordre un de grandeurs exprimées en <math>\;s^{-1}\;</math> et <math>\;s^{-2}\;</math> car <math>\;\propto\;</math> à l'amplitude de <math>\;\theta(t)\;</math> avec un cœfficient de proportionnalité fini.</ref> et considérant <math>\;\theta(t)\;</math> et <math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> comme des infiniment petits d'ordre un<ref name="infiniment petit d'ordre un" />, <br>{{Al|5}}faisons un « D.L<ref name="D.L." />. de l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta(t)\;</math> et sa dérivée temporelle seconde <math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|faisons un « D.L. }}en utilisant que le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un de <math>\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> est «<math>\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \simeq \theta(t)\;</math>» et de <math>\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> «<math>\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \simeq 1\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{g}{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] - \dfrac{g}{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \simeq \dfrac{g}{a} - \dfrac{g}{a}\;\theta(t)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta(t)\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|faisons un « D.L. en utilisant }}que «<math>\;1 - \cos\!\left[ \theta(t)\right] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta(t)\;</math>» peut être éliminé <math>\;\big(</math>ainsi que ses puissances<math>\big)\;</math> dans le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un de somme d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|faisons un « D.L. en utilisant que }}«<math>\;\sqrt{\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2 + 4\,\left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2} \simeq \sqrt{\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2} = \Bigg\vert \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \Bigg\vert \simeq \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\theta(t)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta(t)\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|faisons un « D.L. en utilisant que }}«<math>\;2\,\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] + 4\,\left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,\sin\! \left[ \theta(t) \right] \simeq 2\,\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \simeq 2\,\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\theta(t) \right\rbrace\,1 = 2\,\left[ \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\theta(t) \right]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta(t)\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|faisons un « D.L. en utilisant que }}dont nous déduisons «<math>\;\dfrac{\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,2\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + 4\,\left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\,\sin\! \left[ \theta(t) \right]}{\sqrt{\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2 + 4\,\left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2}} \simeq \dfrac{2\,\left[ \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\theta(t) \right]}{\dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\theta(t)} = 2\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta(t)\;</math>» et enfin <br>{{Al|11}}{{Transparent|faisons un « D.L. en utilisant que }}«<math>\;\sqrt{\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2 + 4\,\left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2} - \dfrac{\mathit{l}_0}{a} \simeq \sqrt{\left\lbrace \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\sin\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace^2} - \dfrac{\mathit{l}_0}{a} = \Bigg\vert \dfrac{\mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] \Bigg\vert - \dfrac{\mathit{l}_0}{a} \simeq \dfrac{\Delta \mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\theta(t)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta(t)\;</math>»<ref name="définition de l'allongement à l'équilibre"> Avec «<math>\;\Delta \mathit{l}_{\text{éq}} = \mathit{l}_{\text{éq}} - \mathit{l}_0\;</math>».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|faisons un « D.L. en utilisant }}d'où l'expression de l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> «<math>\;\dfrac{g}{a} - \dfrac{g}{a}\;\theta(t) - \dfrac{k}{m}\, \left[ \dfrac{\Delta \mathit{l}_{\text{éq}}}{a} + 2\;\theta(t) \right]\, 2 = \dfrac{8}{3}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ou, en regroupant les termes, <br>{{Al|11}}{{Transparent|faisons un « D.L. en utilisant }}«<math>\;\dfrac{8}{3}\;\ddot{\theta}(t) + \left[ \dfrac{g}{a} + \dfrac{4\;k}{m} \right]\,\theta(t) = \dfrac{g}{a} - \dfrac{2\;k\,\left( \Delta \mathit{l}_{\text{éq}} \right)}{m\;a}\;</math>» et, en utilisant la relation «<math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;\text{:}\;\Delta \mathit{l}_{\text{éq}} = \dfrac{m\;g}{2\;k}\;</math>», «<math>\;\dfrac{8}{3}\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g + 4\;k\;a}{m\;a}\;\theta(t) = 0\;</math>» soit, en normalisant, <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{3}{8}\;\dfrac{m\;g + 4\;k\;a}{m\;a}\;\theta(t) = 0\;</math>»</center> 
{{Al|11}}{{Transparent|faisons un « D.L. en utilisant }}c'est-à-dire l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti prouvant que le mouvement de rotation du pendule « pesant élastique » autour de <math>\;\Delta\;</math> est <u>sinusoïdal</u> de pulsation des petites élongations angulaires<ref name="élongations angulaires petites" /> «<math>\;\omega = \sqrt{\dfrac{3}{8}\;\dfrac{m\;g + 4\;k\;a}{m\;a}}\;</math>» et de période des petites oscillations<ref name="élongations angulaires petites" /> «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{8}{3}\;\dfrac{m\;a}{m\;g + 4\;k\;a}}\;</math>».

{{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : avec <math>\;m = 100\; g</math>, <math>\;a = 10\; cm</math>, <math>\;k = 12\; N \cdot m^{-1}\;</math> et <math>\;g = 9,8\; m \cdot s^{-2}</math>, l'allongement du ressort à l'équilibre vaut «<math>\;\Delta \mathit{l}_{\text{éq}} = \;\dfrac{m\;g}{2\;k} \simeq \dfrac{0,100 \times 9,8}{2 \times 12} \simeq 40,8\;10^{-3}\;m \simeq 4,1\;cm\;</math>» <math>\;\big(</math>non demandé<math>\big)\;</math> et la période des petites oscillations<ref name="élongations angulaires petites" /> «<math>\;\mathcal{T} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{8}{3}\;\dfrac{m\;a}{m\;g + 4\;k\;a}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{8}{3}\;\dfrac{0,100 \times 0,10}{0,100 \times 9,8 + 4 \times 12 \times 0,10}} \simeq 427\;10^{-3}\;s \simeq 0,43\;s\;</math>».}}

== Notes et références ==

<references />

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}