Voir la source de Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels/Circuits magnétiques

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Types de magnétisme/]]
  | suivant   = [[../Équations de Maxwell/]]
  | numéro    = 7
  | niveau    = 16
}}

== Qu'est-ce qu'un circuit magnétique ?  ==

Pour bien aborder ce chapitre, nous allons faire de nombreuses analogies avec l'électrocinétique. À commencer par : comment définit-on un circuit électrique ? Comment marche-t-il ?

Prenons un exemple simple :

[[Fichier:Circuitenderivation.svg|300px]]
[[Fichier:Stranded lamp wire.jpg|thumb|Un fil de cuivre]]

Ce circuit électrique est un système matériel dans lequel on est capable :
* de contrôler de l'énergie (l'énergie électrique)
* de la guider d'une source (la pile) vers des récepteurs (des lampes à incandescence)

Pour guider cette énergie électrique, qui est liée à un flux d'électrons, on utilise un matériau qui est un bon '''conducteur''' d'électricité (par exemple un fil de cuivre). Pour se déplacer, les électrons vont choisir bien évidemment le chemin le plus facile, c'est-à-dire suivre les fils de cuivre pour aller d'un point à un autre.

La philosophie pour un circuit magnétique est la même :
* On cherche à transporter de l'énergie sous forme '''magnétique'''.
* Cette énergie magnétique est véhiculée par un flux magnétique <math>\Phi</math>.
* Pour canaliser ce flux, on a besoin d'un matériau avec une '''grande perméabilité magnétique'''. Ce sont très souvent des matériaux ferromagnétiques. 
* Pour injecter de l'énergie dans le circuit magnétique, on va faire agir un '''magnétomoteur''', c'est-à-dire que l’on va enrouler une bobine autour du matériau formant le circuit magnétique pour créer une source magnétomotrice.

[[Fichier:Flux circular core 500.png]]

Lorsqu'on fait circuler un certain courant dans la bobine, on excite le circuit à l'aide du magnétomoteur <math>\mathfrak F= ni</math>. Un certain champ <math>H=\frac {\mathfrak F}l</math> s'installe. Si la perméabilité relative <span style="font-size:1.2em"><math>\mu_r</math></span> est choisie très grande devant 1, le flux <math>\Phi</math> sera essentiellement canalisé dans le circuit magnétique.

{{Attention|Avec_fond = oui| La canalisation d'un courant électrique est très efficace car le rapport entre un bon conducteur comme par exemple le Cu <math>\rho = 1,6</math> 10{{exp|-8}} et un bon isolant <math>\rho = </math>10{{exp|12}}, le rapport entre les deux milieux est de 10{{exp|20}}. <br />Alors que le rapport entre un bon conducteur magnétique et un isolant, le vide, ne fait que quelques 10{{exp|3}} !}}

== Modélisation d'un circuit magnétique  ==

=== Notion de réluctance  ===

Étudions pour commencer le circuit magnétique ci-dessus :
* de section droite ''S''
* autour duquel est enroulée d'une bobine de ''n'' spires parcourues par un courant ''i''

Nous allons faire plusieurs approximations :
* Le circuit magnétique est parfait, c'est-à-dire que les lignes d'induction sont parfaitement canalisées dans le circuit magnétique (pas de fuites)
* Les lignes du champ induit sont réparties uniformément dans la section : <math>\Phi=B\cdot S</math>

Appliquons le [[Champ magnétique, magnétostatique/Théorème d'Ampère|théorème d'Ampère]] à une ligne de champ orientée en concordance avec le champ induit :
:<math>\begin{align}
ni &= \oint_\mathcal C\vec H\cdot {\rm d}\vec l\\
&= \oint_\mathcal C \frac{\Phi}{\mu S}\,{\rm d}l
\end{align}</math>

{{Définition
 | titre   = Réluctance
 | contenu = On définit la '''réluctance''' d'un circuit magnétique <math>\mathcal C</math> comme la grandeur :
:<math>\mathfrak R=\int_\mathcal C \frac{{\rm d}l}{\mu S}</math>.}}

{{Théorème
 | titre   = Loi d'Hopkinson
 | contenu = <math>\Phi\mathfrak R=ni</math>}}

=== Analogie avec les circuits électriques  ===

On remarque alors une ressemblance forte entre les équations des circuits magnétiques et celles des circuits électriques :

{| class="wikitable" style="text-align:center;" 
|+ Schémas équivalents
! scope=col width="380" height="30" | Circuits électriques
! scope=col width="380"| Circuits magnétiques
|-
! colspan="2" | [[Fichier:schema el mg.png|600px]]
|}


{| class="wikitable" style="text-align:center;" 
|+ Grandeurs macroscopiques
! scope=col  colspan="2" height="30" | Circuits électriques
! scope=col  colspan="2" | Circuits magnétiques
|-
! scope=col width="200" height="30"| Grandeur 
! scope=col width="180" | Unité
! scope=col width="200" | Grandeur
! scope=col width="180" | Unité
|-
| height="60" | Force électromotrice <br /> <span style="font-size:1.2em"><math>e</math></span>  
|| Volt <br />V 
|| Force magnétomotrice <br /><math>\mathfrak F=ni</math> 
|| Ampère tour <br />At
|-
| height="60" | Intensité du courant électrique <br /><math>I=\frac eR</math>
|| Ampère <br />A 
|| Flux magnétique <br /><math>\Phi=\frac {\mathfrak F}{\mathfrak R}</math>
|| weber <br />Wb
|-
| height="60" | Résistance électrique <br /><math>R=\frac1\sigma\frac lS</math>
|| ohm <br />Ω 
|| Réluctance magnétique <br /><math>\mathfrak R=\frac1\mu\frac lS</math> 
|| Henry{{exp|-1}} <br />H{{exp|-1}}
|}



Pour passer des grandeurs macroscopique, caractéristiques du circuit, à des grandeurs microscopiques, caractéristiques de la matière, on commence par diviser la force motrice par la longueur du chemin supposé homogène et on obtient donc le champ électrique (ou magnétique). Ensuite pour s'affranchir de la section du chemin on divise l'intensité du courant (ou le flux) par la section et on obtient la densité de courant (ou la densité de flux qui n'est autre que l'induction magnétique).

{| class="wikitable" style="text-align:center;" 
|+ Grandeurs microscopiques
! scope=col  colspan="2" height="30" | Circuits électriques
! scope=col  colspan="2" | Circuits magnétiques
|-
! scope=col width="200" height="30" | Grandeur 
! scope=col width="180" | Unité
! scope=col width="200" | Grandeur
! scope=col width="180" | Unité
|-
| height="60" | Champs électrique <br /><math>E=\frac el</math>
|| Volt par mètre <br />Vm{{exp|-1}} 
|| Champ magnétique <br /><math>H=\frac {\mathfrak F}l</math>
|| Ampère tour par mètre <br />Atm{{exp|-1}}
|-
| height="60" | Densité de courant électrique <br /><math>J=\frac IS</math>
|| Ampère par mètre carré <br />Am{{exp|-2}} 
|| Densité de flux<br />ou Induction <br /><math>B=\frac {\Phi}{S}</math>
|| Weber par mètre carré<br />ou Tesla <br />T
|-
| height="60" | Conductibilité électrique <br /><math>\sigma=\frac JE</math>
|| Siemens par mètre <br />Sm{{exp|-1}} 
|| Perméabilité magnétique <br /><math>\mu=\frac BH</math> 
|| Henry par mètre <br />Hm{{exp|-1}}
|}


{{Attention|Avec_fond = oui|Même si les formules sont très semblables, ce qui nous permet de faire une analogie pour les calculs ou pour des représentations graphiques des circuits magnétiques, il ne faut pas oublier que les phénomènes physiques sont complètement différents !}}
:En effet, en électricité, la résistance ''R'' représente un phénomène de résistance de passage au courant, et donc de '''dissipation''' d'énergie sous forme de chaleur, ce qui n’est pas du tout le cas de la réluctance <math>\mathfrak R</math> qui ne chauffe pas !
:La densité de courant J est à l'origine de la fusion du conducteur (fusibles). La densité de flux (ou l'induction B) est à l'origine d'une saturation éventuelle sans destruction du chemin magnétique. Une induction trop forte fait progressivement tendre <span style="font-size:1.2em"><math>\mu_r</math></span> vers 1, le matériau perd ses propriétés ferromagnétiques. 
:Exemple : un fusible cylindrique va fondre à 30 A/mm{{exp|2}}, un matériau ferromagnétique va se saturer à 1 T.

== Auto-induction ==
=== Coefficient d’auto-induction ===

On appelle coefficient de self induction ou d’auto-induction le coefficient L qui relie la fem e(t) et variation du courant dans une bobine :

<math>e(t) = L\frac {di(t)}{dt}</math>

De la même manière que C est le coefficient qui relie le courant à la variation de la différence de potentiel aux bornes d’un condensateur.

<math>i(t) = C\frac {de(t)}{dt}</math>

Ces deux dernières expressions étant tout simplement la loi d'ohm généralisée.

<span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>e(t) = R i(t)</math></span></span></span>

[[Fichier:Schema rlc.png|500px]]

{{Définition
 | titre   = Inductance, définition
 | contenu = On définit '''l'inductance''' d'une bobine avec circuit magnétique <math> L</math> comme la grandeur :
:<math>L =\frac {n^2}{\mathfrak R}</math>}}

{{Démonstration
 | titre   = Démonstration L
 | contenu = <math>L =\frac {e(t)}{di(t)/dt}</math>

mais <math>\Phi = \frac {\mathfrak F}{\mathfrak R} = \frac {ni(t)}{\mathfrak R}</math> et donc <math>\frac {d\Phi}{di} = \frac n{\mathfrak R}</math>

<math>e(t) = L \frac {di(t)}{dt} = n \frac {d\Phi}{dt}</math> loi de LENZ (sans signe moins dans ce repère)

<math>L = n \frac {d\Phi}{di} = \frac {n^2}{\mathfrak R}</math>}}

Cette dernière relation est d'une grande importance pratique. En effet la mesure de '''L''', qui est une quantité purement électrique, est aussi une mesure indirecte de <math>\mathfrak R</math>. Ceci s'avère très utile pour évaluer la valeur de la réluctance, en particulier en présence d'entre fer où le flux s'évase toujours plus ou moins et où le calcul est assez compliqué.

{{Exemple
 | titre   = Exemple, Solénoïde allongé sans noyau
 | contenu = Sachant que la réluctance d'un solénoïde allongé est essentiellement localisée à l'intérieur du tube défini par la bobine, calculer le coefficient d'auto-induction L d'une telle bobine.

La propriété sur laquelle on appuie le calcul est vérifiée si la longueur l est au moins 7 fois le diamètre de la bobine.}}

La réluctance magnétique <math>\mathfrak R=\frac1\mu_{0}\frac lS =\frac1\mu_{0}\frac l{\pi\mathfrak  r^2} </math> 

L'inductance <math>L =\frac {n^2}{\mathfrak R} = \frac {n^2 \mu_{0} \pi\mathfrak r^2}l</math>


==== Méthode de mesure de L  ====
{{Principe
 | titre   = Principe
 | contenu = En tout point on a toujours :
:<math>e(t) = L\frac {di(t)}{dt}</math>}}

Il suffit donc de retrancher à <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>u(t)</math></span></span>, tension aux bornes de la bobine, les chutes ohmiques <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>Ri(t)</math></span></span> pour remonter à <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>e(t)</math></span></span>. Ayant mesuré <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>i(t)</math></span></span> et sa dérivée <math>\frac {di(t)}{dt}</math>, L est tout simplement le rapport <math>L =\frac {e(t)}{di(t)/dt}</math>.

{| class="wikitable" style="text-align:center;" 
|+ Méthode de mesure de L
! scope=col width="380" height="30" | Schéma
! scope=col width="380"| Réponse
|-
! colspan="2" | [[Fichier:schema rl rep.png|600px]]
|}

Cette méthode est applicable en tous point de la réponse <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>i(t)</math></span></span> et présente donc l’intérêt majeur de pouvoir faire une mesure autour du point <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>I_{0}</math></span></span> d’utilisation prévu pour <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>L</math></span></span>. Sachant que <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>L</math></span></span> est une fonction de <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>i</math></span></span> en présence d'un noyau en fer doux, revoir les courbes <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>B(H)</math></span></span> pour justification, il est alors possible de faire une mesure au point précis d’utilisation.


==== Energie stockée dans L  ====
{{Définition
 | titre   = Définition
 | contenu = On définit '''l'énergie''' stockée dans une bobine avec circuit magnétique la grandeur :
:<math>W = \frac 1{2} L i^2</math> }}

{{Démonstration
 | titre   = Démonstration
 | contenu = On applique U = Cte qui égale la fcem de Lenz, donc  <math> U =\frac {di(t)}{dt}</math>

<span style="font-size:1.2em"><math>i(t)</math></span> évolue linéairement <math>i(t) =\frac {U}{L} t</math> pendant <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><math>\Delta t</math></span></span>

<span style="font-size:1.2em"><math>i(t)</math></span> évolue de <span style="font-size:1.2em">0 à <math>I_{Max}</math></span> pendant <span style="font-size:1.2em"><math>\Delta t</math></span> et sa valeur moyenne est <math>\frac {I_{Max}} 
2</math>

<span style="font-size:1.2em"><math>W = U I_{moy} \Delta t</math></span> mais <math>U \frac {\Delta t}L = I_{Max}</math> et <math>I_{moy} = \frac {I_{Max}}2 </math> donc <math>W = \frac 1{2} 
L i^2</math>

Cette expression est à rapprocher de <math>W = \frac 1{2} C e^2</math> pour un condensateur. }}

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Types de magnétisme/]]
  | suivant   = [[../Équations de Maxwell/]]
}}