Voir la source de Initiation au calcul intégral/Intégration par parties

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 4
  | précédent = [[../Propriétés de l'intégrale/]]
  | suivant   = [[../Intégrale sans bornes et primitives/]]
  | page_liée   = Exercices/Intégration par parties
  | niveau    = 13
}}

== Introduction ==
{{Wikipédia|Intégration par parties}}

L'''intégration par parties'' (IPP) est une propriété couramment utilisée dans le calcul d'intégrales car elle simplifie radicalement des expressions complexes. Elle consiste à "jouer" avec les applications mises en jeu.

== Formule d'intégration par parties  ==

La formule de l'Intégration Par Parties (IPP) est donnée par la relation suivante:

{{Théorème
 |contenu = Soient ''u'' et ''v'' deux fonctions dérivables, dont les dérivées sont continues.

<math>\int_a^b{u'v}=[uv]_a^b-\int_a^b{uv'}</math>
}}

Cette formule provient de l'intégration de la formule de dérivation d'un produit.

==== Exemple simple  ====

On sait qu'une primitive de <math>x\mapsto x</math> est <math>x\mapsto\frac{x^2}2</math> .  

On souhaite ici calculer <math>\int_0^1x~\mathrm dx</math> sans utiliser cette primitive, grâce à la formule d'intégration par parties en écrivant que <math>\int_0^1x~\mathrm dx=\int_0^1{1\times x~\mathrm dx}</math>

:On pose :
:* sur <math>\R</math> la fonction <math>v:x\mapsto x</math>, donc pour tout <math>x\in\R,~v'(x)=1</math>
:* ''u'' une fonction telle que pour tout <math>x\in\R,~u'(x)=1</math>, par exemple <math>u:x\mapsto x</math>

<math>\begin{align}\int_0^1x~\mathrm dx&=\int_0^1{1\times x~\mathrm dx}\\
&=\int_0^1{u'(x)v(x)~\mathrm dx}\\
&=[uv]_0^1-\int_0^1u(x)v'(x)~\mathrm dx\\
&=[x\times x]_{x=0}^{x=1}-\int_0^1x\times1~\mathrm dx\end{align}</math>

<math>
\iff \int_0^1{1\times x~\mathrm dx} +\int_0^1x\times1~\mathrm dx =[x\times x]_{x=0}^{x=1}
</math>

<math>
\iff 2\int_0^1x~\mathrm dx = [x\times x]_{x=0}^{x=1}
</math>

ce qui se simplifie en :
<math>2\int_0^1x~\mathrm dx=1^2-0^2=1</math>
:Donc <math>\int_0^1x~\mathrm dx=\frac12</math>

==== Exemple classique  ====

{{Prérequis  | idfaculté = mathématiques|sujet=la fonction exponentielle|cours=Fonction exponentielle}}

:Calculer <math>\int_0^1{xe^x~\mathrm dx}</math>

* On choisit ''u'' telle que pour tout <math>x\in\R,~u'(x)=\cdots</math>
* On pose pour tout <math>x\in\R,~v(x)=\cdots</math>

On obtient pour tout <math>x\in\R,~u(x)=\cdots</math> et <math>v'(x)=\cdots</math>:

<math>\int_0^1{xe^x~\mathrm dx}=\cdots</math>


{{Solution
  | contenu =
* On choisit une fonction ''u'' telle que pour tout <math>x\in\R,~u'(x)=e^x</math>
* On pose sur <math>\R</math> la fonction <math>v:x\mapsto x</math>
* On obtient pour tout <math>x\in\R,~u(x)=e^x</math> et <math>v'(x)=1</math>.

On applique alors la formule d'intégration par parties :
<math>\begin{align}\int_0^1{xe^x~\mathrm dx}&=\int_0^1{u'(x)v(x)~\mathrm dx}\\
&=[uv]_0^1-\int_0^1u(x)v'(x)~\mathrm dx\\
&=[xe^x]_{x=0}^{x=1}-\int_0^1{e^x~\mathrm dx}\\
&=1e^1-0e^0-(e^1-e^0)\\
&=e-e+1\\
&=1
\end{align}</math>}}

==== Avec cosinus  ====

<math>\int_0^{\pi}{x\cos(x)~\mathrm dx}</math>

{{Solution
  | contenu =
* On choisit une fonction ''u'' telle que pour tout <math>x\in\R,~u'(x)=\cos(x)</math>
* On pose sur <math>\R</math> la fonction <math>v:x\mapsto x</math>
* On obtient pour tout <math>x\in\R,~u(x)=\sin(x)</math> et <math>v'(x)=1</math>.

On applique alors la formule d'intégration par parties :
<math>\begin{align}\int_0^{\pi}{x\cos(x)~\mathrm dx}&=\int_0^{\pi}{u'(x)v(x)~\mathrm dx}\\
&=[uv]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}u(x)v'(x)~\mathrm dx\\
&=[x\sin(x)]_{x=0}^{x=\pi}+\int_0^{\pi}{(-\sin(x))~\mathrm dx}\\
&=[x\sin(x)]_{x=0}^{x=\pi}+[\cos(x)]_{x=0}^{x=\pi}\\
&=[\cos(x)]_{x=0}^{x=\pi}\\
&=-2\\
\end{align}</math>}}

==== Avec un logarithme  ====

{{Prérequis  | idfaculté = mathématiques|sujet=la fonction logarithme|cours=Fonction logarithme}}

<math>\int_1^4{x\ln(x)~\mathrm dx}</math>

{{Solution
  | contenu =
* On choisit une fonction ''u'' telle que pour tout <math>x\in[1;4],~u'(x)=x</math>
* On pose sur [1;4] la fonction <math>v:x\mapsto \ln(x)</math>
* On obtient pour tout <math>x\in[1;4],~u(x)=\frac{x^2}2</math> et <math>v'(x)=\frac1x</math>.

On applique alors la formule d'intégration par parties :
<math>\begin{align}\int_1^4{x\ln(x)~\mathrm dx}&=\int_1^4{u'(x)v(x)~\mathrm dx}\\
&=[uv]_1^4-\int_1^4u(x)v'(x)~\mathrm dx\\
&=\left[\frac{x^2}2\ln(x)\right]_{x=1}^{x=4}-\int_1^4 \frac{x^2}2\frac1x~\mathrm dx\\
&=8\ln(4)-0-\frac12\int_1^4 x~\mathrm dx\\
&=8\ln(2^2)-\frac12\left[\frac{x^2}2\right]_{x=1}^{x=4}\\
&=8\times2\ln(2)-\frac12\left(\frac{4^2}2-\frac12\right)\\
&=16\ln(2)-\frac{15}4\\
\end{align}</math>}}

==== En utilisant consécutivement plusieurs IPP  ====

{{Prérequis  | idfaculté = mathématiques|sujet=la fonction exponentielle|cours=Fonction exponentielle}}

<math>\int_{-1}^1{x^2e^x~\mathrm dx}</math>.

{{Solution
  | contenu =
* On choisit une fonction ''u'' telle que pour tout <math>x\in[-1;1],~u'(x)=e^x</math>
* On pose sur [-1;1] la fonction <math>v:x\mapsto x^2</math>
* On obtient pour tout <math>x\in[-1;1],~u(x)=e^x</math> et <math>v'(x)=2x</math>.

On applique alors la formule d'intégration par parties :
<math>\begin{align}\int_{-1}^1{x^2e^x~\mathrm dx}&=\int_{-1}^1{u'(x)v(x)~\mathrm dx}\\
&=[uv]_{-1}^1-\int_{-1}^1u(x)v'(x)~\mathrm dx\\
&=[x^2e^x]_{x=-1}^{x=1}-2\int_{-1}^1 xe^x~\mathrm dx\\
&=e-\frac1e-2\int_{-1}^1 xe^x~\mathrm dx
\end{align}</math>

* On choisit une fonction ''u₂'' telle que pour tout <math>x\in[-1;1],~u_2'(x)=e^x</math>
* On pose sur [-1;1] la fonction <math>v_2:x\mapsto x</math>
* On obtient pour tout <math>x\in[-1;1],~u_2(x)=e^x</math> et <math>v_2'(x)=1</math>.

On applique alors derechef la formule d'intégration par parties :
<math>\begin{align}
e-\frac1e-2\int_{-1}^1 xe^x~\mathrm dx&=e-\frac1e-2\int_{-1}^1 u_2'(x)v_2(x)~\mathrm dx\\
&=e-\frac1e-2\left([u_2v_2]_{-1}^1-\int_{-1}^1 u_2(x)v_2'(x)~\mathrm dx\right)\\
&=e-\frac1e-2\left([xe^x]_{-1}^1-\int_{-1}^1 e^x~\mathrm dx\right)\\
&=e-\frac1e-2\left(e+\frac1e-[e^x]_{x=-1}^{x=1}\right)\\
&=e-\frac1e-2\left(e+\frac1e-\left(e-\frac1e\right)\right)\\
&=e-\frac5e\\
\end{align}</math>}}

==== Exemple corrigé  ====

<math>A=\int_0^2{(x-2)e^x~\mathrm dx}</math>.

{{Solution
  | contenu =
On choisit <math>u'(x)=e^x</math> et <math>v(x)=x-2</math>

On obtient  <math>u(x)=e^x</math> et <math>v'(x)=1</math>:

:Ainsi, on obtient <math>[(x-2)e^x]_0^2 - \int_0^2{e^x dx} = 0 + 2 - [e^x]_0^2</math>
:D'où <math>A = 0 + 2 - (e^2 - 1) = 3 - e^2</math>}}


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