Initiation au calcul intégral/Intégration par parties

Introduction

L'intégration par parties (IPP) est une propriété couramment utilisée dans le calcul d'intégrales car elle simplifie radicalement des expressions complexes. Elle consiste à "jouer" avec les applications mises en jeu.

Formule d'intégration par parties

La formule de l'Intégration Par Parties (IPP) est donnée par la relation suivante:

Cette formule provient de l'intégration de la formule de dérivation d'un produit.

Exemple simple

On sait qu'une primitive de $x\mapsto x$ est $x\mapsto \frac{x^2}{2}$ .

On souhaite ici calculer $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\mathrm{d}x$ sans utiliser cette primitive, grâce à la formule d'intégration par parties en écrivant que $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}1\times x\mathrm{d}x$

On pose :

• sur $ℝ$ la fonction $v:x\mapsto x$, donc pour tout $x\in ℝ,v^{\prime }(x)=1$
• u une fonction telle que pour tout $x\in ℝ,u^{\prime }(x)=1$, par exemple $u:x\mapsto x$

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\mathrm{d}x& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}1\times x\mathrm{d}x\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x\\ & =[uv{]}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x\\ & =[x\times x{]}_{x=0}^{x=1}-\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\times 1\mathrm{d}x\end{array}$

$⟺\underset{0}{\overset{1}{\int }}1\times x\mathrm{d}x+\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\times 1\mathrm{d}x=[x\times x{]}_{x=0}^{x=1}$

$⟺2\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\mathrm{d}x=[x\times x{]}_{x=0}^{x=1}$

ce qui se simplifie en : $2\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\mathrm{d}x=1^2-0^2=1$

Donc $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$

Exemple classique

Calculer $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^x\mathrm{d}x$

• On choisit u telle que pour tout $x\in ℝ,u^{\prime }(x)=\cdots$
• On pose pour tout $x\in ℝ,v(x)=\cdots$

On obtient pour tout $x\in ℝ,u(x)=\cdots$ et $v^{\prime }(x)=\cdots$:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^x\mathrm{d}x=\cdots$

Modèle:Solution

Avec cosinus

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}x\cos (x)\mathrm{d}x$

Avec un logarithme

$\underset{1}{\overset{4}{\int }}x\ln (x)\mathrm{d}x$

En utilisant consécutivement plusieurs IPP

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^2{e}^x\mathrm{d}x$.

Exemple corrigé

$A=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(x-2)e^x\mathrm{d}x$.

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