Voir la source de Géométrie affine/Applications affines

{{Chapitre
  | numéro      = 2
  | idfaculté   = mathématiques
  | niveau      = 15
  | précédent = [[../Espaces affines/]]
  | suivant   = [[../Barycentres/]]
  | page_liée   = Exercices/Applications affines
}}

Dans ce chapitre, <math>\mathcal E</math> et <math>\mathcal F</math> sont deux espaces affines, de directions respectives <math>E</math> et <math>F</math>.

== Définition ==
{{Définition|contenu=
Une '''application''' <math>f:\mathcal E\to\mathcal F</math> est dite '''affine''' s'il existe une application linéaire <math>\vec f:E\to F</math> telle que
:<math>\forall A,B\in\mathcal E\quad\overrightarrow{f(A)f(B)}=\vec f(\overrightarrow{AB})</math>.
<math>\vec f</math> est alors appelée la partie linéaire de <math>f</math>.
}}
{{Proposition|contenu=
Soit <math>O\in\mathcal E</math> fixé. Une application <math>f:\mathcal E\to\mathcal F</math> est affine si et seulement s'il existe un point <math>O'\in\mathcal F</math> et une application linéaire <math>\vec f:E\to F</math> tels que
:<math>\forall M\in\mathcal E\quad f(M)=O'+\vec f(\overrightarrow{OM})</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Si <math>f</math> est affine, de partie linéaire <math>\vec f</math>, alors en posant <math>O'=f(O)</math> on a bien l'égalité voulue.

Réciproquement si, pour un certain un point <math>O'\in\mathcal F</math> et une certaine application linéaire <math>\vec f:E\to F</math>, on a
:<math>\forall M\in\mathcal E\quad f(M)=O'+\vec f(\overrightarrow{OM})</math>,
alors
:<math>\forall A,B\in\mathcal E\quad\overrightarrow{f(A)f(B)}=\vec f(\overrightarrow{OB})-\vec f(\overrightarrow{OA})=\vec f(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\vec f(\overrightarrow{AB})</math>.
}}

== Exemples ==
{{Définition|contenu=
{{Wikipédia|Translation}}
*Une '''translation''' est une application affine <math>f:\mathcal E\to\mathcal E</math> dont la partie linéaire <math>\vec f</math> est <math>\mathrm{id}_E</math>. Le vecteur <math>\overrightarrow{Mf(M)}</math> est alors indépendant du point <math>M\in\mathcal E</math> et est appelé le vecteur de la translation <math>f</math>.
{{Wikipédia|Homothétie}}
*Une '''homothétie''' (affine) de rapport <math>\lambda\notin\{0,1\}</math> est une application affine <math>f:\mathcal E\to\mathcal E</math> dont la partie linéaire <math>\vec f</math> est l'homothétie (vectorielle) <math>\lambda\mathrm{id}_E</math>. Elle admet un unique [[w:Point fixe|point fixe]], appelé le centre de l'homothétie.
{{Wikipédia|Symétrie centrale}}
*Les '''symétries centrales''' sont les homothéties de rapport <math>-1</math>.
}}
{{Définition|contenu=
Soient <math>\mathcal F</math> un sous-espace affine de <math>\mathcal E</math>, <math>F</math> sa direction, et <math>G</math> un supplémentaire de <math>F</math> dans <math>E</math>.
{{Wikipédia|Projection affine}}{{Wikipédia|Affinité (mathématiques)|Affinité}}
*La '''projection''' sur <math>\mathcal F</math> parallèlement à <math>G</math> est l'application <math>p:\mathcal E\to\mathcal E</math> définie par : pour tout <math>M\in\mathcal E</math>,
*:<math>p(M)\in\mathcal F\cap(M+G)</math>.
*La '''symétrie''' par rapport à <math>\mathcal F</math> parallèlement à <math>G</math> est alors l'application <math>s:\mathcal E\to\mathcal E</math> définie par : pour tout <math>M\in\mathcal E</math>,
*:<math>s(M)</math> est le symétrique de <math>M</math> par rapport à <math>p(M)</math>.
*L''''affinité''' de base <math>\mathcal F</math>, de direction <math>G</math> et de rapport <math>\lambda</math> est l'application <math>f:\mathcal E\to\mathcal E</math> définie par : pour tout <math>M\in\mathcal E</math>,
*:<math>\overrightarrow{p(M)f(M)}=\lambda\overrightarrow{p(M)M}</math>.
}}
;Remarques
:*Si <math>\mathcal F=\{O\}</math> alors <math>G=E</math>, <math>p</math> est l'application constante <math>M\mapsto O</math>, et <math>f</math> est l'homothétie de centre <math>O</math> et de rapport <math>\lambda</math>.
:*Les symétries sont les affinités de rapport <math>-1</math> et les projections sont les affinités de rapport <math>0</math>.
{{Proposition|contenu=
*Toutes les affinités sont des applications affines.
*<math>\mathcal F</math> est à la fois l'image de <math>p</math> et l'ensemble des points fixes de <math>p</math> et de <math>s</math>.
*<math>\vec p</math> est la [[Application linéaire/Projecteurs, symétries|projection (vectorielle)]] sur <math>F</math> parallèlement à <math>G</math>, et <math>\vec s</math> est la [[Application linéaire/Projecteurs, symétries|symétrie (vectorielle)]] par rapport à <math>F</math>, parallèlement à <math>G</math>.
*Les projections affines sont les applications affines [[w:Idempotence|idempotentes]].
*Les symétries affines sont les applications affines [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection#Application réciproque d’une application bijective|involutives]].
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Seule la réciproque des deux derniers points nécessite une preuve.
*Soit <math>p:\mathcal E\to\mathcal E</math> une application affine idempotente. Alors, l'application linéaire <math>\vec p</math> est idempotente donc c'est une projection, sur un sous-espace vectoriel <math>F\subset E</math>, parallèlement à un supplémentaire <math>G\subset E</math>. Puisque <math>p\circ p=p</math>, tous les points de <math>\operatorname{im}(p)</math> sont fixes par <math>p</math>. Fixons-en un, <math>O</math>. Alors, pour tout <math>M\in\mathcal E</math>, <math>\overrightarrow{Op(M)}=\vec p(\overrightarrow{OM})\in F</math> et <math>\overrightarrow{Mp(M)}=\vec p(\overrightarrow{OM})-\overrightarrow{OM}\in G</math> donc <math>p(M)\in(O+F)\cap(M+G)</math>, ce qui prouve que <math>p</math> est la projection sur <math>O+F</math> parallèlement à <math>G</math>.
*Soit <math>s:\mathcal E\to\mathcal E</math> une application affine involutive. Alors, l'application affine <math>p:=\frac{s+\mathrm{id}_{\mathcal E}}2</math> (qui à tout point <math>M\in\mathcal E</math> associe le milieu de <math>[M,s(M)]</math>) est idempotente donc est une projection, si bien que s est une symétrie.
}}

== Propriétés ==
{{Proposition|contenu=Soient <math>f:\mathcal E\to\mathcal F</math> et <math>g:\mathcal F\to\mathcal G</math> deux applications affines. Alors la composée <math>g\circ f:\mathcal E\to\mathcal G</math> est une application affine et <math>\overrightarrow{g\circ f}=\vec g\circ\vec f</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
<math>\forall A,B\in\mathcal E\quad\overrightarrow{(g\circ f)(A)(g\circ f)(B)}=\vec g(\overrightarrow{f(A)f(B)})=(\vec g\circ\vec f)(\overrightarrow{AB})</math>.
}}
{{Proposition|contenu=Une application affine <math>f:\mathcal E\to\mathcal F</math> est bijective si et seulement si <math>\vec f:E\to F</math> l'est. Dans ce cas, <math>f^{-1}:\mathcal F\to\mathcal E</math> est affine et <math>\overrightarrow{f^{-1}}=\vec f^{-1}</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Soient <math>O\in\mathcal E</math> et <math>O'=f(O)</math>.
*Si <math>\vec f</math> est bijective alors <math>f</math> aussi et <math>f^{-1}</math> est affine, car
*:<math>\forall N\in\mathcal F\quad\forall M\in\mathcal E\quad N=f(M)\Leftrightarrow\overrightarrow{O'N}=\vec f(\overrightarrow{OM})\Leftrightarrow M=O+\vec f^{-1}(\overrightarrow{O'N})</math>.
*Réciproquement, si <math>f</math> est bijective alors <math>\vec f</math> aussi car
*:<math>\forall v\in F\quad\forall u\in E\quad v=\vec f(u)\Leftrightarrow O'+v=f(O+u)\Leftrightarrow u=\overrightarrow{Of^{-1}(O'+v)}</math>.
}}
{{Corollaire|contenu=
*L'ensemble des bijections affines de <math>\mathcal E</math> dans <math>\mathcal E</math> est un sous-groupe du [[Théorie des groupes/Groupes symétriques finis#Groupe symétrique comme groupe opérant|groupe <math>(S(\mathcal E),\circ)</math> des bijections de <math>\mathcal E</math> dans <math>\mathcal E</math>]]. On l'appelle le '''groupe affine''' de <math>\mathcal E</math> et on le note <math>\operatorname{GA}(\mathcal E)</math>.
*Le sous-ensemble des applications affines de <math>\mathcal E</math> dans <math>\mathcal E</math> qui sont des homothéties ou des translations ou l'identité, est un sous-groupe du précédent. On l'appelle le '''groupe des homothéties-translations''' de <math>\mathcal E</math> et on le note <math>\operatorname{HT}(\mathcal E)</math>.
}}
{{Proposition|contenu=Soient <math>f:\mathcal E\to\mathcal F</math> une application affine et <math>\mathcal G\subset\mathcal E</math> un sous-espace affine de <math>\mathcal E</math>, de direction <math>G\subset E</math>. Alors, <math>f(\mathcal G)</math> est un sous-espace affine de <math>\mathcal F</math>, de direction <math>\vec f(G)\subset F</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Soit <math>A\in\mathcal G</math>. Alors, <math>f(\mathcal G)=f(A+G)=f(A)+\vec f(G)</math>.
}}
{{Proposition|contenu=
Soit <math>f:\mathcal E\to\mathcal E</math> une application affine. Si l'ensemble <math>\operatorname{Fix}(f)</math> des points fixes de <math>f</math> n'est pas vide, alors c'est un sous-espace affine de <math>\mathcal E</math>, de direction le sous-espace vectoriel <math>\ker(\vec f-\mathrm{id}_E)</math> de <math>E</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soit <math>O\in\operatorname{Fix}(f)</math>. Alors, <math>M\in\operatorname{Fix}(f)\Leftrightarrow O+\vec f(\overrightarrow{OM})=M\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}\in\operatorname{Fix}(\vec f)=\ker(\vec f-\mathrm{id}_E)</math>.
}}

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  | précédent = [[../Espaces affines/]]
  | suivant   = [[../Barycentres/]]
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