Voir la source de Généralités sur les fonctions/Exercices/Calcul d'image

{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | niveau    = 11
  | précédent = [[../Ensemble de définition/]]
  | suivant   = [[../Recherche d'antécédents/]]
}}

== Exercice 2-1 ==

1) Soit <math>f</math> la fonction définie sur <math>\R</math> par : <math>f(x)=-3x+2</math>.
#Calculer l'image de <math>2</math> par <math>f</math>.
#Calculer <math>f(-3)</math>.
#Calculer l'image de <math>\frac16</math> par <math>f</math>.
#Exprimer en fonction de <math>\sqrt2</math> le nombre <math>f\left(\sqrt2\right)</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>f(2)=-3\times2+2=-4</math>.
#<math>f(-3)=-3\times(-3)+2=11</math>.
#<math>f\left(\frac16\right)=-3\times\frac16+2=\frac32</math>.
#<math>f\left(\sqrt2\right)=-3\sqrt2+2</math>.
}}

2) Soit la fonction <math>f</math> définie sur <math>\R</math> par : <math>f(x)=2x^2-3x+4</math>.
#Calculer l'image de <math>2</math> par <math>f</math>.
#Calculer <math>f(-3)</math>.
#Calculer l'image de <math>\frac16</math> par <math>f</math>.
#Exprimer en fonction de <math>\sqrt2</math> le nombre <math>f\left(\sqrt2\right)</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>f(2)=2\times2^2-3\times2+4=6</math>.
#<math>f(-3)=2\times(-3)^2-3\times(-3)+4=31</math>.
#<math>f\left(\frac16\right)=2\times\left(\frac16\right)^2-3\times\frac16+4=\frac{32}9</math>.
#<math>f\left(\sqrt2\right)=2\times\left(\sqrt2\right)^2-3\sqrt2+4=8-3\sqrt2</math>.
}}

3) Soit la fonction <math>f</math> définie sur <math>\R\setminus\{2\}</math> par : <math>f(x)=\frac1{x-2}</math>.
#Pourquoi ne peut-on pas calculer l'image de <math>2</math> par <math>f</math> ?
#Calculer <math>f(-3)</math>
#Calculer l'image de <math>\frac16</math> par <math>f</math>.
#Exprimer en fonction de <math>\sqrt2</math> le nombre <math>f\left(\sqrt2\right)</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>f</math> n'est pas définie en 2.
#<math>f(-3)=-\frac15</math>
#<math>f\left(\frac16\right)=\frac1{\frac16-2}=\frac6{1-2\times6}=-\frac6{11}</math>.
#<math>f\left(\sqrt2\right)=\frac1{\sqrt2-2}=\frac{-\sqrt2-2}2=-\frac1\sqrt2-1</math>.
}}

== Exercice 2-2 ==
Voici un tableau de valeurs d'une fonction ''f'' définie sur l'intervalle [–3, 4].

{|class="wikitable"
! ''x''
!–3
!–2
!–1
! 0
! 1
! 2
! 3
! 4
|-----
|''f''(''x'')
|10
| 5
| 2
| 1
| 2
| 5
| 10
| 17
|}

#Images et antécédents.
##Quelle est l'image de 2 par ''f'' ?
##Donner ''f''(3).
##Donner le ou les antécédents de 2.
#Représentation graphique et variations.
##En centrant judicieusement un repère orthonormé d'unité graphique {{Unité|1|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}, placer les points correspondant au tableau de valeurs.
##Proposer trois phrases aussi précises que possible décrivant le comportement supposé de ''f'', utilisant respectivement les mots « décroissante », « croissante » et « minimum ».
##Proposer une expression algébrique qui pourrait définir la fonction ''f''.
{{Solution|contenu=
#
##''f''(2) = 5.
##''f''(3) = 10.
##''f''(–1) = ''f''(1) = 2.
#
##Les points se situent sur une parabole de sommet (0, 1) et d'axe vertical.
##''f'' est (apparemment) décroissante sur '''R'''{{ind|–}} et croissante sur '''R'''{{ind|+}}, avec un minimum en 0.
##''f''(''x'') = 1 + ''x''{{exp|2}}.
}}

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}}