Voir la source de Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)

{{Leçon du jour
  | idfaculté      = mathématiques
  | département    = Analyse
  | cours          = [[Première spécialité Mathématiques (France)]]
  | niveau         = 12
  | autres projets = oui
  | w              = Fonction du second degré
}}
== Les trinômes  ==
{{Définition
  | contenu =

Une fonction polynôme du second degré, ou trinôme, est donnée par une formule du type :

'''<math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>''' 

où ''a'', ''b'' et ''c'' sont des coefficients et où ''a'' est non nul.}}

{{Exemple|titre=Être ou ne pas être une fonction trinôme|contenu=
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles peuvent être classées dans l’ensemble des fonctions polynômes du second degré ? Préciser leurs coefficients.

* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1</math>
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2</math>
* <math>f_3(x) = 2x + 1</math>
* <math>f_4(x) = -x^3 + 2x -5</math>
* <math>f_5(x) = x^2 + 3</math>
* <math>f_6(x) = 3x^2 -x </math>

{{Solution
  | contenu =
* <math>f_1</math> l'est avec : a=2, b=3 et c=1
* <math>f_2</math> l'est avec : a=1, b=-2 et c=2
* <math>f_3</math> ne l'est pas (pas de coefficient en <math>x^2</math>)
* <math>f_4</math> ne l'est pas (présence d'un coefficient en <math>x^3</math>)
* <math>f_5</math> l'est avec : a=1, b=0 et c=3
* <math>f_6</math> l'est avec : a=3, b=-1 et c=0
}}
}}

== Représentation graphique d'une fonction trinôme ==
{{Théorème
  | contenu=La représentation graphique d'une fonction trinôme est toujours une '''parabole'''.

Le '''sommet''' est en bas si ''a'' est positif.
[[Fichier:Parabolic_function_graph_upwards.PNG|300px]]

Le '''sommet''' est en haut si ''a'' est négatif. 
[[Fichier:Parabolic_function_graph_downwards.PNG|300px]]
}}

{{Exemple|contenu=
''Tracer dans un même repère orthonormé les paraboles représentatives des fonctions suivantes.''

* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1</math>
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2</math>
* <math>f_3(x) = -x^2 + 3</math>
* <math>f_4(x) = -3x^2 -x </math>

{{Solution
  | contenu = [[Fichier:4 fonctions du second degré.svg|500px|left]] }}
}}
{{CfExo|align=left
  | idfaculté = mathématiques|exercice=[[Équations et fonctions du second degré/Exercices/Un trinôme issu d'une situation géométrique|Un trinôme issu d'une situation géométrique]]
}}

== Racines d'un trinôme ==

{{Définition
  | contenu =

Les '''racines''' d'une fonction trinôme ''f'' sont les '''solutions de l'équation ''f(x) = 0''. ''' 

Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l’axe horizontal des abscisses.
}}

{{Théorème
  | contenu=Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son '''discriminant''' : '''<math> \Delta=b^2-4ac</math>.'''
* Si <math> \Delta>0</math> alors le trinôme a deux racines réelles distinctes :<br />
<math>x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}</math> <br /><math>x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}</math>.
* Si <math> \Delta=0</math> alors le trinôme a une racine réelle double :<br /><math>x_0 = \frac{-b}{2a}</math>.
* Si <math> \Delta<0</math> alors le trinôme n'a pas de racine réelle (mais il possède deux racines complexes conjuguées) : <br/>

<math>z_1 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}</math> <br /><math>z_2 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}</math>.
}}

{| class="wikitable" width="800" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''On a donc six possibilités :
! 
! Si <math> \Delta>0</math>
! Si <math> \Delta=0</math>
! Si <math> \Delta<0</math>
|-----
| '''Si ''a > 0'''''
| align="center"|Deux racines réelles [[Fichier:Parabolic graph convex 2roots.PNG|200px]]
| align="center"|Une racine double [[Fichier:Parabolic graph convex 1root.PNG|200px]]
| align="center"|Pas de racine réelle [[Fichier:Parabolic graph convex no roots.PNG|200px]]
|-----
| '''Si ''a < 0'''''
| align="center"|Deux racines réelles[[Fichier:Parabolic graph concav 2roots.PNG|200px]]
| align="center"|Une racine double [[Fichier:Parabolic graph concav 1root.PNG|200px]]
| align="center"|Pas de racine réelle [[Fichier:Parabolic graph concav no roots.PNG|200px]]
|}

{{Exemple|titre=Trouver les racines d'un trinôme|contenu=
''Calculer d’abord le discriminant puis les racines des trinômes suivants. Vérifier la cohérence des résultats avec les courbes tracées plus haut.''

* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1</math>
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2</math>
* <math>f_3(x) = -x^2 + 3</math>
* <math>f_4(x) = -3x^2 -x </math>

{{BDdebut|titre = Solution de <math>f_1</math>}}
<math>\Delta = b^2 -4ac</math>

<math>\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1</math>

<math>\Delta = 1 > 0</math>

il y a donc 2 racines réelles <math>x_1 et x_2</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = \frac {- b + \sqrt {\Delta}}{2a} \\
x_2 = \frac {- b - \sqrt {\Delta}}{2a}
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = \frac {- 3 + \sqrt {1}}{2 \times 2} \\
x_2 = \frac {- 3 - \sqrt {1}}{2 \times 2}
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = \frac {- 2} 4 \\
x_2 = \frac {- 4} 4
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = - \frac 1 2 \\
x_2 = -1
\end{cases}
</math>

{{BDfin}}
{{BDdebut|titre = Solution de <math>f_2</math>}}
<math>\Delta = b^2 -4ac</math>

<math>\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4</math>

<math>\Delta = -4 < 0</math>

Il y a donc pas de racine réelle.
{{BDfin}}
{{BDdebut|titre = Solution de <math>f_3</math>}}
<math>\Delta = b^2 -4ac</math>

<math>\Delta = 0^2 - 4 \times (-1) \times 3 = 12</math>

<math>\Delta = 12 > 0</math>

il y a donc 2 racines réelles <math>x_1 et x_2</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = \frac {- b + \sqrt {\Delta}}{2a} \\
x_2 = \frac {- b - \sqrt {\Delta}}{2a}
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = \frac {- (0) + \sqrt {12}}{2 \times (-1)} \\
x_2 = \frac {- (0) - \sqrt {12}}{2 \times (-1)}
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = \frac {2 \sqrt{3}} {-2} \\
x_2 = \frac {- 2 \sqrt{3}} {-2}
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = - \sqrt{3}  \\
x_2 = \sqrt{3}
\end{cases}
</math>


{{BDfin}}
{{BDdebut|titre = Solution de <math>f_4</math>}}
<math>\Delta = b^2 -4ac</math>

<math>\Delta = (-1)^2 - 4 \times (-3) \times 0 = 1</math>

<math>\Delta = 1 > 0</math>

il y a donc 2 racines réelles <math>x_1 et x_2</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = \frac {- b + \sqrt {\Delta}}{2a} \\
x_2 = \frac {- b - \sqrt {\Delta}}{2a}
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = \frac {- (-1) + \sqrt {1}}{2 \times (-3)} \\
x_2 = \frac {- (-1) - \sqrt {1}}{2 \times (-3)}
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = \frac 2 {-6} \\
x_2 = \frac 0 {-6}
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x_1 = - \frac 1 3  \\
x_2 = 0
\end{cases}
</math>

{{BDfin}}
}}

== Variations d'une fonction trinôme ==

<div style="text-align: center;">
{| border="0" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Théorème : Le tableau de variations dépend du signe de ''a'''''
|
{| class="wikitable" width="250" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si ''a'' est positif'''
|'''x'''
|
{| border="0" 
| width="50"|<math>-\infty</math>
| width="50" align="center"| 
| align="center" width="50"|<math>-\frac{b}{2a}</math>
| width="50" align="center"| 
| align="right" width="50"|<math>+\infty</math>
|}
|-----
| '''''f'''''
| 
{| border="0"
|width="50"|<math>+\infty</math>
|width="50" align="center"|
|width="50" align="center"|
|width="50" align="center"|
|width="50" align="right"|<math>+\infty</math>
|-----
| width="50"|
| width="50" align="center"|<math>\searrow </math>
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|<math>\nearrow </math>
| width="50" align="right"|
|-----
| width="50"|
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|<math>\frac{4ac-b^2}{4a}</math>
| width="50" align="center"|
| width="50" align="right"|
|}
|}
| 
{| class="wikitable" width="250" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si ''a'' est négatif'''
|'''x'''
|
{| border="0" 
| width="50"|<math>-\infty</math>
| width="50" align="center"| 
| align="center" width="50"|<math>-\frac{b}{2a}</math>
| width="50" align="center"| 
| align="right" width="50"|<math>+\infty</math>
|}
|-----
| '''''f'''''
| 
{| border="0"
|width="50"|
|width="50" align="center"|
|width="50" align="center"|<math>\frac{4ac-b^2}{4a}</math>
|width="50" align="center"|
|width="50" align="right"|
|-----
| width="50"|
| width="50" align="center"|<math>\nearrow </math>
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|<math>\searrow </math>
| width="50" align="right"|
|-----
| width="50"|<math>-\infty</math>
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|
| width="50" align="right"|<math>-\infty</math>
|}
|}
|}
</div>

;<nowiki>Remarques :</nowiki>
;* L'abscisse de l'extremum '''<math>-\frac{b}{2a}</math>''' correspond à la moyenne des deux racines quand elles existent, la parabole est symétrique.
;* La valeur de l'extremum <math>\frac{4ac-b^2}{4a}</math> n'a pas à être apprise par cœur : elle se retrouve facilement dans les exemples.

{{Exemple|titre=Construire le tableau de variations d'une fonction trinôme|contenu=
''Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment.''

* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1</math>
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2</math>
* <math>f_3(x) = -x^2 + 3</math>
* <math>f_4(x) = -3x^2 -x </math>
{{Solution|contenu=<!--
{{Solution|titre=Solution de <math>f_1</math>|contenu=}}
{{Solution|titre=Solution de <math>f_2</math>|contenu=}}
{{Solution|titre=Solution de <math>f_3</math>|contenu=}}
{{Solution|titre=Solution de <math>f_4</math>|contenu=}}
-->
}}
Dresser le tableau de variations de l'application <math>p:x \mapsto x^2 + 3x + 1</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\forall x \in \R\quad p'(x) = 2x + 3</math>.
[[Fichier:Tableau variation polynome 1 3 1.png|left|thumb|upright=1.5|Tableau des variations de <math>p</math>.]]
}}
}}

== Signe d'un trinôme ==

En combinant la connaissance des racines et celle du tableau de variations, on obtient le tableau de signe d'un trinôme. Il y a six possibilités.

'''Théorème :''' 
<div style="text-align: center;">
{| border="0" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si <math>\triangle=0</math>
|
{| class="wikitable" width="350" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si ''a'' est positif'''
|'''x'''
|
{| border="0" 
| width="70"|<math>-\infty</math>
| width="70" align="center"| 
| align="center" width="70"|<math>\frac{-b}{2a}</math>
| width="70" align="center"| 
| align="right" width="70"|<math>+\infty</math>
|}
|-----
| '''''f'''''
| 
{| border="0"
| width="70" align="right"|
| width="70" align="center"|<math>+</math>
| width="70" align="center"|<math>0</math>
| width="70" align="center"|<math>+</math>
| width="70" align="left"|
|}
|}
| 
{| class="wikitable" width="350" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si ''a'' est négatif'''
|'''x'''
|
{| border="0" 
| width="70"|<math>-\infty</math>
| width="70" align="center"| 
| align="center" width="70"|<math>\frac{-b}{2a}</math>
| width="70" align="center"| 
| align="right" width="70"|<math>+\infty</math>
|}
|-----
| '''''f'''''
| 
{| border="0"
| width="70" align="right"|
| width="70" align="center"|<math>-</math>
| width="70" align="center"|<math>0</math>
| width="70" align="center"|<math>-</math>
| width="70" align="left"|
|}
|}
|}
</div>
<div style="text-align: center;">
{| border="0" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si <math>\triangle>0</math>
|
{| class="wikitable" width="350" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si ''a'' est positif'''
|'''x'''
|
{| border="0" 
| width="70"|<math>-\infty</math>
| width="70" align="center"| <math>\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
| align="center" width="70"|
| width="70" align="center"| <math>\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
| align="right" width="70"|<math>+\infty</math>
|}
|-----
| '''''f'''''
| 
{| border="0"
| width="70" align="right"|<math>+</math>
| width="70" align="center"|<math>0</math>
| width="70" align="center"|<math>-</math>
| width="70" align="center"|<math>0</math>
| width="70" align="left"|<math>+</math>
|}
|}
| 
{| class="wikitable" width="350" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si ''a'' est négatif'''
|'''x'''
|
{| border="0" 
| width="70"|<math>-\infty</math>
| width="70" align="center"| <math>\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
| align="center" width="70"|
| width="70" align="center"| <math>\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
| align="right" width="70"|<math>+\infty</math>
|}
|-----
| '''''f'''''
| 
{| border="0"
| width="70" align="right"|<math>-</math>
| width="70" align="center"|<math>0</math>
| width="70" align="center"|<math>+</math>
| width="70" align="center"|<math>0</math>
| width="70" align="left"|<math>-</math>
|}
|}
|}
</div>
<div style="text-align: center;">
{| border="0" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si <math>\triangle<0</math>
|
{| class="wikitable" width="350" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si ''a'' est positif'''
|'''x'''
|
{| border="0" 
| width="70"|<math>-\infty</math>
| width="70" align="center"| 
| align="center" width="70"|
| width="70" align="center"| 
| align="right" width="70"|<math>+\infty</math>
|}
|-----
| '''''f'''''
| 
{| border="0"
| width="70" align="right"|
| width="70" align="center"|
| width="70" align="center"|<math>+</math>
| width="70" align="center"|
| width="70" align="left"|
|}
|}
| 
{| class="wikitable" width="350" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''Si ''a'' est négatif'''
|'''x'''
|
{| border="0" 
| width="70"|<math>-\infty</math>
| width="70" align="center"| 
| align="center" width="70"|
| width="70" align="center"| 
| align="right" width="70"|<math>+\infty</math>
|}
|-----
| '''''f'''''
| 
{| border="0"
| width="70" align="right"|
| width="70" align="center"|
| width="70" align="center"|<math>-</math>
| width="70" align="center"|
| width="70" align="left"|
|}
|}
|}
</div>

{{Exemple|titre=Construire le tableau de signe d'une fonction trinôme|contenu=
Voir [[Équations et fonctions du second degré/Inéquations du second degré#Application]].
}}

{{CfExo|align=left
  | idfaculté = mathématiques|exercice=[[Équations et fonctions du second degré/Exercices/Situation économique conduisant à une étude de signe|Situation économique conduisant à une étude de signe]]
}}

== Somme et produit des racines ==
Quand un trinôme possède deux racines <math>x_1\  et\ x_2</math>, on vérifie facilement les deux formules suivantes, qui peuvent être utiles pour calculer une racine quand on connait déjà l'autre, ou bien quand on connait le produit et la somme des racines, mais pas les racines elles-mêmes.

{{Théorème
  | contenu=
'''<math>x_1 + x_2 = -\frac ba</math>'''

'''<math>x_1x_2 = \frac ca</math>'''
}}

== Factorisation d'un trinôme ==

{{Théorème
  | contenu=
Quand un trinôme possède deux racines '''<math>x_1\  et\ x_2</math>''', on peut le factoriser de la manière suivante : 

'''<div style="text-align: center;"><math> ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)</math>.</div>'''
}}

{{Exemple|titre=Factoriser un trinôme|contenu=
''Factoriser, lorsque c’est possible, les trinômes suivants.''

* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1</math>
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2</math>
* <math>f_3(x) = -x^2 + 3</math>
* <math>f_4(x) = -3x^2 -x </math>

{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_1</math>|contenu = <math>2(x + \frac{1}{2})(x + 1)</math> }}
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_2</math>|contenu = Δ < 0.  Il n'y a donc pas de racines réelles, donc pas de factorisation réelle possible.}}
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_3</math>|contenu = <math>-(x-\sqrt 3) (x+\sqrt 3)</math> }}
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_4</math>|contenu =  x(-3x-1)}}
}}

== Liens ==

* [[w:Équation du second degré|Équation du second degré]] sur Wikipédia, on y trouve les démonstrations des théorèmes de ce cours. Un peu difficile néanmoins.
* [[w:Fonction du second degré|Fonction du second degré]] sur Wikipédia, plus élémentaire que le précédent. Une [[w:Fonction du second degré#Représentation graphique|
illustration graphique intéressante]]

{{Cours/Référents}}