Voir la source de Fonctions circulaires/Formules de duplication

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 6
  | niveau    = 12
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  | page_liée = Exercices/Problème d'optimisation
}}

Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux formules qui relient les sinus et cosinus d'un angle avec ceux de son double ou de sa moitié.

Certaines formules possèdent une interprétation géométrique intéressante.

== Formules ==
:'''<math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x</math>'''
:'''<math>\sin(2x)=2\cos x\sin x</math>'''

== La formule de duplication du sinus ==

On démontre ici par une méthode élémentaire la formule de duplication du sinus.

=== Le losange de côté 1 ===
On se place dans un losange de côté 1.

On nomme <math>\alpha</math> un des angles qui varie entre 0 et <math>\frac\pi2</math>.

[[Fichier:Losange côté1.png|thumb|upright=2|center]]

On a alors dans le triangle <math>ACE</math> rectangle en <math>E</math> :

:<math>AE=FD=\cos\alpha</math>
:<math>CE=BF=\sin\alpha</math>
:<math>BE=CF=1-\cos\alpha</math>

donc l'aire du losange est : 

:<math>\begin{align}\mathcal A_{losange}&=\mathcal A_{ACE}+\mathcal A_{EBFC}+\mathcal A_{BFD}\\
&=\frac{\cos\alpha\sin\alpha}2+\sin\alpha(1-\cos\alpha)+\frac{\cos\alpha\sin\alpha}2\\
&=\sin\alpha.\end{align}</math>

Remarquons enfin que si l'on considère l'angle adjacent à <math>\alpha</math>, le résultat est encore valable puisque les deux angles on le même sinus. 

Donc notre résultat est valable pour un angle <math>\alpha</math> variant entre <math>0</math> et <math>\pi</math>.

=== Le triangle isocèle de côté 1 ===
On se place dans un triangle de côté 1.

On nomme <math>\alpha</math> un des angles qui varie entre 0 et <math>\pi</math>.

[[Fichier:Triangle isocèle côté1.png|thumb|upright=2|center]]

On a alors dans le triangle <math>ADB</math> rectangle en <math>D</math> :

:<math>AD=\cos\frac\alpha2</math>
:<math>BD=\sin\frac\alpha2</math>

donc l'aire du triangle <math>ABC</math> est : 

:<math>\mathcal A_{ABC}=\cos\frac\alpha2\sin\frac\alpha2</math>.

=== La formule ===
En combinant les deux résultats précédents, on obtient : 
:<math>\sin\alpha=\mathcal A_{losange}=2\mathcal A_{ABC}=2\cos\frac\alpha2\sin\frac\alpha2</math>.
[[File:AngleAdditionDiagramSine.svg|thumb|[[w:Preuve sans mots|Preuve sans mots]] de la formule d'addition pour les sinus.]]
La figure ci-contre constitue une preuve tout aussi élémentaire de la formule plus générale
:<math>\sin(\alpha+\beta)=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta</math>.
{{clr}}

== La formule de duplication du cosinus ==
Voir {{Lien web|url=https://www.maa.org/sites/default/files/Unal2010.pdf|titre=Proof Without Words: Double Sum for Sine and Cosine|auteur=Hasan Unal}}

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