Voir la source de Fonctions circulaires/Exercices/Mesures d'angles en radians, cosinus et sinus

{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 1
  | précédent = [[../../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Problème d'optimisation/]]
  | niveau    = 12
}}

== Mesures des angles orientés ==

{{Définition
  | contenu =
Le cercle '''C''' de rayon 1 centré en l'origine est appelé '''cercle trigonométrique'''. On l'oriente positivement dans le sens anti-horaire et négativement dans le sens horaire. 

Soit '''<math>A</math>''' le point de coordonnées '''<math>( 1 , 0 )</math>'''. 

On se place dans un repère orthonormé direct.

Une mesure en radian de l'angle orienté '''<math>( \vec{OA} , \vec{OM} )</math>''' est la longueur d'une ''ficelle'' (ou une ligne) joignant le point <math>A</math> au point <math>M</math>, enroulée autour du cercle trigonométrique. Cette longueur est comptée positivement ou négativement en fonction du sens d'enroulement.

''Remarque'' : Un angle donné possède une infinité de mesures qui se déduisent les unes des autres par addition ou soustraction de <math>2k\pi</math>, où <math>k</math> est entier relatif.
}}

== Exercice 1 ==
Donner 5 autres mesures de l'angle <math>\frac\pi3</math>.
{{Solution|contenu=<math>\frac\pi3+2\pi=\frac{7\pi}3</math>

<math>\frac\pi3+4\pi=\frac{13\pi}3</math>

<math>\frac\pi3-2\pi=-\frac{5\pi}3</math>

<math>\frac\pi3-4\pi=-\frac{11\pi}3</math>

<math>\frac\pi3-6\pi=-\frac{17\pi}3</math>
}}

== Exercice 2 ==
Tout intervalle de longueur <math>2\pi</math>, avec une borne ouverte et l'autre fermée, possède exactement une mesure d'un angle donné.

Donner une mesure dans <math>[20,20+2\pi[</math> de l'angle <math>\frac\pi3</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\frac\pi3+8\pi=\frac{25\pi}3\approx26{,}18<26{,}28\approx20+2\pi</math>.
}}

== Exercice 3 ==
Tout nombre réel est une mesure, en radian, d'un unique angle orienté.

Représenter sur le cercle trigonométrique l'angle de mesure 123456,123456.
{{Solution|contenu=<math>123456{,}123456-19648\times2\pi\approx4{,}1\approx4{,}2\approx\frac{4\pi}3</math>.
}}

== Exercice 4 ==
La '''mesure principale''' d'un angle orienté est l'unique valeur de cet angle appartenant à l'intervalle '''<math>]-\pi,\pi]</math>'''.

Donner la mesure principale de l'angle de mesure 123456,123456.
{{Solution|contenu=
<math>123456{,}123456-19649\times2\pi\approx-\frac{2\pi}3</math>.}}

== Exercice 5 ==
Soit ''x'' un nombre réel quelconque. Son sinus et son cosinus sont respectivement le sinus et le cosinus de l'angle dont ''x'' est une mesure.

Donner le sinus et le cosinus du nombre réel <math>\frac{256\pi}3</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\frac{256\pi}3</math> a mêmes sinus et cosinus que <math>\frac{256\pi}3-42\times2\pi=\frac{4\pi}3</math>.

<math>\sin\frac{4\pi}3=-\frac\sqrt32</math> et <math>\cos\frac{4\pi}3=-\frac12</math>.
}}

== Cercle trigonométrique ==
Placer sur le cercle les points correspondants aux angles orientés dont les mesures <math>\alpha</math> sont données dans le tableau.

En déduire les mesures principales correspondantes.
<div style="text-align: center;"><math>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\text{Point}&A&B&C&D&E&F&G&H&K&L\\
\hline
\alpha&\frac{3\pi}4&\frac{5\pi}6&\frac{-4\pi}3&\frac{13\pi}3&-\frac{23\pi}4&51\pi&-\frac{38\pi}3&\frac{43\pi}4&\frac{-28\pi}6&\frac{11\pi}2\\
\hline
\end{array}
</math></div>
{{Solution|contenu=
<div style="text-align: center;"><math>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\text{Point}&A&B&C&D&E&F&G&H&K&L\\
\hline
\alpha&\frac{3\pi}4&\frac{5\pi}6&\frac{-4\pi}3&\frac{13\pi}3&-\frac{23\pi}4&51\pi&-\frac{38\pi}3&\frac{43\pi}4&-\frac{28\pi}6&\frac{11\pi}2\\
\hline
\text{Mesure principale}&\frac{3\pi}4&\frac{5\pi}6&\frac{2\pi}3&\frac\pi3&\frac\pi4&\pi&-\frac{2\pi}3&\frac{3\pi}4&-\frac{2\pi}3&-\frac\pi2\\
\hline
\end{array}
</math></div>
[[Fichier:Cercle trigo deg rad.png|center|thumb|upright=3]]
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