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{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Fonctions linéaires/]]
  | suivant   = [[../Équation réduite d'une droite/]]
  | niveau    = 10
}}

== Fonctions affines et linéaires  ==

{{Définition
  | contenu =

* On dit qu'une quantité ''f(x)'' est '''''fonction affine''''' d'une autre quantité variable ''x'' quand ces quantités ont une relation décrite par l'équation suivante : <math>f(x)=a\times x+b</math>

Le coefficient ''a'' s’appelle '''''coefficient directeur'''''.

Le coefficient ''b'' s’appelle '''''ordonnée à l'origine'''''.

* Si l'ordonnée à l'origine ''b'' est nulle (b=0), on dit que la fonction est linéaire.
* Dans ce cas, ''f'' et ''x'' sont proportionnelles. }}

'''Remarque''' : La notation ''f(x)'' se lit "f de x". Elle indique que la quantité ''f'' dépend de ''x''.

'''Exemple''' : Un complexe cinématographique propose un abonnement de 20 Euros par an, avec lequel la séance coûte 5 Euros. Sans abonnement, la séance coûte 8 Euros.
Notons ''n'' le nombre de séances, ''A'' le coût de n séances avec abonnement, et ''S'' le coût de ''n'' séances sans abonnement. 
* Exprimer ''A'' et ''S'' en fonction de ''n''. 
* À quels types de fonctions correspondent ces formules ?


{{Solution
  | contenu =
<div style="text-align: center;"><math>S = 8 \times n\ \ \ \ \ A =  20+5\times n</math></div> 

La somme ''S'' est proportionnelle au nombre de séances ''n'', et

<div style="text-align: center;"><math>S = 8 \times n</math></div>

est une relation de proportionnalité. ''S'' est donc une fonction '''linéaire''' de ''n''.

La somme A n’est pas proportionnelle au nombre de séances, et

<div style="text-align: center;"><math>A =  20+5\times n</math></div>

n'est pas une relation de proportionnalité, mais ''A'' est une fonction '''affine''' de ''n''.
}}
'''Remarque''' : D'après la définition, les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières. Toutes les propriétés ci-dessous s'appliquent donc également aux fonctions linéaires, avec des particularités supplémentaires que nous signalerons au fur et à mesure.

{{Définition
  | contenu =

On appelle f(x) '''''l'image''''' du nombre ''x'' par la fonction ''f''.
}}

'''Exemple''' : Soit la fonction affine <math>f(x)=2\times x+3</math>. 
* Donner les valeurs des coefficients ''a'' et ''b''.
* Calculer les images des nombres ''x = 0'', ''x = 2'' et ''x = -3'' par ''f''.

{{Solution | contenu =
Les coefficients de l'équation <math>f(x)={2}\times{x} +3</math> sont: <math>a=2</math> et <math>b=3</math>

Pour calculer  l'image des nombres <math>\text{x = 0, x = 2 et x = -3}</math> en fonction de <math>f(x)={2}\times{x}+3</math>
il faut remplacer x par sa valeur dans l'équation, soit:

'''Pour x=0'''
<div style="text-align: center; text-indent: -30%"><math>f(x)= {2}\times{0} +3 = \mathbf{3}</math></div>
'''Pour x=2'''
<div style="text-align: center; text-indent: -30%"><math>f(x)= {2}\times{2} +3 = 4+3 = \mathbf{7}</math></div>
'''Pour x=-3'''
<div style="text-align: center; text-indent: -30%"><math>f(x)= {2}\times{-3} +3 = -6+3 = \mathbf{-3} </math></div>
}}

== Représentation graphique d'une fonction affine  ==

=== Tableau de valeurs d'une fonction affine  ===

{{Définition
  | contenu =
Un '''''tableau de valeurs''''' contient dans une première ligne les valeurs de ''x'' et dans la seconde ligne les valeurs de ''f(x)'' correspondantes, calculées avec la formule <math>f(x)=a\times x+b</math>}}

'''Exemple''' : Considérons la fonction affine <math>f(x)=2\times x+3</math>. 

Compléter le tableau de valeurs suivant :

{| class="wikitable"
|-----
| ''x''
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
|-
| ''f(x)''
| 
| 
|
|
|
|}
<br />

'''Solution :''' 

Par exemple pour la troisième colonne : ''x = 1''

<math>f(x) = f(1) = 2\times 1 +3 = 2+3=5</math>.


Cela donne au final :
{| class="wikitable"
|-----
| ''x''
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
|-
| ''f(x)''
| 3
| 5
| 7
| 9
| 11
|}

=== Droite représentative  ===

* Pour représenter graphiquement une fonction à partir d’un tableau de valeurs, 

on place en abscisses (horizontalement) les valeurs de ''x'' 

et en ordonnées (verticalement) les valeurs de ''f(x)''.

'''Exemple''' : Pour la fonction affine <math>f(x)=2\times x+3</math>. On a complété le tableau de valeurs : 

{| class="wikitable"
|-----
| ''x''
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
|-
| ''f(x)''
| 3
| 5
| 7
| 9
| 11
|}

On obtient donc le graphique suivant :

<div style="text-align: center;">[[Fichier:Exemple fonction affine.svg|400px]]</div>

{{Définition
  | contenu =


* La représentation graphique d'une fonction affine <math>f(x)=a\times x+b</math> 

est toujours une droite d'équation <math>y=a\times x+b</math>

* Si la fonction est linéaire (b = 0), la droite passe par l'origine (situation de proportionnalité).  

On comprend alors pourquoi on appelle le coefficient ''b'' : ''ordonnée à l'origine''.
}}

== Calcul des coefficients a et b à partir de deux valeurs d'une fonction affine  ==
Deux valeurs issues d'un tableau ou d'un graphique suffisent à déterminer complètement une fonction affine, car "par deux points, il passe une unique droite".

=== Formule pour le coefficient directeur  ===

{{Théorème
  | contenu=
Considérons une fonction affine <math>f(x)=a\times x+b</math>, deux points d'abscisses <math>x_1</math> et <math>x_2 </math> et d'ordonnées <math>y_1</math> et  <math>y_2</math>, alors le coefficient directeur ''a'' vaut : 

<div style="text-align: center;"><math>a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math></div>


<div style="text-align: center;"><math>a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math></div>

}}

'''Exemple''' : 
* Pour la fonction affine <math>f(x)=2\times x+3</math>, nous avons dans le tableau de valeurs
''f(2) = 7'' et ''f(3) = 9''. Retrouvons ''a'' grâce à la formule, en prenant <math>x_2 = 3</math> et <math>x_1 = 2</math>.

<div style="text-align: center;"><math>a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{9-7}{3-2}=\frac{2}{1}=2</math></div>

* Pour retrouver ''b'', il suffit d’utiliser une valeur et résoudre une équation : 

<div style="text-align: center;"><math>f(2)=7=2\times 2+b=7</math></div>

donc

<div style="text-align: center;"><math>7-4=b=3</math></div>

* On pourrait également trouver a et b en résolvant le système d'équations :

<math>\begin{cases} a\times 2 + b = 7, & \text{valeur pour x = 2} \\ a\times3 +b = 9, & \text{valeur pour x = 3} \end{cases}
</math>


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  | précédent = [[../Fonctions linéaires/]]
  | suivant   = [[../Équation réduite d'une droite/]]
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