Voir la source de Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 6
  | précédent = [[../Dérivée de ln(u)/]]
  | suivant   = [[../Logarithme de base quelconque/]]
  | page_liée = Exercices/Primitive d'une fraction rationnelle
  | niveau    = 13
}}

== Principe ==
{{Propriété
  | contenu =
Soit '''u''' une fonction dérivable à valeurs '''strictement positives sur ℝ'''.
Alors :
* La fonction '''<math>f:x\mapsto\ln(u(x))</math>''' est dérivable sur '''ℝ'''
* Pour tout '''<math>x\in\R,~f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>'''}}

Cette formule permet de déterminer certaines primitives, en mettant la fonction de départ sous la forme '''<math>\frac{u'}u</math>''', quitte à « compenser » l'expression par une constante multiplicative.

== Inverse d’une fonction affine  ==
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sans se préoccuper de l’intervalle '''''I''''' où cela est possible.

* '''<math>f(x)=\frac4{4x-3}</math>'''
** '''<math>u(x)=\cdots</math>'''
** '''<math>u'(x)=\cdots</math>'''
** Donc une primitive de '''''ƒ''''' est la fonction '''''F''''' définie par :'''<math>F(x)=\cdots \quad \forall x\in\ I</math>'''

{{Solution
  | contenu =
'''<math>f(x)=\frac4{4x-3}</math>'''
* '''<math>u(x)=4x-3</math>'''
* '''<math>u'(x)=4</math>'''
* On s'aperçoit que, pour tout '''<math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>'''
* Donc une primitive de '''ƒ''' est la fonction '''F''' définie par :'''<math>F(x)=\ln(u(x))=\ln(4x-3) \quad \forall x\in I</math>'''}}
* '''<math>f(x)=\frac1{2x+1}</math>'''
** '''<math>u(x)=\cdots</math>'''
** '''<math>u'(x)=\cdots</math>'''
** Donc une primitive de '''''ƒ''''' est la fonction '''''F''''' définie par :'''<math>F(x)=\cdots \quad \forall x\in I</math>'''

{{Solution
  | contenu =
'''<math>f(x)=\frac1{2x+1}</math>'''
* '''<math>u(x)=2x+1</math>'''
* '''<math>u'(x)=2</math>'''
* On aimerait bien faire apparaître le terme '''<math>\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac2{2x+1}</math>''' dans l’expression de '''ƒ'''. 
* On manipule '''ƒ''' pour réaliser cela : pour tout '''<math>x\in I,~f(x)=\frac1{2x+1} \cdot2 \cdot\frac12=\frac12\frac{u'(x)}{u(x)}</math>'''
* Comme les constantes multiplicatives sont transparentes au calcul intégral, une primitive de '''ƒ''' est la fonction '''F''' définie par : <math>F(x)=\frac12\ln(u(x))=\frac12\ln(2x+1)=\ln(\sqrt{2x+1}) \quad \forall x\in I</math>}}
* '''<math>f(x)=\frac{-3}{4x-3}</math>'''
** '''<math>u(x)=\cdots</math>'''
** '''<math>u'(x)=\cdots</math>'''
** Donc une primitive de '''''ƒ''''' est la fonction '''''F''''' définie par :'''<math>F(x)=\cdots \quad \forall x\in I</math>'''

{{Solution
  | contenu =
'''<math>f(x)=\frac{-3}{4x-3}</math>'''
* '''<math>u(x)=4x-3</math>'''
* '''<math>u'(x)=4</math>'''
* On aimerait bien faire apparaître le terme '''<math>\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac4{4x-3}</math>''' dans l’expression de '''ƒ'''. 
* On manipule '''ƒ''' pour réaliser cela : pour tout '''<math>x\in I,~f(x)=\frac{-3}{4x-3} \cdot \frac4{-3} \cdot\frac{-3}4=\frac{-3}4\frac{u'(x)}{u(x)}</math>'''
* Comme les constantes multiplicatives sont transparentes au calcul intégral, une primitive de '''ƒ''' est la fonction '''F''' définie par : '''<math>F(x)=\frac{-3}4\ln(u(x))=-\frac34\ln(4x-3) = -\ln(\sqrt[4]{4x-3}^3) \quad \forall x\in I</math>'''}}


'''Remarque :''' La fonction logarithme est indispensable au calcul de ces primitives.

== Si '''''u''''' n’est pas affine, mais que le dénominateur est proportionnel à '''''u’'''''  ==
* '''<math>f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x-3}</math>'''
** '''<math>u(x)=\cdots</math>'''
** '''<math>u'(x)=\cdots</math>'''
** Donc '''<math>F(x)=\cdots</math>'''

{{Solution
  | contenu =
'''<math>f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x-3}</math>'''
* '''<math>u(x)=x^2+4x-3</math>'''
* '''<math>u'(x)=2x+4</math>'''
* On s'aperçoit que, pour tout '''<math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>'''
* Donc une primitive de '''ƒ''' est la fonction '''F''' définie par :'''<math>F(x)=\ln(u(x))=\ln(x^2+4x-3) \quad \forall x\in I</math>'''}}
* '''<math>f(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+1}</math>'''
** '''<math>u(x)=\cdots</math>'''
** '''<math>u'(x)=\cdots</math>'''
** Donc '''<math>F(x)=\cdots</math>'''

{{Solution
  | contenu =
'''<math>f(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+1}</math>'''
* '''<math>u(x)=x^2-4x+1</math>'''
* '''<math>u'(x)=2x-4=2(x-2)</math>'''
* On s'aperçoit que, pour tout '''<math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{2u(x)}</math>'''
* Comme les constantes multiplicatives sont transparentes au calcul intégral, une primitive de '''ƒ''' est la fonction '''F''' définie par : '''<math>F(x)=\frac12\ln(u(x))=\frac12\ln(x^2-4x+1) = \ln(\sqrt{x^2-4x+1}) \quad \forall x\in I</math>'''}}

== Primitive prenant une valeur fixée  ==
{{Propriété
  | contenu =
Deux nombres réels '''a''' et '''b''' étant fixés, il existe une unique primitive '''F''' de '''ƒ''' telle que '''<math>F(a)=b</math>.'''

Autrement dit, fixer la valeur de la primitive cherchée en un point suffit à fixer la primitive.}}


'''Problématique :''' On désire trouver la primitive '''''F''''' de '''''ƒ''''' telle que '''''F(a) = b''''' en fixant correctement la constante '''''K'''''.

* '''<math>f:x\mapsto\frac{x^2}{x^3+1}</math>''', définie sur '''<math>\R^+</math>'''

Déterminer la primitive '''''F''''' de '''''ƒ''''' sur '''<math>\R^+</math>''' telle que '''<math>F(2)=-3</math>'''.
* Pour tout '''<math>x\in\R^+,~u(x)=\cdots</math>'''
* Donc une primitive de '''''ƒ''''' est définie par :'''<math>F_0(x)=\cdots \quad \forall x\in \R^+</math>'''
* La primitive '''''F''''' de '''''ƒ''''' telle que '''''F(2) = -3''''' est définie par :'''<math>F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K \quad \forall x\in \R^+</math>'''
* '''<math>-3=F(2)=\cdots</math>'''
* Donc '''<math>K=\cdots</math>'''

Finalement, la primitive '''''F''''' de '''''ƒ''''' telle que '''''F(2) = -3''''' est définie par :'''<math>F(x)=\cdots \quad \forall x\in \R^+</math>'''

{{Solution
  | contenu =
* On pose :
'''<math>\forall x\in\R^+,~u(x)=x^3+1</math>''', soit '''<math>u'(x)=3x^2</math>'''
* On écrira donc :
'''<math>f(x)=\frac13\frac{3x^2}{x^3+1}</math>'''
* Donc une primitive de '''ƒ''' est définie par :
'''<math>\forall x\in \R^+,~F_0(x)=\frac13\ln(u(x))=\frac13\ln(x^3+1)</math>'''
* La primitive '''F''' de '''ƒ''' telle que '''F(2) = -3''' est définie par :
'''<math>\forall x\in \R^+,~F(x)=F_0(x)+K=\frac13\ln(x^3+1)+K</math>'''
* '''<math>-3=F(2)\,=\frac13\ln(9)+K=\frac23\ln(3)+K</math>'''
* Donc '''<math>K=-3-\frac23\ln(3)</math>'''

Finalement, la primitive '''F''' de '''ƒ''' telle que '''F(2) = -3''' est définie par :

'''<math>\forall x\in \R^+,~F(x)=\frac13\ln(x^3+1)-3-\frac23\ln(3)</math>'''}}


* '''<math>f:x\mapsto\frac{-x}{x^2+5}</math>''', définie sur '''<math>\R</math>'''
Déterminer la primitive '''''F''''' de '''''ƒ''''' telle que '''<math>F(-1)=3</math>'''.
* Pour tout '''<math>x\in\R,~u(x)=\cdots</math>'''
* Donc une primitive de '''''ƒ''''' est définie par : '''<math>F_0(x)=\cdots \quad \forall x\in\R</math>'''
* La primitive '''''F''''' de '''''ƒ''''' telle que '''''F(-1) = 3''''' est définie par : '''<math>F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K \quad \forall x\in \R</math>'''
* '''<math>3=F(-1)=\cdots</math>'''
* Donc '''<math>K=\cdots</math>'''

Finalement, la primitive '''''F''''' de '''''ƒ''''' telle que '''''F(-1) = 3''''' est définie par : '''<math>F(x)=\cdots \quad \forall x\in \R</math>'''

{{Solution
  | contenu =
* Pour tout '''<math>x\in\R,~u(x)=x^2+5</math>''', soit '''<math>u'(x)=2x</math>'''
* Donc une primitive de '''ƒ''' est définie par : '''<math>F_0(x)=-\frac12\ln(x^2+5) \quad \forall x\in\R</math>'''
* La primitive '''F''' de '''ƒ''' telle que '''F(-1) = 3''' est définie par : '''<math>F(x)=F_0(x)+K=-\frac12\ln(x^2+5)+K \quad \forall x\in \R</math>'''
* '''<math>3=F(-1)=-\frac12\ln(6)+K</math>'''
* Donc '''<math>K=3+\frac12\ln(6)</math>'''

Finalement, la primitive '''F''' de '''ƒ''' telle que '''F(-1) = 3''' est définie par : '''<math>F(x)=-\frac12\ln(x^2+5)+3+\frac12\ln(6) \quad \forall x\in \R</math>'''}}


{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Dérivée de ln(u)/]]
  | suivant   = [[../Logarithme de base quelconque/]]
}}