Voir la source de Fonction exponentielle/Fonction racine n-ième

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 7
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  | page_liée = Exercices/Fonction racine n-ième
  | niveau    = 13
}}
__TOC__
{{Clr}}

== Racine ''n''-ième  ==
{{Définition|contenu={{Wikipédia|Racine d'un nombre}}
Soit '''x''' un réel positif et '''n''' un entier strictement positif.
On définit '''<math>\sqrt[n]{x}</math>''', également noté '''<math>x^{\frac1n}</math>''', comme '''l'unique réel positif dont la puissance ''n''-ième vaut x'''.
}}

== Propriétés algébriques ==
Pour tous réels positifs '''''x''''' et '''''y''''' et tous entiers strictement positifs '''''m''''' et '''''n''''' :
* '''<math>\sqrt[n]x\sqrt[n]y=\sqrt[n]{xy}</math>'''
* '''<math>\frac{\sqrt[n]x}{\sqrt[n]y}=\sqrt[n]{\frac xy}</math>''' ('''<math>\forall y \neq 0</math>''')
* '''<math>\sqrt[m]{\sqrt[n]x}=\sqrt[mn]x = x^{{1 \over m \times n}}</math>'''
* '''<math>\sqrt[m]{x} \times \sqrt[n]{x} = \sqrt[m \times n]{x}^{m+n} = x^{{m + n \over m \times n}}</math>'''
* '''<math>{\sqrt[m]{x} \over \sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \times n]{x}^{n-m} = x^{{n-m \over m \times n}} </math>''' '''<math>(\forall x \neq 0) </math>'''
* '''<math>{1 \over \sqrt[n]{x}} = \sqrt[-n]{x} = x^{{-1 \over n}}</math>''' '''<math>(\forall x \neq 0) </math>'''
* '''<math>\left(\sqrt[n]x\right)^m=\sqrt[n]{x^m} = x^{{m \over n}}</math>'''
Cette dernière propriété se réécrit '''<math>\left(x^{1/n}\right)^m=(x^m)^{1/n}</math>'''. Ce nombre se note aussi '''<math>x^{m/n}</math>''' et son inverse (si '''<math>x\neq0</math>''') se note '''<math>x^{-m/n}</math>''', ce qui ne dépend pas de la représentation fractionnaire choisie pour '''<math>r</math>''', et étend à tous les [[Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Présentation globale#Les rationnels|rationnels]] '''''r''''' la notation '''<math>x^r</math>'''. On vérifie que cette notation est compatible avec les propriétés déjà connues sur les [[Puissances|exposants entiers ou inverses d'entiers]]. 

En particulier :'''<math>\forall x\in\R_+^*\quad\forall u,v\in\Q\quad x^{u+v}=x^u\times x^v</math>'''.
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soient '''<math>q,q'>0</math>''' et '''<math>p,p'</math>''' des entiers tels que '''<math>u=\frac pq</math>''' et '''<math>v=\frac{p'}{q'}</math>'''. Alors,
:'''<math>\left(x^{u+v}\right)^{qq'}=x^{pq'+p'q}=x^{pq'}x^{p'q}=\left(x^u\right)^{qq'}\left(x^v\right)^{qq'}=\left(x^ux^v\right)^{qq'}</math>'''.
}}

== Fonction racine ''n''-ième  ==

{{Théorème
  | contenu=
* La fonction '''<math>f_n:[0,+\infty[\to[0,+\infty[,x\mapsto\sqrt[n]x</math>''' est la '''réciproque de la bijection <math>[0,+\infty[\to[0,+\infty[,x\mapsto x^n.</math>'''
* Elle est continue sur '''<math>[0,+\infty[</math>''', dérivable sur '''<math>]0,+\infty[</math>''' et '''<math>f_n'(x)=\frac1{n(\sqrt[n]x)^{n-1}}=\frac1nx^{\frac1n-1}.</math>'''
* Elle est strictement croissante sur '''<math>[0,+\infty[</math>'''
* '''<math>\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x}=+\infty</math>'''
* '''<math>\sqrt[n]0=0</math>''' }}

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