Voir la source de Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée

{{Prérequis
  | idfaculté = mathématiques
  | sujet     = la composition des fonctions
  | cours     = Opérations sur les fonctions/Composition
}}

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction/]]
  | suivant   = [[../|Sommaire]]
  | page_liée = Exercices/Dérivée d'une fonction composée
  | numéro    = 11
  | niveau    = 12
}}
{{Attention|couleurFond = yellow|Ce chapitre est d'un niveau strictement supérieur à celui de cette leçon.}}
== Dérivée d'une fonction composée  ==

=== Théorème ===
{{Théorème
  | contenu=
Si <math>f</math> est dérivable sur <math>I</math> et <math>g</math> est dérivable sur <math>f(I)</math> 

alors la composée <math>g \circ f</math> est dérivable sur <math>I</math> et :

<math>(g \circ f)'=(g' \circ f)\times f'</math>.
}}
Ce théorème sera démontré [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Dérivée et opérations|dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle]].

{{Attention|Avec_fond = oui|Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux '''domaines de définition et de dérivabilité'''. Nous allons le voir sur quelques exemples.}}

=== Exemple 1  ===
<br />
{{Exemple
  | contenu =
Soit <math>h</math> la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>h:x\mapsto \sin(3x^2+2)</math>. Dériver <math>h</math>.}}
{{principe|titre=Méthode de dérivation|contenu=
* Faire le schéma décomposant <math>h</math> en deux étapes.
* Identifier <math>f</math> et <math>g</math>.
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de <math>f</math> et calculer sa dérivée <math>f'</math>.
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de <math>g</math> et calculer sa dérivée <math>g'</math>.
* Exprimer <math>h</math> à l'aide du théorème.
}}
Le schéma est
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\color{magenta}\R &\to& \color{green} \R &\to& \R\\
x& \underset {\color{blue}f}\mapsto &\color{blue}3x^2+2& \underset {\color{red}g}\mapsto & \color{red}\sin(\color{blue}3x^2+2\color{red})
\end{array}</math>
et se ramène à
:<math>
\begin{array}{ccl}
\color{magenta}\R &\to& \R\\
x&\underset {g\circ f}\mapsto & \color{red}\sin(\color{blue}3x^2+2\color{red}).
\end{array}
</math>

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
*<math>f:x\mapsto 3x^2+2</math> ;
*<math>g:x\mapsto \sin(x)</math>.

On a bien <math>h=g\circ f</math>.

*<math>f</math> est définie et dérivable sur <math>I=\color{magenta}\R</math> et, pour tout <math>x\in\R</math>, <math>f'(x)=6x</math>.
*<math>g</math> est définie et dérivable sur <math>\color{green}\R</math> et <math>f(I)\subset\color{green}\R</math> et, pour tout <math>X\in\color{green}\R\color{black}</math>, <math>g'(X)=\cos(X)</math>.
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\color{magenta}\R</math> :
<math>\begin{align}
h'(x)&=\color{red}g'\color{black}\circ \color{blue}f(x)\color{black} \times f'(x)\\
&= \color{red}\cos(\color{blue}3x^2+2\color{red})\color{black}\times 6x.
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=Finalement, pour tout <math>x\in\R</math>, <math>h'(x)=6x\cos(3x^2+2)</math>.}}
=== Exemple 2  ===
<br />
{{Exemple
  | contenu =
Soit <math>h</math> la fonction définie par <math>h:x\mapsto \sqrt{x^2-3x+2}</math>.
* Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité <math>\mathcal D</math> et <math>\mathcal D'</math> de <math>h</math>.
* Dériver <math>h</math>.}}
'''Domaine de définition'''

Une racine carrée est définie si et seulement si son contenu est positif.

Une étude de la fonction du second degré <math>x\mapsto x^2-3x+2</math> donne le tableau de signes suivant :
:<math>\begin{array}{c|ccccccc|}
x&-\infty&&1&&2& &+\infty\\
\hline
\text{Signe de }x^2-3x+2&&+&0&-&0&+&\\
\hline
\end{array}
</math>

[[Fichier:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|20px]] Pour des rappels sur la résolution des inéquations du second degré, se reporter au [[Équations et fonctions du second degré|cours sur les fonctions et équations du second degré]].
{{Encadre|contenu=Donc <math>h</math> est définie sur <math>\mathcal D=\left]-\infty,1\right]\cup\left[2,+\infty\right[</math>.}}
'''Étude de la dérivabilité'''

Le schéma est
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\to& \color{magenta}\R_+&\to& \R\\
x& \underset {\color{blue}f}\mapsto &\color{blue}x^2-3x+2& \underset {\color{red}g}\mapsto & \color{red}\sqrt{\color{blue}x^2-3x+2}\\
\end{array}</math>
et se ramène à
:<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D &\to& \R\\
x&\underset {g\circ f}\mapsto & \color{red}\sqrt{\color{blue}x^2-3x+2}.
\end{array}
</math>

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
<math>f:x\mapsto x^2-3x+2</math> et <math>g:x\mapsto\sqrt x</math>.

On a bien <math>h=g\circ f</math>

* <math>f</math> est définie et dérivable sur <math>\mathcal D</math> et, pour tout <math>x\in\mathcal D</math>, <math>f'(x)=2x-3</math>.
* <math>g</math> est définie sur <math>\color{magenta}\R_+</math>, mais n'est dérivable que sur <math>\R_+^*</math>.
:Pour avoir la dérivabilité de <math>g\circ f</math>, il faut donc '''retirer tous les points pour lesquels <math>x^2-3x+2=0</math>''', c'est-à-dire 1 et 2.
{{Encadre|contenu=Finalement, <math>g\circ f</math> est dérivable sur <math>\mathcal D'=\left]-\infty,1\color{red}\right[\color{black}\cup\color{red}\left]\color{black}2,+\infty\right[</math>}}
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\mathcal D'</math> :
:<math>\begin{align}
h'(x)&=\color{red}g'\color{black}\circ \color{blue}f(x)\color{black} \times f'(x)\\
&= \color{red}\frac1{2\sqrt{\color{blue}x^2-3x+2}}\color{black} \times (2x-3).
\end{align}</math>
{{Encadre|contenu=Finalement, pour tout <math>x\in\mathcal D'</math>, <math>h'(x)=\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+2}}</math>.}}
=== Autres exemples  ===
{{CfExo
  | idfaculté = mathématiques
 | exercice  = [[Fonction dérivée/Exercices/Dérivée d'une fonction composée|Dérivée d'une fonction composée]]
}}

Dériver les fonctions suivantes en utilisant la formule de composition en précisant le domaine sur lequel cette dérivation est valable :
* <math>h_1:x\mapsto\sqrt{x^2 + x + 1}</math> ;
* <math>h_2:x\mapsto\frac1{(5x-4)^2}</math>. 

{{Solution
  | contenu =
'''Étude de <math>h_1</math>'''

Une racine carrée est définie dans <math>\R</math> si et seulement si son contenu est positif.

Une étude de la fonction du second degré <math>x\mapsto x^2 + x + 1</math> montre que, pour tout <math>x\in\R</math>, <math>x^2+x+1>0</math>.
* [[Fichier:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|20px]] Pour des rappels sur l'étude du signe d'expressions du second degré, se reporter au [[Équations et fonctions du second degré|cours sur les fonctions et équations du second degré]].

{{Encadre|contenu=Donc <math>h_1</math> est définie sur <math>\R</math>}}

Le schéma est
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\R &\to& \R_+^*&\to& \R\\
x& \underset {\color{blue}f}\mapsto &\color{blue}x^2+x+1 & \underset {\color{red}g}\mapsto & \color{red}\sqrt{\color{blue}x^2+x+1}
\end{array}</math>

et se ramène à
:<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D &\to& \R\\
x&\underset {g\circ f}\mapsto & \color{red}\sqrt{\color{blue}x^2+x+1}.
\end{array}
</math>

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
* <math>f:x\mapsto x^2+x+1</math> ;
* <math>g:x\mapsto \sqrt{x}</math>.

On a bien <math>h_1=g\circ f</math>.

*<math>f</math> est définie et dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>x\in\R</math>, <math>f'(x)=2x+1</math>.
*<math>g</math> est définie sur <math>\R_+</math>, mais n'est dérivable que sur <math>\R_+^*</math>.
:Pour avoir la dérivabilité de <math>g\circ f</math>, il faut vérifier que <math>x^2+x+1</math> ne s'annule pas sur <math>\R</math>, ce qui est vrai.

{{Encadre|contenu=Finalement, <math>g\circ f</math> est dérivable sur <math>\R</math>.}}

* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\R</math> :
<math>\begin{align}
h_1'(x)&=\color{red}g'\color{black}\circ \color{blue}f(x)\color{black} \times f'(x)\\
&= \color{red}\frac1{2\sqrt{\color{blue}x^2+x+1}}\color{black} \times 2x+1\\
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=Finalement, pour tout <math>x\in\R</math>, <math>h_1'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}</math>}}

'''Étude de <math>h_2</math>'''

Soit <math>x\in\R</math>.
:<math>\begin{align}
(5x-4)^2=0 &\Leftrightarrow 5x-4=0\\
&\Leftrightarrow x=\frac45.
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=Donc <math>h_2</math> est définie sur <math>\mathcal D=\R\setminus\left\{\frac45\right\}</math>.}}

Le schéma est
:<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\to& \R &\to& \R\\
x& \underset {\color{blue}f}\mapsto &\color{blue}(5x-4)^2& \underset {\color{red}g}\mapsto & \displaystyle{\color{red}\frac1{\color{blue}(5x-4)^2}}
\end{array}</math>
et se ramène à
:<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D &\to& \R\\
x&\underset {g\circ f}\mapsto & \displaystyle{\color{red}\frac1{\color{blue}(5x-4)^2}}.
\end{array}
</math>

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
*<math>f:x\mapsto(5x-4)^2</math> ;
*<math>g:x\mapsto\frac1x</math>.

On a bien <math>h_2=g\circ f</math>.

*<math>f</math> est définie et dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>x\in\R</math>, <math>f'(x)=10(5x-4)</math>.
*<math>g</math> est définie et dérivable sur <math>\R^*</math>
:Pour avoir la définition et la dérivabilité de <math>g\circ f</math>, il faut donc '''retirer tous les points pour lesquels <math>(5x-4)^2=0</math>''', c'est-à-dire <math>\frac45</math>.

{{Encadre|contenu=Finalement, <math>g\circ f</math> est dérivable sur <math>\mathcal D</math>.}}

* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\mathcal D</math> :
:<math>\begin{align}
h_2'(x)&=\color{red}g'\color{black}\circ \color{blue}f(x)\color{black} \times f'(x)\\
&= \color{red}-\frac1{(\color{blue}(5x-4)^2\color{red})^2}\color{black} \times 10(5x-4).
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=Finalement, pour tout <math>x\in\mathcal D</math>, <math>h_2'(x)=\frac{-10}{(5x-4)^3}</math>}}
}}
== Conséquences : formules de dérivation  ==
Soit <math>u</math> une fonction définie sur un domaine <math>\mathcal D</math> à valeurs dans <math>\R</math>

On obtient les formules de dérivation de composées suivantes :

<div style="text-align: center;"><math>\begin{array}{|c|c|c|}
\textrm{Fonction}&\mathrm{D\acute eriv\acute ee}\\
\hline
u^n
& n u^{n - 1}u'\\

\sin u
&(\cos u)u'\\

\cos u
& -(\sin u)u'\\

\operatorname e^u
&\operatorname e^uu'\\
\end{array}</math></div>

Si de plus, pour tout <math>x\in\mathcal D</math>, <math>u(x)>0</math>

<div style="text-align: center;"><math>\begin{array}{|c|c|c|}
\textrm{Fonction}&\mathrm{D\acute eriv\acute ee}\\
\hline

\sqrt u
&\frac{u'}{2\sqrt u}\\

\ln u
& \displaystyle{\frac{u'}u}\\
\end{array}</math></div>

{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration de <math>\left(u^n\right)'=nu^{n-1}u'</math>|contenu=
Soit <math>h=u^n</math>, avec <math>n\in\N^*</math>.
:<math>h=v\circ u</math> avec <math>v:\R\to\R,\;y\mapsto y^n</math>.
Or 
:<math>v'(y)=ny^{n-1}</math> 
et avec la formule de dérivation d'une fonction composée : 
:<math>(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'</math>
donc 
:<math>h'=nu^{n-1}\times u'</math>.
}}

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction/]]
  | suivant   = [[../|Sommaire]]
}}