Voir la source de Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | niveau    = 12
  | numéro    = 10
  | précédent = [[../Dérivée d'un quotient/]]
  | suivant   = [[../Dérivée d'une fonction composée/]]
}}

== Théorème sur la dérivation d'une fonction affine suivie d'une autre fonction  ==

On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l’expression à partir d'un réel ''x'' est obtenue en deux temps :
* On applique d’abord une fonction affine
* On applique ensuite au résultat une fonction quelconque ƒ


Le schéma étudié est donc le suivant :
<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D_1 &\rightarrow& \mathcal D_2 &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}ax+b&\underset f\mapsto&f(ax+b)\\
\end{array}</math>

qui peut se ramener à l'étude de
<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D_1 &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=f(ax+b)\\
\end{array}
</math>


{{Théorème
  | contenu=
Soit ''g'' une fonction définie sur un domaine <math>\mathcal D_1</math> par <math>g:x\mapsto f (ax+b)</math>.

Soit <math>x\in\mathcal D_1</math>
:Si '''ƒ est dérivable au point <math>ax+b</math>'''
:Alors '''''g'' est dérivable au point ''x''''' et <math>g'(x) =a \cdot f'(ax+b)</math>}}


{{Attention|Avec_fond = oui|Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux '''domaines de définition et de dérivabilité'''. Nous allons le voir sur quelques exemples.}}

== Exemples ==

=== Exemple 1  ===

Soit ''g'' la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>g:x\mapsto (3x+2)^2</math>. Dériver ''g''

{{principe|titre=Méthode de dérivation|contenu=
* Faire le schéma décomposant les étapes fonction affine/fonction ƒ
* Identifier <math>ax+b</math> et <math>f</math>
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ƒ et calculer sa dérivée <math>f'</math>
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ''g'' et calculer sa dérivée <math>g'</math> avec le théorème
}}

Le schéma est
<math>
\begin{array}{ccccl}
\R &\rightarrow & \R &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}3x+2&\underset {\color{red}f}\mapsto & \color{red}(\color{blue}3x+2\color{red})^2\\
\end{array}</math>

et se ramène à
<math>
\begin{array}{ccl}
\R &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\color{red}(\color{blue}3x+2\color{red})^2\\
\end{array}
</math>


Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b</math>
* Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=3x+2</math>
* Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^2</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=2X</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\R</math> :
<math>\begin{align}
g'(x)&=a\cdot \color{magenta}f'(ax+b)\\
&= 3\cdot \color{magenta}2(3x+2)\\
&= 6(3x+2)
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=Finalement, pour tout <math>x\in\R,~g'(x)=6(3x+2)</math>}}

=== Exemple 2  ===

Soit g la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>g:x\mapsto (-4x+5)^3</math>. Dériver ''g''

Le schéma est
<math>
\begin{array}{ccccl}
\cdots &\rightarrow & \cdots &\rightarrow& \cdots\\
x&\mapsto &\cdots&\underset f\mapsto & \cdots\\
\end{array}</math>

et se ramène à
<math>
\begin{array}{ccl}
\cdots &\rightarrow& \cdots\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=(-4x+5)^3\\
\end{array}
</math>


Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b</math>
* Dans notre cas, <math>ax+b=\cdots</math>
* Pour tout <math>X\in\cdots,~f(X)=\cdots</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\cdots</math> et, pour tout <math>X\in\cdots,~f'(X)=\cdots</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>


{{Solution
  | contenu =
Le schéma est
<math>
\begin{array}{ccccl}
\R &\rightarrow & \R &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}-4x+5&\underset {\color{red}f}\mapsto & \color{red}(\color{blue}-4x+5\color{red})^3\\
\end{array}</math>

et se ramène à
<math>
\begin{array}{ccl}
\R &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\color{red}(\color{blue}-4x+5\color{red})^3\\
\end{array}
</math>


Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b</math>
* Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=-4x+5</math>
* Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^3</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=3X^2</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\R</math> :
<math>\begin{align}
g'(x)&=a\cdot \color{magenta}f'(ax+b)\\
&= -4\cdot \color{magenta}3(-4x+5)^2\\
&= -12(-4x+5)^2
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=Finalement, pour tout <math>x\in\R,~g'(x)=-12(-4x+5)^2</math>}}
}}

=== Exemple 3  ===

* Soit g la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>g:x\mapsto \left(\frac{1}{2}x+5\right)^4</math>. Dériver ''g''
 
Le schéma est
<math>
\begin{array}{ccccl}
\cdots &\rightarrow & \cdots &\rightarrow& \cdots\\
x&\mapsto &\cdots&\underset f\mapsto & \cdots\\
\end{array}</math>

et se ramène à
<math>
\begin{array}{ccl}
\cdots &\rightarrow& \cdots\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\left(\frac{1}{2}x+5\right)^4\\
\end{array}
</math>


Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b</math>
* Dans notre cas, <math>ax+b=\cdots</math>
* Pour tout <math>X\in\cdots,~f(X)=\cdots</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\cdots</math> et, pour tout <math>X\in\cdots,~f'(X)=\cdots</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>

{{Solution
  | contenu =
Le schéma est
<math>
\begin{array}{ccccl}
\R &\rightarrow & \R &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}\frac{1}{2}x+5&\underset {\color{red}f}\mapsto & \color{red}\left(\color{blue}\frac{1}{2}x+5\color{red}\right)^4\\
\end{array}</math>

et se ramène à
<math>
\begin{array}{ccl}
\R &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\color{red}\left(\color{blue}\frac{1}{2}x+5\color{red}\right)^4\\
\end{array}
</math>


Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b</math>
* Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=\frac{1}{2}x+5</math>
* Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^4</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=4X^3</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b</math> donc ''g'' est dérivable en ''x''
* On applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\R</math> :
<math>\begin{align}
g'(x)&=a\cdot \color{magenta}f'(ax+b)\\
&= \frac12\cdot \color{magenta}4\left(\frac{1}{2}x+5\right)^3\\
&= 2\left(\frac{1}{2}x+5\right)^3
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=Finalement, pour tout <math>x\in\R,~g'(x)=2\left(\frac{1}{2}x+5\right)^3</math>}}
}}

=== Exemple 4  ===

* Soit g la fonction définie sur un domaine <math>\mathcal D</math> par <math>g:x\mapsto \frac{1}{(2x+1)^3}</math>. Dériver ''g''.


{{Attention|Voici notre premier exemple de fonction qui n’est pas définie partout. Il faudra donc faire attention aux domaines de définition et de dérivabilité.}}

;On commence comme d'habitude par identifier les éléments <math>ax+b</math> et ƒ

Le schéma est
<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\rightarrow & ? &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\cdots&\underset f\mapsto & \cdots\\
\end{array}</math>

et se ramène à
<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\displaystyle{\frac{1}{(2x+1)^3}}\\
\end{array}
</math>

{{Solution
  | contenu =
Le schéma est
<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\rightarrow & ? &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}2x+1&\underset {\color{red}f}\mapsto & \displaystyle{\color{red}\frac1{\left(\color{blue}2x+1\color{red}\right)^3}}\\
\end{array}</math>

et se ramène à
<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\displaystyle{\color{red}\frac1{\left(\color{blue}2x+1\color{red}\right)^3}}\\
\end{array}
</math>}}


La fonction ƒ est définie par <math>f:X\mapsto\cdots</math> sur le domaine <math>\cdots</math>. Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.

<math>ax+b=\cdots</math>

En déduire pour quelle(s) valeur(s) de ''x'' la fonction ''g'' n’est pas définie. En déduire le domaine <math>\mathcal D</math>

Vérifier la dérivabilité.

{{Solution
  | contenu =
La fonction ƒ est définie par <math>f:X\mapsto\frac1{X^3}</math> sur le domaine <math>\R^*</math>

<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\rightarrow & \R^* &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}2x+1&\underset {\color{red}f}\mapsto & \displaystyle{\color{red}\frac1{\left(\color{blue}2x+1\color{red}\right)^3}}\\
\end{array}</math>


<math>ax+b=2x+1</math>


Soit <math>x\in\R</math>
<math>\begin{align}
(2x+1)^3=0 &\Leftrightarrow 2x+1=0\\
&\Leftrightarrow x=-\frac12
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=On en déduit que la fonction ''g'' est définie sur le domaine <math>\mathcal D=\R\backslash\left\{-\frac12\right\}</math>}}


ƒ est dérivable sur <math>\R^*</math>, donc ''g'' est dérivable sur <math>\mathcal D</math>.

Par ailleurs, pour tout <math>X\in\R^*,~f'(X)=-\frac3{X^4}</math>}}
* Enfin, on applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>

{{Solution
  | contenu =
:Pour tout <math>x\in\mathcal D</math> :
<math>\begin{align}
g'(x)&=a\cdot f'(ax+b)\\
&= 2\cdot \left(-\frac3{(2x+1)^4}\right)\\
&= \frac{-6}{(2x+1)^4}
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=Pour tout <math>x\in\mathcal D,~g'(x)=\frac{-6}{(2x+1)^4}</math>}}
}}

=== Exemple 5  ===

Soit ''g'' la fonction définie sur un domaine <math>\mathcal D</math> par <math>g:x\mapsto \sqrt{5x+3}</math>


Le schéma est
<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\rightarrow & ? &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\cdots&\underset f\mapsto & \cdots\\
\end{array}</math>

et se ramène à
<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\sqrt{5x+3}\\
\end{array}
</math>

{{Solution
  | contenu =
Le schéma est
<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\rightarrow & ? &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}5x+3&\underset {\color{red}f}\mapsto & \color{red}\sqrt{\color{blue}5x+3}\\
\end{array}</math>

et se ramène à
<math>
\begin{array}{ccl}
\mathcal D &\rightarrow& \R\\
x&\underset g\mapsto &g(x)=\color{red}\sqrt{\color{blue}5x+3}\\
\end{array}
</math>}}


La fonction ƒ est définie par <math>f:X\mapsto\cdots</math> sur le domaine <math>\cdots</math>. Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.

<math>ax+b=\cdots</math>

{{Solution
  | contenu =
La fonction ƒ est définie par <math>f:X\mapsto\sqrt{X}</math> sur le domaine <math>[0;+\infty[</math>

<math>
\begin{array}{ccccl}
\mathcal D &\rightarrow & [0;+\infty[ &\rightarrow& \R\\
x&\mapsto &\color{blue}5x+3&\underset {\color{red}f}\mapsto & \color{red}\sqrt{\color{blue}5x+3}\\
\end{array}</math>


<math>ax+b=5x+3</math>}}


Étudier le signe de l’expression <math>5 x + 3</math>. En déduire le domaine <math>\mathcal D</math>

{{Solution
  | contenu =
Soit <math>x\in\R</math>
<math>\begin{align}
5x+3 \geq 0 &\Leftrightarrow 5x\geq -3\\
&\Leftrightarrow x\geq -\frac35
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=On en déduit que la fonction ''g'' est définie sur le domaine <math>\mathcal D=\left[-\frac35;+\infty\right[</math>}}}}

Vérifier la dérivabilité.

{{Solution
  | contenu =
ƒ est '''n'est dérivable que sur <math>\color{red}]\color{black}0;+\infty[</math>'''

''g'' n'est donc dérivable que si <math>ax+b\not =0</math>, c'est-à-dire si <math>x\not=-\frac35</math>

{{Encadre|contenu=Donc ''g'' est dérivable sur <math>\color{red}\left]\color{black}-\frac35;+\infty\right[</math>}}

Par ailleurs, pour tout <math>X\in]0;+\infty[,~f'(X)=\frac1{2\sqrt X}</math>}}


* Enfin, on applique la formule du théorème :
:Pour tout <math>x\in\cdots,~g'(x)=\cdots</math>

{{Solution
  | contenu =
:Pour tout <math>x\in\left]-\frac35;+\infty\right[</math> :
<math>\begin{align}
g'(x)&=a\cdot f'(ax+b)\\
&=\frac5{2\sqrt{5x+3}}\\
\end{align}</math>

{{Encadre|contenu=Donc, pour tout <math>x\in\left]-\frac35;+\infty\right[,~g'(x)=\frac5{2\sqrt{5x+3}}</math>}}
}}


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  | suivant   = [[../Dérivée d'une fonction composée/]]
}}