Voir la source de Expressions algébriques/Exercices/Opérations sur les polynômes

{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 4
  | précédent = [[../autres identités/]]
  | suivant   = [[../Factorisation de polynômes/]]
  | niveau    = 11
}}
__TOC__
{{Clr}}

== Exercice 4-1 ==

Sachant que :

<math>\begin{align}
x+y+z&=a \\
x^2+y^2+z^2&=b^2 \\
x^3+y^3+z^3&=c^3
\end{align}</math>

calculer le produit <math>xyz</math> en fonction de <math>a,\,b,\,c</math>.

{{Boîte déroulante
  | titre = Aide
  | contenu =
On commencera par calculer <math>a^3</math>.
}}

{{solution
  | contenu =
<math>\begin{align}
a^3&=(x+y+z)^3 \\
&= (x+y+z)^2\times(x+y+z) \\
&= (x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)\times(x+y+z) \\
&= (x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)\times(x+y+z) \\
&= x^3+y^3+z^3+3(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2)+6xyz \\
&= x^3+y^3+z^3+3\left[(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(x^3+y^3+z^3)\right]+6xyz \\
&= c^3+3\left(ab^2-c^3\right)+6xyz \\
&= 3ab^2-2c^3+6xyz \\
\end{align}</math>

On en déduit :

<math>xyz=\frac{a^3-3ab^2+2c^3}6</math>
}}


== Exercice 4-2 ==

Soit <math>a,\,b,\,c</math> trois nombres différents vérifiant :

<math>\begin{align}
a^3+pa+q=0 \\
b^3+pb+q=0 \\
c^3+pc+q=0
\end{align}</math>

Montrez qu'alors on a la relation :

<math>a+b+c=0</math>

{{solution
 | contenu =
Les relations de l'énoncé montre que le polynôme <math>x^3+px+q</math> s'annule pour <math>a,\,b,\,c</math>. Ce polynôme se factorise donc sous la forme :

<math>x^3+px+q=(x-a)(x-b)(x-c)\times Q</math>

Comme <math>x^3+px+q</math> et <math>(x-a)(x-b)(x-c)</math> sont du troisième degré, on en déduit que <math>Q</math> est une constante. En égalant les termes en <math>x^3</math>, on voit que <math>Q=1</math>. On a donc :

<math>x^3+px+q=(x-a)(x-b)(x-c)</math>

En développant le second membre, on trouve :

<math>x^3+px+q=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc\times Q</math>

En égalant les termes en <math>x^2</math>, on obtient :

<math>a+b+c=0</math>
}}


== Exercice 4-3 ==

Montrez que si un polynôme est symétrique par rapport à deux variables <math>a</math> et <math>b</math> et si l'on peut mettre <math>(a-b)</math> en facteur, alors on peut aussi mettre <math>(a-b)^2</math> en facteur.

{{solution
  | contenu =
Soit <math>P(a,b,\cdots)</math> un polynôme vérifiant les conditions de l'énoncé. Alors il existe <math>Q(a,b,\cdots)</math> tel que :

<math>P(a,b,\cdots)=(a-b)Q(a,b,\cdots)</math>

Si l'on intervertit <math>a</math> et <math>b</math>, l'expression se transforme en :

<math>P(b,a,\cdots)=(b-a)Q(b,a,\cdots)</math>

Puisque <math>P</math> est symétrique, le premier membre est inchangé et l'on obtient :

<math>(a-b)Q(a,b,\cdots)=(b-a)Q(b,a,\cdots)</math>

qui s'écrit :

<math>(a-b)Q(a,b,\cdots)=-(a-b)Q(b,a,\cdots)</math>

En simplifiant par <math>(a-b)</math> il nous reste :

<math>Q(a,b,\cdots)=-Q(b,a,\cdots)</math>

Si dans cette dernière expression on remplace <math>b</math> par <math>a</math>, on obtient :

<math>Q(a,a,\cdots)=-Q(a,a,\cdots)</math>

qui s'écrit :

<math>2Q(a,a,\cdots)=0</math>

Soit :

<math>Q(a,a,\cdots)=0</math>

Ce qui montre que l'on peut mettre <math>(a-b)</math> en facteur dans <math>Q(a,b,\cdots)</math>

On obtient :

<math>Q(a,b,\cdots)=(a-b)Q'(a,b,\cdots)</math>

et en reportant dans <math>P(a,b,\cdots)=(a-b)Q(a,b,\cdots)</math>, on obtient finalement :

<math>P(a,b,\cdots)=(a-b)^2Q'(a,b,\cdots)</math>
}}


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