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{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 3
  | chapitre  = [[../../Dimension finie/]]
  | niveau    = 15
  | précédent = [[../Applications linéaires continues/]]
  | suivant   = [[../../|Sommaire]]
}}
{{Clr}}

== Exercice 3-1==
Soit <math>A\in\operatorname M_n(\Complex)</math>. Montrer que [[Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice|son exponentielle]] est un [[Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes|polynôme en <math>A</math>]] ou plus généralement, que <math>f(A)\in\Complex[A]</math> pour toute [[Fonctions d'une variable complexe|fonction <math>f</math> d'une variable complexe]] développable en [[série entière]] en <math>0</math>, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|norme subordonnée]] de <math>A</math> (pour une norme arbitraire fixée sur <math>\Complex^n</math>). 

{{Solution|contenu=Par définition, <math>f(A)</math> est une limite de polynômes en <math>A</math> (les sommes partielles de la série entière). Puisque <math>\operatorname M_n(\Complex)</math> est de dimension finie, le sous-espace vectoriel <math>\Complex[A]</math> est fermé.
}}

== Exercice 3-2 : densité de GL{{ind|''n''}}==
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\Complex</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense.
{{Solution|contenu=
Soit <math>A\in\mathrm M_n(\Complex)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>.
}}

== Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continue ==
Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue, admettant à l'infini une limite <math>L</math> (finie ou infinie) :
:<math>\lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=L\in\left[-\infty,+\infty\right]</math>.
On pose <math>m:=\inf\left(\operatorname{Im}f\right)\in\left[-\infty,+\infty\right[</math> et <math>M:=\sup\left(\operatorname{Im}f\right)\in\left]-\infty,+\infty\right]</math> (donc <math>m\le L\le M</math>).
#Montrer que si <math>m<L</math>, alors la valeur <math>m</math> est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
#En déduire que (sans cette hypothèse) <math>f</math> admet un extremum.
#En déduire également que si <math>L</math> est finie, alors <math>f</math> est bornée.
(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de [[Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité]].)
{{Solution|contenu=
#Soit <math>m'</math> strictement compris entre <math>m</math> et <math>L</math>. Puisque <math>m'<L</math>, on a <math>f(x)\ge m'</math> pour tout <math>x\in\R^n</math> de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel <math>R</math>. Puisque <math>m'>m</math>, <math>m</math> est aussi la borne inférieure de <math>f</math> restreinte à la boule fermée <math>\overline B(0,R)</math>. Puisque cette boule est compacte et que <math>f</math> est continue, cette borne inférieure est atteinte.
#Si <math>m<L</math> alors <math>f</math> a un minimum. De même, si <math>M>L</math> alors <math>f</math> a un maximum (en raisonnant sur <math>-f</math>). Enfin, si <math>m=M</math> alors <math>f</math> est constante.
#D'après la question 1, si <math>m<L</math> alors <math>m>-\infty</math>. Si <math>m=L</math> (supposée finie), on a aussi <math>m>-\infty</math>. Donc <math>f</math> est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant <math>f</math> par <math>-f</math>) que <math>f</math> est majorée.
}}

==Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude==
L'objet de cet exercice est de redémontrer le résultat suivant du cours, ''sans faire appel à la notion de compacité'' :
:''Sur un e.v. réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.''
#Soit <math>(E,\|\cdot\|)</math> un e.v.n. réel, <math>e_0</math> un vecteur non nul de <math>E</math> et <math>H</math> un hyperplan [[Espace vectoriel/Définitions#Sous-espaces vectoriels supplémentaires|supplémentaire]] de <math>\R e_0</math>. On munit <math>H</math> de la norme <math>\|\cdot\|_H</math> restriction de <math>\|\cdot\|</math>, <math>\R</math> de la norme <math>|\cdot|</math> et <math>H\times\R</math> de la [[../../Définitions - Éléments de Topologie#Constructions de normes|norme produit]], que nous noterons <math>\|\cdot\|'</math>, et l'on considère la bijection (clairement linéaire et continue) <math>f:\left(H\times\R,\|\cdot\|'\right)\to\left(E,\|\cdot\|\right),\ (h,\lambda)\mapsto h+\lambda e_0</math>.<br>Montrer que si <math>H</math> est fermé dans <math>E</math> alors <math>f^{-1}</math> est également continue.
#En déduire ''par récurrence'' la proposition suivante :
#:Pour tout <math>n\in\N</math>, toutes les normes sur un e.v. réel de dimension <math>n</math> sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.
{{Solution|contenu=
#<math>f^{-1}(x)=\left(x-g(x)e,g(x)\right)</math> où <math>g</math> est une forme linéaire de noyau <math>H</math> donc continue ([[../Applications linéaires continues#Exercice 1-2|Exercice 1-2]]). Par conséquent, <math>f^{-1}:E\to H\times\R</math> est continue.
#Pour <math>n=0</math>, la proposition est triviale. Supposons-la vérifiée à l'ordre <math>n</math> et montrons qu'alors, elle l'est encore à l'ordre <math>n+1</math>. Soit donc <math>(E,\|\cdot\|)</math> un e.v.n. réel de dimension <math>n+1</math>, <math>\left(e_0,\dots,e_n\right)</math> une base de <math>E</math>, et <math>H</math> l'hyperplan de base <math>\left(e_1,\dots,e_n\right)</math>, complet par hypothèse de récurrence donc fermé dans <math>E</math>, ce qui permet d'appliquer la question précédente : les bijections linéaires <math>f</math> et <math>f^{-1}</math> sont continues. Par conséquent :
#*L'e.v.n. <math>(E,\|\cdot\|)</math> est complet car <math>\left(H\times\R,\|\cdot\|'\right)</math> l'est, puisque <math>\left(H,\|\cdot\|_H\right)</math> l'est (par hypothèse de récurrence) et <math>\left(\R,|\cdot|\right)</math> aussi ;
#*La norme <math>\|\cdot\|</math> est équivalente à la norme<br><math>\sum_{i=0}^nx_ie_i\mapsto\max\left(\left\|\sum_{i=1}^nx_ie_i\right\|_H,\left|x_0\right|\right)</math>,<br>elle-même équivalente (par hypothèse de récurrence) à la norme<br><math>\sum_{i=0}^nx_ie_i\mapsto\max\left(\left\|\left(x_1,\dots,x_n\right)\right\|_\infty,\left|x_0\right|\right)=\left\|\left(x_0,\dots,x_n\right)\right\|_\infty</math>.
}}

==Exercice 3-5==
Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
#<math>\forall M>0\quad\exists R>0\quad\left(\|x\|>R\Rightarrow|f(x)|>M\right)</math> ;
#Pour toute partie bornée <math>B</math> de <math>\R</math>, <math>f^{-1}(B)</math> est une partie bornée de <math>\R^n</math> ;
#Pour toute partie compacte <math>K</math> de <math>\R</math>, <math>f^{-1}(K)</math> est une partie compacte de <math>\R^n</math>.
{{Solution|contenu=
<math>1\Longleftrightarrow\forall M>0\quad\exists R>0\quad f^{-1}(\overline{B(0,M)})\subset\overline{B(0,R)}\Longleftrightarrow2</math>.

<math>2\Rightarrow3</math> car tout compact <math>K</math> de <math>\R</math> est fermé dans <math>\R</math> et <math>f^{-1}(K)</math> est alors fermé dans <math>\R^n</math>.

<math>3\Rightarrow2</math> car une partie de <math>\R^n</math> est bornée si et seulement si elle est incluse dans un compact.
}}

==Exercice 3-6==
Montrer que l'ensemble <math>\mathrm O_n(\R)=\{M\in\mathrm M_n(\R)\mid{}^t\!MM=\mathrm I_n\}</math> est une partie compacte de <math>\mathrm M_n(\R)</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\mathrm O_n(\R)</math> est fermé dans <math>\mathrm M_n(\R)</math>, comme image réciproque du fermé <math>\{\mathrm I_n\}</math> de <math>\mathrm M_n(\R)</math> par l'application continue <math>\mathrm M_n(\R)\to\mathrm M_n(\R),\;M\mapsto{}^t\!MM</math>.

Il est de plus borné car <math>\forall M\in\mathrm O_n(\R)\quad\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^nM_{i,j}^2\right)=\sum_{i=1}^n\left({}^t\!MM\right)_{i,i}=n</math>.

Il est donc compact.
}}

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