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{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 5
  | précédent = [[../Topologie/]]
  | suivant   = [[../Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé/]]
  | niveau    = 16
}}
{{Wikipédia|Théorème de Banach-Steinhaus}}
==Exercice 5-1==
On définit le [[Série numérique/Produit de Cauchy|produit de Cauchy]] <math>a*b</math> de deux suites <math>a</math> et <math>b</math> de nombres complexes par : <math>(a*b)_n=\sum_{i+j=n}a_ib_j</math>. On sait (théorème de Mertens) que si <math>\sum_{n\in\N}|a_n|<\infty</math> alors, pour toute série convergente <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math>, la série <math>\sum_{n=0}^\infty(a*b)_n</math> converge. Démontrer la réciproque.
{{Solution|contenu=
Sur l'espace de Banach <math>C(\N\cup\{\infty\})</math> des suites convergentes (fermé dans <math>\ell^\infty</math>), les formes linéaires <math>L_n:B\mapsto\sum_{i+j\le n}a_i(B_j-B_{j-1})=\sum_{i+j=n}a_iB_j</math> (avec par convention <math>B_{-1}=0</math>) sont continues et <math>|\!|\!|L_n|\!|\!|=\sum_{i\le n}|a_i|</math> et l'ensemble des <math>B</math> tels que <math>\sup_n|L_n(B)|<\infty</math> est <math>C(\N\cup\{\infty\})</math> tout entier, [[Topologie générale/Propriété de Baire|non maigre]]. Par conséquent (th. de Banach-Steinhaus) <math>\|a\|_1=\sup_n|\!|\!|L_n|\!|\!|<\infty</math>.
}}

==Exercice 5-2==
Montrer par trois contre-exemples que dans le théorème de Banach-Steinhaus, on ne peut omettre aucune des hypothèses :
#l'espace de départ est complet ;
#les applications considérées sont continues ;
#les applications considérées sont linéaires.
{{Solution|contenu=
#Sur l'espace des suites nulles à partir d'un certain rang (dont le complété pour la norme sup est l'espace <math>c_0</math> des suites de limite nulle), la suite de formes linéaires continues <math>L_n:x\mapsto\sum_{k<n}x_k</math> converge simplement mais <math>|\!|\!|L_n|\!|\!|=n\to+\infty</math>.<br>Autre exemple : on munit un e.v. de base <math>(e_j)_{j\in\N^*}</math> d'une norme valant <math>1</math> sur les <math>e_j</math> et l'on pose <math>L_n(e_j)=je_j</math> si <math>j\le n</math> et <math>0</math> sinon.
#Prendre un seul opérateur non continu.
#Il faut donner un sens à la question. On peut chercher des applications <math>f_n:E\to\R</math> continues et bornées sur la sphère <math>S</math> ou la boule unité <math>B</math> d'un Banach <math>E</math>, mais telles que <math>f_n\to f</math> simplement avec <math>f</math> non continue et/ou non bornée sur <math>S</math>. Il suffit de définir les <math>f_n</math> sur <math>S</math> (on les étend facilement continûment à <math>E</math>, de façon bornée sur <math>B</math>, et même nulles au voisinage de <math>0</math>).
#*Si l'on veut (sur <math>S</math>) <math>f</math> bornée mais non continue, c'est facile (penser à <math>x^n</math> sur <math>[0,1]</math>, à dupliquer en miroir de <math>1</math> à <math>2</math>).
#*Si l'on veut <math>f</math> non continue et non bornée, il suffit de la définir sur le cercle unité de <math>\R^2</math> par <math>\forall\theta\in[0,2\pi[~f(\mathrm e^{\mathrm i\theta})=\frac1{2\pi-\theta}</math> (et de prendre <math>f_n</math> qui coïncide avec <math>f</math> sur <math>[0,2\pi-1/n]</math> puis affine jusqu'à <math>2\pi</math>).
#*Si l'on veut <math>f</math> continue mais non bornée, il faut <math>E</math> de dimension infinie. On peut partir d'une application linéaire continue de norme <math>1</math> non atteinte, par exemple <math>T:\ell^1(\N^*)\to\R,x\mapsto\sum(1-1/n)x_n</math> : <math>|\!|\!|T|\!|\!|=1</math> non atteint, car si <math>\|x\|_1=1</math> et <math>x_n\ne0</math> alors <math>|T(x)|\le\sum_{k\ne n}|x_k|+(1-1/n)|x_n|<1</math>. Puis on compose par un homéomorphisme entre <math>]-1,1[</math> et <math>\R</math>, pour préserver la continuité mais obtenir une application <math>f</math> non bornée. On l'approche facilement par des fonctions continues bornées en la composant par l'application qui remplace <math>x</math> par <math>nx/|x|</math> lorsque <math>|x|>n</math>.
}}

==Exercice 5-3==
Soit <math>C(\R/2\pi\Z)</math> l'espace des applications continues <math>2\pi</math>-périodiques de <math>\R</math> dans <math>\R</math>, muni de la norme sup. On rappelle que pour toute fonction <math>f\in{\rm L}^1(\R/2\pi\Z)</math>, la <math>n</math>-ième somme partielle <math>S_n(f)</math> de la [[série de Fourier]] est la {{w|Produit de convolution|convolée}} par le {{w|noyau de Dirichlet}} :
:<math>S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)~{\rm d}t\quad{\rm avec}\quad D_n(t)=\frac{\sin\left((2n+1)\frac t2\right)}{\sin\frac t2}</math>.
Pour <math>x</math> fixé, on note <math>L_n</math> la norme de la forme linéaire <math>C(\R/2\pi\Z)\to\R,f\mapsto S_n(f)(x)</math>. Montrer que :
#<math>L_n=\|D_n\|_1</math> ;
#<math>L_n\to+\infty</math> ;
#il existe dans <math>C(\R/2\pi\Z)</math> une fonction dont la série de Fourier au point <math>x</math> diverge ;
#Dans <math>C(\R/2\pi\Z)</math>, l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier en <math>x</math> diverge est même dense.
{{Solution|contenu=
#<math>L_n\le\|D_n\|_1</math> car <math>|S_n(f)(x)|\le\|f\|_\infty\|D_n\|_1</math>. Pour avoir <math>\|f\|_\infty=1</math> et <math>S_n(f)(x)=\|D_n\|_1</math>, il faudrait que <math>f(t)=\pm1</math> avec même signe que <math>D_n(x-t)</math>. Cela n'est pas possible avec <math>f</math> continue, mais on peut faire en sorte que ce le soit en dehors d'intervalles suffisamment petits autour des <math>n</math> points <math>t</math> où <math>D_n(x-t)</math> change de signe (et interpoler affinement sur ces intervalles), pour rendre <math>S_n(f)(x)</math> aussi proche qu'on veut de <math>\|D_n\|_1</math>.
#<math>L_n=\frac1\pi\int_0^\pi\frac{|\sin((2n+1)t/2)|}{\sin(t/2)}~{\rm d}t>\frac2{\pi}\int_0^\pi|\sin((2n+1)t/2)|\frac{{\rm d}t}t=\frac2{\pi}\int_0^{(2n+1)\pi/2}|\sin s|\frac{{\rm d}s}s\to\infty</math> (voir par exemple [[Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale#Exercice 1]]).
#D'après le principe de la borne uniforme, si la suite <math>S_n</math> (de formes linéaires continues sur un Banach) convergeait simplement, on aurait <math>\sup_nL_n<\infty</math>. Ce n'est pas le cas, donc il existe un <math>f</math> pour lequel la série de Fourier en <math>x</math> diverge.
#Le théorème de Banach-Steinhaus dit plus précisément que, puisque <math>\sup_nL_n=\infty</math>, il existe un ensemble comaigre (ou « résiduel » : c’est-à-dire contenant une intersection dénombrable d'ouverts denses ; une telle partie est dense d'après le théorème de Baire) de fonctions <math>f</math> telles que <math>\sup_n|S_n(f)(x)|=+\infty</math>. Pour ces fonctions, la série de Fourier en <math>x</math> diverge.
}}

==Exercice 5-4==
Soient <math>E</math> l'espace de Banach des fonctions continues sur <math>[-\pi,\pi]</math> muni de la norme uniforme <math>\|\cdot\|_\infty</math>, et <math>\ell^1(\Z)</math> l'espace de Banach des suites (indexées par <math>\Z</math>) absolument sommables muni de la norme <math>\|\cdot\|_1</math> définie par <math>\|a\|_1=\sum_{k\in\Z}|a_k|</math>. Pour tout <math>f\in E</math>, on note <math>c(f)=(c_k(f))_{k\in\Z}</math> la suite des coefficients de Fourier de <math>f</math>, définis par <math>c_k(f)=\int_{-\pi}^\pi f(x)\operatorname e^{-\mathrm ikx}\;\mathrm idx</math>.

Pour tout <math>N\subset\Z</math>, on note <math>E_N:=\{f\in E\mid\forall k\not\in N\quad c_k(f)=0\}</math>.
#Montrer que <math>E_N</math> muni de la norme <math>\|\cdot\|_\infty</math> est un espace de Banach.
#On dit que <math>N</math> est un ensemble de Sidon si <math>c(E_N)\subset\ell^1(\Z)</math>. Montrer qu'alors, il existe une constante <math>M</math> telle que pour tout <math>f\in E_N</math>, <math>\|c(f)\|_1\le M\|f\|_\infty</math>.<br>''Indication'' : on pourra introduire la suite d'applications <math>L^{(n)}:E_N\to\ell^1(\Z)</math> définies par <math>L^{(n)}(f)_k=c_k(f)</math> si <math>|k|\le n</math> et 0 sinon, et appliquer Banach-Steinhaus.
{{Solution|contenu=
#Dans le Banach <math>E</math>, la partie <math>E_N=\cap_{k\in\Z\setminus N}\ker(c_k)</math> est fermée car les formes linéaires <math>c_k</math> sont continues (de norme <math>\le2\pi</math>).
#Supposons que <math>N</math> est de Sidon et montrons qu'alors, <math>c</math> est continue de <math>(E_N,\|~\|_\infty)</math> dans  <math>(\ell^1(\Z),\|~\|_1)</math>.<br>Pour tout <math>n\in\N</math>, l'application linéaire <math>L^{(n)}:=c\times\chi_{[-n,n]}:E_N\to\ell^1(\Z)</math> est continue (de norme <math>\le(2n+1)2\pi</math>) et <math>\forall f\in E_n\quad L^{(n)}(f)\to c(f)</math> (car dans <math>\ell^1(\Z)</math>, tout élément <math>x</math> est limite de <math>x\times\chi_{[-n,n]}</math> puisque <math>\sum_{|k|>n}|x_k|\to0</math>) donc la suite <math>(L^{(n)}(f))_n</math> est bornée. D'après le théorème de Banach-Steinhaus, <math>\|c\|=\sup_{n\in N}\|L^{(n)}\|</math> est donc fini.
}}

==Exercice 5-5==
Soit <math>f\in\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)</math> une fonction satisfaisant la propriété (P) suivante :
:(P) <math>\forall g\in\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)\quad fg\in\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)</math>.
On pose <math>T_f(g)=fg</math>. Ainsi, <math>T_f</math> est une application linéaire de <math>\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)</math> dans lui-même.
#Donner un exemple de fonction <math>f</math> qui ne vérifie pas (P).
#Montrer que si <math>f</math> vérifie (P) alors <math>T_f</math> est continue. ''(On pourra introduire les fonctions bornées <math>f_n:=\frac f{|f|}\min(|f|,n)</math> et les opérateurs <math>T_{f_n}</math>).''
{{Solution|contenu=
#<math>f(x)=x^{-1/4}</math> : <math>f^2</math> est intégrable en 0 mais pas <math>f^4</math>.
#Les <math>f_n</math> vérifient évidemment (P) et les endomorphismes <math>T_{f_n}</math> sont continus (de norme <math>\le n</math>). Ils convergent simplement vers <math>T_f</math> car pour tout <math>g\in\mathrm L^2([0,1],\mathrm dx)</math>, <math>\|(T_f-T_{f_n})(g)\|_2^2=\int_{|f|>n}|fg|^2\to0</math> (par [[w:Théorème de convergence dominée|convergence dominée]]). D'après le théorème de Banach-Steinhaus, la limite <math>T_f</math> est donc continue.
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