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[[Fichier:Exercice droites et plans dans l'espace.jpg|thumb|upright=2|left|Pyramide à base carrée.]]
{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Droites et plans/]]
  | suivant   = [[../../|Sommaire]]
  | niveau    = 13
}}
Soit une [[w:Pyramide à base carrée|pyramide à base carrée]] ''SABCD'' (voir figure ci-dessus).

Cette pyramide est [http://www.debart.fr/geogebra_3D/geogebra_3D_quatrieme.html#ch0 régulière] : les 4 faces latérales sont des triangles isocèles et le sommet est à « l’aplomb » du centre ''O'' de la base.

Nous étudierons les effets d'un « troncage » parallèle à la base, qui présente une section ''IJKL'' de centre ''O{{'}}''.
{{Clr}}

== Intersections de droites et plans dans l'espace  ==
#Les droites (''AD'') et (''BC'') sont-elles sécantes ?
#Les droites (''AD'') et (''BC'') sont-elles coplanaires ?
#Les droites (''AI'') et (''BJ'') sont-elles sécantes ?
#Définir par un minimum de points le plan de la face contenant les 5 points ''A'', ''B'', ''S'', ''I'' et ''J''.
#Démontrer que ''K'' appartient au plan (''ADJ'').
#Soit ''M'' le milieu de [''BC'']. Démontrer que (''SM'') et (''AD'') sont orthogonales.
#Démontrer que ''SIJKL'' est une pyramide régulière de hauteur [''SO{{'}}''].
#Construire géométriquement le point ''L'' à partir des seuls points ''S'', ''A'', ''B'', ''C'' et ''I''.
{{Solution|contenu=
#Non car (''ABCD'') est un carré donc un parallélogramme.
#Bien sûr, puisqu'elles sont parallèles.
#''I'' est un point de (''AS'') et ''J'' un point de (''BS'') donc (''AI'') et (''BJ'') sont égales à (''AS'') et (''BS''), sécantes en ''S''.
#Il suffit d'en choisir 3 non alignés : (''ABS'') = (''ABI'') = (''ABJ'') = (''IJS'') =…
#Par hypothèse, (''JK'') est parallèle à (''BC'') donc à (''AD''). Par conséquent, elle est incluse dans le plan (''ADJ'').
#Par hypothèse, (''SM'') est la médiatrice de [''BC'']. Par conséquent, elle est orthogonale à (''BC'') donc à (''AD'').
#D'après les hypothèses, il existe une [[Translation et homothétie|homothétie]] de centre ''S'' qui transforme le carré ''ABCD'' en un carré ''IJKL'', donc qui envoie les 4 faces latérales isocèles de ''SABCD'' sur des triangles isocèles et le carré ''ABCD'' sur un carré, donc le centre ''O'' du premier sur le centre ''O{{'}}'' du second. De plus, la droite (''SO{{'}}'') = (''SO'') est perpendiculaire au plan (''ABCD'') donc au plan (''IJKL'').
#On construit le symétrique ''D'' de ''B'' par rapport au milieu de [''AC'']. ''L'' est alors à l'intersection de (''SD'') avec la parallèle à (''AD'') issue de ''I''.
}}

== Géométrie vectorielle ==
[[Fichier:Champ vectoriel.jpg|thumb|upright=1.5]]
Nous utilisons la figure ci-contre dans le cas particulier où ''I{{'}}'', ''J{{'}}'', ''K{{'}}'' et ''L{{'}}'' sont les milieux respectifs des arêtes [''SA''], [''SB''], [''SC''] et [''SD''].

On note ''M'', ''N'', ''P'' et ''Q'' les milieux respectifs de [''BC''], [''CD''], [''AD''] et [''AB''] et <math>\vec u</math> le vecteur <math>\vec{AP}</math>.
#Indiquer le représentant de ce vecteur d'origine ''I{{'}}''.
#Indiquer ''tous'' les représentants visibles sur la figure.
#Démontrer que <math>\overrightarrow{BC}</math> et <math>\vec u</math> sont colinéaires
#En déduire que <math>\overrightarrow{AC}</math> et <math>\vec u</math> ''ne sont pas'' colinéaires.
#Quelles sont les coordonnées du point ''N'' dans le repère <math>(A;\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC})</math> du plan (''ACD'') ?
#Soit <math>\vec v=\overrightarrow{AC}</math>. Donner un troisième vecteur <math>\vec w</math> tel que <math>(A;\vec u,\vec v,\vec w)</math> soit un repère de l'espace.
#Même question mais avec la contrainte supplémentaire : <math>(A;\vec u,\vec v,\vec w)</math> repère ''orthogonal''.
#Dans le plan vectoriel <math>\R\vec u+\R\vec v</math>, on considère les deux bases <math>(\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AQ})</math> et <math>(\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD})</math>. Soit <math>\vec p</math> un vecteur de coordonnées <math>(x,y)</math> dans la première base et <math>(x',y')</math> dans la seconde. Exprimer <math>(x',y')</math> en fonction de <math>(x,y)</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\vec u=\overrightarrow{I'L'}</math>.
#<math>\vec u=\overrightarrow{I'L'}=\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{QO}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{J'K'}=\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}</math>.
#<math>\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=2\vec u</math>.
#(''AC'') n'est pas parallèle à (''BC'') donc n'est pas dirigée par <math>\overrightarrow{BC}</math>, ni, par conséquent, par <math>\vec u=\frac12\overrightarrow{BC}</math>.
#Les coordonnées de ''D'' et ''C'' sont respectivement (1, 0) et (0, 1) donc celles de leur milieu ''N'' sont <math>\left(\frac12,\frac12\right)</math>.
#Puisque <math>(A;\vec u,\vec v)</math> est un repère du plan (''ACD''), on peut choisir par exemple <math>\vec w=\overrightarrow{AH}</math> où ''H'' est un point n'appartenant pas à ce plan, comme ''H = S''.
#Remarquons d'abord que <math>\vec u\perp\vec v</math> (car <math>(AD)\perp(AC)</math>). Le vecteur <math>\vec w:=\overrightarrow{OS}</math> est orthogonal à <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math> (car <math>(OS)\perp(ACD)</math>). Un point et trois vecteurs non nuls orthogonaux deux à deux forment un repère orthogonal de l'espace.
#
#*<math>\vec p=x\overrightarrow{AP}+y\overrightarrow{AQ}=x'\overrightarrow{OC}+y'\overrightarrow{OD}</math> ;
#*<math>\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{ON}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}2</math> ;
#*<math>\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}}2=\frac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}}2</math>.
#:Par conséquent,
#::<math>x'\overrightarrow{OC}+y'\overrightarrow{OD}=x\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}2+y\frac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}}2=\frac{x+y}2\overrightarrow{OC}+\frac{x-y}2\overrightarrow{OD}</math>
#:donc
#::<math>x'=\frac{x+y}2</math> et <math>y'=\frac{x-y}2</math>
#:ou encore, sous forme [[Initiation aux matrices|matricielle]] :
#::<math>\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}</math>.
;Remarque
:Le principe du [[Matrice/Matrices de changement de base|changement de base]] sera approfondi au niveau 14.
}}

== [[Produit scalaire dans l'espace/Projection orthogonale et produit scalaire dans l'espace|Projeté orthogonal]] sur un plan ==
Pour la suite de l'exercice, on suppose que ''OB'' = 1. On donnera les résultats en fonction du paramètre ''h = OS'' > 0 (hauteur de la pyramide).

On se place dans le repère orthonormé <math>(O;\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OS}/h)</math> et l'on s'intéresse au plan ''SBC'', et au projeté orthogonal ''H'' de ''O'' sur ce plan.
#Donner une équation cartésienne du plan (''SBC'').
#En déduire les coordonnées de ''H''.
#En déduire le rayon ''OH'' de la demi-sphère de centre ''O'' inscrite dans la pyramide.
#Quelle courbe décrit ''H'' ?
{{Solution|contenu=
#L'écriture cartésienne générale d'un plan est <math>ax+by+cz+d=0</math> avec <math>(a,b,c)\ne(0,0,0)</math>.
#:Les points ''S'', ''B'', ''C'' vérifient cette équation si et seulement si :
#::<math>\begin{cases}ch+d&=0\\a+d&=0\\b+d&=0\end{cases}</math>
#:c'est-à-dire :
#::<math>a=b=-d=ch</math>.
#:Le plan (''SBC'') a donc pour équation :
#::<math>x+y+\frac zh-1=0</math>.
#Ces coordonnées <math>(\alpha,\beta,\gamma)</math> vérifient :
#*<math>\alpha+\beta+\frac\gamma h-1=0</math> (car ''H'' appartient au plan) ;
#*<math>\alpha=\beta=\gamma h</math> (car <math>\overrightarrow{OH}</math> est normal au plan).
#:Par conséquent, <math>(\alpha,\beta,\gamma)=\left(\frac{h^2}{2h^2+1},\frac{h^2}{2h^2+1},\frac h{2h^2+1}\right)</math>.
#<math>OH=\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}=\frac h{\sqrt{2h^2+1}}</math>.
#''H'' décrit la demi-[[Espace euclidien/Coniques#Coniques non dégénérées|ellipse]] d'équations <math>\beta=\alpha,\ \gamma^2+2\alpha^2-\alpha=0,\ \gamma>0</math>.
}}

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