Voir la source de Droites et plans de l'espace/Définition et paramétrage d'une droite

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 1
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Définition et paramétrage d'un plan/]]
  | niveau    = 13
}}

== Présentation générale ==
En [[w:géométrie affine|géométrie affine]], une droite est généralement considérée comme un ''« alignement de points »''. Cet ''alignement'' est défini par soit deux points (distincts), soit par un point et un [[vecteur]] (non nul).

Définir une '''représentation paramétrique''' de la droite consistera à faire intervenir une [[w:Variable (mathématiques)|variable]] qui décrit l'alignement. Cette description se fera en [[Représentation d'un point dans l'espace/Coordonnées cartésiennes|coordonnées cartésiennes]], dans un [[w:Repère affine|repère affine]].

Dans cette leçon, l'[[w:Espace affine|espace affine]] <math>E</math> considéré est toujours supposé de dimension 3, muni d'un repère <math>(O;\vec i,\vec j,\vec k)</math> ([[Repère euclidien non orthonormé|non nécessairement orthonormé]] ni même orthogonal).

== Définition d'une [[w:Droite (mathématiques)|droite]] affine ==
{{Définition|contenu=
Soient <math>A</math> un point et <math>\vec u</math> un vecteur non nul.

La droite '''passant par le point <math>A</math> et de [[w:Vecteur directeur|vecteur directeur]] <math>\vec u</math>''' est l'ensemble, noté <math>A+\R\vec u</math>, des points <math>M</math> de l'espace tels que <math>\overrightarrow{AM}</math> soit [[w:Colinéarité|colinéaire]] à <math>\vec u</math> :
:<math>A+\R\vec u=\{A+t\vec u\mid t\in\R\}=\{M\in E\mid\exists t\in\R\quad\overrightarrow{AM}=t\vec u\}</math>.
}}
;Remarque :
:L'application <math>\R\to A+\R\vec u,\ t\mapsto A+t\vec u</math> est une [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection|bijection]], c'est-à-dire que chaque point de la droite correspond à une valeur de paramètre réel <math>t</math> et réciproquement. Le point <math>A</math> correspond à <math>t=0</math>.

{{Proposition|contenu=
Pour deux points distincts <math>A</math> et <math>B</math> de l'espace, la droite <math>(AB):=A+\R\overrightarrow{AB}</math> est l'unique droite passant par <math>A</math> et <math>B</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
*La droite <math>A+\R\overrightarrow{AB}</math> est bien définie (car <math>\overrightarrow{AB}\ne\vec0</math>) et passe par <math>A+0\overrightarrow{AB}=A</math> et par <math>A+1\overrightarrow{AB}=B</math>.
*Réciproquement, si une droite <math>C+\R\vec u</math> (où <math>C</math> est un point et <math>\vec u</math> un vecteur non nul) passe par <math>A</math> et <math>B</math>, c'est-à-dire s'il existe deux réels <math>t_A,t_B</math> (nécessairement distincts) tels que <math>A=C+t_A\vec u</math> et {{nobr|<math>B=C+t_B\vec u</math>,}} alors <math>C+\R\vec u=A-t_A\vec u+\R\vec u=A+\R\vec u=A+\R\left(t_B-t_A\right)\vec u=A+\R\overrightarrow{AB}</math>.
}}

== Représentation paramétrique ==
Étant donné un repère <math>(O;\vec i,\vec j,\vec k)</math>, par définition :
*le triplet des coordonnées d'un vecteur <math>\vec u</math> est l'unique [[w:Matrice colonne|matrice colonne]] <math>\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}</math> telle que <math>\vec u=\alpha\vec i+\beta\vec j+\gamma\vec k</math> ;
*les coordonnées <math>\begin{pmatrix}x_A\\y_A\\z_A\end{pmatrix}</math> d'un point <math>A</math> sont les coordonnées du vecteur <math>\overrightarrow{OA}</math>.

La représentation paramétrique d'une droite s'écrit donc :
*pour une droite définie par un point <math>A</math> et un vecteur directeur <math>\vec u</math> (non nul) :
{{Encadre|class=center|contenu=<div style="text-align: center;"> <math>A+\R\vec u:\begin{cases}
x=x_A+t\alpha\\
y=y_A+t\beta\\
z=z_A+t\gamma
\end{cases}\quad(t\in\R)</math> ;</div>}}
*pour une droite définie par deux points distincts <math>A</math> et <math>B</math> :
:<math>(AB):\begin{cases}
x=x_A+t\left(x_B-x_A\right)=\left(1-t\right)x_A+tx_B\\
y=y_A+t\left(y_B-y_A\right)=\left(1-t\right)y_A+ty_B\\
z=z_A+t\left(z_B-z_A\right)=\left(1-t\right)z_A+tz_B
\end{cases}\quad(t\in\R)</math>, ou encore, en échangeant les rôles de <math>A</math> et <math>B</math> :{{Encadre|class=center|contenu=<div style="text-align: center;"> <math>(AB):\begin{cases}
x=sx_A+\left(1-s\right)x_B\\
y=sy_A+\left(1-s\right)y_B\\
z=sz_A+\left(1-s\right)z_B
\end{cases}\quad(s\in\R)</math></div>}}
:On reconnaît l'écriture des coordonnées du [[barycentre]] de <math>(A,(1-t)),(B,t)</math> ou de <math>(A,s),(B,(1-s))</math>.

{{Remarque|contenu=
Réciproquement, pour tous triplets de réels <math>(\alpha,\beta,\gamma)\ne(0,0,0)</math> et <math>(x_0,y_0,z_0)</math>,
:<math>\begin{cases}
x=x_0+t\alpha\\
y=y_0+t\beta\\
z=z_0+t\gamma
\end{cases}\quad(t\in\R)</math>
est la représentation paramétrique (dans le repère <math>(O;\vec i,\vec j,\vec k)</math>) de la droite passant par le point de coordonnées <math>\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}</math> et de vecteur directeur <math>\alpha\vec i+\beta\vec j+\gamma\vec k</math>.
}}

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