Voir la source de Distributions statistiques des particules/Statistique de Maxwell-Boltzmann

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
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La statistique de Maxwell-Boltzmann est une loi de probabilité ou distribution utilisée en physique statistique pour déterminer la répartition de particules entre différents niveaux d'énergie. Elle est notamment à la base de la théorie cinétique des gaz. La démonstration ci-après est basée sur celle de Rocard<ref name="lire1">Rocard, Y, Thermodynamique, Masson, 1957</ref>.
__TOC__
{{Clr}}
== Dénombrement des états  ==
Soit une boîte contenant une seule case. Il y a une seule possibilité pour mettre deux particules discernables, noire ou blanche, <div style="border:solid 3px black; width:50px;"> <p style="margin:10px; border:dotted 1px silver;"> ៙ ๐ </p> </div> soit <math>W_{MBQ}=1^2=1</math> :


Pour deux particules discernables dans deux cases de la boîte :
[[Fichier:MaxwellQuantique1.jpg]] , il y a quatre combinaisons, soit <math>W_{MBQ}=2^2=4</math>

 
Il y a 9 configurations possibles pour placer deux particules discernables dans trois cases :

::<math>W_{MBQ}=3^2=9</math>
 
Soit une boîte de g cases contenant n particules. En appliquant la formule des arrangements de n = 2 particules dans g = 3 cases (la dégénérescence ou poids statistique g est le nombre de configurations physiques ou d’états distincts de même énergie), on a

::<math>W_{MBQ}=\ g^n</math>

::<math>\log\ W_{MBQ}=n\log\ g</math>

== Multiplicateurs de Lagrange  ==

À l’équilibre, la probabilité doit être extrémale, et sa variation doit donc être nulle :

<math> \sum_i \log\left(\frac{g_i}{n_i}\right) \mathrm dn_i=0</math>

Le nombre total de particules est constant:

<math>\left.\sum_i \mathrm dn_i=0\right.</math>

L’énergie totale doit être extrémale à l’équilibre :

<math>\left.\sum_i E_i \mathrm dn_i=0\right.</math>
 
On peut additionner ces trois expressions nulles selon la méthode des multiplicateurs de Lagrange :

<math> \sum_i \log\left(\frac{g_i}{n_i}\right) \mathrm dn_i+a\sum_i \mathrm dn_i+b\sum_i E_i \mathrm dn_i=0</math>

où a et b sont des constantes à déterminer. Comme cela doit être vrai quels que soient les <math>dn_i</math>, on doit avoir

<math> \log\left(\frac{g_i}{n_i}\right)+a+b E_i=0</math>

== Distribution de Maxwell-Boltzmann quantique ou corrigée  ==

L'équation précédente donne la fonction d’occupation de chaque état d’énergie Ei :
 
<math>f_i=\frac{n_i}{g_i} =\frac{1}{\exp \left (-a-b E_i \right )}</math>

On doit retrouver pour <math>f_i</math> le facteur de Boltzmann <math>exp(-E_i/kT)</math> lorsque l’exponentielle est très supérieure à un. L’identification des fonctions d’occupation de Maxwell classique et quantique, en l’absence d’effets quantiques donne :
 
<math>\exp \left (-a-b E_i \right )=\exp \left (\frac{E_i-\mu}{kT} \right )</math>

en posant

<math>a=\mu/kT\ et\ b = -1/(kT)</math>

On obtient la fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann quantique:

<math>f_i=\frac{n_i}{g_i} =\exp -\left (\frac{E_i-\mu}{kT}\right)</math>

== Distribution de Maxwell-Boltzmann classique  ==

La distribution classique, continue, ignore la dégénérescence, c'est-à-dire que <math>g_i=1</math>. L'équation précédente donne la fonction d’occupation de chaque état d’énergie Ei :
 
<math>n_i=\frac{1}{\exp \left (-a-b E_i \right )}</math>

On doit retrouver pour <math>f_i</math> le facteur de Boltzmann <math>exp(-E_i/kT)</math> lorsque l’exponentielle est très supérieure à un. L’identification des fonctions d’occupation de Maxwell classique et quantique, en l’absence d’effets quantiques donne :
 
<math>\exp \left (-a-b E_i \right )=\exp \left (\frac{E_i-\mu}{kT} \right )</math>

en posant

<math>a=\mu/kT\ et\ b = -1/(kT)</math>

On a la fonction de distribution :

<math>n_i=\frac{1}{\exp \left (\frac{E_i-\mu}{kT} \right )}=\exp -\left (\frac{E_i-\mu}{kT} \right )</math>

En prenant un potentiel chimique μ nul, comme énergie l'énergie cinétique des molécules d'un gaz et une distribution continue des vitesses, on obtient une distribution  gaussienne des vitesses (à un coefficient près) :

<math>n(v)dn=a\exp -\left (\frac{mv^2}{2kT}\right )dv</math>

== Références ==

<references />

== Voir aussi  ==
{{Encart
  | couleur = blanc
  | symbole = [[File:Stylized eye.svg|60px]]
  | contenu =
* [[w:Physique statistique|Physique statistique Wikipedia]]
* [[w:Statistique de Maxwell-Boltzmann|Statistique de Maxwell-Boltzmann Wikipedia]]
* [http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/blanquet/synophys/53stat/53stat.htm#5 Physique statistique Blanquet]
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