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{{Titre incorrect|Exercices : Courbes et surfaces dans ℝ{{exp|3}}}}
{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 8
  | niveau    = 15
  | chapitre  = [[../../Sous-variétés de Rn|Sous-variétés de ℝ{{exp|''n''}}]]
  | précédent = [[../ Courbes paramétrées/]]
  | suivant   = [[../Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq|Continuité et différentiabilité de fonctions de ℝ{{exp|''p''}} dans ℝ{{exp|''q''}}]]
}}

==Exercice 1==
Calculer l'équation du plan tangent au [[w:Quadrique|cône à base elliptique]] <math>\Sigma</math> d'équation <math>xy=z^2</math>, en un point arbitraire <math>M_0=(x_0,y_0,z_0)\ne(0,0,0)</math> de <math>\Sigma</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\Sigma</math> a pour équation <math>f=0</math> où <math>f</math> est définie par <math>f\left(x,y,z\right)=xy-z^2</math>.

Le plan tangent <math>T_{M_0}\Sigma</math> est le plan contenant <math>M_0</math> et normal au vecteur gradient <math>\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right)=\left(y_0,x_0,-2z_0\right)</math> (non nul par hypothèse).

Il a donc pour équation <math>(x-x_0)y_0+(y-y_0)x_0-2(z-z_0)z_0=0</math>, soit <math>y_0x+x_0y-2z_0z=0</math>.
}}
#Déterminer les points de la surface <math>S</math> d'équation <math>xy=z^3</math> dont le plan tangent contient la droite d'équations <math>x=2,\;y-3z+3=0</math>.
#En tout point <math>M_0=\left(x_0,y_0,z_0\right)\in S</math> tel que <math>x_0y_0\ne0</math>, déterminer la position de la surface par rapport à son plan tangent.
{{Solution|contenu=
<math>S</math> a pour équation <math>f=0</math> où <math>f</math> est définie par <math>f\left(x,y,z\right)=xy-z^3</math>.
#Pour tout point <math>M_0=\left(x_0,y_0,z_0\right)\in S</math>, le plan tangent <math>T_{M_0}S</math> est le plan contenant <math>M_0</math> et normal au vecteur gradient <math>\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right)=\left(y_0,x_0,-3z_0^2\right)</math> (sauf au point singulier <math>O=\left(0,0,0\right)</math>, en lequel il n'y a pas de plan tangent). Il a donc pour équation <math>y_0\left(x-x_0\right)+x_0\left(y-y_0\right)-3z_0^2\left(z-z_0\right)=0</math>, qui se réécrit <math>y_0x+x_0y-3z_0^2z=2x_0y_0-3z_0^3</math>. Donc<br><math>T_{M_0}S=\{\left(x,y,z\right)\in\R^3\mid y_0x+x_0y-3z_0^2z=-z_0^3\}</math>.<br>La droite <math>D</math> peut être paramétrée par exemple par <math>z</math> :<br><math>D=\{\left(2,3z-3,z\right)\mid z\in\R\}</math>.<br>Par conséquent,<br><math>\begin{align}D\subset T_{M_0}S&\Leftrightarrow\forall z\in\R\quad2y_0+x_0\left(3z-3\right)-3z_0^2z=-z_0^3\\&\Leftrightarrow\forall z\in\R\quad z\left(3x_0-3z_0^2\right)+\left(2y_0-3x_0+z_0^3\right)=0\\&\Leftrightarrow x_0=z_0^2\quad\text{et}\quad2y_0-3x_0+z_0^3=0\\&\Leftrightarrow x_0=z_0^2\text{ et }y_0=z_0^2\frac{3-z_0}2.\end{align}</math><br>On a alors <math>0=x_0y_0-z_0^3=z_0^4\frac{3-z_0}2-z_0^3=\frac{z_0^3}2\left(3z_0-z_0^2-2\right)=-\frac{z_0^3}2\left(z_0-1\right)\left(z_0-2\right)</math> donc (puisque <math>M_0\ne O</math>)
#:<math>M_0=\left(1,1,1\right)\quad\text{ou}\quad\left(4,2,2\right)</math>.
#Calculons le développement limité à l'ordre <math>2</math> de <math>z=\sqrt[3]{xy}</math> quand <math>x=x_0+u</math> et <math>y=y_0+v</math> avec <math>u,v\to0</math>. Soit <math>z_0=\sqrt[3]{x_0y_0}</math>.<br><math>\begin{align}\sqrt[3]{\left(x_0+u\right)\left(y_0+v\right)}&=z_0\left(1+\frac u{x_0}\right)^{1/3}\left(1+\frac v{y_0}\right)^{1/3}\\
&=z_0\left(1+\frac u{3x_0}-\frac{u^2}{9x_0^2}\right)\left(1+\frac v{3y_0}-\frac{v^2}{9y_0^2}\right)+o\left(u^2+v^2\right)\\
&=z_0+\frac{z_0}{3x_0}u+\frac{z_0}{3y_0}v+\frac{z_0}9\left(-\frac{u^2}{x_0^2}+\frac{uv}{x_0y_0}-\frac{v^2}{y_0^2}\right)+o\left(u^2+v^2\right).
\end{align}</math><br>On retrouve à l'ordre 1 l'équation du plan tangent (<math>z=z_0+\frac{z_0}{3x_0}u+\frac{z_0}{3y_0}v=z_0+\frac{y_0u+x_0v}{3z_0^2}</math>), et le terme d'ordre 2 (la différence entre la hauteur d'un point de la surface et celle d'un point du plan sur la même verticale) est du signe de <math>-z_0</math>, donc la surface est en dessous de son plan tangent si <math>x_0y_0>0</math> et au-dessus si <math>x_0y_0<0</math>.
}}

==Exercice 2==
Pour <math>\lambda\in\R</math>, soit <math>S_\lambda=\{(x_1,x_2,x_3)\in\R^3\mid x_1^2+x_2^2-x_3^2=\lambda\}</math>.
#Déterminer les réels <math>\lambda</math> pour lesquels <math>S_\lambda</math> est une [[w:Variété différentielle#Sous-variétés, plongements|sous-variété]] de <math>\R^3</math>. Dessiner <math>S_\lambda</math> en fonction de <math>\lambda</math>. 
#Pour <math>x,y\in\R^3</math>, soit <math>B(x,y)=x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3</math>. Soit <math>x\in S_\lambda</math>, exprimer <math>\mathrm T_xS_\lambda</math> à l'aide de <math>B</math>.
{{Solution|contenu=
[[File:Hyperboloid1.png|thumb|left|Hyperboloïde à une nappe (<math>\lambda>0</math>).]][[File:Hyperboloid2.png|thumb|Hyperboloïde à deux nappes (<math>\lambda>0</math>).]]
#<math>S_\lambda</math> est une sous-variété si en chacun de ses points, l'application <math>f:\R^3\to\R,\,x\mapsto x_1^2+x_2^2-x_3^2</math> est une [[w:Submersion (mathématiques)|submersion]], c'est-à-dire si, pour tout <math>x\in S_\lambda</math>, le vecteur <math>\nabla f(x)=(2x_1,2x_2,-2x_3)</math> est non nul. Cela équivaut à <math>(0,0,0)\notin S_\lambda</math> donc à <math>\lambda\ne0</math>.<br><math>S_\lambda</math> est une [[w:Surface de révolution|surface de révolution]], d'axe <math>(Ox_3)</math>. C'est un [[Espace euclidien/Quadriques#Cône elliptique|cône]] si <math>\lambda=0</math> et un hyperboloïde sinon, [[Espace euclidien/Quadriques#Hyperboloïde à une nappe|à une nappe]] si <math>\lambda>0</math> et [[Espace euclidien/Quadriques#Hyperboloïde à deux nappes|deux nappes]] si <math>\lambda<0</math>.
#<math>T_xS_\lambda=\ker\mathrm df_x=\nabla f(x)^\bot=\ker B(x,\cdot)</math>.
}}

==Exercice 3==
Déterminer, parmi les sous-ensembles ci-dessous, lesquels sont des sous-variétés de <math>\R^n</math> :
#<math>S_0=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^3+y^3+ z^3-3xyz=1\}</math> ;
#<math>C_0=\{(x,y)\in\R^2\mid xy=0\}</math> ;
#<math>C_1=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2 =1\;\text{et}\; x^2+y^2-x=0\}</math> ;
#<math>C_2=\{(x,y)\in\R^2\mid y^2=x^3\}</math> ;
#<math>S_1=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2=\alpha z^2\}</math> (<math>\alpha>0</math>).
{{Solution|contenu=
#La surface <math>S_0</math> est une sous-variété de <math>\R^3</math> car en chacun de ses points, l'application <math>f:\R^3\to\R,\,(x,y,z)\mapsto x^3+y^3+ z^3-3xyz</math> est une submersion, c'est-à-dire que pour tout <math>(x,y,z)\in S_0</math>, le vecteur <math>\nabla f(x,y,z)=3(x^2-yz,y^2-xz,z^2-xy)</math> est non nul. En effet, les <math>(x,y,z)</math> pour lesquels ce vecteur est nul vérifient : <math>f(x,y,z)=0</math>.
#La courbe <math>C_0</math> n'est pas une sous-variété (même topologique) de dimension 1 (de <math>\R^2</math>) car <math>O</math> est un point double : au voisinage de ce point, <math>C_0</math> privée de <math>O</math> a 4 composantes connexes, au lieu de 2.
#La courbe <math>C_1</math> (la « [[w:fenêtre de Viviani|fenêtre de Viviani]] ») a pour paramétrage <math>M(\theta)=(\cos^2\theta,\cos\theta\sin\theta,\sin\theta)</math>. Le point double <math>M(0)=(1,0,0)=M(\pi)</math> fait que — comme <math>C_0</math> — <math>C_1</math> n'est pas une sous-variété, même topologique.
#La courbe <math>C_2=\{(\sqrt[3]{y^2},y)\mid y\in\R\}</math> est une sous-variété topologique (localement homéomorphe à <math>\R\times\{0\}</math>) de <math>\R^2</math> mais pas une sous-variété différentiable, car <math>O=(0,0)</math> est un point de rebroussement donc le cône tangent (l'ensemble des vecteurs de la forme <math>\lim \frac{\overrightarrow{OM_n}}{t_n}</math> avec <math>M_n\to O</math> et <math>t_n\to0^+</math>, ou encore, de la forme <math>\gamma'_d(0)=\lim_{t\to0^+}\frac{\gamma(t)-\gamma(0)}t</math> pour <math>\gamma:\left[0,\varepsilon\right[\to C_2</math> telle que <math>\gamma(0)=O</math>) est une demi-droite et non une droite.
#Le cône <math>S_1</math> n'est pas une sous-variété (même topologique) de dimension 2 (de <math>\R^3</math>) car son sommet <math>O</math> est un point double : au voisinage de <math>O</math>, <math>S_1</math> privé de <math>O</math> a 2 composantes connexes, au lieu de 1.
}}

==Exercice 4==
On considère la sphère unité <math>S</math> de <math>\R^3</math> et un cylindre <math>C</math>, d'axe vertical et de rayon <math>r>0</math>. L'intersection de <math>S</math> et <math>C</math> définit-elle toujours une courbe lisse ? Retrouver cette observation par le calcul. 
{{Solution|contenu=
Sans perte de généralité, l'axe du cylindre passe par un point de la forme <math>(a,0,0)</math> avec <math>a\ge0</math>.

La courbe <math>S\cap C</math> est alors le lieu d'annulation de <math>f:\R^3\to\R^2,\ (x,y,z)\mapsto(x^2+y^2+z^2-1,(x-a)^2+y^2-r^2)</math>.

La matrice <math>\mathrm Jf(x,y,z)=2\begin{pmatrix}x&y&z\\x-a&y&0\end{pmatrix}</math> est de rang 2 sauf si <math>yz=(x-a)z=ay=0</math>.
*Si <math>a=0</math>, cela n'est possible (sur <math>S\cap C</math>) que si <math>r=1</math> mais dans ce cas, <math>S\cap C</math> est quand même une courbe lisse (le cercle équatorial de <math>S</math>).
*Si <math>a\ne0</math>, cela n'est possible (sur <math>S\cap C</math>) que si <math>r\in\{1+a,1-a,a-1\}</math>.
**Si <math>r=a+1</math>, la sphère est tangente intérieurement au cylindre.
**Si <math>r=a-1</math>, c'est l'inverse.
**Si <math>r=1-a</math>, la courbe <math>S\cap C</math> est une hippopède (en forme de 8) donc elle a un point double et n'est pas une variété (pour <math>a=r=\frac12</math>, on retrouve la fenêtre de Viviani de l'exercice précédent).
}}

==Exercice 5==
#Montrer que l'équation <math>xy+xz+yz+2x+2y-z=0</math> définit une surface <math>S</math>. Donner l'équation du plan tangent de cette surface à l'origine.
#Montrer que le système d'équations <math>4xy+2xz+4y-z=xy+xz+yz+2x+2y-z=0</math> définit au voisinage de l'origine une courbe. Déterminer la droite tangente à cette courbe à l'origine.
#Montrer que le système d'équations <math>x^2 + y^2 - z^2=2x+y+1=0</math> définit une courbe lisse <math>C</math> de <math>\R^3</math> et déterminer la droite tangente <math>T_aC</math> à <math>C</math> en <math>a=(-1,1,\sqrt2)</math>.
{{Solution|contenu=
#Posons <math>f:(x,y,z)\mapsto xy+xz+yz+2x+2y-z</math>. Alors, <math>\mathrm Jf=(y+z+2,x+z+2,x+y-1)</math> est nulle seulement en <math>(1/2,1/2,-5/2)</math>, point en lequel <math>f\ne0</math>. Donc <math>S</math> est une sous-variété (de dimension 2) de <math>\R^3</math>. Son plan tangent en <math>(0,0,0)</math> est <math>\ker(\mathrm Df_{(0,0,0)})</math>, d'équation <math>2x+2y-z=0</math>.
#Posons <math>g:(x,y,z)\mapsto(4xy+2xz+4y-z,xy+xz+yz+2x+2y-z)</math>. Alors, <math>\mathrm Jg(0,0,0)=\begin{pmatrix}0&4&-1\\2&2&-1\end{pmatrix}</math> est de rang 2 et son noyau est la droite de vecteur directeur <math>(1,1,4)</math>.
#L'application <math>F:\R^3\to\R^2,\;(x,y,z)\mapsto(x^2+y^2-z^2,2x+y+1)</math> est C{{exp|∞}}. Soit <math>(x,y,z)\in C</math>. Alors, <math>z\ne0</math> et <math>J_{(x,y,z)}F=\left(
      \begin{smallmatrix}
        2x & 2y & -2z\\
        2  & 1  &  0
      \end{smallmatrix}
    \right)</math> est de rang 2 (en considérant le mineur formé des 2 dernières colonnes). Donc <math>F</math> est une submersion en tout point de <math>C</math>, ce qui prouve que <math>C</math> est une sous-variété lisse de <math>\R^3</math>, de dimension <math>3-2=1</math>. <math>F(a)=0</math> donc <math>a\in C</math>. La droite <math>T_aC=\ker\mathrm D_aF</math> est l'ensemble des triplets <math>(\alpha,\beta,\gamma)\in\R^3</math> tels que <math>-2\alpha+2\beta-2\sqrt2\gamma=2\alpha+\beta=0</math>.
}}

==Exercice 6==
On appelle groupe orthogonal l'ensemble <math>\mathrm O_n(\R)=\{M\in\mathrm M_n(\R)\mid{}^t\!MM=\mathrm I_n\}</math>.

Le but est de montrer que <math>\mathrm O_n(\R)</math> est une sous-variété de <math>\mathrm M_n(\R)</math>.

Soit <math>E</math> l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre <math>n</math> et <math>f:\mathrm M_n(\R)\to E</math> définie par <math>f(A)={}^t\!AA</math>.
#Montrer que <math>\mathrm D_Af(H)={}^t\!AH+{}^t\!HA</math>.
#Soit <math>A\in\mathrm O_n(\R)</math>, <math>S\in E</math> et <math>H=\frac12AS</math>. Montrer que <math>\mathrm D_Af(H)=S</math>. En déduire que <math>\mathrm O_n(\R)</math> est une sous-variété de <math>\mathrm M_n(\R)</math> de dimension <math>n(n-1)/2</math>, dont l'espace tangent en <math>\mathrm I_n</math> est <math>\{X \in\mathrm M_n(\R)\mid{}^t\!X=-X\}</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>f</math> est la composée de l'application produit <math>B:\mathrm M_n(\R)\times\mathrm M_n(\R)\to\mathrm M_n(\R)</math> (bilinéaire) et de l'application <math>({}^t\!\cdot,\mathrm{id})</math> (linéaire) donc (cf. [[../../Différentiabilité#Propriétés et définition|chap. 2]]) <math>\mathrm D_Af(H)=\mathrm DB_{({}^t\!A,A)}({}^t\!H,H)=B({}^t\!A,H)+B({}^t\!H,A)</math>.
#<math>\mathrm D_Af(H)={}^t\!AH+{}^t\!HA={}^t\!A\frac12AS+{}^t\!(\frac12AS)A=\frac12{}^t\!AAS+\frac12{}^t\!S{}^t\!AA=\frac12S+\frac12{}^t\!S=S</math>. On en déduit que <math>\mathrm D_Af</math> est surjective donc <math>\mathrm O_n(\R)=f^{-1}(\{\mathrm I_n\})</math> est une sous-variété de <math>\mathrm M_n(\R)</math>, de dimension <math>\dim\mathrm M_n(\R)-\dim E=n^2-n(n+1)/2=n(n-1)/2</math>. L'espace tangent en <math>\mathrm I_n</math> est <math>\ker(\mathrm D_{\mathrm I_n}f)=\{H\in\mathrm M_n(\R)\mid{}^t\!H+H=0\}</math>.
}}

==Exercice 7==
#Montrer que l'ensemble <math>S:=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2=2(x+y+z-1)\}</math> est une sphère, dont on déterminera le centre et le rayon.
#Déterminer l'équation du plan tangent à <math>S</math> en un point <math>(x_0,y_0,z_0)\in S</math>.
#Expliciter les deux cas particuliers <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,1,0)</math> et <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,1,2)</math>
{{Solution|contenu=
#<math>x^2+y^2+z^2=2(x+y+z-1)\Longleftrightarrow(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1^2</math><br>donc <math>S</math> est la sphère de centre <math>(1,1,1)</math> et de rayon <math>1</math>.
#En un point <math>M_0=(x_0,y_0,z_0)</math>, un vecteur normal à cette surface d'équation <math>f(x,y,z)=0</math> est <math>\operatorname{grad}f(M_0)=2(x_0-1,y_0-1,z_0-1)</math> (c'était d'ailleurs évident géométriquement : pour une sphère, le vecteur radial est normal) donc le plan tangent a pour équation <math>\langle\overrightarrow{\nabla f}(M_0),\overrightarrow{M_0M}\rangle=0</math>, c'est-à-dire (en simplifiant par <math>2</math>)
#:<math>(x_0-1)(x-x_0)+(y_0-1)(y-y_0)+(z_0-1)(z-z_0)=0</math><br>(accessoirement, compte tenu du fait que <math>(x_0,y_0,z_0)\in S</math>, on peut remarquer que cette équation de plan équivaut à <math>x_0x+y_0y+z_0z=2(x_0+y_0+z_0-1)</math>).
#On vérifie que <math>f</math> est nulle aux deux points <math>M_0=(1,1,0)</math> et <math>M_1=(1,1,2)</math>. Ils appartiennent donc bien à <math>S</math> et d'après la question précédente, l'équation du plan tangent à <math>S</math> :
#*en <math>M_0</math> est <math>(1-1)(x-1)+(1-1)(y-1)+(0-1)(z-0)=0</math>, qui se simplifie en <math>z=0</math> ;
#*en <math>M_1</math> est <math>(1-1)(x-1)+(1-1)(y-1)+(2-1)(z-2)=0</math>, qui se simplifie en <math>z=2</math>.
#:On peut remarquer que ces deux plans sont parallèles, ce qui n'a rien de surprenant puisque ces deux points de la sphère sont diamétralement opposés.
}}

==Exercice 8==
Trouver l'équation cartésienne et paramétrique du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point <math>(x_0,y_0,z_0)</math> donné :
#<math>z=\sqrt{19-x^2-y^2},\quad(x_0,y_0,z_0)=(1,3,3)</math> ; 
#<math>z=\sin(\pi xy)\exp(2x^2y-1), \quad (x_0,y_0,z_0)=(1,1/2,1)</math> ;
#<math>z=8-x^2-y^2,\quad(x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)</math>.
{{Solution|contenu=
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00063.pdf exercice 1 [002628] pour les questions 1 et 2.
#Le plan tangent, en un point <math>(x_0,y_0,z_0)</math>, à la sphère d'équation <math>x^2+y^2+z^2=19</math>, a pour vecteur normal <math>2(x_0,y_0,z_0)</math> donc pour équation
#*cartésienne : <math>x_0x+y_0y+z_0z=19</math>,<br>soit, si <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,3,3)</math> : <math>x+3y+3z=19</math> ;
#*paramétrique : par exemple, <math>x=x_0+sz_0,\;y=y_0+tz_0,\;z=z_0-sx_0-ty_0</math>,<br>soit, si <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,3,3)</math> : <math>x=1+3s,\;y=3+3t,\;z=3-s-3t</math>.
#Le plan tangent, en un point <math>(x_0,y_0,z_0)</math>, à la surface d'équation <math>z=\sin(\pi xy)\exp(2x^2y-1)</math>, est dirigé par les deux vecteurs <math>\left(1,0,(y_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+4x_0y_0)\exp(2x_0^2y_0-1)\right)</math> et <math>\left(0,1,(x_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+2x_0^2)\exp(2x_0^2y_0-1)\right)</math> donc a pour équation
#*cartésienne : <math>z=z_0+\exp(2x_0^2y_0-1)[(x-x_0)(y_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+4x_0y_0)+(y-y_0)(x_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+2x_0^2)]</math>,<br>soit, si <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,1/2,1)</math> : <math>z=2(x+y-1)</math> ;
#*paramétrique : par exemple, <math>x=x_0+s,\;y=y_0+t,\;z=z_0+s(y_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+4x_0y_0)\exp(2x_0^2y_0-1)+t(x_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+2x_0^2)\exp(2x_0^2y_0-1)</math>,<br>soit, si <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,1/2,1)</math> : <math>x=1+s,\;y=1/2+t,\;z=1+2s+2t</math>.
#Le plan tangent, en un point <math>(x_0,y_0,z_0)</math>, à la surface d'équation <math>z=8-x^2-y^2</math>, est dirigé par les deux vecteurs <math>\left(1,0,-2x_0\right)</math> et <math>\left(0,1,-2y_0\right)</math> donc a pour équation
#*cartésienne : <math>2x_0x+2y_0y+z=x_0^2+y_0^2+8</math>,<br>soit, si <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)</math> : <math>2x+4y+z=13</math> ;
#*paramétrique : par exemple, <math>x=x_0+s,\;y=y_0+t,\;z=z_0-2x_0s-2y_0t</math>,<br>soit, si <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)</math> : <math>x=1+s,\;y=2+t,\;z=3-2s-4t</math>.
}}

==Exercice 9==
#Sur le [[w:Paraboloïde#Paraboloïde elliptique|paraboloïde elliptique]] <math>z=4x^2+y^2</math>, trouver les points où le plan tangent est parallèle au plan <math>x+2y+z=6</math>.
#Même question avec le plan <math>3x+5y-2z=3</math>.
{{Solution|contenu=
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00063.pdf exercice 3 [002630]

Le plan tangent au paraboloïde en un point <math>(x,y,z)</math> (avec <math>z=4x^2+y^2</math>) a pour vecteur normal <math>(8x,2y,-1)</math>. Ce vecteur est colinéaire :
#au vecteur <math>(1,2,1)</math> si et seulement si <math>x=\frac18</math> et <math>y=-1</math> (donc <math>z=\frac{17}{16}</math>) ;
#au vecteur <math>(3,5,-2)</math> si et seulement si <math>x=\frac3{16}</math> et <math>y=\frac54</math> (donc <math>z=\frac{109}{64}</math>).
}}
Soit <math>S</math> la surface paramétrée par <math>x=\left(1+v^2\right)\cos u,\;y=\left(1+v^2\right)\sin u,\;z=v</math>, pour <math>(u,v)\in\left[0,2\pi\right[\times\left]-1,1\right[</math>.

Trouver l'ensemble des points de <math>S</math> où le plan tangent est vertical.
{{Solution|contenu=
<math>S</math> a pour équation <math>x^2+y^2=\left(1+z^2\right)^2</math> donc pour vecteur normal, en un point <math>\left(x,y,z\right)\in S</math> : <math>\left(x,y,-2z\left(1+z^2\right)\right)</math>. Ce vecteur est horizontal si et seulement si <math>z=0</math>.
}}

==Exercice 10==
[[File:Cubique unicursale.pdf|thumb]]
On pose <math>f(x,y)=x^3+y^3- x^2-y^2</math>.
#Calculer le gradient <math>\operatorname{grad}(f)</math> et la différentielle <math>\mathrm Df</math> de la fonction <math>f</math>.
#Calculer l'équation de la tangente à la courbe d'équation <math>f(x,y)=0</math>, aux points <math>(1,1)</math>, <math>(0,1)</math> et <math>(1,0)</math>.
{{Clr}}
{{Solution|contenu=
#<math>\operatorname{grad}(f)(x,y)=(3x^2-2x,3y^2-2y)</math> et <math>\mathrm Df_{(x,y)}(h,k)=(3x^2-2x)h+(3y^2-2y)k</math>.
#La tangente en un point <math>(a,b)</math> est orthogonale au vecteur <math>\operatorname{grad}(f)(a,b)</math> donc elle a pour équation (si ce vecteur est non nul) : <math>(x-a)(3a^2-2a)+(y-b)(3b^2-2b)=0</math>, ce qui s'écrit :
#*si <math>(a,b)=(1,1)</math> : <math>x+y=2</math> ;
#*si <math>(a,b)=(0,1)</math> : <math>y=1</math> ;
#*si <math>(a,b)=(1,0)</math> : <math>x=1</math>.
}}

==Exercice 11==
Soit <math>S</math> la surface d'équation <math>z=x+y^2</math>.
#Déterminer le plan tangent à <math>S</math> à l'origine, et la position de la surface par rapport à ce plan.
#Mêmes questions au point <math>(1,1,2)</math>.
{{Solution|contenu=
#Ce plan <math>P</math> a pour équation <math>z=x</math>, et le point courant <math>M(x,y)=(x,y,x+y^2)\in S</math> est au-dessus du point <math>(x,y,x)\in P</math> situé sur la même verticale que <math>M(x,y)</math>.
#Ce plan <math>Q</math> a pour équation <math>z-2=x-1+2(y-1)</math>, soit <math>z=x+2y-1</math>, et le point courant <math>M(x,y)=(x,y,x+y^2)\in S</math> est au-dessus du point <math>(x,y,x+2y-1)\in Q</math> situé sur la même verticale que <math>M(x,y)</math>, car <math>y^2-2y+1=(y-1)\ge0</math>.
}}

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