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{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | chapitre  = [[../../Formes linéaires/]]
  | précédent = [[../../|Sommaire]]
  | suivant   =
  | numéro    = 1
  | niveau    = 15
}}

==Exercice 1-1==
Dans chacun des cas suivants, dire si l'ensemble <math>F</math> est un hyperplan du <math>K</math>-espace vectoriel <math>E</math> :
#<math>n\in\N,\quad E=K_n[X],\quad F=\left\{P\in E\mid P(3)=0\right\}</math> ;
#<math>n\in\N^*,\quad E=K_n[X],\quad F=K_{n-1}[X]</math> ;
#<math>K=\R,\quad E=\Complex^2,\quad F=\left\{(u,v)\in\Complex^2\mid\overline u=2v\right\}</math> ;
#<math>K=\Complex,\quad E=\Complex^2,\quad F=\left\{(u,v)\in\Complex^2\mid\overline u=2v\right\}</math> ;
#<math>E=\mathrm M_n(K),\quad F=\left\{M\in E\mid\operatorname{Tr}(M)=1\right\}</math> ;
#<math>K=\R,\quad E=C([0,1],\R),\quad F=\left\{f\in E\;\left|\;\int_0^1f=0\right.\right\}</math> ;
#<math>u\in E\setminus\{0\},\quad F=\operatorname{Vect}(u)</math>.
{{Solution|contenu=
#Oui car <math>P\mapsto P(3)</math> est une forme linéaire non nulle.
#Oui car <math>F</math>, espace vectoriel de dimension <math>n</math>, est un sous-espace de <math>E</math>, et ce dernier est de dimension <math>n+1</math>.
#Non car sur <math>\R</math>, <math>F</math> (défini par une équation complexe donc deux équations réelles) est de codimension 2.
#Non car sur <math>\Complex</math>, <math>F</math> n'est même pas un sous-espace vectoriel : <math>(2\mathrm i,-\mathrm i)\in F</math> mais <math>\mathrm i(2\mathrm i,-\mathrm i)\notin F</math>.
#Non car <math>F</math> n'est même pas un sous-espace vectoriel : il ne contient pas <math>0</math> (la matrice nulle de <math>\mathrm M_n(K)</math>).
#Oui car <math>f\mapsto\int_0^1f</math> est une forme linéaire non nulle.
#Seulement si <math>\dim(E)=2</math>.
}}

==Exercice 1-2==
Soit <math>F=\left\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid x+y-z-t=0\right\}</math>.
#Justifier que <math>F</math> est un hyperplan de <math>\R^4</math>. En déduire sa dimension.
#En donner une base.
#Donner toutes ses équations.
#Donner tous ses supplémentaires dans <math>\R^4</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>F</math> est (de par sa définition) le noyau d'une forme linéaire non nulle sur <math>\R^4</math> donc c'est un hyperplan, c'est-à-dire un sous-espace vectoriel de codimension <math>1</math>. Sa dimension est par conséquent <math>4-1=3</math>.
#<math>F=\left\{(x,y,z,x+y-z)\mid(x,y,z)\in\R^3\right\}=\operatorname{Vect}\left((1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)\right)</math>. Puisque ces 3 vecteurs engendrent <math>F</math> qui est de dimension 3, ils forment une base de <math>F</math>.
#<math>F</math> a pour équation n'importe quel multiple de celle donnée au départ : <math>kx+ky-kz-kt=0</math>, pour <math>k\in\R^*</math> (mais la question est mal posée car <math>F</math> a bien d'autres équations, par exemple <math>\exp(x+y-z-t)=1</math>, ou encore <math>(x+y-z-t)^2+(x+y-z-t)^4=0</math>).
#Les supplémentaires de <math>F</math> sont les droites vectorielles non incluses dans <math>F</math> : <math>\operatorname{Vect}\left((a,b,c,d)\right)</math> avec <math>a+b-c-d\ne0</math>.
}}
Mêmes questions en remplaçant <math>\R^4</math> par <math>\R_2[X]</math> et <math>F</math> par <math>G=\left\{P\in\R_2[X]\mid P(1)+P'(0)=0\right\}</math>.
{{Solution|contenu=
#Même justification pour « <math>G</math> est un hyperplan » que précédemment pour <math>F</math> (l'application <math>P\mapsto P(1)+P'(0)</math> — évidemment non constamment nulle — est bien une forme linéaire car <math>P\mapsto P(1)</math> et <math>P\mapsto P'(0)</math> le sont ; la seconde l'est comme composée de l'application linéaire <math>P\mapsto P'</math> et de la forme linéaire <math>Q\mapsto Q(0)</math>). Donc <math>\dim G=\dim\R_2[X]-1=3-1=2</math>.
#Si <math>P=aX^2+bX+c</math> alors <math>P(1)+P'(0)=a+2b+c</math>. Donc <math>G=\left\{aX^2+bX-a-2b\mid(a,b)\in\R^2\right\}=\operatorname{Vect}\left(X^2-1,X-2\right)</math>. Par le même raisonnement que pour <math>F</math>, ces deux polynômes forment une base de <math>G</math>.
#Avec les mêmes notations que dans la question précédente, « les » équations de <math>G</math> (mais voir la contestation précédente pour <math>F</math>) sont <math>ka+2kb+kc=0</math>, pour <math>k\in\R^*</math>.
#Les supplémentaires de <math>G</math> sont les droites <math>\operatorname{Vect}\left(aX^2+bX+c\right)</math> avec <math>a+2b+c\ne0</math>.
}}

==Exercice 1-3==
Soient <math>E</math> un <math>K</math>-espace vectoriel de dimension finie <math>n\ge1</math> et <math>H_1,\dots,H_p</math> des hyperplans de <math>E</math>. On note <math>H=H_1\cap\dots\cap H_p</math>. Montrer que <math>\dim H\geq n-p</math>.
{{Solution|contenu=
Soient <math>f_1,\dots,f_p</math> des formes linéaires sur <math>E</math> de noyaux respectifs <math>H_1,\dots,H_p</math>. Alors, <math>H</math> est le noyau de l'application <math>f=(f_1,\dots,f_p):E\mapsto K^p</math> donc d'après le [[Application linéaire/Rang|théorème du rang]], <math>n=\dim(H)+\dim(\operatorname{Im}f)\le\dim(H)+p</math>.

On peut aussi procéder par récurrence, en remarquant que <math>H</math> est soit égal à <math>G:=H_1\cap\dots\cap H_{p-1}</math> soit un hyperplan de <math>G</math>, selon que la forme linéaire dont <math>H_p</math> est le noyau est nulle ou pas sur <math>G</math>.
}}
En déduire que si <math>K=\R</math> et si <math>(x,y)\mapsto\sum_{i=1}^r \psi_i(x)\psi_i(y)</math> est un [[Espace euclidien/Produit scalaire|produit scalaire]] sur <math>E</math>, alors la famille de formes linéaires <math>(\psi_1,\dots,\psi_r)</math> engendre l'[[Dualité/Définitions#Dualité en algèbre linéaire|espace <math>E^*</math> des formes linéaires sur <math>E</math>]].
{{Solution|contenu=
La formule
:<math>\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^r\psi_i(x)\psi_i(y)</math>
définit une forme bilinéaire symétrique, telle que <math>\langle x,x\rangle</math> est positif pour tout <math>x</math>. Si l'on suppose que c'est un produit scalaire, alors pour tout <math>x</math> non nul, <math>\langle x,x\rangle</math> est strictement positif, donc l'un des termes <math>\psi_i(x)</math> est non nul. Tout vecteur non nul est en dehors du noyau d'au moins un des <math>\psi_i</math>. Ainsi, l'intersection <math>U</math> des noyaux des <math>\psi_i</math> est réduite au vecteur nul. Supposons que le sous-espace <math>V</math> de <math>E^*</math> engendré par la famille <math>(\psi_i)</math> soit de dimension <math>s</math> (avec donc <math>s\le n</math>). Alors, l'intersection <math>U</math> est encore égale à l'intersection des noyaux d'une base de <math>V</math> (vérifiez !), c'est-à-dire à l'intersection des noyaux de <math>s</math> formes linéaires. On invoque pour conclure le fait général, démontré ci-dessus : l'intersection des noyaux de <math>s</math> formes linéaires est de dimension au moins <math>n-s</math>. Puisque <math>U</math> est de dimension <math>0</math>, cela donne <math>0\ge n-s</math> et donc <math>s\ge n</math>, puis <math>s=n</math>, soit encore <math>V=E^*</math>.
}}

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  | chapitre  = [[../../Formes linéaires/]]
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