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{{Devoir
  | titre     = Matrice hermitienne
  | idfaculté = mathématiques
  | cours     = oui
  | numéro    = 2
  | niveau    = 15
}}

<div style="text-align: center;">'''[[Espace préhilbertien complexe/Exercices/Espaces hermitiens#Exercice 1-11|Décomposition polaire d'une matrice complexe]]'''</div>


Dans les questions 3 et 5, <math>\mathrm j</math> désigne le nombre complexe <math>-\frac12+\frac{\mathrm i\sqrt3}2</math>.

'''1°''' &nbsp;Soient <math>K</math> un corps, <math>E</math> un <math>K</math>-espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie), <math>u</math> et <math>v</math> deux endomorphismes diagonalisables de <math>E</math>, et <math>P(X)\in K[X]</math> un polynôme.
:*Montrer que si la fonction polynomiale associée à <math>P</math> est injective sur le spectre de <math>u</math>, alors <math>P(u)</math> a mêmes sous-espaces propres que <math>u</math>, avec comme valeurs propres les images par <math>P</math> de celles de <math>u</math>.
:*En déduire que si <math>P</math> est aussi injective sur le spectre de <math>v</math> et si <math>P(u)=P(v)</math>, alors <math>u=v</math>.

'''2°''' &nbsp;Soit H et H' deux matrices hermitiennes positives de M<sub>n</sub>(ℂ). Déduire de la question 1 que :
:*toute base de ℂ<sup>n</sup> formée de vecteurs propres de H<sup>2</sup> est une base de vecteurs propres de H ;
:*si H<sup>2</sup> = H'<sup>2</sup>, alors H = H'.

'''3°''' &nbsp;Soit :
:<math>M=\begin{pmatrix} 2 & 2\mathrm j & 0 \\ 2\mathrm j^2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.
:Déterminer une matrice hermitienne positive H ∈ M<sub>3</sub>(ℂ) telle que H<sup>2</sup> = M.

'''4°''' &nbsp;Soit A une matrice de M<sub>n</sub>(ℂ). Montrer que si :
:<math>{}^t \overline{A}A=D^2</math>
:avec D matrice diagonale positive dans M<sub>n</sub>(ℝ),
:alors il existe U unitaire dans M<sub>n</sub>(ℂ) telle que A = U.D.

'''5°''' &nbsp;Soit A dans M<sub>n</sub>(ℂ). En déduire qu’il existe une matrice hermitienne positive unique H et une matrice unitaire U de M<sub>n</sub>(ℂ) telles que A = U.H. 
:U est-elle unique ?
:Déterminer U et H dans le cas particulier où :
:<math>A=\frac 1{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} -\mathrm j & -\mathrm j^2 &\mathrm j \\ -1 & -\mathrm j & 1 \\ 2\mathrm j^2 & 2 &\mathrm j^2 \end{pmatrix}</math>
:et dans le cas où :
:<math>A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}</math>.


{{Corrigé
  | contenu =
'''1°''' &nbsp;Notons <math>S</math> le spectre (non nécessairement fini) de <math>u</math>. Par hypothèse,

<math>E=\bigoplus_{\lambda\in S}V_{\lambda}</math>, où <math>V_{\lambda}</math> est le sous-espace propre de <math>u</math> relatif à <math>\lambda</math>.

Un vecteur <math>x\ne0</math> de <math>E</math> se décompose suivant cette somme directe sous la forme

<math>x=\sum_{\lambda\in S}x_{\lambda}</math>, avec seulement un nombre fini (<math>\ge1</math>) de composantes <math>x_{\lambda}</math> non nulles.
*Supposons que <math>P</math> est injective sur <math>S</math>.
*:<math>x</math> est propre pour <math>P(u)</math> pour une valeur propre <math>\mu</math> si et seulement si
*:<math>\sum_{\lambda\in S}P(\lambda)x_{\lambda}=\sum_{\lambda\in S}\mu x_{\lambda}</math>, c'est-à-dire (par unicité de la décomposition)
*:<math>\forall\lambda\in S\quad(x_{\lambda}=0\text{ ou }P(\lambda)=\mu)</math>
*:ou encore (puisque les <math>x_{\lambda}</math> sont non tous nuls et que <math>P</math> est injective sur <math>S</math>) :
*:<math>\exists\lambda\in S\quad(\mu=P(\lambda)\text{ et }x\in V_{\lambda})</math>.
*Supposons que <math>P</math> est aussi injective sur le spectre de <math>v</math>, et que <math>P(u)=P(v)</math>.
*:D'après le premier point, <math>u</math> et <math>v</math> ont alors mêmes sous-espaces propres, avec mêmes valeurs propres associées, donc <math>u=v</math>.

'''2°''' &nbsp;Simple application à <math>E=\Complex^n</math>, <math>S\subset\R_+</math> et <math>P(X)=X^2</math>.

'''3°''' &nbsp;(Il existe au plus une telle matrice H d'après la question 2, et son existence prouvera que M est hermitienne positive.)

Cherchons les valeurs propres de M :

<math>\begin{vmatrix} 2-\lambda & 2j & 0 \\ 2j^2 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix}=(1-\lambda)\left[ (2-\lambda)^2-4 \right]=(1-\lambda)\lambda(\lambda-4)</math>

Déterminons les sous-espaces propres associés :

V(0) = Ker(M) = {(x,y,z) {{!}} 2x + 2jy = 0 et z = 0}.

On trouve que V(0) est engendré par le vecteur suivant, de norme 1 (pour le produit hermitien canonique sur ℂ<sup>3</sup>) :

<math> \left( \frac{\mathrm j}{\sqrt2},\frac{-1}{\sqrt2},0\right)</math>.

V(1) = Ker(M – I) = {(x,y,z) {{!}} x + 2jy = 0 et 2j<sup>2</sup>x + y=0}. On trouve que V(1) est engendré par le vecteur de norme 1 suivant :

<math> \left( 0,0,1\right)</math>.

V(4) = Ker(M – 4I) = {(x,y,z) {{!}} x – jy = 0 et z = 0}. On trouve que V(4) est engendré par le vecteur de norme 1 suivant :

<math> \left( \frac{\mathrm j}{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0\right)</math>.

On a donc :

<math>M = PDP^{-1}\text{ avec }P=\frac{\sqrt2}2\begin{pmatrix}\mathrm j & 0 &\mathrm j \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt2& 0 \end{pmatrix}\text{ et }D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}</math>.

Calculons <math>P^{-1}</math>. Comme M est hermitienne, les trois colonnes de P sont non seulement de norme 1 mais orthogonales, si bien que P est unitaire, donc :

<math>P^{-1}=^t\overline P=\frac{\sqrt2}2\begin{pmatrix}\mathrm j^2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt2\\\mathrm j^2 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>.

La matrice diagonale <math>D</math> est le carré de la matrice hermitienne positive

<math>E:=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}</math>

et M = PE<sup>2</sup>P<sup>-1</sup> = (PEP<sup>-1</sup>)(PEP<sup>-1</sup>) = H<sup>2</sup> avec H := PEP<sup>-1</sup> qui est, comme E, hermitienne positive.

Après calcul, on trouve :

<math>H=\begin{pmatrix} 1 &\mathrm j & 0 \\\mathrm j^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

'''4°''' &nbsp;Notons d<sub>1</sub>, d<sub>2</sub>, ... , d<sub>n</sub> les éléments diagonaux de D (réels positifs ou nuls) et A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ... , A<sub>n</sub> les matrices colonnes de A.

<math>{}^t \overline{A}A=D^2</math> signifie que :

<math> \forall k, \forall h \in [\![0;n]\!]\qquad\begin{cases} ^t\overline{A_h}A_k=0 \\ ^tA_hA_h=d_h^2 \end{cases}</math>

On peut donc normaliser chaque vecteur colonne A<sub>h</sub> de A correspondant à une valeur d<sub>h</sub> ≠ 0 et poser :

<math>U_h=\frac 1{d_h}A_h</math>

et ensuite compléter en une base orthonormale (U<sub>1</sub>,...U<sub>n</sub>) de ℂ<sup>n</sup>.

La matrice U, matrice de passage de la base canonique à U<sub>1</sub>,...U<sub>n</sub>, est évidemment unitaire, et A<sub>h</sub> = d<sub>h</sub>U<sub>h</sub> pour tout indice h, d'où A = UD.

'''5°''' &nbsp;Posons <math>M=^t\overline{A}A</math>.

M est hermitienne positive car :

<math>^t\overline{X}MX=^t\overline{X}^t\overline{A}AX=^t(\overline{AX})AX\geqslant 0</math>

Il existe donc une matrice unitaire W et une matrice diagonale D positive telles que M = WD<sup>2</sup>W<sup>-1</sup> d'où, en posant H = WDW<sup>-1</sup> :

<math>M=(WDW^{-1})^2=H^2</math>

et H est hermitienne positive et c’est la seule telle H<sup>2</sup> = M d’après la question 2.

De plus :

<math>D^2=W^{-1}MW=^t\overline{W}^t\overline{A}AW=^t(\overline{AW})AW</math>

D'où d’après la question 4, AW = VD avec V unitaire, si bien que

<math>A=VDW^{-1}=VW^{-1}WDW^{-1}=UH</math>

avec <math>U:=VW^{-1}</math> unitaire.

;Premier cas
:<math>A=\frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix} -\mathrm j & -\mathrm j^2 &\mathrm j \\ -1 & -\mathrm j & 1 \\ 2\mathrm j^2 & 2 &\mathrm j^2 \end{pmatrix}\qquad ; \qquad ^t\overline{A}A=M=\begin{pmatrix} 2 & 2j & 0 \\ 2\mathrm j^2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
:et M = H<sup>2</sup> avec :
:<math> H=\begin{pmatrix} 1 &\mathrm j & 0 \\\mathrm j^2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
:d'après la question 3 et A = U.H avec par exemple :
:<math> U=\frac 1{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 & 1 &\mathrm j \\\mathrm j & 1 & 1 \\\mathrm j^2 & 1 &\mathrm j^2 \end{pmatrix}</math>.

;Second cas
:<math>A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}\qquad ; \qquad ^t\overline{A}A=\begin{pmatrix} 6 & 5 & 5 \\ 5 & 6 & 5 \\ 5 & 5 & 6 \end{pmatrix}</math>
:Cette dernière matrice est diagonalisable et l’on a :
:<math>W^{-1}\left(^t\overline{A}A\right)W=D^2\text{ avec }D^2=\begin{pmatrix} 16 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^2\text{ et }W=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}3 & \frac{\sqrt{2}}2 & \frac{\sqrt{6}}6 \\ \frac{\sqrt{3}}3 & -\frac{\sqrt{2}}2 & \frac{\sqrt{6}}6 \\ \frac{\sqrt{3}}3 & 0 & -\frac{\sqrt{6}}3 \end{pmatrix}\text{ et }W^{-1}=^tW</math>
:D'où :
:<math>H=WDW^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}</math>.
:U est ici unique puisque A est inversible donc :
:<math>U=AH^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}</math>.
}}