Voir la source de Équation du troisième degré/Simplification des racines

{{Chapitre
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 5
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Méthode de Cardan/]]
  | suivant   = [[../Résolutions trigonométriques/]]
  | page_liée = Exercices/Simplification des racines
}}
Dans le chapitre précédent, nous avons vu apparaître des racines cubiques de nombres complexes ou de nombres quadratiques. Nous allons donc voir dans ce chapitre des méthodes permettant, quand cela est possible, d'extraire les racines cubiques des nombres complexes ou quadratiques. Nous verrons ensuite comment présenter les racines d'une équation du troisième degré, ayant trois racines réelles, sous forme trigonométrique afin de disposer de formule ne faisant plus intervenir les nombres complexes.
__TOC__
{{Clr}}
== Extraction des racines cubiques d'un nombre complexe  ==
Supposons que nous voulions extraire les trois racines cubiques d'un nombre complexe dont l'écriture algébrique serait ''a + bi''.
Cela revient à trouver trois couples de nombres réels (x, y) vérifiant :

:<math> (x + yi)^3 = a + bi ~</math>

Nous appliquerons la méthode suivante :

{{Principe
   |titre=Principe de la méthode d'extraction des racines cubiques d'un nombre complexe
   |contenu=

Soit à résoudre l'équation d'inconnues x et y :

<math> (x + yi)^3 = a + bi ~</math>

avec a, b réels.

On procède ainsi :

On appellera c la racine cubique réelle de :

<math> a^2+b^2 ~</math>

On résout l'équation du troisième degré suivante :

<math> 4x^3-3cx-a=0 ~</math>

On retiendra pour x la plus simple des trois racines.

y sera alors donné par la formule :

<math> y = \frac{b}{4x^2-c} ~</math>

Les trois racines de <math> a + bi </math> seront alors :

<math> x + yi, \qquad j(x + yi),  \qquad j^2(x + yi) ~</math>

}}

{{démonstration déroulante
   |contenu=

Nous devons résoudre :

<math> (x + yi)^3 = a + bi ~</math>

En développant le premier membre, nous obtenons :

<math> (x^3 -3xy^2) + (3x^2y -y^3)i = a + bi ~</math>

Par identification , nous obtenons :

<math>\begin{cases}
x^3 -3xy^2 = a \\
3x^2y -y^3 = b
\end{cases}</math>

Remarquons que 

<math> x+yi=\frac{x^2+y^2}{x-yi}~</math> 

et que 

<math>  a+bi=\frac{a^2+b^2}{a-bi}~</math>

De telle sorte que l'équation à résoudre peut s'écrire :

<math> (x-yi)^3=\frac{(x^2+y^2)^3}{a^2+b^2}(a-bi)~</math>

Si on développe et que l’on identifie comme précédemment nous obtenons :

<math>\begin{cases}
x^3-3xy^2=\frac{(x^2+y^2)^3}{a^2+b^2}a \\
-3x^2+y^3=-\frac{(x^2+y^2)^3}{a^2+b^2}b
\end{cases}</math>

Or 

<math> x^3-3xy^2=a ~</math> 

d'où <math>(x^2+y^2)^3=a^2+b^2~</math>

et donc 

<math> x^2+y^2=(a^2+b^2)^{1/3}~</math> ( racine cubique réelle)

Appelons c la racine cubique réelle de 

<math> a^2+b^2~</math> .

Il vient alors que : 

<math> y^2=c-x^2 ~</math>,

valeur que l’on peut substituer dans l'égalité :

<math> x^3-3xy^2=a ~</math>. 

Ce qui donne :

<math> x^3-3x(c-x^2)=a ~</math> 

ou encore

<math> 4x^3-3cx-a=0~</math>.

Pour le calcul de y, on reprend l'égalité

<math> 3x^2y -y^3 = b~</math>

d'où 

<math> y(3x^2-y^2)=b ~</math>

ou encore 

<math> y(4x^2-c)=b ~</math>

ce qui donne 

<math> y = \frac{b}{4x^2-c} ~</math>

'''Compléments''' :

Nous aurions pu résoudre l'équation :

<math> (x + yi)^3 = a + bi ~</math>

de façon plus "classique" de la façon suivante :

Soit

<math> z=x+iy = |z|e^{it}, z^3 = a + ib ~</math>

D'où 

<math> |z|^3=\sqrt{a^2+b^2} , cos(3t)=\frac{a}{|z|^3}~</math>

Or

<math> cos(3t)=4cos(t)^3-3cos(t) ~</math>

D'où 

<math> 4cos(t)^3-3cos(t)=\frac{a}{|z|^3}~</math>

Soit encore 

<math> 4|z|^3cos(t)^3 -3|z|^3 cos(t)-a=0~</math>

Or 

<math> x= |z|cos(t)~</math> 

Donc 

<math> 4x^3-3|z|^2x-a=0 ~</math>

Cette équation est identique à l'équation obtenue précédemment; il suffit de voir que :

<math> |z|^3=\sqrt{a^2+b^2} , |z|=\sqrt{c} ~</math>

avec c racine cubique réelle de 

<math> a^2+b^2~</math>

ainsi défini précédemment.
}}

{{Encart
  | symbole = exemple
  | contenu = '''Exemple de calcul de racines cubiques'''

Recherchons les trois racines cubiques du nombre 18 + 26i.

on pose a = 18 et b = 26. D'où c = 10.

Remplaçons dans l'équation :

: <math> 4x^3-3cx-a=0 ~</math>

On obtient :

: <math> 4x^3 - 30x - 18 = 0 ~</math>

Si cette équation admet une racine rationnelle de la forme 

: <math> \frac{p}{q}~</math>

alors nous savons que p est à rechercher parmi les diviseurs de 18 et q parmi les
 
diviseurs de 4. Nous voyons rapidement que :

: <math> x = 3 ~</math> 

est solution évidente. Calculons ensuite y :

: <math> y = \frac{3bx}{8x^3+a} = \frac{3 \times 26 \times 3}{8 \times 3^3+18} = 1 ~</math>


Les trois racines de 18 + 26i sont donc :

: <math> 3 + i ~</math>

: <math> j(3 + i) = (-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2})(3 + i) = -\frac{3+\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}-1}{2}i ~</math>

: <math> j^2(3 + i) = (-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2})^2(3 + i) = -\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2}i ~</math>

}}

== Extraction des racines cubiques d'un nombre quadratique  ==
{{Définition
  |titre=Définition d'un corps quadratique
  |contenu=

Le corps quadratique noté :

<math> \Q(\sqrt{n}) ~</math>

est l’ensemble des nombres de la forme :

<math> a + b\sqrt{n} ~</math>

a et b étant des nombres rationnels.

Nous appellerons donc nombre quadratique des nombres de la forme :

<math> a + b\sqrt{n} \qquad (a,b) \in \Q^2 ~</math>

}}


Supposons que nous voulions extraire les trois racines cubiques d'un nombre quadratique dont l'écriture serait <math> a + b\sqrt{n} </math>.
cela revient à trouver trois couples de nombres réels (x, y) vérifiant :

<math> (x + y\sqrt{n})^3 = a + b\sqrt{n} ~</math>

Nous appliquerons la méthode suivante :

{{Principe
   |titre=Principe de la méthode d'extraction des racines cubiques d'un nombre quadratique
   |contenu=

Soit à résoudre l'équation d'inconnues x et y :

<math> (x + y\sqrt{n})^3 = a + b\sqrt{n} ~</math>

avec a, b rationnels.

On procède ainsi :

On appellera c la racine cubique réelle de :

<math> a^2-nb^2 ~</math>

On résout l'équation du troisième degré suivante :

<math> 4x^3-3cx-a=0 ~</math>

On retiendra pour x la plus simple des trois racines.
y sera alors donné par la formule :

<math> y = \frac{b}{4x^2-c} ~</math>

Les trois racines de <math> a + b\sqrt{n} </math> seront alors :

<math> x + y\sqrt{n}, \qquad j(x + y\sqrt{n}),  \qquad j^2(x + y\sqrt{n}) ~</math>

}}

{{démonstration déroulante
   |contenu=

Nous devons résoudre :

<math> (x + y\sqrt{n})^3 = a + b\sqrt{n} ~</math>

En développant le premier membre, nous obtenons :

<math> (x^3 + 3nxy^2) + (3x^2y + ny^3)\sqrt{n} = a + b\sqrt{n} ~</math>

Par identification , nous obtenons :

<math>\begin{cases}
x^3 + 3nxy^2 = a \\
3x^2y + ny^3 = b
\end{cases}</math>

Remarquons que <math> x+y\sqrt{n}=\frac{x^2-ny^2}{x-y\sqrt{n}}~</math> et que <math>  a+b\sqrt{n}=\frac{a^2-nb^2}{a-b\sqrt{n}}~</math>

De telle sorte que l'équation à résoudre peut s'écrire :

<math> (x-y\sqrt{n})^3=\frac{(x^2-ny^2)^3}{a^2-nb^2}(a-b\sqrt{n})~</math>

Si on développe et que l’on identifie comme précédemment nous obtenons :

<math>\begin{cases}
x^3+3nxy^2=\frac{(x^2-ny^2)^3}{a^2-nb^2}a \\
-3x^2-ny^3=-\frac{x^2-ny^2)^3}{a^2-nb^2}b
\end{cases}</math>

Or 

<math> x^3+3nxy^2=a ~</math> 

d'où <math>(x^2-ny^2)^3=a^2-nb^2~</math>

et donc 

<math> x^2-ny^2=(a^2-nb^2)^{1/3}~</math> ( racine cubique réelle)

Appelons c la racine cubique réelle de 

<math> a^2-nb^2~</math> .

Il vient alors que : 

<math> ny^2=x^2-c ~</math>,

valeur que l’on peut substituer dans l'égalité :

<math> x^3+3nxy^2=a ~</math>. 

Ce qui donne :

<math> x^3+3x(x^2-c)=a ~</math> 

ou encore

<math> 4x^3-3cx-a=0~</math>.

Pour le calcul de y, on reprend l'égalité

<math> 3x^2y + ny^3 = b~</math>

d'où 

<math> y(3x^2+ny^2)=b ~</math>

ou encore 

<math> y(4x^2-c)=b ~</math>

ce qui donne 

<math> y = \frac{b}{4x^2-c} ~</math>

}}

== Présentation trigonométrique des racines d'une équation ayant trois racines réelles  ==
La représentation trigonométrique des racines d'une équation ayant trois racines réelles est basée sur la propriété suivante :

{{Propriété
  | contenu =
Pour tous réels <math>s\ne0</math> et <math>r</math>, '''l'une des trois''' racines cubiques complexes de <math>r+\mathrm is</math> (pas n'importe laquelle), que nous noterons <math>\sqrt[3]{r+\mathrm is}</math>, '''et son conjugué''', que nous noterons <math>\sqrt[3]{r-\mathrm is}</math> (et qui est une racine cubique de <math>r-\mathrm is</math>), vérifient :
*<math>\sqrt[3]{r+\mathrm is}+\sqrt[3]{r-\mathrm is}=2\sqrt[6]{r^2+s^2}\cos\left(\frac{\arccos\frac r\sqrt{r^2+s^2}}3\right)</math>.
*<math>\mathrm j\sqrt[3]{r+\mathrm is}+\mathrm j^2\sqrt[3]{r-\mathrm is}</math> et <math>\mathrm j^2\sqrt[3]{r+\mathrm is}+\mathrm j\sqrt[3]{r-\mathrm is}</math> sont égaux à<br /><math>2\sqrt[6]{r^2+s^2}\cos\left(\frac{\arccos\left(\frac r{\sqrt{r^2+s^2}}\right)+2\pi}3\right)</math> et <math>2\sqrt[6]{r^2 + s^2}\cos\left(\frac{\arccos\left(\frac r{\sqrt{r^2 + s^2} } \right)-2\pi}3\right)</math> :
**dans le même ordre si <math>s>0</math> ;
**dans l'ordre inverse si <math>s<0</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Supposons par exemple <math>s>0</math> (le cas <math>s<0</math> s'en déduit en intervertissant <math>s</math> et <math>-s</math>, ou se démontre de même : essayez de le faire à titre d'exercice !), et posons :
:<math>\theta:=\arccos\frac r\sqrt{r^2+s^2}</math>.

Alors, de par la [[Fonctions circulaires réciproques/Fonction arccos|définition de la fonction <math>\arccos</math>]] :
:<math>\begin{cases}
\cos\theta=\frac r\sqrt{r^2+s^2},\\
\sin\theta=\frac s\sqrt{r^2+s^2}. 
\end{cases}</math>

Grâce à la formule de Moivre, on en déduit :
:<math>\left(\cos\frac\theta3+\mathrm i\sin\frac\theta3\right)^3=\cos\theta+\mathrm i\sin\theta=\frac{r+\mathrm is}\sqrt{r^2+s^2}</math>

donc on peut poser
:<math>\sqrt[3]{r+\mathrm is}:=\sqrt[6]{r^2+s^2}\left(\cos\frac\theta3+\mathrm i\sin\frac\theta3\right)</math>
et l'on a alors :
:<math>\sqrt[3]{r-\mathrm is}:=\overline{\sqrt[3]{r+\mathrm is}}=\sqrt[6]{r^2+s^2}\left(\cos\frac\theta3-\mathrm i\sin\frac\theta3\right)</math>.
Ces '''choix''' de <math>\sqrt[3]{r+\mathrm is}</math> et <math>\sqrt[3]{r-\mathrm is}</math> permettent d'écrire :
*<math>\sqrt[3]{r+\mathrm is}+\sqrt[3]{r-\mathrm is}=\sqrt[6]{r^2+s^2}\left(\cos\frac\theta3+\mathrm i\sin\frac\theta3\right)+\sqrt[6]{r^2+s^2}\left(\cos\frac\theta3-\mathrm i\sin\frac\theta3\right)=2\sqrt[6]{r^2+s^2}\cos\frac\theta3</math> ;
*<math>\mathrm j\sqrt[3]{r+\mathrm is}+\mathrm j^2\sqrt[3]{r-\mathrm is}=\sqrt[6]{r^2+s^2}\left(\operatorname e^{\frac{2\pi}3+\frac\theta3}+\operatorname e^{-\frac{2\pi}3-\frac\theta3}\right)=2\sqrt[6]{r^2+s^2}\cos\left(\frac{\theta+2\pi}3\right)</math> ;
*<math>\mathrm j^2\sqrt[3]{r+\mathrm is}+\mathrm j\sqrt[3]{r-\mathrm is}=\sqrt[6]{r^2+s^2}\left(\operatorname e^{\frac{2\pi}3-\frac\theta3}+\operatorname e^{-\frac{2\pi}3+\frac\theta3}\right)=2\sqrt[6]{r^2+s^2}\cos\left(\frac{\theta-2\pi}3\right)</math>.
}}

En se servant des deux propriétés précédentes, nous allons pouvoir exprimer autrement les racines d'une équation du troisième degré ayant trois racines réelles.

Reprenons le calcul !

Nous devions résoudre l'équation :

:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>

En faisant le changement de variable :
:<math> x = z - \frac b{3a}</math> ,

nous avions obtenu une équation de la forme :
:<math> z^3 + pz + q =0</math>

dont le discriminant est :
:<math>\Delta=-(4p^3+27q^2)</math>.

et nous avons vu qu'alors si Δ > 0, c'est-à-dire <math>4p^3+27q^2<0</math>, les racines de l'équation à résoudre étaient :

<math>x_0=u_0+\overline{u_0}-\frac b{3a}</math> ;

<math>x_1=\mathrm ju_0+\overline{\mathrm ju_0}-\frac b{3a}</math> ;

<math>x_2=\mathrm j^2u_0+\overline{\mathrm j^2u_0}-\frac b{3a}</math>

où <math>u_0</math> est '''n'importe laquelle''' des trois racines cubiques de <math>\frac{-q+\mathrm i\sqrt{\frac\Delta{27}}}2</math>.

Poursuivons alors le calcul en utilisant les propriétés établies en début de paragraphe.

Pour cela, compte tenu de ce qui précède, il suffit de poser :
:<math> r = \frac{-q}2</math> ;
:<math> s =\frac{\sqrt{\frac\Delta{27}}}2=\frac{\sqrt{-q^2-\frac{4p^3}{27}}}2</math>.

Nous obtenons alors :
:<math> r^2 + s^2=\frac{-p^3}{27}</math>

et par suite :
:<math> \sqrt[6]{r^2+s^2} = \sqrt{\frac{-p}3}</math>.

D'autre part :

:<math> \frac r{\sqrt{r^2 + s^2}} = \frac{\frac{-q}2}{\sqrt{\frac{-p^3}{27}}} = \frac{-q}2\frac3{-p}\sqrt{\frac{-3}p} = \frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}p}</math>.

Dans ce calcul, nous avons tenu compte du fait que ''p'' est négatif. En effet,
:<math>4p^3<-27q^2\le0</math>.

En utilisant alors les propriétés du début du paragraphe, nous retrouvons (cf. chapitre précédent) que les racines de l'équation à résoudre sont :

{{Encadre
   |contenu=

:<math> x_0= 2\sqrt{-\frac p3}\cos\left( \frac{\arccos \left( \frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}p}   \right)}3\right) - \frac b{3a}</math> ;

:<math> x_1=  2\sqrt{-\frac p3}\cos\left( \frac{\arccos \left( \frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}p}   \right) + 2\pi}3\right) - \frac b{3a}</math> ;

:<math> x_2=  2\sqrt{-\frac p3}\cos\left( \frac{\arccos \left( \frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}p}   \right)-2\pi}3\right) - \frac b{3a}</math>.
}}

L'intérêt de présenter les racines d'une équation du troisième degré ayant trois racines réelles sous cette forme est de s'affranchir des nombres complexes.

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Méthode de Cardan/]]
  | suivant   = [[../Résolutions trigonométriques/]]
}}