Équation du troisième degré/Simplification des racines

Modèle:Chapitre Dans le chapitre précédent, nous avons vu apparaître des racines cubiques de nombres complexes ou de nombres quadratiques. Nous allons donc voir dans ce chapitre des méthodes permettant, quand cela est possible, d'extraire les racines cubiques des nombres complexes ou quadratiques. Nous verrons ensuite comment présenter les racines d'une équation du troisième degré, ayant trois racines réelles, sous forme trigonométrique afin de disposer de formule ne faisant plus intervenir les nombres complexes.

Extraction des racines cubiques d'un nombre complexe

Supposons que nous voulions extraire les trois racines cubiques d'un nombre complexe dont l'écriture algébrique serait a + bi. Cela revient à trouver trois couples de nombres réels (x, y) vérifiant :

$(x+yi{)}^3=a+bi$

Nous appliquerons la méthode suivante :

Extraction des racines cubiques d'un nombre quadratique

Supposons que nous voulions extraire les trois racines cubiques d'un nombre quadratique dont l'écriture serait $a+b\sqrt{n}$. cela revient à trouver trois couples de nombres réels (x, y) vérifiant :

$(x+y\sqrt{n}{)}^3=a+b\sqrt{n}$

Nous appliquerons la méthode suivante :

Présentation trigonométrique des racines d'une équation ayant trois racines réelles

La représentation trigonométrique des racines d'une équation ayant trois racines réelles est basée sur la propriété suivante :

En se servant des deux propriétés précédentes, nous allons pouvoir exprimer autrement les racines d'une équation du troisième degré ayant trois racines réelles.

Reprenons le calcul !

Nous devions résoudre l'équation :

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

En faisant le changement de variable :

$x=z-\frac{b}{3a}$ ,

nous avions obtenu une équation de la forme :

$z^3+pz+q=0$

dont le discriminant est :

$\mathrm{\Delta }=-(4p^3+27q^2)$.

et nous avons vu qu'alors si Δ > 0, c'est-à-dire $4p^3+27q^2<0$, les racines de l'équation à résoudre étaient :

$x_0=u_0+\overline{u_0}-\frac{b}{3a}$ ;

$x_1=\mathrm{j}{u}_0+\overline{\mathrm{j}{u}_0}-\frac{b}{3a}$ ;

$x_2={\mathrm{j}}^2{u}_0+\overline{{\mathrm{j}}^2{u}_0}-\frac{b}{3a}$

où $u_0$ est n'importe laquelle des trois racines cubiques de $\frac{-q+\mathrm{i}\sqrt{\frac{\mathrm{\Delta }}{27}}}{2}$.

Poursuivons alors le calcul en utilisant les propriétés établies en début de paragraphe.

Pour cela, compte tenu de ce qui précède, il suffit de poser :

$r=\frac{-q}{2}$ ;

$s=\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{\Delta }}{27}}}{2}=\frac{\sqrt{-q^2-\frac{4p^3}{27}}}{2}$.

Nous obtenons alors :

$r^2+s^2=\frac{-p^3}{27}$

et par suite :

$\sqrt[6]{r^2+s^2}=\sqrt{\frac{-p}{3}}$.

D'autre part :

$\frac{r}{\sqrt{r^2+s^2}}=\frac{\frac{-q}{2}}{\sqrt{\frac{-p^3}{27}}}=\frac{-q}{2}\frac{3}{-p}\sqrt{\frac{-3}{p}}=\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}$.

Dans ce calcul, nous avons tenu compte du fait que p est négatif. En effet,

$4p^3<-27q^2\le 0$.

En utilisant alors les propriétés du début du paragraphe, nous retrouvons (cf. chapitre précédent) que les racines de l'équation à résoudre sont :

L'intérêt de présenter les racines d'une équation du troisième degré ayant trois racines réelles sous cette forme est de s'affranchir des nombres complexes.