Équation du troisième degré/Récapitulatif méthodes

Dans ce cours, nous avons eu l’occasion d'étudier six méthodes de résolution des équations du troisième degré (le lecteur, friand de méthodes, pourra trouver d'autres méthodes en annexe dans les liens internet). Parmi les méthodes que nous avons étudiées, deux ne marchent que dans des cas particuliers. Ces deux méthodes sont "recherche de racines évidentes" et "méthode trigonométrique de Sotta en Cos(kπ/7) ou Cos(kπ/9)". Une particularité remarquable des méthodes que nous avons choisi d'étudier dans cette leçon est qu’elles donnent en général des solutions sous des formes différentes. Dans ce nouveau chapitre, nous allons donner deux équations à résoudre. La première équation aura un discriminant négatif et la deuxième équation aura un discriminant positif. Nous résoudrons chacune des équations par cinq ou six méthodes différentes. Nous pourrons ainsi mieux nous rendre compte des outils dont nous disposons pour résoudre les équations du troisième degré.

Résolution d'une équation dont le discriminant est négatif

Soit à résoudre l'équation :

$x^3-x^2-x-2=0$

Résolution par la recherche de racines évidentes

Résolvons l'équation :

$x^3-x^2-x-2=0$

Les racines évidentes possibles sont : 1, -1, 2, -2.

Après essai, nous voyons que l'équation admet la racine évidente $x_1=2$. Nous pouvons donc la factoriser par $x-2$.

Nous obtenons :

$(x-2)(x^2+mx+1)=0$

Cette factorisation a été faite de façon qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe :

$x^3+(m-2)x^2+(1-2m)x-2=0$

Et l’on identifie avec l'équation initiale. On obtient :

$\{\begin{array}{c}m-2=-1\\ 1-2m=-1\end{array}$

Dans les deux cas, on voit que $m=1$. L'équation factorisée s'écrit donc :

$(x-2)(x^2+x+1)=0$

Il nous reste à résoudre :

$x^2+x+1=0$

Calculons le discriminant :

$\mathrm{\Delta }=1^2-4\times 1\times 1=-3={\left(i\sqrt{3}\right)}^2$

Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc :

$\{\begin{array}{c}{x}_2=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\\ x_3=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Finalement les trois racines de l'équation :

$x^3-x^2-x-2=0$

sont : Modèle:Encadre Des valeurs approchées sont :

$\{\begin{array}{c}{x}_1=2\\ x_2=-0,5+0,866i\\ x_3=-0,5-0,866i\end{array}$

Résolution par la méthode de Cardan

Nous avons une équation de la forme :

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

avec :

$a=1b=-1c=-1d=-2$

Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :

$x=z-\frac{b}{3a}=z+\frac{1}{3}$

Nous obtenons :

${(z+\frac{1}{3})}^3-{(z+\frac{1}{3})}^2-(z+\frac{1}{3})-2=0$

En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :

$z^3-\frac{4}{3}z-\frac{65}{27}=0$

Posons :

$z=u+v$

On obtient :

$(u+v{)}^3-\frac{4}{3}(u+v)-\frac{65}{27}=0$

Qui peut s'écrire :

$(u^3+v^3)+(3uv-\frac{4}{3})(u+v)-\frac{65}{27}=0$

Posons :

$uv=\frac{4}{9}$

On obtient :

$\{\begin{array}{c}{u}^3+v^3=\frac{65}{27}\\ u^3{v}^3=\frac{64}{729}\end{array}$

uModèle:Exp et vModèle:Exp sont donc racines de l'équation :

$729X^2-1755X+64=0$

Qui a pour racine :

$\{\begin{array}{c}{u}^3=\frac{64}{27}\\ v^3=\frac{1}{27}\end{array}$

Tout cela pour dire en fait que $u$ a trois valeurs possibles :

$u=\frac{4}{3}\text{ou}u=j\cdot \frac{4}{3}\text{ou}u=j^2\cdot \frac{4}{3}$

où $j$ est la première racine complexe de $j^3=1$, c'est-à-dire $j=e^{i\frac{2\pi }{3}}$.

Et v a aussi trois valeurs possibles :

$v=\frac{1}{3}\text{ou}v=j\cdot \frac{1}{3}\text{ou}v=j^2\cdot \frac{1}{3}$

Nous devons ensuite en déduire $x$ en ajoutant une valeur de $u$ avec une valeur de $v$.

Comment savoir quelle valeur de $u$ va avec quelle valeur de $v$ ?

Nous devons choisir une valeur de $u$ et une valeur de $v$ vérifiant la relation posée plus haut :

$uv=\frac{4}{9}$

Compte tenu du fait que $j^3=1$, nous accouplerons $u$ et $v$ de la façon suivante :

$\{\begin{array}{c}u=\frac{4}{3}\\ v=\frac{1}{3}\end{array}\text{ou}\{\begin{array}{c}u=j\cdot \frac{4}{3}\\ v=j^2\cdot \frac{1}{3}\end{array}\text{ou}\{\begin{array}{c}u=j^2\cdot \frac{4}{3}\\ v=j\cdot \frac{1}{3}\end{array}$

Comme $z=u+v$, nous en déduisons trois valeurs pour $z$ qui sont :

$z_1=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

$z_2=j\cdot \frac{4}{3}+j^2\cdot \frac{1}{3}$

$z_3=j^2\cdot \frac{4}{3}+j\cdot \frac{1}{3}$

En reportant les trois valeurs de $z$ dans la relation :

$x=z+\frac{1}{3}$

Nous obtenons :

$x_1=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$

$x_2=j\cdot \frac{4}{3}+j^2\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}$

$x_3=j^2\cdot \frac{4}{3}+j\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}$

Nous en déduisons finalement :

Des valeurs approchées sont :

$\{\begin{array}{c}{x}_1=2\\ x_2=-0,5+0,866i\\ x_3=-0,5-0,866i\end{array}$

Résolution trigonométrique en cosinus ou sinus

Nous devons résoudre l'équation :

$x^3-x^2-x-2=0$

Nous avons une équation de la forme :

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

avec :

$a=1b=-1c=-1d=-2$

Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :

$x=z-\frac{b}{3a}=z+\frac{1}{3}$

Nous obtenons :

${(z+\frac{1}{3})}^3-{(z+\frac{1}{3})}^2-(z+\frac{1}{3})-2=0$

En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :

$z^3-\frac{4}{3}z-\frac{65}{27}=0$

Nous avons une équation de la forme :

$z^3+pz+q=0$

avec :

$p=-\frac{4}{3}q=-\frac{65}{27}$

$p$ est négatif et Δ < 0.

Nous ferons donc le changement de variable suivant :

$z=\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cosh \theta =\frac{4}{3}\cosh \theta$

Nous obtenons :

$64{\cosh }^3\theta -48\cosh \theta -65=0$

Qui se simplifie sous la forme :

$4{\cosh }^3\theta -3\cosh \theta =\frac{65}{16}$

La linéarisation du premier membre donne :

$\cosh (3\theta )=\frac{65}{16}$

On en déduit :

$3\theta =\mathrm{arcosh}\left(\frac{65}{16}\right)$

Qui s'écrit aussi :

$3\theta =\ln (\frac{65}{16}+\sqrt{{\left(\frac{65}{16}\right)}^2-1})$

Soit :

$\theta =\frac{\ln 8}{3}$

En reportant dans :

$z=\frac{4}{3}\cosh \theta$

On obtient :

$z=\frac{4}{3}\cosh \left(\frac{\ln 8}{3}\right)$

En revenant à la définition de ch, on obtient :

$z=\frac{4}{3}\frac{e^{\frac{\ln 8}{3}}+e^{-\frac{\ln 8}{3}}}{2}$

$z=\frac{2}{3}(2+\frac{1}{2})$

On trouve :

$z=\frac{5}{3}$

En reportant dans :

$x=z+\frac{1}{3}$

On trouve : Modèle:Encadre Qui est la solution réelle de l'équation à résoudre.

Résolution trigonométrique en tangente

Nous devons résoudre l'équation :

$x^3-x^2-x-2=0$

Selon nos notations, nous avons :

$a=1b=-1c=-1d=-2$

Nous poserons :

$x=z-\frac{bc-9ad}{2(b^2-3ac)}=z-\frac{19}{8}$

Ce qui nous donne :

$512z^3-4160z^2+10584z-9555=0$

Nous obtenons alors une équation de la forme :

$r{z}^3+s{z}^2+pz+q=0$

Avec :

$r=512s=-4160p=10584q=-9555$

Nous constatons que r et p sont de même signe. De plus nous avons :

$p^2-3sq=-7225344<0$

Nous ferons donc le changement de variable :

$z=\sqrt{\frac{p}{3r}}\coth \theta =\frac{21}{8}\coth \theta$

On obtient :

$9261{\coth }^3\theta -28665{\coth }^2\theta +27783\coth \theta -9555=0$

Qui peut s'écrire :

$9261({\coth }^3\theta +3\coth \theta )=9555(3{\coth }^2\theta +1)$

Que l’on peut mettre sous la forme :

$\frac{{\coth }^3\theta +3\coth \theta }{3{\coth }^2\theta +1}=\frac{65}{63}$

Qui se simplifie sous la forme :

$\coth (3\theta )=\frac{65}{63}$

Nous en déduisons :

$3\theta =\mathrm{arcoth}\left(\frac{65}{63}\right)$

Que nous pouvons écrire sous la forme :

$3\theta =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{\frac{65}{63}+1}{\frac{65}{63}-1}\right)$

Qui se simplifie sous la forme :

$\theta =\frac{\ln 64}{6}=\frac{\ln 2^6}{6}=\frac{6\ln 2}{6}=\ln 2$

En reportant dans :

$z=\frac{21}{8}\cdot \coth \theta$

On obtient :

$z=\frac{21}{8}\cdot \coth (\ln 2)$

En revenant à la définition de coth, on obtient :

$z=\frac{21}{8}\cdot \frac{e^{\ln 2}+e^{-\ln 2}}{e^{\ln 2}-e^{-\ln 2}}$

Qui s'écrit :

$z=\frac{21}{8}\cdot \frac{2+\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}$

En simplifiant, on trouve :

$z=\frac{35}{8}$

En reportant dans :

$x=z-\frac{19}{8}$

On obtient finalement : Modèle:Encadre Qui est la racine réelle de l'équation que l’on devait résoudre.

Résolution par la méthode trigonométrique permettant de trouver les racines complexes conjuguées

Nous avons une équation de la forme :

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

avec :

$a=1b=-1c=-1d=-2$

Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :

$x=z-\frac{b}{3a}=z+\frac{1}{3}$

Nous obtenons :

${(z+\frac{1}{3})}^3-{(z+\frac{1}{3})}^2-(z+\frac{1}{3})-2=0$

En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :

$z^3-\frac{4}{3}z-\frac{65}{27}=0$

Nous avons alors une équation de la forme :

$z^3+pz+q=0$

avec :

$p=-\frac{4}{3}q=-\frac{65}{27}$

Comme $p<0$, nous commencerons par calculer $\theta$ tel que :

$\sin \theta =-\frac{2p}{3q}\sqrt{-\frac{p}{3}}=-\frac{16}{65}$

On obtient :

$\theta =\arcsin (-\frac{16}{65})\approx -0,24871$

On calcule ensuite $\phi$ tel que :

$\tan \phi =\sqrt[3]{\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)}$

On obtient :

$\phi =\arctan \sqrt[3]{\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)}\approx -0,46365$

Les valeurs de $x$ seront alors :

$\{\begin{array}{c}{x}_1=-2\sqrt{\frac{-p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi )}-\frac{b}{3a}\approx 2\\ x_2=\sqrt{\frac{-p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi )}-i\frac{\sqrt{-p}}{\tan (2\phi )}-\frac{b}{3a}\approx -0,5+0,866i\\ x_3=\sqrt{\frac{-p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi )}+i\frac{\sqrt{-p}}{\tan (2\phi )}-\frac{b}{3a}\approx -0,5-0,866i\end{array}$

Résolution d'une équation dont le discriminant est positif

Soit à résoudre l'équation :

$x^3-6x^2+5x-1=0$

Résolution par la méthode de Cardan

Nous devons résoudre l'équation :

$x^3-6x^2+5x-1=0$

Nous avons une équation de la forme :

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

avec :

$a=1b=-6c=5d=-1$

Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :

$x=z-\frac{b}{3a}=z+2$

Nous obtenons :

$(z+2{)}^3-6(z+2{)}^2+5(z+2)-1=0$

En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :

$z^3-7z-7=0$

Posons :

$z=u+v$

On obtient :

$(u+v{)}^3-7(u+v)-7=0$

Qui peut s'écrire :

$u^3+v^3+(3uv-7)(u+v)-7=0$

Posons :

$uv=\frac{7}{3}$

On obtient :

$\{\begin{array}{c}{u}^3+v^3=7\\ u^3{v}^3=\frac{343}{27}\end{array}$

uModèle:Exp et vModèle:Exp sont donc racines de l'équation :

$X^2-7X+\frac{343}{27}=0$

Qui a pour racine :

$\{\begin{array}{c}{u}^3=\frac{7}{2}+\frac{7i\sqrt{3}}{18}\\ v^3=\frac{7}{2}-\frac{7i\sqrt{3}}{18}\end{array}$

Tout cela pour dire en fait que u a trois valeurs possibles qui sont :

$u=\sqrt[3]{\frac{7}{2}+\frac{7i\sqrt{3}}{18}}\text{ou}u=j\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}+\frac{7i\sqrt{3}}{18}}\text{ou}u=j^2\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}+\frac{7i\sqrt{3}}{18}}$

et v a aussi trois valeurs possibles qui sont :

$v=\sqrt[3]{\frac{7}{2}-\frac{7i\sqrt{3}}{18}}\text{ou}v=j\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}-\frac{7i\sqrt{3}}{18}}\text{ou}v=j^2\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}-\frac{7i\sqrt{3}}{18}}$

Nous devons ensuite en déduire x en ajoutant une valeur de u avec une valeur de v.

Comment savoir quelle valeur de u va avec quelle valeur de v ?

Nous devons choisir une valeur de u et une valeur de v vérifiant la relation posée plus haut :

$uv=\frac{7}{3}$

Compte tenu du fait que jModèle:Exp = 1, nous accouplerons u et v de la façon suivante :

$\{\begin{array}{c}u=\sqrt[3]{\frac{7}{2}+\frac{7i\sqrt{3}}{18}}\\ v=\sqrt[3]{\frac{7}{2}-\frac{7i\sqrt{3}}{18}}\end{array}\text{ou}\{\begin{array}{c}u=j\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}+\frac{7i\sqrt{3}}{18}}\\ v=j^2\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}-\frac{7i\sqrt{3}}{18}}\end{array}\text{ou}\{\begin{array}{c}u=j^2\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}+\frac{7i\sqrt{3}}{18}}\\ v=j\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}-\frac{7i\sqrt{3}}{18}}\end{array}$

Comme z = u + v, nous en déduisons trois valeurs pour z qui sont :

$z_1=\sqrt[3]{\frac{7}{2}+\frac{7i\sqrt{3}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{7}{2}-\frac{7i\sqrt{3}}{18}}$

$z_2=j\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}+\frac{7i\sqrt{3}}{18}}+j^2\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}-\frac{7i\sqrt{3}}{18}}$

$z_3=j^2\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}+\frac{7i\sqrt{3}}{18}}+j\cdot \sqrt[3]{\frac{7}{2}-\frac{7i\sqrt{3}}{18}}$

En reportant les trois valeurs de z dans la relation :

$x=z+2$

Nous en déduisons finalement :

Le calcul des valeurs approchées nous donne :

$x_1\approx 5,049$

$x_2\approx 0,308$

$x_3\approx 0,643$

Résolution trigonométrique en cosinus ou sinus

L'équation :

$x^3-6x^2+5x-1=0$

est de la forme :

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

avec :

$a=1b=-6c=5d=-1$

Nous poserons :

$x=z-\frac{b}{3a}=z+2$

On obtient :

$z^3-7z-7=0$

Nous obtenons une équation de la forme :

$z^3+pz+q=0$

avec :

$p=-7q=-7$

Nous ferons donc le changement de variable suivant :

$z=\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cos \theta =\frac{2\sqrt{21}}{3}\cos \theta$

Nous obtenons :

$8{\cos }^3\theta \sqrt{21}-6\cos \theta \sqrt{21}-9=0$

Qui se simplifie sous la forme :

$2\sqrt{21}(4{\cos }^3\theta -3\cos \theta )=9$

La linéarisation du premier membre donne :

$2\sqrt{21}\cos (3\theta )=9$

Qui s'écrit aussi :

$\cos (3\theta )=\frac{3\sqrt{21}}{14}$

Nous en déduisons :

$\{\begin{array}{c}3\theta =\arccos \left(\frac{3\sqrt{21}}{14}\right)+2k\pi \\ \text{ou}k\in \mathbb{Z}\\ 3\theta =-\arccos \left(\frac{3\sqrt{21}}{14}\right)+2k\pi \end{array}$

Que l’on peut écrire :

$\{\begin{array}{c}\theta =\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3\sqrt{21}}{14}\right)+\frac{2k}{3}\pi \\ \text{ou}k\in \mathbb{Z}\\ \theta =-\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3\sqrt{21}}{14}\right)+\frac{2k}{3}\pi \end{array}$

En reportant dans :

$z=\frac{2\sqrt{21}}{3}\cos \theta$

Nous voyons qu’il nous reste seulement les trois valeurs :

$\{\begin{array}{c}{z}_1=\frac{2\sqrt{21}}{3}\cos (\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3\sqrt{21}}{14}\right))\\ z_2=\frac{2\sqrt{21}}{3}\cos (-\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3\sqrt{21}}{14}\right)+\frac{2}{3}\pi )\\ z_3=\frac{2\sqrt{21}}{3}\cos (\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3\sqrt{21}}{14}\right)+\frac{4}{3}\pi )\end{array}$

et en reportant dans :

$x=z+2$

Nous obtenons finalement : Modèle:Encadre En calculant des valeurs approchées, on obtient :

$\{\begin{array}{c}{x}_1\approx 5,049\\ x_2\approx 0,308\\ x_3\approx 0,643\end{array}$

Résolution trigonométrique en tangente

L'équation :

$x^3-6x^2+5x-1=0$

est une équation de la forme :

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

avec :

$a=1b=-6c=5d=-1$

Nous commencerons par faire le changement de variable :

$x=z-\frac{bc-9ad}{2(b^2-3ac)}=z+\frac{1}{2}$

On obtient :

$8z^3-36z^2-2z+1=0$

Qui est une équation de la forme :

$r{z}^3+s{z}^2+pz+q=0$

Avec :

$r=8s=-36p=-2q=1$

On peut vérifier que l’on a bien sp - 9rq = 0.

Posons ensuite :

$z=\sqrt{-\frac{p}{3r}}\tan (\theta )=\frac{\sqrt{3}}{6}\tan (\theta )$

On obtient :

${\tan }^3\theta -9{\tan }^2\theta \sqrt{3}-3\tan \theta +3\sqrt{3}=0$

Que l’on peut écrire :

${\tan }^3\theta -3\tan \theta =3\sqrt{3}(3{\tan }^2\theta -1)$

Que l’on peut mettre sous la forme :

$\frac{{\tan }^3\theta -3\tan \theta }{3{\tan }^2\theta -1}=3\sqrt{3}$

Qui se simplifie sous la forme :

$\tan (3\theta )=3\sqrt{3}$

Nous en déduisons :

$3\theta =\arctan (3\sqrt{3})+k\pi k\in \mathbb{Z}$

Que l’on peut écrire :

$\theta =\frac{1}{3}\arctan (3\sqrt{3})+\frac{k\pi }{3}k\in \mathbb{Z}$

La représentation de l’ensemble de ces valeurs sur le cercle trigonométrique montre que l’on peut se limité à :

$\theta \in \{\frac{1}{3}\arctan (3\sqrt{3}),\frac{1}{3}\arctan (3\sqrt{3})+\frac{\pi }{3},\frac{1}{3}\arctan (3\sqrt{3})+\frac{2\pi }{3}\}$

En reportant dans :

$z=\frac{\sqrt{3}}{6}\tan (\theta )$

Nous obtenons les trois valeurs :

$\{\begin{array}{c}{z}_1=\frac{\sqrt{3}}{6}\tan (\frac{1}{3}\arctan (3\sqrt{3}))\\ z_2=\frac{\sqrt{3}}{6}\tan (\frac{1}{3}\arctan (3\sqrt{3})+\frac{\pi }{3})\\ z_3=\frac{\sqrt{3}}{6}\tan (\frac{1}{3}\arctan (3\sqrt{3})+\frac{2\pi }{3})\end{array}$

En reportant finalement ces valeurs dans :

$x=z+\frac{1}{2}$

on obtient : Modèle:Encadre En calculant des valeurs approchées, on obtient :

$\{\begin{array}{c}{x}_1\approx 0,643\\ x_2\approx 5,049\\ x_3\approx 0,308\end{array}$